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陕西省陕西师范大学附属中学2024 2025学年高三下学期第十一次模考数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，（为虚数单位），则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．某工厂利用随机数表对生产的 50 个零件进行抽样测试， 先将 50 个零件进行编号， 编号分别为 01， 02， ......， 50. 从中抽取 5 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 2 行:
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第 1 行第 7 列开始向右依次读取数据， 则得到的第5个样本编号是 （ ）.
A．09 B．05 C．65 D．71
4．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在正三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
6．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为营造全民阅读的良好氛围，五大道社区工作人员计划安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地进行宣传，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者去甲活动场地，志愿者不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（ ）
A．18种 B．9种 C．12种 D．16种
7．已知函数若数列满足，且是递减数列，则实数a的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
8．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且于点M，AB的垂直平分线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为，则（ ）
A． B．4 C． D．
二、多选题
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若acosA＝bcosB，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
10．已知，若对，使得成立，若在区间上的值域为，则实数的值可能是（ ）
A． B．1 C． D．
11．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值点为
B．有且仅有个零点
C．若在上的最大值为，则
D．
三、填空题
12．已知双曲线的焦距为，离心率为2，则双曲线的方程为 .记分别为双曲线的左、右焦点，过作直线与双曲线的右支交于A，B两点.设分别为，的内心，则的取值范围是 .
13．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中错误的是 ．(填序号)
① AE⊥CE；② BE⊥DE；③ DE⊥平面BCE；④ 平面ADE⊥平面BCE.
14．Cassini卵形线是由法国天文家Jean—Dominique Cassini（1625－1712）引入的．卵形线的定义：线上的任何点到两个固定点，的距离的乘积等于常数．是正常数，设，的距离为，如果，就得到一个没有自交点的卵形线；如果，就得到一个双纽线；如果，就得到两个卵形线．若，，动点满足．且动点的轨迹为曲线，若和是曲线与轴交点中距离最远的两点，则面积的最大值为 ．
四、解答题
15．在底面是菱形的四棱锥中，已知，，过作侧面的垂线，垂足恰为棱的中点.
(1)在棱上是否存在一点E，使得侧面，若存在，求的长；若不存在，说明理由.
(2)二面角的大小为，二面角的大小为，求.
16．当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，让越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力.某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）和年利润（单位：千万元）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下：
30.5 15 15 46.5
表中，.
（1）根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（2）已知年利润与，的关系为（其中为自然对数的底数），要使企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？
（3）科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励2元；若超过，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
附：若随机变量，则，.
17．已知函数．
（1）当时，求函数在上的值域；
（2）若在恒成立，求实数的取值范围．
18．已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作新直线，
①求直线和直线的斜率之积；
②证明：新直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
19．若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”.
(1)若数列为“数列”，写出所有可能的；
(2)若“数列”中，，求的最大值；
(3)设为给定的偶数，对所有可能的“数列”，记，其中表示这个数中最大的数，求的最小值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】，又，
所以，
故选B．
2．【答案】C
【详解】依题意，，而，，所以.
故选C
3．【答案】A
【详解】第一行第7列为3，依次往右读，37，14，05，11，09.
09为第5个样本编号，
故选A
4．【答案】C
【详解】因为，.
所以.
综上所述，“”是“”的充分必要条件．
故选C．
5．【答案】A
【详解】取的中点，连接，，
因为在正三棱锥中，底面为正三角形，各棱长都相等，
记，，
所以，，
又，平面，平面，
所以平面，
因此，
因为，、分别是棱、的中点，
所以，
又，平面，平面，
所以平面，
因此，，
又正三棱锥各侧面三角形都全等，所以，
即，，两两垂直，
将正三棱锥补成如图所示的正方体，则正方体的外接球即是正三棱锥的外接球，设外接球半径为，
又，
所以，即，
因此，正三棱锥外接球的体积是.
故选A.
6．【答案】A
【详解】根据题意，分2类讨论．
第一类，去甲活动场地，则在一起，都去甲活动场地，
将剩下4人分为2组，安排在乙、丙两个活动场地即可，
有（种）安排方法；
第二类，不去甲活动场地，则必去丙活动场地，
在剩下4人中选出2人安排在乙活动场地，
再将剩下2人分别安排到甲、丙活动场地，
有（种）安排方法．
根据分类加法计数原理，共有（种）安排方法．
故选A
7．【答案】C
【详解】由函数f(x)=，且数列{an}满足an=f（n）是递减数列，则
当n≤6时，an=（1-3a）n+10；则1-3a＜0，∴a＞，且最小值a6=16-18a；
当n＞6时，an=an-7；则0＜a＜1，且最大值a7=1；
由a6＞a7，得16-18a＞1，∴a＜；
综上，知实数a的取值范围是：＜a＜；
故选C．
8．【答案】A
【详解】由题意知，直线AB的方程为．
设，由，得，
所以，所以，
由，得．
如图所示，作轴于点E，则．
因为，
故，，
又，故，
又，得四边形DMFN为平行四边形．
所以其面积为，解得．
故选A
9．【答案】ABD
【分析】A应用正弦定理及三角形中大边对大角即可判断正误；B由锐角三角形易得，根据锐角正弦函数的大小关系及诱导公式即可判断正误；C由正弦定理边角关系，结合三角形内角的性质判断内角A、B的数量关系；D利用余弦定理，结合已知得，进而判断的形状.
