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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
浙教版2025年秋季七年级上册讲练测
专题03 绝对值
知识点1：绝对值
1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．
2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．
3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么．
可整理为：，或，或
4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：
【易混易错】
1）若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0.
2）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意实数，都有|a|≥0.
3）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论.
【即时训练】
1．检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球更接近标准（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正负数的意义，理解绝对值的意义和计算方法是正确解答的前提．根据绝对值的意义，求出各个数的绝对值，进而比较得出答案．
【详解】解：，，，，
的绝对值最小．
所以第四个球是最接近标准的球．
故选：D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．2025的绝对值是 B．2025的相反数是
C．2025的倒数是 D．2025的相反数的绝对值是
【答案】B
【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值，熟练掌握这几个定义是解题的关键．
根据相反数、倒数、绝对值的定义判断即可．
【详解】解：A． 2025的绝对值是2025，故该选项错误；
B． 2025的相反数是，故该选项正确；
C． 2025的倒数是，故该选项错误；
D． 2025的相反数的绝对值是2025，故该选项错误．
故选B．
3．已知实数a，b满足则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据得，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∴，
故答案为：1
4．绝对值大于3且小于5的所有整数的和是 ．
【答案】
【分析】本题考查绝对值的意义、相反数的性质等知识，首先根据题意得到绝对值大于3且小于5的所有整数有：和，再由互为相反数的两个数和为即可得到答案．熟记绝对值的意义及相反数的性质是解决问题的关键．
【详解】解：绝对值大于3且小于5的所有整数有：和，
，
故答案为：．
5．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示：
(1)判断正负，用“”或“”填空： 0； 0．
(2)化简：
【答案】(1)＜，＞
(2)
【分析】本题主要考查了数轴上的点判断式子的符号，化简绝对值，
对于（1），先根据数轴上的点的位置可知，可知各式的值；
对于（2），先确定，再根据可得然后去绝对值可得答案.
【详解】（1）解：根据题意，得，
∴，.
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴．
16如图，数轴上两点、对应的数分别是、，其中、满足，
(1)求、的值，并在数轴上标出、两点；
(2)数轴上有一动点，当时，请直接写出点对应的数的值．
【答案】(1)，，数轴上标出、两点见解析
(2)或
【分析】本题考查了非负数的性质，用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据非负数的性质求出、的值，再在数轴上标出、两点即可；
（2）根据数轴上两点间的距离公式可得，，结合即可求解．
【详解】（1）解：，
，，
解得：，，
数轴上标出、两点如下：
（2）、两点对应的数分别为和，点对应的数为，
，，
，
，
解得：或．
【题型1 求一个数的绝对值】
1．的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得：，所以．
【详解】解：．
故选：B．
2．实数的绝对值是，则实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值的意义，实数的性质，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，根据一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；即可求解．
【详解】解：的绝对值是，则实数是
故选：D．
3．已知，那么的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．2025
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值，正确得出是解题的关键；
根据绝对值的特点可得，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴的最小值是0；
故选：C．
4．计算： ．
【答案】3
【分析】本题考查绝对值的计算，解题的关键是理解绝对值的定义和运算规则．
先计算括号内的运算，再根据绝对值的定义求出结果．
【详解】，
，
故答案为：3．
5．若a与3互为相反数，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查相反数和绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数求得a值，再根据绝对值的意义求解即可．
【详解】解：∵a与3互为相反数，
∴，
∴，
故选：A．
【题型2 绝对值的非负性】
6．，则a和b各为（ ）
A．， B．1，3 C．1， D．，3
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值的非负性，先根据，得，则，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7．若，则（ ）
A．2 B．7 C．8 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质列式求出m、n，然后代入计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴．
故选：D．
8．如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值的意义，根据得出当时，式子存在最小值．
【详解】解：∵，
∴当时，即当时，式子存在最小值，这个最小值是，
故选：A．
9．已知，则，，的值分别是 ．
【答案】，，
【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
任何数的绝对值都是非负数，若几个非负数的和为零，则每个非负数分别为零，据此即可求解．
【详解】∵，，，且，
∴，，，
∴，，．
故答案为：，，．
10．已知，，且，求、的值．
【答案】，．
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，绝对值的非负性，根据绝对值的意义求出x、y的值，再根据绝对值的非负性可得，据此可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，．
【题型3 带有字母的绝对值化简问题】
11．设有理数a，b在数轴上的位置如图，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．b
【答案】A
【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数，掌握负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
根据数轴得到，再根据负数的绝对值是它的相反数得到，进行计算即可求解．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
故选：A ．
12．已知数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】本题考查数轴的相关知识，根据所给数值在x轴上的位置，判断出相应的符号，然后化简绝对值计算即可．
【详解】解：根据数轴可得，，
∴，
∴，
故选：B．
13．若定义：，例如，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，相反数的计算，化简绝对值，读懂题目信息，掌握新定义的运算规则是解题的关键．
根据的定义解答即可．
