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江苏省2024—2025学年高二下学期期末迎考卷
数　　学
注意事项：
1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2. 答题前，考生务必将班级、姓名、学号填写在密封线内．
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知全集U＝R，集合A，B满足A (A∩B)，则下列关系一定正确的是 (　　)
　A. A＝B　　 B. B A C. A∩( UB)＝ D. ( UA)∩B＝
2. “a>>0”是“ln a2>ln b”的 (　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 随着“一带一路”经贸合作持续深化，某地对外贸易近几年持续繁荣，2025年5月1日，该地很多商场都在搞“五一”促销活动．市物价局派人对某商品同一天的销售量及其促销成本进行调查，得到该商品的促销成本x(单位：百元)和销售量y(单位：百件)之间的一组数据：
x 20 25 30 35 40
y 5 7 8 9 11
用最小二乘法求得y与x之间的经验回归方程是＝0.28x＋，当售价为45百元时，预测该商品的销售量(单位：百件)大约为 (　　)
A. 11.2 B. 11.75 C. 12 D. 12.2
4. 溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．若胃酸中氢离子的浓度是2.7×10-2摩尔/升，则胃酸的pH为 (　　)
A. 3－2lg 3　　 B. 3＋2lg 3　　　 C. 3－3lg 3　　 D. 3＋3lg 3
5. 某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高ξ(单位：cm)近似服从正态分布N(100，102).已知X～N(μ，σ2)时，有P(|X－μ|≤σ)≈0.682 7，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5，P(|X－μ|≤3σ)≈0.997 3，则下列说法正确的是 (　　)
A. 该地小麦的平均株高约为10 cm
B. 该地小麦株高的方差约为10
C. 该地株高超过110 cm的小麦约占68.27%
D. 该地株高低于130 cm的小麦约占99.87%
6. 设函数f(x)在x0附近有定义，且f(x0)－f(x0－Δx)＝a(Δx)3＋b(Δx)2＋cΔx，a，b，c为常数，则f′(x0)＝ (　　)
A. 0 B. a C. b D. c
7. 如图，在一个4×4的区域内(每个交叉点可视为一个通信节点位置)，有 16 个潜在的通信节点位置，为了建立一个稳定的通信网络，需要选择 3 个节点，且这 3 个节点不能在同一条直线上(否则会存在信号干扰或覆盖缺陷)，则不同的节点选择方案数量为 (　　)
A. 576 B. 528 C. 520 D. 516
(第7题)
8. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，函数g(x)＝(x－5)f(x)的图象关于点(5，0)中心对称，若g(－1)＝6，则f(9)＝ (　　)
A. －3 B. －1 C. 3 D. 5
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9. 在的展开式中， (　　)
A. 所有奇数项的二项式系数的和为128
B. 二项式系数最大的项为第5项
C. 有理项共有两项
D. 所有项的系数的和为38
10. 下列命题正确的是 (　　)
A. 若实数a，b满足a>b>0，则>
B. 若－5C. 若正实数x，y满足x＋y＝1，则＋的最大值为
D. 若正实数x，y满足x＋y＝1，则xx·yy≤
11. 已知函数f(x)＝x3－|3x2－3|，则 (　　)
A. f(x)只有2个极小值点
B. 曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线斜率为3
C. 当f(x)－m有3个零点时，m的取值范围为(－3，1)
D. 当f(x)－m只有1个零点时，m的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞)
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数f(x)＝则f(x)≥1的解集为________．
13. 某果园有单棵产量为95千克的“高产果树”3棵，有单棵产量为55千克的“低产果树”2棵，从这5棵果树中任意抽取2棵，则2棵果树的产量之和X的方差为________．
14. 一项工程在某阶段内的施工效率为k(d)＝，另一相关工程在阶段内完成的工作量为h(p)＝p2＋2ap－a2.若对任意的d1∈[1，3]，总存在p2∈[0，1]，使得k(d1)·h(p2)＝1成立，则实数a的取值范围为________．
四、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，创新研发是高质量发展的重要前提．某公司研发新产品的投入x(单位：百万元)与该产品的收益y(单位：百万元)的5组统计数据如下表所示，且经验回归方程为＝2.8x＋2.6.
