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【同步提升】人教版七年级下册数学重难点突破（单元+期中+期末）
第17讲 一元一次不等式的解法与应用
要点一、一元一次不等式的概念
一元一次不等式的定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式．
要点诠释：一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
要点二、解一元一次不等式
1.根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
要点诠释：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
2.不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．
要点诠释：
在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向——
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．
【考点1】一元一次不等式的概念认识及其解集
【例1】已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ．
【变式1】下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】关于x的一元一次不等式中，m的值应为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【考点2】求一元一次不等式的解集
【例2】解下列不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来
【变式1】解不等式，并将其解集在数轴上表示出来．
(1)；
(2)．
【变式2】如图，这是关于x的不等式的解集，则a的值是（ ）
A．0 B． C． D．
【考点3】求一元一次不等式的整数解
【例3】求不等式的最小整数解．
【变式1】不等式的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】已知关于x的不等式有三个非负整数解，则a的取值范围为 ．
【考点4】求一元一次不等式的最值
【例4】已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（ ）
A．6 B．5 C． D．
【变式1】已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ．
【变式2】关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ．
【考点5】一元一次不等式的参数问题
【例5】若关于x的一元一次不等式的解集为，则a的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1】已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是 ．
【变式2】已知关于x，y的方程组的解满足，求a的取值范围.
【考点6】一元一次不等式的应用
【例6】某商场将一个成本为75元的书包，定价为100元，为使得利润率不低于，在实际售卖时，该书包最多可以打几折（ ）
A．8 B． C．9 D．
【变式1】某校计划组织师生乘坐大小两种客车参加一次大型公益活动，每辆大客车的乘客座位数是35个，每辆小客车的乘客座位数是18个，这样租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满，由于最后参加活动的人数增加了20人，在保持租用车辆数量不变的情况下，学校决定调整租车方案，以确保乘载全部参加活动的师生，则该校最后租用小客车数量的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】全球人形机器人开发热潮中，中国凭借自身优势成为重要参与者与推动者．在产业基础方面，中国拥有完备制造业体系，涵盖机械加工、电子制造、材料生产等领域，为机器人产业提供强大供应链支撑．已知某款智能机器人初始电量为100个单位（以下都是初始状态开始），每移动1米，消耗2个单位电量，每完成一个动作（如抓物品，旋转等）消耗5个单位电量（其它电量消耗忽略不计）．
(1)如果机器人先移动了12米，然后完成了3个动作，求此时的剩余电量；
(2)在一次任务中机器人需要完成一段路程为米（为整数）的移动任务，并执行一些动作．如果执行个动作后，机器人的剩余电量不少于35个单位，求最多可以移动多少米？
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第2页（共5页）中小学教育资源及组卷应用平台
【同步提升】人教版七年级下册数学重难点突破（单元+期中+期末）
第17讲 一元一次不等式的解法与应用
要点一、一元一次不等式的概念
一元一次不等式的定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式．
要点诠释：一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
要点二、解一元一次不等式
1.根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
要点诠释：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
2.不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．
要点诠释：
在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向——
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．
【考点1】一元一次不等式的概念认识及其解集
【例1】已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：由题意，得且，
解得：．
故答案为：．
【变式1】下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：、不等式是一元一次不等式，故本选项符合题意；
、不等式不含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
、不等式未知数最高次数是2，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
、是多项式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【变式2】关于x的一元一次不等式中，m的值应为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【答案】D
【详解】解：由题意，得：，
解得：或0；
故选：D．
【考点2】求一元一次不等式的解集
【例2】解下列不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来
【答案】，见解析
【详解】解；
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
【变式1】解不等式，并将其解集在数轴上表示出来．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
【详解】（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并得：，
在数轴上表示为：
（2）解：去分母得：
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：，
在数轴上表示为：
【变式2】如图，这是关于x的不等式的解集，则a的值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：解不等式得，，
由数轴可得，，
∴，
解得，
故选：D．
【考点3】求一元一次不等式的整数解
【例3】求不等式的最小整数解．
【答案】，最小整数解为
【详解】解：
∴不等式的最小整数解是．
【变式1】不等式的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：，
解得，
∴不等式的非负整数解有0，1，2共3个．
故选：C．
【变式2】已知关于x的不等式有三个非负整数解，则a的取值范围为 ．
【答案】
【详解】解：解不等式得：，
∵关于的不等式有三个非负整数解，
∴这三个负整数解是0，1，2，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点4】求一元一次不等式的最值
【例4】已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（ ）
A．6 B．5 C． D．
【答案】A
【详解】解：∵是不等式的一个解，
∴，
解得，
∴整数k的最小值是6．
故选：A．
【变式1】已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ．
【答案】
【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式2】关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：解不等式得：，
∵关于的不等式的最小整数解为，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点5】一元一次不等式的参数问题
【例5】若关于x的一元一次不等式的解集为，则a的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】解：∵的解集为，
∴，
解得，
∴a的值可以为2，
故选：A．
【变式1】已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵方程的解是负数，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式2】已知关于x，y的方程组的解满足，求a的取值范围.
【答案】
【详解】解：，
解得：，
，
，
解得：．
【考点6】一元一次不等式的应用
【例6】某商场将一个成本为75元的书包，定价为100元，为使得利润率不低于，在实际售卖时，该书包最多可以打几折（ ）
A．8 B． C．9 D．
【答案】C
【详解】解：设在实际售卖时，该书包可以打x折，
依题意得：，
解得：，
即该书包最多可以打9折．
故选：C．
【变式1】某校计划组织师生乘坐大小两种客车参加一次大型公益活动，每辆大客车的乘客座位数是35个，每辆小客车的乘客座位数是18个，这样租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满，由于最后参加活动的人数增加了20人，在保持租用车辆数量不变的情况下，学校决定调整租车方案，以确保乘载全部参加活动的师生，则该校最后租用小客车数量的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解：该校最后参加活动的总人数为（人．
设租用小客车辆，则租用大客车辆，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
的最大值为．
故选：B．
【变式2】全球人形机器人开发热潮中，中国凭借自身优势成为重要参与者与推动者．在产业基础方面，中国拥有完备制造业体系，涵盖机械加工、电子制造、材料生产等领域，为机器人产业提供强大供应链支撑．已知某款智能机器人初始电量为100个单位（以下都是初始状态开始），每移动1米，消耗2个单位电量，每完成一个动作（如抓物品，旋转等）消耗5个单位电量（其它电量消耗忽略不计）．
(1)如果机器人先移动了12米，然后完成了3个动作，求此时的剩余电量；
(2)在一次任务中机器人需要完成一段路程为米（为整数）的移动任务，并执行一些动作．如果执行个动作后，机器人的剩余电量不少于35个单位，求最多可以移动多少米？
【答案】(1)机器人先移动了12米，然后完成了3个动作，此时剩余61个电量；
(2)5米
【详解】（1）解：∵（个单位电量），
∴机器人先移动了12米，然后完成了3个动作，此时剩余61个电量；
（2）解：根据题意得：，
解得，
∴最大取值为5，则最多可以移动5米．
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