【详解】解：．
故答案为：．
14．下列说法：①，则；②数轴上到某点距离相等的两个点对应的数相等；③，则；④，则．正确的有 （填序号）．
【答案】①
【分析】本题考查了化简绝对值，绝对值的意义，结合绝对值的性质判断①④；根据绝对值的意义判断②，运用分类讨论思想逐个分析化简绝对值，即可判断③，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，，故①正确；
∵数轴上到原点距离相等的两个点；
∴这两个点对应的数的绝对值相等，
∴数轴上到某点距离相等的两个点对应的数不一定相等；故②错误；
③∵，
∴当时，则；
当时，则；
当时，则；
∴当时，则；
则或，故③错误；
∵，
∴数到数的距离等于数到数的距离，
则当时，．故④错误；
故答案为：①．
15．已知为实数，且它们在数轴上对应的点的位置如下图所示．
(1)______，______，______；（填“”，“”或“”）
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了数轴，实数比较大小，绝对值的化简，根据数轴得到是解题的关键．
（1）根据数轴得到，进而得出，，，即可得到答案；
（2）去掉绝对值符号，再化简即可．
【详解】（1）解：根据数轴可知，，
，，，
故答案为：；
（2）解： ，，，
．
【题型4 绝对值方程】
16．若为有理数且，则的取值是（ ）
A．5 B． C．或3 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查解绝对值方程，掌握绝对值的意义，是解题的关键．根据绝对值的意义可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即：或．
故选C．
17．若x为实数，，则x的绝对值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的意义得一元一次方程是正确解决本题的关键．
根据绝对值的意义得两个一元一次方程分别求解即可．
【详解】解：由绝对值的意义得：，或，
①，无解，解②得，
则x的绝对值为，
故答案为：C．
18．如果，则 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了解绝对值方程，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．由绝对值的性质可得，，求解即可获得答案．
【详解】解：因为，
所以或，
解得或．
故答案为：4或．
19．数轴上表示整数的点称为整点．数轴上点M表示的数为a，点N表示的数为，其中a为负整数，如果在线段上有201个整点（包括M和N点），则代数式的最小值为 ．
【答案】192
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，绝对值方程，先根据a为负整数，在线段上有201个整点，求出，然后再根据绝对值的意义求出的最小值即可．
【详解】解：由题可得，
故或，
∵a为负整数，
∴，
∴代数式，
∵表示数轴上表示x的点到96和两点的距离之和，
∴当时，最小，且最小值为：
．
故答案为：192．
20．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．
例如：解方程，
解：当时，方程可化为：，解得，符合题意；
当时，方程可化为：，解得，符合题意．
所以，原方程的解为或．
请根据上述解法，完成以下问题：
解方程：；
【答案】或
【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论：，，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案是解题关键，以防遗漏．
【详解】当时，方程可化为：，解得，符合题意；
当时，方程可化为：，解得，符合题意；
所以，原方程的解为：或．
【题型5 绝对值的应用】
21．现有四个标号为1，2，3，4的乒乓球，它们的重量与标准重量的差分别是，，最接近标准重量的乒乓球标号是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．先比较出超标情况的大小，再根据绝对值最小的越接近标准质量，即可得出答案．
【详解】解：∵，且，
∴球的质量最接近标准质量是1号乒乓球，
故选：A．
22．质检员抽查某种零件的质量，超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，检查结果如下：第一个为0.1毫米，第二个为毫米，第三个为毫米，第四个为0.4毫米，则质量最差的零件是（ ）
A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个
【答案】D
【分析】本题考查了正数和负数、绝对值，根据无论正负，绝对值最大的零件与规定长度偏差最大进行答题即可．
【详解】解：∵，
∴质量最差的零件是第四个，
故选：D．
23．党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为 ．
编 号
体重情况
【答案】
【分析】本题考查了正负数的意义、绝对值的应用．首先分别求出这位同学体重的绝对值，根据绝对值越小的体重与标准体重越接近判断哪位同学的体重最接近标准体重．
【详解】解：，，，，，，
，
号同学的体重最接近标准体重．
故答案为： ．
24．阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为．
理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ；
（3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ．
应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少．
【答案】 5 / 4 5
【分析】本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键．
理解：（1）根据两点之间的距离即可求解；
（2）根据两点之间的距离即可求解；
（3）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解；
应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解；
【详解】解：理解：（1）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是，
故答案为：；
（2）数轴上表示数和的两点之间的距离是，
故答案为：；
（3）∵，
∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为，
故答案为：，；
应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案：
故答案为：．
25．某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果
记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）：
1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件：
根据信息回答问题：
(1)你认为几号零件的大小最符合标准？
(2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论．
【答案】(1)5号零件的大小最符合标准
(2)1、2、5号是正品，3号是次品，4号是废品
【分析】本题主要考查了绝对值意义，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据．
（1）表中的数据是零件误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好；
（2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，就可确定是正品、次品还是废品．
【详解】（1）解：∵，
∴5号零件的大小最符合标准．
（2）解：∵，，
∴第1、2、5号是正品；
∵，
∴3号是次品，
∵，
∴4号为废品．
【题型6 绝对值与数轴结合】
26．如图，数轴上两点、对应的数分别是、，其中、满足，
(1)求、的值，并在数轴上标出、两点；
(2)数轴上有一动点，当时，请直接写出点对应的数的值．
【答案】(1)，，数轴上标出、两点见解析
(2)或
【分析】本题考查了非负数的性质，用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据非负数的性质求出、的值，再在数轴上标出、两点即可；
（2）根据数轴上两点间的距离公式可得，，结合即可求解．
【详解】（1）解：，
，，
解得：，，
数轴上标出、两点如下：
（2）、两点对应的数分别为和，点对应的数为，
，，
，
，
解得：或．
27．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示．
(1)用“> ”或“< ”填空：a 0 ，b 0 ，c 0；