x 5 6 8 9 12
y 16 20 25 28 m
(1) 求m的值；
(2) 若将图表中的点(8，25)去掉，判断样本相关系数r是否改变，并说明你的理由．
16. (15分)随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活．现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”．某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
(1) 试根据α＝0.05的χ2独立性检验，分析M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄是否有关；
(2) M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜，如果周一选择A平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为，如果周一选择B平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为，求小张周二选择B平台买菜的概率．
参考公式及数据：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17. (15分)已知f(x)＝－1.
(1) 讨论f(x)的单调性；
(2) 若方程(ln x＋m)[f(x)＋1]＝ex有两个不同的实数解x1，x2(x118. (17分)某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以3∶2取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为p(0(1) 若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？
(2) 在第6场比赛中，当p＝时，设甲所得积分为X，求X的分布列及期望；
(3) 在第6场比赛中，记甲3∶1取胜的概率为f(p)，求f(p)的最大值．
19. (17分)已知函数y＝f(x)，若其定义域为(0，＋∞)，且满足f′(x)－f(x)＋>0对一切x∈(0，＋∞)恒成立，则称f(x)为一个“反比函数”．
(1) 设g(x)＝x3－1(x>0)，判断y＝g(x)是否为“反比函数”，并说明理由；
(2) 若a<1－，求证：函数y＝ax－3－ln x－是“反比函数”；
(3) 已知“反比函数”y＝f(x)满足对任意的x1，x2>0，都有f(x1＋x2)≤f(x1)f(x2)，且f(1)＝2，求证：对任意的a≤1，关于x的方程f(x)＝a无解．江苏省2024—2025学年高二下学期期末迎考卷
数学参考答案与评分标准
1. C　解析：因为集合A，B满足A (A∩B)，所以A B，所以A∩( UB)＝ .
2. A　解析：由a>>0，可得a2>b>0，所以ln a2>ln b，故充分性成立；由ln a2>ln b，可得a2>b>0，可取a＝－2，b＝1，但是a>>0不成立，故必要性不成立．综上，“a>>0”是“ln a2>ln b”的充分不必要条件．
3. D　解析：因为＝×(20＋25＋30＋35＋40)＝30，＝×(5＋7＋8＋9＋11)＝8，所以回归直线＝0.28x＋过点(30，8)，故8＝0.28×30＋，解得＝－0.4，所以＝0.28x－0.4.将x＝45代入＝0.28x－0.4中，得＝0.28×45－0.4＝12.2，即当促销成本为45百元时，预测该商品的销售量大约为12.2百件．
4. C　解析：由题意得，胃酸的pH＝－lg (2.7×10-2)＝－(lg 2.7＋lg 10-2)＝2－lg 2.7＝2－lg 27＋lg 10＝2－3lg 3＋1＝3－3lg 3.
5. D　解析：由题意可知，μ＝100，σ2＝100，故A，B错误．由题意得μ＋σ＝110，μ＋3σ＝130，所以P(X>μ＋σ)＝[1－P(|X－μ|≤σ)]≈×0.317 3≈15.87%，故C错误．P(X<130)＝P(X<μ＋3σ)＝1－[1－P(|X－μ|<3σ)]≈1－0.001 35≈99.87%，故D正确．
6. D　解析：f′(x0)＝ ＝ ＝[a(Δx)2－bΔx＋c]＝c.
7. D　解析：从16个节点中任选3个的方法数为C，去掉恰有4个节点在一条直线上的10种情形下的方法数10C，和恰有3个节点在同一直线上的4种情形下的方法数4C，即得所求方案数为C－10C－4C＝516.
8. B　解析：由函数g(x)＝(x－5)f(x)的图象关于点(5，0)中心对称可知，g(5－x)＝－g(5＋x)，即(5－x－5)f(5－x)＝－(5＋x－5)f(5＋x)，可得f(5－x)＝f(5＋x)，因此函数f(x)有对称轴x＝5.由g(－1)＝(－1－5)f(－1)＝6，可得f(－1)＝－1.由f(x)为R上的偶函数且有对称轴x＝5，可得f(9)＝f(1)＝f(－1)＝－1.