【详解】A：若，而，即，故，正确；
B：由锐角知：，即，则，正确；
C：由题设，可得，又，则或，故为等腰或直角三角形，错误；
D：由题设，，故，即，又，可知，故必是等边三角形，正确.
故选ABD.
10．【答案】ABC
【详解】依题意，，其中锐角由确定，，
函数在上单调递增，，
由，使得成立，得，
而在区间上的值域为，则存在，使得，因此，解得，
函数，当时，，
又在区间上的值域为，，则，解得，
所以实数的取值范围是，ABC可能，D不可能.
故选ABC.
11．【答案】BCD
【详解】A选项，由函数，
可得，
令，解得或；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
在单调递增，当时，取得极大值，
极大值为，所以极大值点为，A错误；
B选项，由A知，当时，取得极小值，
极小值，且当时，，
当时，，，
所以函数有3个零点，所以B正确；
C选项，，
由A、B可知，在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，，
所以，在上的最大值为，则，C正确；
D选项，由，可得，
令，可得，
又由，
所以点是函数的对称中心；
因为是函数的对称中心，所以，
令，
可得，
所以
，
所以，即，
所以D正确.
故选BCD.
12．【答案】
【详解】因为双曲线的焦距为，离心率为2，
所以，，所以，
所以双曲线的方程为；

记上的切点分别为，有横坐标相等，
则，由，
即，得，即，
记的横坐标为，则，于是，得，
同理可得，内心的横坐标也为，则有轴，设直线的倾斜角为，
则，，
在中，，
由于直线与双曲线的右支交于A，B两点，且一条渐近线的斜率为，倾斜角为，
可得，即，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：；.
13．【答案】③
【详解】因为四边形ABCD是圆柱的轴截面，则线段AB是直径，BC，AD都是母线．又E是底面圆周上异于A，B的一点，于是得AE⊥BE.而BC⊥平面ABE，AE 平面ABE，则BC⊥AE.因为BC∩BE＝B，BC，BE 平面BCE，则AE⊥平面BCE，因为CE 平面BCE，因此得AE⊥CE，①正确；同理，BE⊥DE，②正确；点D不在底面ABE内，而直线AE在底面ABE内，即AE，DE是两条不同直线，若DE⊥平面BCE，因AE⊥平面BCE，与过一点有且只有一条直线垂直于已知平面矛盾，③不正确；因为AE⊥平面BCE，而AE 平面ADE，于是得平面ADE⊥平面BCE，④正确．
【考查意图】以圆柱为背景考查线线垂直、线面垂直和面面垂直的判定．
14．【答案】
【详解】，，，故，
故动点的轨迹为一个双纽线，
设，因为，所以，
即，，
故动点的轨迹方程为
令得，解得或，
令，
由对称性，可考虑在第一象限的情况，
因为为定值，所以面积最大时，即点的纵坐标最大，
，即，
由求根公式得，
其中，故舍去，
所以，令，则，
故，
因为，所以，
当时，取得最大值，最大值为1，
即的最大值为1，面积最大值为.
15．【答案】(1)存在，；
(2).
【详解】（1）如图，连接，，是的中点，，
又平面，平面，
，又，平面，平面，
过作于，又，，
又平面，，
又，平面，平面，
在中，，，
，得，
.
（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
由（1）知，，可得，，
又平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，
，，
由图可知二面角的平面角为钝角，则，，
由题知，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，
.
，
由图可知二面角的平面角为锐角，则，，
.
16．【答案】（1）更适合作为关于的回归方程类型，
（2）54千万元
（3）2.27元
【详解】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型，
因为呈线性变化，不合要求，故选，
对两边取对数，得，即，
由表中数据得：，，
，所以，
所以关于的回归方程为；
（2）因为，所以，
，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以预计下一年投入千万元时，
年利润取得最大值为千万元.
（3）因为，，
所以
，
，
（元）.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）当时，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，，
所以在上的值域为；
（2）由在恒成立，
即在恒成立，
当时，
所以，即在恒成立，
即在恒成立，令，，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以；
由在恒成立，
两边取对数可得在恒成立，
即在恒成立，
令，则在上单调递增，
由，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以；
综上可得，即实数的取值范围为.
18．【答案】(1)
(2)①；②证明见解析,定点的坐标为,
【详解】（1）由题可知，一定在椭圆上，其中一个在椭圆上，
当椭圆过点可得，
则椭圆的方程为；
当椭圆过点可得，方程组无解，
综上，椭圆的方程为；
（2）①由题可设,，当时，设,、,，显然，
联立，则，即，
因为为线段的中点，所以，
又，
所以，即直线和直线的斜率之积为；
②由①可得直线的斜率为，
又，所以直线的方程为，
即，
显然恒过定点,，
当时，直线即，此时为轴亦过点,；
综上所述，恒过定点,．
19．【答案】(1)或或
(2)
(3)
【详解】（1）依题意，因为数列1，，，7为“数列”，
则注意到，
故所有可能的，为或或
（2）一方面，注意到：，
对任意的，令，
则且，故对任意的恒成立（★），
当时，注意到，
得，
此时，
即，解得，故；
另一方面，取，
则对任意的，，故数列为“数列”，
此时，即符合题意.
综上，的最大值为.
（3）当时，
一方面：由（★）式，，
则，
此时有
，
故，
另一方面，当，，，，，，，时，
，
取，则，，，
且，
，
此时，
综上，的最小值为.

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