(2)在数轴上标出a，b，c相反数的位置；
(3)若，求a，b，c的值．
【答案】(1)<；>；>
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了数轴的应用，相反数的概念，绝对值的性质等，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
（1）观察数轴，即可得出答案；
（2）运用相反数的概念在数轴上表示出相应的点；
（3）根据绝对值的性质即可得出答案．
【详解】（1）由图可知：
故答案为：，
（2）如图所示：
（3），
又，
28．数轴上距离1这个数两个单位的点可以表示为，则x的值为（　　）
A． B．0 C．3 D．或3
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质进行解题即可．
本题考查数轴、绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
【详解】解：由题可知，，
∴或，
∴或．
故选：D．
29．已知整数同时满足下列两个条件：在数轴上位于原点左侧；绝对值大于且小于．写出一个符合条件的的值： ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的分类、数轴、绝对值．首先根据数轴上表示的数在原点左侧，可知表示的是一个负数，根据的绝对值大于且小于，可知，从而确定的值．
【详解】解：在数轴上位于原点左侧，
，
又的绝对值大于且小于，
，
整数的值可以是、、，
这个数任意写出一个即可．
故答案为： ．
30．已知表示与的差的绝对值，实际上可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，化简绝对值等知识点，熟练掌握绝对值的意义并运用数形结合思想是解题的关键．
利用绝对值的意义解答即可．
【详解】解：表示数到数，，的距离之和，
只有当时，有最小值，其最小值为：
，
故答案为：．
【题型7 绝对值的意义】
31．若成立，那么x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了绝对值的性质，根据题意得出，得到或，然后分情况验证即可．
【详解】∵成立，
∴
∴或
∴当时，，，等式成立；
当时，，，等式不成立；
综上所述，x的取值范围是．
故答案为：．
32．的最小值是(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义．利用绝对值的定义解答．
【详解】解：根据绝对值的意义可知，只有当时，有最小值，
最小值为．
故选：B．
33．已知数满足，则不可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值的意义，根据非负数的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于其相反数，即可解答，掌握绝对值的意义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
由选项可知A，B，C符合，D不符合，
故选：D．
34．若，是最大的负整数，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的分类，由，是最大的负整数，且，分别求出的值，然后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，是最大的负整数，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
35．已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是，，．
(1)求线段的中点D所表示的数．
(2)求线段（O为原点）的长．
(3)若，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或11
【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，
（1）根据数轴上两点中点公式求解即可；
（2）根据绝对值的意义求解即可；
（3）根据数轴上两点之间的距离分点C在点A左边和点C在点A右边两种情况讨论，然后分别列式求解即可．
【详解】（1）∵数轴上点A，B，所表示的数分别是，，
∴线段的中点D所表示的数为；
（2）∵点D所表示的数为
∴；
（3）当点C在点A左边时，；
当点C在点A右边时，；
综上所述，x的值为或11．
【题型8 绝对值的几何意义】
36．如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（ ）
A．P B．Q C．M D．N
【答案】A
【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值的意义，掌握数轴的定义是解题关键．先根据数轴的定义以及绝对值的意义得出点的绝对值的范围，然后比较范围即可解答．
【详解】解：由数轴可得，，，
∴数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是，
故选：A．
37．已知四个有理数在数轴上的对应点，，，的位置如图所示，则这四个点表示的数中，绝对值最大的是（ ）
A．点表示的数 B．点表示的数
C．点表示的数 D．点表示的数
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义结合实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置，即可求出结果，熟练掌握绝对值最大的数就是到原点距离最大的数是解题的关键．
【详解】解：根据数轴可得离原点最远的点是点，
∴这四个点表示的数中，绝对值最大的是点表示的数，
故选：A．
38．对于整式：，在每个式子前添加“+”或“﹣”号；先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为M．例如，若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数＝ ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了绝对值的性质和意义，
根据各个代数式中x的系数，通过添加“+”或“﹣”号，使合并后x项的系数为0，即可解答．
【详解】解：因为操作后化简的结果是常数，即x的系数为0，
则|或.
故答案为：4．
39． 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______；
(2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______；
(3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____．
【答案】(1)8
(2)5或
(3)6，2025
【分析】本题主要考查的是绝对值的定义的应用，数轴上两点之间的距离，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的关键．
（1）根据两点间的距离公式求解可得；
（2）根据绝对值的定义可得；
（3）由的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；由表示数轴到表示3与表示的点距离之和，根据两点之间线段最短可得．
【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是；
（2）解：若，那么的值为5或；
（3）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，
，其中整数有，，0，1，2，3，共6个；
表示数轴到表示3与表示的点距离之和，
由两点之间线段最短可知：
当时，有最小值，最小值为．
40．如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数．
(1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______；
(2)若，则______；
(3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______；
(4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)6或2
(3)8，
(4)
【分析】本题考查了数轴、两点之间的距离公式和中点公式、列代数式、绝对值的定义，理解绝对值的几何意义是解本题的关键．
（1）根据两点之间的距离公式和中点公式，计算即可；
（2）根据绝对值的性质，列出方程即可求解；
（3）根据绝对值的几何意义，结合图形，即可解答；
（4）把问题转化为式子，当最小时，代数式的值最大，根据绝对值的几何意义分析，得出当x在与3之间时，有最小值8，然后把的最小值8代入代数式，计算即可得出代数式的最大值．
【详解】（1）∵数轴上有两个点，分别表示有理数，
∴数轴上点到点的距离为；
∴数轴上到点的距离相等的点的位置表示的有理数为；
故答案为：；