9. AB　解析：对于A，二项式系数和为28，则所有奇数项的二项式系数的和为＝128，故A正确．对于B，二项式系数最大为C，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确．对于C，Tk＋1＝C8-k(－)k＝(－1)k·28-kCxk-8(0≤k≤8，k∈N)，若Tk＋1为有理项，则k可取的值为0，3，6，所以有理项共有三项，故C错误．对于D，令x＝1，则所有项的系数和为8＝1，故D错误．
10. BC　解析：对于A，若a>b>0，则－＝<0，所以<，故A错误．对于B，因为－53＝，故此时xx·yy>，故D错误．
11. ACD　解析：因为f(x)＝x3－，所以当x≥1或x≤－1时，f(x)＝x3－3x2＋3，则f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，所以当x>2或x≤－1时，f′(x)>0，当1≤x<2时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，－1]，(2，＋∞)上单调递增，在[1，2)上单调递减．当－10，当－1(第11题)
12. {x|x≤0或x≥2} 　解析：当x≤0时，由f(x)≥1，得21-x－1≥1，所以21-x≥2，所以1－x≥1，解得x≤0；当x>0时，由f(x)≥1，得log2x≥1＝log22，解得x≥2.综上，不等式的解集为{x或x≥2}．
13. 576　解析：由题意可得，X的可能取值为190，150，110，且P(X＝190)＝＝，P(X＝150)＝＝，P(X＝110)＝＝，则E(X)＝190×＋150×＋110×＝158，所以方差D(X)＝322×＋(－8)2×＋(－48)2×＝576.
14. [－，1－]∪[2，1＋]　解析：当d∈[1，3]时，k(d)＝＝.记函数m(d)＝d＋－8，d∈[1，3]，易知函数m(d)在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，所以m(d)min＝m(2)＝－4，m(1)＝－3，m(3)＝－，所以m(d)max＝m(1)＝－3，所以k(d)min＝＝－，k(d)max＝＝－，即函数k(d)的值域为，故∈[－4，－3].设h(p)在p∈[0，1]上的值域为A，则[－4，－3] A.函数h(p)＝p2＋2ap－a2的对称轴为x＝－a，当－a≤0时，h(p)在[0，1]上单调递增，所以h(p)min＝h(0)＝－a2≤－4，h(p)max＝h(1)＝1＋2a－a2≥－3，解得a∈[2，1＋]；当0<－a<1时，h(p)min＝h(－a)＝－2a2≤－4不成立，舍去；当－a≥1时，h(p)在[0，1]上单调递减，所以h(p)max＝h(0)＝－a2≥－3，h(p)min＝h(1)＝1＋2a－a2≤－4，解得a∈[－，1－].综上，a的取值范围为[－，1－]∪[2，1＋].
