资源简介

(共26张PPT)
微专题——路径最短问题
学习目标
1.利用轴对称解决实际问题（最短路径），体会轴对称在现实生活中的应用和价值。（难点）
2.了解在运用数学知识解决问题时，转化思想的应用，体会转化是解决数学问题的一种重要策略，达到化繁为简、化难为易，化不熟悉为熟悉的目的。（重点）
3.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
旧知回顾
●我们学了哪些关于线段最短的数学公理？
A到B如何走最短？
点P到直线l如何走最短？
依据：两点之间，线段最短
依据：垂线段最短
●在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的知识？
三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；
任意两边之差小于第三边；
●如图，如何作点A关于直线l的对称点？
温故知新
l
A
A′
O
山脚下的点A
营地B
“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河。”
情景引入
将军饮马问题
诗中隐含着一个有趣的数学问题
如图，将军从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
抽象成
作图问题：在直线l上求作一点P，使AP+BP最短问题.
探索新知
模型一：两定一动，在直线的异侧
A
B
数学问题
A
l
B
P
l
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在l上找到一个点,使得这个点到点A、点B的距离的和最短？
根据是“两点之间，线段最短”.
连接AB,与直线l相交于一点P.
A
l
B
P
探索新知
l
B
A
问题2 如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
模型二：两定一动，在直线的同侧
P
A
B
l
抽象成
探索新知
（2）连接A′B，与直线l相交于点P．
作法
（1）作点A关于直线l的对称点A′；
则点P即为所求．
l
P
A'
能不能作出B点的对称点B',连接AB'，与l还交于P点吗？
B'
B
A
模型二：两定一动，在直线的同侧
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AP +BP最短吗？
l
A
P'
P
B
A'
证明：如图，在直线l上任取一点P′(与点P不重合)
连接AP′，BP′，A′P′．由垂直平分线的性质知:
AP =A′P，AP′=A′P′
∴AP +BP= A'P +BP = A′B
AP′+BP′= A′P′+BP′
在△A′BP′中，
A′B＜A′P′+BP′
∴AP +BP＜AP′+BP′
即AP +BP 最短
探索新知
小试牛刀
1、如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
P
Q
l
A
M
P
Q
l
B
M
P
Q
l
C
M
P
Q
l
D
M
D
2.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 .
课堂练习
A
B
C
E
F
D
E'
F'
5
F'
实例剖析
3、如图，在△ABC中，BC=3，AC =4,直线EF垂直平分AB，点P是直线EF上的一个动点，则△PBC的周长最小值是 ________.
A
B
C
E
F
P
7
方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
归纳总结
l
P
A'
B
A
同侧转化异侧
两定点在同侧
实际问题
抽象为数学问题
通过轴对称把同侧点转为异侧点
利用“两点之间，线段最短”确定所求位置
两定点在异侧
A
l
B
P
如图，有一位将军骑着马从P点的军营出发，先到河OA边让马喝足水，再到草坪OB边让马儿吃草，最后返回P点军营，该如何选择路线，让将军走的路程最短？
P
O
A
B
抽象
O
A
B
P
作图问题：在直线OA、OB上分别作一点C、D,使PC+CD+PD最短问题.
C
D
模型三：一定两动，夹角型
模型三：一定两动
探索新知
点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小.
M
N
O
A
B
P2
P1
P
M
N
O
P2
P1
P
A'
B'
如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是 .
课堂练习
A
B
O
P
P1
P2
Q
R
10
模型四：两定两动
如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B.
使四边形PAQB的周长最小.
M
N
O
Q1
P1
A
B
P
Q
举一反三
课堂小结
实际问题
抽象为数学问题
通过轴对称把同侧点转为异侧点
利用“两点之间，线段最短”确定所求位置
总结归纳
拓展延伸
A
B
P
Q
求AP+BP+PQ的最小值？
1.做BQ平行线PB'
B'
A
B
P
Q
l
2.过B'做对称轴B''
B''
3.连接AB''
P'
Q'
4.AP'+P'Q'+BQ'即为所求
A
B
P
Q
求AP+BP+PQ的最小值？
A
B
P
Q
1.做BQ的平行线B'P
B'
2.连接AB'
P'
Q'
3.AP'+P'Q'+BQ'即为所求
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