（2）根据题意，
，
解得：或
故答案为：6或2
（3）∵表示数轴上x到3两点之间的距离，表示数轴上x到两点之间的距离，
由图可知，
当或时，，
当时，
∴式子的最小值为8，此时x的取值范围为；
故答案为：8，
（4），
当式子的最小值为8时，有最大值；
此时
的最大值为
【拓展训练一 绝对值有关的多结论问题】
41．下列说法错误的是（　　）
A．最大的负整数是
B．数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大
C．绝对值等于本身的数只有0
D．相反数等于本身的数只有0
【答案】C
【分析】本题考查有理数问题，根据有理数的有关概念和倒数、相反数、绝对值解答即可．
【详解】解：A、最大的负整数是，说法正确，故选项A不符合题意；
B、数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大，说法正确，故选项B不符合题意；
C、绝对值等于本身的数为非负数，说法错误，故选项C符合题意；
D、相反数等于本身的数只有0，说法正确，故选项D不符合题意；
故选：C．
42．已知数在数轴上的位置如图，下列说法：
①；②；③；④．
其中正确结论序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查数轴，有理数的大小比较法则，绝对值等知识，解题的关键是判断出出数轴上数的大小关系和数的绝对值的大小关系．
首先判断出，，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质、有理数加减运算法则和乘法法则，逐一判断即可．
【详解】解：由题意得：，，
①∵，，
∴，故①正确；
②∵，，
∴，故②错误；
③，故③正确；
④∵，，
∴，
∴，故④正确；
∴其中正确结论序号是①③④，
故选：C．
43．下列说法中，正确的是（ ）
A．绝对值较大的数较大 B．绝对值较大的数较小
C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．绝对值相等的两个数一定相等
【答案】C
【分析】本题考查绝对值的定义，根据绝对值的定义，即绝对值相等的两个数互为相反数；两个负数绝对值大的反而小，解答即可．
【详解】解：A、错误，两个负数绝对值大的反而小；
B、错误，两个正数绝对值大的数较大；
C、正确；
D、错误，绝对值相等的两个数有可能互为相反数．
故选：C．
44．下列说法：
①一个数的绝对值越大，表示它在数轴上的点离原点越远；②若 ，则 ；
③互为相反数的两个数的绝对值相等；④当时， 总是大于0．
其中正确的是 （填序号）．
【答案】①②③④
【分析】本题考查绝对值的意义和相反数的定义．
根据绝对值的意义及相反数的定义依次判断即可．
【详解】解：①一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，正确；
②若 ，则，正确；
③互为相反数的两个数的绝对值相等，正确；
④当时， 总是大于0，正确；
故答案为：①②③④
45．下列说法中正确的序号有 ．
①有理数的绝对值一定是正数；
②任何一个数都有它的相反数；
③若，则a与b互为相反数；
④绝对值等于本身的数是0；
⑤互为相反数的两个数，必然一个是正数，一个是负数；
【答案】②
【分析】本题考查了相反数和绝对值．分别根据相反数的定义及绝对值的性质进行解答即可求解．
【详解】解：有理数的绝对值是正数或，故说法①错误；
任何一个数都有它的相反数，说法②正确；
若，则与互为相反数或相等，故说法③错误；
绝对值等于本身的数是或正数，故说法④错误；
互为相反数的两个数，可能都是，故说法⑤错误；
综上，说法正确的只有②，
故答案为：②．
【拓展训练二 绝对值的化简综合】
46．如果有理数、、满足，那么 ．
【答案】
【分析】此题考查绝对值，解题关键在于得出，，中必有两正一负．根据可以看出，，中必有两正一负，从而确定，进而可出求的值．
【详解】解：根据绝对值的意义：一个非零数的绝对值除以这个数，等于或．
，
其中必有两个和一个，即，，中必有两正一负．
，
则，
故答案为：．
47．下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）．
【答案】②
【分析】此题主要考查了有理数的运算，非负数的性质和绝对值的意义，理解绝对值的意义，非负数的性质，熟练掌握有理数的运算是解决问题的关键．
根据为有理数得，由此可对该结论进行判断；
根据非负数的性质得，，则，由此可对该结论进行判断；
根据得，当时，，当时，没有意义，由此可对该结论进行判断；
根据得：（Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负，则，(Ⅱ)当、、都是负数时，则，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①∵为有理数，
∴，
故结论①不正确；
②∵，，，
∴，，
∴，
故结论②正确；
③∵，
∴，
∴当时，，当时，没有意义，
故结论③不正确；
④∵，
∴有以下两种情况，
（Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负，
∴，，，
∴；
(Ⅱ)当、、都是负数时，则，，，
∴，
故结论④不正确；
故答案为：②；
48．已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则 ， ， ， ，化简
【答案】
【分析】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值等知识点，熟练掌握根据点在数轴的位置判断式子的正负是解题的关键．
根据数轴上各点的位置可得，，据此即可判定式子的符号，然后结合绝对值的性质化简即可．
【详解】解：根据数轴上有理数、、的位置可得：
，，
∴，，，，
∴，，，，
∴，
故答案为：，，，，．
49．阅读下列材料：，即当时，．应用这个结论解决下面问题：
(1)已知a，b是有理数，
①当，时，则______；
②当，时，则______；
③当，时，则______．
(2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值．
【答案】(1)①2；②0；③
(2)或1
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的加减，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
（1）利用绝对值的意义解答即可；
（2）通过分析确定出a，b，c的符号，三个全为负或其中一个为负，再利用绝对值的意义化简运算即可．
【详解】（1）解：①∵时，
∴，，
∴
，
故答案为：2；
②当时，
∴，，
∴
，
故答案为：0；
③当，时，
∴，，
∴
，
故答案为：；
（2）解：当时，都小于0，或中一个小于0，另外两个都大于0，
即分两种情况讨论：
①当，，时，
，
②当中一个小于0，另外两个都大于0时，不妨设，
，
综上所述：或1．
50．已知，，且为负数，且求a， b，c的值．
【答案】，，
【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据绝对值的性质求解即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵为负数，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
【拓展训练三 绝对值方程压轴】
51．使成立的条件是（ ）．
A．为任意数 B． C． D．
【答案】D
【分析】分，，三种情况，结合绝对值的意义化简绝对值，看等号是否恒成立，从而得出答案．
本题主要考查了含绝对值符号的等式．解决问题的关键是熟练掌握绝对值的化简，分类讨论．
【详解】当时，
，，
等式化为：，
成立；
当时，
，，
等式化为：，
解得：，
不符合题意；
当时，
，，
等式化为：，
矛盾．
故使成立的条件是：．
故选：D．
52．若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了含有绝对值的一元一次方程，把含有绝对值的方程化成一般形式的一元一次方程是解题关键．先根据绝对值的非负性判断的取值范围，然后根据绝对值的性质把含有绝对值的方程化成一元一次方程的形式，解方程求出，再根据方程解的情况判断的取值，从而求出方程的解，再求出它们的和即可．
【详解】解：根据题意，，
或或或，
方程有3个解，即有两个相等，
显然，不成立，
若，则，此时方程有两个解，不成立；
若，则，因为，不成立；
若，则，此时方程有三个解，分别为2，18，；
该方程三个解的和为：，
故答案为：6．
53．已知x，y均为整数，且|x﹣y|+|x﹣3|＝1，则x+y的值为 ．
【答案】5或7或8或4
【分析】由绝对值的非负性质可知|x﹣y|和|x﹣3|这两个非负整数一个为1，一个为0，即，或，，然后解绝对值方程组即可，．
【详解】解：因为，均为整数，，
可得：，或，，
∴当，，可得：，，则；
当，，可得：，，则；
当，，可得：，，则；
当，，可得：，，则，
故答案为5或7或8或4．
【点睛】本题考查了绝对值性质，由非负整数和为1得出加数分别为1和0，然后分类讨论解含绝对值的方程是关键．
54．若，则= .
