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杭州第四中学2024学年第二学期高二年级月考
数学试题卷
满分150分，考试用时120分钟
班级： 姓名：
一、单选题（）
1．已知集合，集合，则（ ）
2．命题“若，”的否定是（ ）
3．设，，则下列条件可断定的是（ ）
4．设数列是公比不为的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（ ）
5．已知直线为的一条切线，若将的图象向右平移个单位，向上平移个单位后仍与直线相切，则（ ）
6．设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为，则（ ）
7．设实数，满足，则（ ）
8．金老师和刘老师共同开展选修课八节课，若任意连续的三节课不能由同一名老师开课，则不同的选修课排课方案的种数为（ ）
二、多项选择题（）
9．设，复数，则（ ）
10．已知点，是双曲线：（，）的左右焦点，过作直线交双曲线于，两点（点在点的上方），且，，则双曲线的离心率可能为（ ）
11．已知数列满足（），则（ ）
三、填空题（）
12．已知一组数据，，，的中位数等于平均数，则这组数据的极差为
13．在的展开式中，有且仅有项前的系数最大，则实数的取值范围是
14．某正三棱台（底面与顶面均为正三角形，侧面都是等腰梯形的几何体）的体积为，内切球（与棱台各面都相切）的半径为，则该三棱台的侧棱长为
四、解答题（）
15．如图，在面积为的中，，建立适当的坐标系，求出以，为焦点且过点的椭圆的方程和离心率
16．记数列的前项和为，若，，
（1）求的所有可能取值；
（2）若，求的所有可能取值
17．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，成等差数列
（1）若，求面积的最大值；
（2）若，求周长的取值范围
18．设，函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若是函数的极大值点，证明：
19．我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”
（1）如左图，在三棱锥中，（，，）分别为所在棱的中点，证明：三棱锥的三条内棱交于一点；
（2）如左图，若为“垂棱四面体”，，，，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）如右图，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于两点，为平面下方一点，若为“垂棱四面体”，则其外接球表面积是的函数，求的定义域与最小值
试卷第1页，共3页
参考答案：
题号
答案
[填空题]
12．或 13． 14．
[解答题]
15．，离心率
【解析】
如图所示：以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立直角坐标系，（3）
设以为焦点且过点的椭圆方程为 （），，
由，
可得直线和直线的方程分别为和，
将两方程联立可得，，即，（6）
则，
解得，（9）
则，，
则，，
，．
所求椭圆方程为，离心率（13）
16．（1）； （2）
【解析】
（1）由题意，，得，
或，得，
或，得（6）
（2）由题意，，（10）
则，
解得，（13）
由，可知（15）
17．（1）； （2）
【解析】
（1）由，，成等差数列知，故，（3）
由余弦定理：，
解得，因此（6）
（2）由正弦定理：，，（8）
则
，（10）
由为锐角三角形，，则，（12）
解得，即；
由在上单调递增，故，
故，
即周长的取值范围为（15）
18．（1）见解析； （2）见解析
【解析】
（1），（3）
①当时，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，在上单调递减，在和上单调递增；
③当时，在上单调递增；
④当时，在上单调递减，在和上单调递增（7）
（2）由（1）可知，当存在极大值时，
当时，，，
设，
，，
在上单调递增，又，
可知在上单调递减，在上单调递增，
则，
可知；（13）
当时，，；
综上可知成立（17）
19．（1）见解析； （2）； （3）
【解析】
（1）如图，连接，
由题可知，平行且等于，平行且等于，
所以平行且等于，
所以四边形为平行四边形，
所以对角线，为线段中点；
同理，为线段中点；
故的三条内棱交于一点（5）
（2）由（1）可知，四边形为平行四边形，
若为垂棱四面体，则四边形为菱形，
即，显然，
故，同理，，
如图，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系，
因为，
所以有，
所以,，
设平面的一个法向量为，
易知，
令，解得，，所以，
直线与平面所成角的正弦值为（10）
（3）由（2）易知将补成长方体，设长宽高分别设为，
则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半即：，
则：，
显然，所以，
设，，
因为直线过椭圆焦点，所以，
联立得，
显然，由韦达定理可知，，得，
所以，
所以，
整理得，
得，（13）
由于为某长方体的三个顶点由余弦定理可知均为锐角，
显然中角均为锐角，
所以只需角锐角，即：，
得，解得，（15）
由的定义域为，
，
所以当最大时，最小，
不妨令，所以，
因为，
由对勾函数性质可知，当时，有最大值，
此时，的最小值为（17）
答案第1页，共2页

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