15. 解答：(1) 由题意可知，＝×(5＋6＋8＋9＋12)＝8，＝×(16＋20＋25＋28＋m)＝， (2分)
所以样本中心为，将点代入＝2.8x＋2.6，可得＝2.8×8＋2.6，解得m＝36. (7分)
(2) 由(1)可得，样本中心为(8，25)，所以x3－＝0，y3－＝0， (10分)
由相关系数公式知，将此图表中的点(8，25)去掉后，样本相关系数r不变． (13分)
16. 解答：(1) 零假设为H0：M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关．根据列联表，得χ2＝＝>3.841， (5分)
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. (7分)
(2) 设Ai表示周i在A平台买菜，Bi表示周i在B平台买菜，i＝1，2.由题可得P(A1)＝P(B1)＝，P(B2|A1)＝，P(B2|B1)＝. (12分)
由全概率公式得小张周二选择B平台买菜的概率为
P(B2)＝P(A1)P(B2)＋P(B1)P(B2)＝×＋×＝. (15分)
17. 解答：(1) f(x)＝－1＝(x≠0)，
则f′(x)＝＝. (2分)
令h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，
令h′(x)>0，得x>0，令h′(x)<0，得x<0， (3分)
所以当x∈(－∞，0)时，h(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，
h(x)单调递增，所以h(x)≥h(0)＝0，又x≠0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增． (6分)
(2) 方程(ln x＋m)[f(x)＋1]＝ex，即(ln x＋m)＝ex，所以(ln x＋m)＝1，故m＝. (8分)
令k(x)＝，则k′(x)＝，x>0. (10分)
令k′(x)>0，解得x>1；令k′(x)<0，解得0故当x∈(0，1)时，k(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，k(x)单调递增． (12分)
当x→0时，k(x)→＋∞；当x→＋∞时，k(x)→＋∞， (14分)
所以k(x)min＝k(1)＝e－1，故m>e－1，即m的取值范围为(e－1，＋∞). (15分)
18. 解答：(1) 记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件A， (1分)
则P(A)＝＝. (4分)
(2) 依题意，X的可能取值为0，1，2，3，所以P(X＝0)＝(1－p)3＋Cp(1－p)3＝＋C××＝， (5分)
P(X＝1)＝Cp2(1－p)3＝C×2×3＝， (6分)
P(X＝2)＝Cp2(1－p)2p＝C×××＝， (7分)
P(X＝3)＝p3＋Cp2(1－p)p＝＋C×××＝， (8分)
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以X的期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (9分)
(3) 依题意f(p)＝Cp2(1－p)p＝3p3(1－p)(0则f′(p)＝3＝3p2(3－4p)， (11分)
令f′(p)＝0，得p＝，
当p∈时，f′(p)>0，f(p)在上单调递增，
当p∈时，f′(p)<0，f(p)在上单调递减， (14分)
所以f(p)在p＝处取得极大值，即最大值， (15分)
所以f(p)max＝f＝3×3×＝. (17分)
19. 解答：(1) 由于g′(x)＝x2，故对x∈(0，＋∞)有g′(x)－g(x)＋＝x2－x2＋＝x2＋>0，所以y＝g(x)是“反比函数”． (3分)
(2) 由于y′＝a－＋，故xy′－y＝ax－1＋－ax＋3＋ln x＋＝2＋ln x＋.
若a<1－，则2(1－a)>e-4. (5分)
设φ(t)＝t－ln t，则φ′(t)＝1－＝，当01时，φ′(t)>0.从而φ(t)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故φ(t)≥φ(1)＝1. (7分)
要证函数y＝ax－3－ln x－是“反比函数”，即证y′－y＋>0，即证xy′－y>－1.因为xy′－y＝2＋ln x＋>2＋ln x＋＝－ln ＝φ－2≥－1，从而函数y＝ax－3－ln x－是“反比函数”． (11分)
(3) 设h(x)＝，则h′(x)＝>0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增．一方面，当x≥1时，＝h(x)≥h(1)＝＝＝1>0，所以对任意的x≥1，f(x)>1. (12分)
另一方面，假设存在x∈(0，1)，使得f(x)≤0，则根据f(1)＝2>0及零点存在定理，知存在η∈[x，1)使得f(η)＝0，再由条件f(x1＋x2)≤f(x1)f(x2)，知f(1)＝f[η＋(1－η)]≤f(η)f(1－η)＝0·f(1－η)＝0，与f(1)＝2矛盾，所以对任意的00. (14分)
假设存在x∈(0，1)，使得f(x)≤1，则根据f(1)＝2>1及零点存在定理知，存在u∈[x0，1)使得f(u)＝1，从而对任意x>0，有f(x＋u)≤f(x)f(u)＝f(x).但由u>0，知＝h(1＋u)>h(1)，而h(1)＝≥≥＝h(1＋u)，与h(1＋u)>h(1)矛盾，所以对任意的01.综上可知，对任意的x>0，都有f(x)>1.所以对任意的a≤1，关于x的方程f(x)＝a一定无解． (17分)

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