【答案】-4或3
【分析】根据绝对值的几何意义，可知|x-2|是数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，|x+3|是数轴上表示数x的点与表示数-3的点之间的距离，而2与-3之间的距离为5，由|x-2|+|x+3|=7，可以判断x表示的数在表示数2的点的右边，或在表示数-3的点的左边，然后根据两点间的距离公式计算即可.
【详解】∵|x-2|+|x+3|=7，
根据绝对值的几何意义，可知数x，表示数x的点与表示数2的点之间的距离与表示数-3的点之间的距离之和为7，而2与-3之间的距离为5，
∴表示数x的点的位置有两个：①在表示数2的点的右边，即x＞2；②在表示数-3的点的左边，即x＜-3．
①当x＞2时，
|x-2|+|x+3|=7，
x-2+x+3=7
2x=6
x=3，
②当x＜-3时，
|x-2|+|x+3|=7，
2-x-x-3=7，
-2x=8，
x=-4．
故答案为3或-4.
【点睛】此题考查了本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值，绝对值是正数的数有2个．
55．阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况：
（1）当时，原式；
（2）当时，原式；
（3）当时，原式．
综上讨论，原式．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)分别求出和的零点值；
(2)化简代数式；
(3)解方程．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查绝对值及一元一次方程，理解零点及化简带绝对值的代数式的方法是解答本题的关键．
（1）阅读材料，根据零点值的求法，即绝对值里面的代数式等于，即可解答；
（2）根据阅读材料中，化简绝对值的代数式的方法，根据的取值范围，分为三种情况，根据绝对值的性质解答即可；
（3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可．
【详解】（1）解：分别令和，分别求得和，
所以和的零点值分别为和；
（2）解：当时，原式；
当时，原式；
当时，原式；
综上讨论，原式；
（3）解：当时，，解得；
当时，，解得，
所以原方程的解为或．
【拓展训练四 绝对值的几何意义综合】
56．已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（　　）
A．﹣6 B．2 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根据绝对值的代数意义对进行化简，或，解得或有两个解，分两种情况再对进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，和，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和．
【详解】，
或，
或，
当时，等价于，即，
或，
或；
当时，等价于，即，
或，
或，
故或或或，
所有满足条件的数的和为：．
故答案为：D
【点睛】本题主要考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，解题的关键在于经过两次分类讨论，的值共有4种可能，不能重复也不能遗漏．
57．若、、均为整数，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可．
此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键．
【详解】解：，，均为整数，且，
，或，，
①当，时，，，
；
②当，时，，
；
综上，的值为2．
故选：B．
58．在学习绝对值后，我们知道，在数轴上分别表示有理数、的、两点之间的距离等于．现请根据绝对值的意义并结合数轴解答以下问题：满足的的值为 ．
【答案】3或
【分析】根据两点间的距离公式，对x的值进行分类讨论，然后求出x，即可解答；
【详解】解：根据题意，表示数轴上x与1的距离与x与的距离之和，
当时，，
解得：；
当时，，
此方程无解，舍去；
当时，，
解得：；
∴满足的的值为：3或.
故答案为：3或.
【点睛】本题考查了两点之间的距离，以及绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义，正确的把绝对值进行化简.注意利用分类讨论的思想解题.
59．已知数轴上点在原点左侧，到原点距离为个单位长度，点在点的右侧，点与点的距离为个单位长度，点表示的数与点表示的数互为相反数．动点从出发，以每秒个单位的速度向右运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为秒，当点到达点，点点的运动都停止．
(1)点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______；
(2)用含的代数式表示点到点和点的距离：______，______；
(3)经过多长时间、两点间的距离为个单位长度？
【答案】(1)，，；
(2)，；
(3)秒，秒．
【分析】本题考查了数轴上的动点问题．解决本题的关键是根据点运动的方向和距离用含的代数式表示出点在数轴上的位置．
根据点、、在数轴上的位置关系分别写出点、、表示的数即可；
根据点运动的方向和速度用含的代数式表示出点，根据数轴上两点之间的距离写出表示、的代数式；
把点、表示的数用含的代数式表示出来，根据两点之间的距离为个单位长度，列出关于的方程，解方程即可求出运动的时间．
【详解】（1）解：点在原点左侧，到原点距离为个单位长度，
点表示的数为，
点在点的右侧，点与点的距离为个单位长度，
点表示的数为，
点表示的数与点表示的数互为相反数，
点表示的数为，
故答案为：，，；
（2）解：动点从出发，以每秒个单位的速度向右运动，运动的时间为秒，
点表示的数为，
，，
故答案为：，；
（3）解：点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，
点表示的数为，
又点表示的数为，
当、两点间的距离为个单位长度时，
可得：，
整理得：，
，
解得：秒或秒．
60．【知识准备】
若数轴上点对应的数为x，点对应的数为y，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．
(1)在一条数轴上，O为原点，点对应的数为5，点对应的数为，则的中点所对应的数为______；
【问题探究】
(2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？
【拓展延伸】
(3)若数轴上点对应的数为x，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：．
在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，是否存在使为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)17
(3)当时，，理由见解析
【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键．
（1）根据中点公式进行求解即可；
（2）首先依题意求出点P和点Q所表示的数，然后根据的中点公式得，由此解出t即可；
（3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，然后表示出，再根据绝对值的意义即可得出答案．
【详解】（1）解：∵点对应的数为5，点对应的数为，
∴的中点所对应的数为，
故答案为：．
（2）解：由题意得，点表示的数为：，点表示的数为：，
∴，
解得，
∴为17时，的中点所对应的数为10．
（3）解：存在，当时，，理由如下：
根据题意，五等分点公式为：，点表示的数为，点表示的数为，
∴，，
∴，
∴表示数到数10和之间的距离之和，
∴当时，．
【拓展训练五 利用绝对值求最值】
61．一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，根据绝对值的意义解答①，由得式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和，可知，当在的位置时，距离之和最小，据此即可解答②，运用数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∵，
∴式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和，
可知，当在的位置时，距离之和最小，最小值为，
故答案为：或，．
62．我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如与的距离可表示为，与的距离可表示为．
（）的最小值为 ；
（）的最小值为 ．
【答案】
【分析】（）由得式子表示到的距离与到的距离之和，可知当在和之间时，距离之和最小，利用两点间距离公式计算即可求解；
（）由得式子表示到的距离的倍与到、的距离之和，可知 当在的位置时，距离之和可以取最小值，据此即可求解；
