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高三数学试题
2025.5
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1－2页，第Ⅱ卷2－4页，共150分，测试时间120分钟．
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．
第Ⅰ卷选择题（共58分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. 0 D. 2
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 平面向量满足，且，则向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知为等差数列的前项和，，则（ ）
A 2 B. 8 C. 16 D. 32
6. 已知正三棱锥底面边长为2，且其侧面积是底面积的倍，则此正三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且与渐近线平行的直线与相交于点（在第一象限），若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 3
8. 已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 某高中学校对一次高二联考物理成绩进行统计分析，记录了学生的分数，其中分组的区间为，画出频率分布直方图，已知随机抽取的成绩不低于80分的有300人，若从样本中随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（ ）
A. 学生成绩众数估计为75分 B. 学生成绩平均数大于中位数
C. 此次成绩在的学生人数为120人 D. 学生成绩的第45百分位数为70
10. 在四棱锥中，底面是边长为1正方形，平面，且，点，，分别为棱的中点，则（ ）
A.
B. 异面直线和所成的角为
C. 平面与平面所成角的正弦值为
D. 过点，，的平面截四棱锥所得的截面图形为五边形
11. 已知圆，抛物线焦点为，为上一动点，当运动到点时，，直线与相交于，两点，则（ ）
A.
B. 若为上一点，则最小值为1
C. 若，则直线与圆相切
D. 存在直线，使得，两点关于对称
第Ⅱ卷非选择题（共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知变量与线性相关，由样本点求得的回归直线方程为，若点在回归直线上，且，则______．
13. 已知曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则______．
14. 在数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为．如果一个数列的阶差数列是等比数列，则称数列为阶等比数列．若数列满足，则______；若数列为二阶等比数列，其前5项分别为1，1，，则______．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）若，求的边的最大值．
16. 随着信息技术的迅猛发展，智能化家居让人们的生活越来越幸福，智能门锁就是其中之一．智能门锁的质量是根据其正常使用的时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6年的为优质品．现用，两种不同品牌的智能门锁做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示，以试验结果中各组的频率作为相应的概率．
（1）现从大量的，两种品牌的智能门锁中各随机抽取2件产品，求其中至少有3件是优质品的概率；
（2）通过多年统计发现，品牌智能门锁每件产品的利润（单位：元）与其使用时间（单位：年）的关系如下表：
使用时间（单位：年）
每件产品的利润（单位：元） －200 200 400
若从大量的品牌智能门锁中随机抽取两件，其利润之和记为（单位：元），求的分布列及数学期望．
17. 建筑学中常用体形系数表示建筑物与室外大气接触的外表面积与其所包围的体积的比值，即，为建筑物暴露在空气中的外表面积（不包括地面的面积），为建筑物所包围的体积．某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于，的点，且．
（1）若，求圆台形建筑的高；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的左右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点和（不同于，），证明：点在以为直径的圆外；
（3）在（2）的条件下，求四边形面积的最大值．
19. 已知，且直线与曲线相切．
（1）求；
（2）若对，不等式恒成立，求实数取值范围；
（3）若的最小值为，证明：方程有唯一的实数根．（其中是自然对数的底数）．
高三数学试题
2025.5
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1－2页，第Ⅱ卷2－4页，共150分，测试时间120分钟．
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．
第Ⅰ卷选择题（共58分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】A
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】AC
第Ⅱ卷非选择题（共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】 ①. 27 ②.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
【15题答案】
【答案】（1）
（2）4．
【16题答案】
【答案】（1）
（2）分布列见解析，360
【17题答案】
【答案】（1）1 （2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）6
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析

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