本题考查了数轴上两点间距离，运用数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】解：（）∵，
∴式子表示到的距离与到的距离之和，
可知当在和之间时，距离之和最小，最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：；
（）∵，
∴式子表示到的距离的倍与到、的距离之和，
如图，
可知 当在的位置时，距离之和可以取最小值，最小值为，
即的最小值为，
故答案为：．
63．当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ；
当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义，利用分类思想，分情况讨论即可．
【详解】解：当时，
，则时，有最大值；
当时，
为定值；
当时，
为定值；
故当时，有最大值，且最大值为2；
当时，
，则时，有最小值；
当时，
；
当时，
；
故当时，取有最小值，且最小值为；
故答案为：，；，．
64．先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】：
(1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________．
(2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________；
(3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________．
(4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________．
(5)拓展：的最小值是：________．
【答案】(1)，或；
(2)，；
(3)；
(4)；
(5)．
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论．
（1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出；
（2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离；
（3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可；
（4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值；
（5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可．
【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是；
表示数和的两点之间的距离是，
，
整理得：，
解得：或；
故答案为：；或；
（2）解：，
，
解得：或，
，
，
解得：或，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
、两点间的最大距离是，最小距离是；
（3）解：如下图所示，
，
表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离，
表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离，
表示到点和的距离之和等于的点，
从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间，
这些点表示的数有、、、、、、、，
这些点表示的数的和是，
故答案为：；
（4）解：当时，
，
，
，
；
当时，
，
当时，
，
，
，
，
距离和的最小值是：；
（5）解：由可知当时，有最小值，
，
故答案为：．
65．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）．
(1)求________；若，则________；
(2)的最小值是________；当________时的最小值是________；
(3)若，求的最大值和的最大值．
【答案】(1)，或；
(2)，，；
(3)的最大值为，的最大值为．
【分析】（）根据有理数的减法法则，把减法化成加法进行计算，然后求出绝对值，最后根据绝对值的性质，列出关于的方程，解方程即可；
（）利用绝对值的几何意义和两点间的距离公式，第一、第二问各分三种情况讨论，求出最小值即可；
（）先分，，，四种情况讨论，求出的最小值，再分，，，，五种情况讨论，求出的最小值, 从而求出，的取值范围，然后求出答案即可；
本题主要考查了数轴，绝对值的意义，化简绝对值，解题关键是熟练掌握知识点的应用，分类讨论思想．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
解得:或，
故答案为：，或；
（2）解：可以看作表示的点到和的距离之和，
∴当点在与之间的线段上，即时，，
∴有最小值，最小值为：，
可以看作表示的点到的距离与到的距离以及到的距离之和，
当时，；
当时，；
当时，；
∴当时，的最小值为，
故答案为：，，；
（3）解：当时，
；
当时，
，
∴，
当时，
，
∴，
当时，
，
∴，
∴当时，有最小值，为；
当时，
∴，
当时，
∴，
当时，
；
当时，
，
∴，
当时，
，
∴，
∴当时，有最小值为，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴的最大值为，的最大值为．
1．下列关于表述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的几何意义即可得解，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键．
【详解】解：根据绝对值的意义可得，
故选：B．
2．中考所用的排球重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值的实际意义，比较各数绝对值的大小即可判断求解，掌握绝对值的意义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴最接近标准质量的是，
故选：．
3．若，则a的值是（ ）
A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数
【答案】C
【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当时，当时，当时，结合绝对值性质讨论求解，即可解题．
【详解】解：当时，，，此时；
当时，，，此时；
当时，，，此时；
所以当，则a的值是任意一个非正数；
故选：C．
22．已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了数轴上的数从左到右越来越大，绝对值的化简和去括号，根据相关知识点一一计算，得到正确答案，解题的关键是要正确的去掉绝对值；
【详解】解：由数轴可知：
∴；
∴原式，
，
．
故选：D．
23．若，则的值不可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了化简绝对值，分别讨论中正数和负数的个数，再去绝对值计算，判断的符号是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴若都为正数，则，
则，
若中个为正，个为负，不妨设，则，
则，
若中个为正，个为负，不妨设，则，
则，
若都为负数，则，
则，
∴的值可能是或或，
故选：．
24．在数轴上，点在原点O的两侧，分别表示数，将点A向左平移2个单位长度，得到点C，若，则m的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查了数轴和绝对值方程的解法，用含m的式子表示出点C是解决本题的关键．先用含m的式子表示出点C，根据，列出方程，求解即可．
【详解】解：∵点在原点O的两侧，分别表示数，将点A向左平移2个单位长度，得到点，
∴点在原点左侧，点在原点右侧，点表示的数是，
∵，
∴，
解得：，，
∵点在原点左侧，
∴，
故选：A．
25．在直线上表示、、、时，离0最近的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数大小比较，根据绝对值的定义解答即可．
【详解】解：∵，
∴在直线上表示、、、时，离0最近的数是．
故答案为：．
26．写出一个负数，使这个数的绝对值大于3： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了绝对值的含义和运用，首先根据一个负数的绝对值大于3，可得这个负数小于，据此求解即可．
【详解】解：满足绝对值大于3的负数可以是，
故答案为：（答案不唯一）
27．如果a是不等于零的有理数，那么化简的结果是 ．
【答案】0或1
【分析】本题考查了绝对值的化简．分和两种情形计算即可．
【详解】解：当时，；
当时，；
故答案为：0或1．
28．数在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是 .
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值．
先根据数轴上点的位置判断出，再化简绝对值即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，，
∴，，
∴，
故答案为：．
29．可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．则：
与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离可以表示为
【答案】
【分析】本题考查绝对值几何意义的应用，根据绝对值的意义求解即可．
【详解】与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离可以表示为．
故答案为：．
30．若且，则值为 ．
【答案】1或
【分析】本题考查绝对值的意义、有理数的加法和除法，应用“分类讨论”的数学思想是关键．根据且可知a，b，c为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论代数式的可能的取值，再求所有可能的值即可．
【详解】由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正．
当a，b，c为两正一负时，
当a，b，c为两负一正时，，
故答案为：1或
31．同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查数轴和绝对值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义．根据绝对值的几何意义求解；
【详解】，
由表示的含义可得：
当时，有最小值，最小值为，
，
当时，的最小值为，
当时，有最小值为，
故答案为：；
32．化简下列各数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了相反数及绝对值，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上号，求解即可．
（1）直接利用相反数的定义，进行化简进而分别化简答案；
（2）直接利用相反数的定义，进行化简进而分别化简答案；
（3）直接利用相反数的定义，进行化简进而分别化简答案；
（4）直接绝对值的性质，进行化简进而分别化简答案；
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：
33．分别求下列各数相反数和绝对值：
，，，0．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了相反数和绝对值，关键是掌握正有理数的绝对值是它本身；负有理数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．利用相反数概念和绝对值的性质可得答案．
【详解】解：的相反数是5，绝对值是5；
的相反数2，绝对值是2；
的相反数是，绝对值是2：
0的相反数是0，绝对值是0．
34．牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下：
序号 1 2 3 4 5 6
质量（克）
(1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）；
(2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？
【答案】(1)4
(2)3袋
【分析】本题主要考查了正数，负数，绝对值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据绝对值越小越接近标准，可得答案；
（2）将表格中的数据与误差标准进行比较即可．
【详解】（1）解：∵，，，，，，
，
∴最接近标准重量的是；
（2）解：∵，，，，，，
，，
∴有袋不合格产品．
35．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“”“”“”填）；
(2)根据数轴化简：______；______；______；
(3)若，，求a，c的值．
【答案】(1)；；
(2)；；
(3)
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，绝对值，正确读懂数轴是解题的关键．
（1）在原点左边的数小于0，原点右边的数大于0，据此可得答案；
（2）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案；
（3）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案．
【详解】（1）解：由数轴可知；
（2）解：∵，
∴，；；
（3）解：∵，，，
∴．
36． 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______；
(2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______；
(3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____．
【答案】(1)8
(2)5或
(3)6，2025
【分析】本题主要考查的是绝对值的定义的应用，数轴上两点之间的距离，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的关键．
（1）根据两点间的距离公式求解可得；
（2）根据绝对值的定义可得；
（3）由的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；由表示数轴到表示3与表示的点距离之和，根据两点之间线段最短可得．
【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是；
（2）解：若，那么的值为5或；
（3）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，
，其中整数有，，0，1，2，3，共6个；
表示数轴到表示3与表示的点距离之和，
由两点之间线段最短可知：
当时，有最小值，最小值为．/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
浙教版2025年秋季七年级上册讲练测
专题03 绝对值
知识点1：绝对值
1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．
2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．
3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么．
可整理为：，或，或
4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：
【易混易错】
1）若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0.
2）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意实数，都有|a|≥0.
3）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论.
【即时训练】
1．检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球更接近标准（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．2025的绝对值是 B．2025的相反数是
C．2025的倒数是 D．2025的相反数的绝对值是
3．已知实数a，b满足则 ．
4．绝对值大于3且小于5的所有整数的和是 ．
5．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示：
(1)判断正负，用“”或“”填空： 0； 0．
(2)化简：
6．如图，数轴上两点、对应的数分别是、，其中、满足，
(1)求、的值，并在数轴上标出、两点；
(2)数轴上有一动点，当时，请直接写出点对应的数的值．
【题型1 求一个数的绝对值】
1．的值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．实数的绝对值是，则实数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，那么的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．2025
4．计算： ．
5．若a与3互为相反数，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
【题型2 绝对值的非负性】
6．，则a和b各为（ ）
A．， B．1，3 C．1， D．，3
7．若，则（ ）
A．2 B．7 C．8 D．5
8．如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则，，的值分别是 ．
10．已知，，且，求、的值．
【题型3 带有字母的绝对值化简问题】
11．设有理数a，b在数轴上的位置如图，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．b
12．已知数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
13．若定义：，例如，则 ．
14．下列说法：①，则；②数轴上到某点距离相等的两个点对应的数相等；③，则；④，则．正确的有 （填序号）．
15．已知为实数，且它们在数轴上对应的点的位置如下图所示．
(1)______，______，______；（填“”，“”或“”）
(2)化简：．
【题型4 绝对值方程】
16．若为有理数且，则的取值是（ ）
A．5 B． C．或3 D．
17．若x为实数，，则x的绝对值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
18．如果，则 ．
19．数轴上表示整数的点称为整点．数轴上点M表示的数为a，点N表示的数为，其中a为负整数，如果在线段上有201个整点（包括M和N点），则代数式的最小值为 ．
20．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．
例如：解方程，
解：当时，方程可化为：，解得，符合题意；
当时，方程可化为：，解得，符合题意．
所以，原方程的解为或．
请根据上述解法，完成以下问题：
解方程：；
【题型5 绝对值的应用】
21．现有四个标号为1，2，3，4的乒乓球，它们的重量与标准重量的差分别是，，最接近标准重量的乒乓球标号是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．质检员抽查某种零件的质量，超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，检查结果如下：第一个为0.1毫米，第二个为毫米，第三个为毫米，第四个为0.4毫米，则质量最差的零件是（ ）
A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个
23．党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为 ．
编 号
体重情况
24．阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为．
理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ；
（3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ．
应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少．
25．某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果
记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）：
1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件：
根据信息回答问题：
(1)你认为几号零件的大小最符合标准？
(2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论．
【题型6 绝对值与数轴结合】
26．如图，数轴上两点、对应的数分别是、，其中、满足，
(1)求、的值，并在数轴上标出、两点；
(2)数轴上有一动点，当时，请直接写出点对应的数的值．
27．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示．
(1)用“> ”或“< ”填空：a 0 ，b 0 ，c 0；
(2)在数轴上标出a，b，c相反数的位置；
(3)若，求a，b，c的值．
28．数轴上距离1这个数两个单位的点可以表示为，则x的值为（　　）
A． B．0 C．3 D．或3
29．已知整数同时满足下列两个条件：在数轴上位于原点左侧；绝对值大于且小于．写出一个符合条件的的值： ．
30．已知表示与的差的绝对值，实际上可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，的最小值为 ．
【题型7 绝对值的意义】
31．若成立，那么x的取值范围是 ．
32．的最小值是(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
33．已知数满足，则不可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
34．若，是最大的负整数，且，则 ．
35．已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是，，．
(1)求线段的中点D所表示的数．
(2)求线段（O为原点）的长．
(3)若，求x的值．
【题型8 绝对值的几何意义】
36．如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（ ）
A．P B．Q C．M D．N
37．已知四个有理数在数轴上的对应点，，，的位置如图所示，则这四个点表示的数中，绝对值最大的是（ ）
A．点表示的数 B．点表示的数
C．点表示的数 D．点表示的数
38．对于整式：，在每个式子前添加“+”或“﹣”号；先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为M．例如，若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数＝ ．
39． 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______；
(2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______；
(3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____．
40．如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数．
(1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______；
(2)若，则______；
(3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______；
(4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由．
【拓展训练一 绝对值有关的多结论问题】
41．下列说法错误的是（　　）
A．最大的负整数是
B．数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大
C．绝对值等于本身的数只有0
D．相反数等于本身的数只有0
42．已知数在数轴上的位置如图，下列说法：
①；②；③；④．
其中正确结论序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④
43．下列说法中，正确的是（ ）
A．绝对值较大的数较大 B．绝对值较大的数较小
C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．绝对值相等的两个数一定相等
44．下列说法：
①一个数的绝对值越大，表示它在数轴上的点离原点越远；②若 ，则 ；
③互为相反数的两个数的绝对值相等；④当时， 总是大于0．
其中正确的是 （填序号）．
45．下列说法中正确的序号有 ．
①有理数的绝对值一定是正数；
②任何一个数都有它的相反数；
③若，则a与b互为相反数；
④绝对值等于本身的数是0；
⑤互为相反数的两个数，必然一个是正数，一个是负数；
【拓展训练二 绝对值的化简综合】
46．如果有理数、、满足，那么 ．
47．下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）．
48．已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则 ， ， ， ，化简
49．阅读下列材料：，即当时，．应用这个结论解决下面问题：
(1)已知a，b是有理数，
①当，时，则______；
②当，时，则______；
③当，时，则______．
(2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值．
50．已知，，且为负数，且求a， b，c的值．
【拓展训练三 绝对值方程压轴】
51．使成立的条件是（ ）．
A．为任意数 B． C． D．
52．若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ．
53．已知x，y均为整数，且|x﹣y|+|x﹣3|＝1，则x+y的值为 ．
54．若，则= .
55．阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况：
（1）当时，原式；
（2）当时，原式；
（3）当时，原式．
综上讨论，原式．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)分别求出和的零点值；
(2)化简代数式；
(3)解方程．
【拓展训练四 绝对值的几何意义综合】
56．已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（　　）
A．﹣6 B．2 C．8 D．9
57．若、、均为整数，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
58．在学习绝对值后，我们知道，在数轴上分别表示有理数、的、两点之间的距离等于．现请根据绝对值的意义并结合数轴解答以下问题：满足的的值为 ．
59．已知数轴上点在原点左侧，到原点距离为个单位长度，点在点的右侧，点与点的距离为个单位长度，点表示的数与点表示的数互为相反数．动点从出发，以每秒个单位的速度向右运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为秒，当点到达点，点点的运动都停止．
(1)点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______；
(2)用含的代数式表示点到点和点的距离：______，______；
(3)经过多长时间、两点间的距离为个单位长度？
60．【知识准备】
若数轴上点对应的数为x，点对应的数为y，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．
(1)在一条数轴上，O为原点，点对应的数为5，点对应的数为，则的中点所对应的数为______；
【问题探究】
(2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？
【拓展延伸】
(3)若数轴上点对应的数为x，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：．
在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，是否存在使为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由．
【拓展训练五 利用绝对值求最值】
61．一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ．
62．我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如与的距离可表示为，与的距离可表示为．
（）的最小值为 ；
（）的最小值为 ．
63．当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ；
当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ．
64．先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】：
(1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________．
(2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________；
(3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________．
(4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________．
(5)拓展：的最小值是：________．
65．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）．
(1)求________；若，则________；
(2)的最小值是________；当________时的最小值是________；
(3)若，求的最大值和的最大值．
1．下列关于表述正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．中考所用的排球重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则a的值是（ ）
A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数
4．已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则的值不可能是（　　）
A． B． C． D．
6．在数轴上，点在原点O的两侧，分别表示数，将点A向左平移2个单位长度，得到点C，若，则m的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
7．在直线上表示、、、时，离0最近的数是 ．
8．写出一个负数，使这个数的绝对值大于3： ．
9．如果a是不等于零的有理数，那么化简的结果是 ．
10．数在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是 .
11．可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．则：
与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离可以表示为
12．若且，则值为 ．
13．同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ．
14．化简下列各数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
15．分别求下列各数相反数和绝对值：
，，，0．
16．牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下：
序号 1 2 3 4 5 6
质量（克）
(1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）；
(2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？
17．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“”“”“”填）；
(2)根据数轴化简：______；______；______；
(3)若，，求a，c的值．
18． 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______；
(2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______；
(3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____．

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