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D A C C B A B B
9 10 11
CD AD AB
选择题答案
填空题答案
50 13. 14.
答题答案
15.【详解】（1）由，............................2分
解得；...................................................................4分（a的格式不对扣1分）
（2）因为，
，
所以样本数据的第62百分位数在内，
可得，........................................7分
所以样本数据的第62百分位数所在的组中值为75分；........................................8分
（3）样本数据落在的个数为，
落在的个数为，
，..............................11分
总方差.....................13分
16.【详解】（1）乙盒中的4个函数
，，，分别记为，..............1分（设事件）
从乙盒中任取两张卡片，所有的取法为，共种，..............3分
又函数，的定义域均为，函数的定义域为，
函数的定义域为，
所取函数的定义域不同的取法有，共5种，..............5分
所以这两张卡片上的函数的定义域不同的概率为．.............7分
（2）把甲盒中的奇函数、偶函数、增函数、减函数分别记为奇、偶、增、减，
则从甲、乙两盒中各取一张卡片有（奇，1），（奇，2），（奇，3），（奇，4），
（偶，1），（偶，2），（偶，3），（偶，4），（增，1），（增，2），（增，3），
（增，4），（减，1），（减，2），（减，3），（减，4），
共16种取法．............................11分
又是偶函数，是奇函数，是减函数，是增函数，
恰为“奇遇”的有（偶，1），（奇4），（减，2），（增，3），共4种，............................13分
所以“奇遇”的概率为．............................15分
17.【详解】（1）因为，所以， ..............1分
在中，，，
由余弦定理得， .............. 3分
即，解得或（舍去），..............5分
所以的长为米；..............6分
（2）因为，，..............7分
设，，则，..............8分
在中，由正弦定理得，..............9分
所有，..............10分
则..............11分
..............13分
，..............14分
当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米...............15分
18.
【详解】（1）由平面，平面， 所以，
又由底面是矩形，则，............................1分
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又由为的中点，所以，............................3分
又因为平面，所以平面；..............4分
（2）
连接，由平面，平面，所以，
又因为，所以，............................5分
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，..............6分
因为，所以..............7分
又因为是中点，所以，
则，，..............9分
由等体积法可得点A到平面的距离满足：
；..............10分
（3）
延长相交于点，再过点作的垂线，垂足为，连接，
因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以，..............12分
又因为，，平面，
所以平面，又因为平面，
即，又由于，............................13分
所以平面与平面所成锐二面角的平面角就是，
因为，分别是的中点，
所以,即，............................15分
所以，
平面与平面所成锐二面角的正弦值为.............................17分
19.【详解】（1）设的三角形式为，
，，............................1分
所以复数的三角形式为.
由泰勒公式............................3分
令可得，的3阶近似值为............................4分
（2）由，
令得到，，
化简得
...........................................6分
所以，欧拉公式得证.
因为，所以，..............8分
两式相加得，两式相减得，
所以，.............................10分
（3）记，
由棣莫弗定理得，
从而得，所以，............................12分
所以64在复数域内的6次方根为
，..............13分
，..............14分
，..............15分
设，其中，
代入计算可得，...............17分三明一中2024-2025学年下学期第二次月考
高一数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，设 , ，为线段的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．某学校对高一新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77
A．328 B．253 C．007 D．860
3．平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在下图分布形态中，、、分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，则的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
5.已知某一个图形的直观图如图所示，，求原图形的面积为
降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：）（）.气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表：
日降雨量/
等级 小雨 中雨 大雨 暴雨
某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若该圆台的上、下底面积之比为，母线长为，且侧面积等于上、下底面积之和，若在某日的一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，水深恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为（ ）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
7．已知的三个内角，，所对的边分别是，，，若，，则该三角形的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9．已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为i B．
C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．为方程的一个根
10．为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分）．绘制了如图所示的六维能力雷达图．例如，图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下列说法正确的是（ ）
甲的逻辑推理指标高于乙的逻辑推理指标值
甲的数学建模指标值高于乙的直观想象指标值
甲的数学运算指标值高于甲的直观想象指标值
甲的六维能力整体水平低于乙的六维能力整体水平
11．《九章算术》中称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），已知该正方体的棱长为1，则下列命题正确的是（ ）
A．正方体的棱切球的体积为
B．该牟合方盖的内切球的体积与其中一个圆柱体的体积之比为2∶3
C．该牟合方盖的内切球被平面截得的截面面积为
D．以正方体的顶点A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积与该牟合方盖的内切球的体积之比为
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某一企业有三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为 件．
宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为 米.
一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能触碰到的容器内壁的面积是 .
四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求样本数据的第62百分位数所在区间的组中值；
(3)若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差.
16．有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，乙盒中也装有四张卡片，分别写有函数：，，，．
(1)若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率；
(2)若从甲、乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率．
17．三明一中春季运动会主题活动中，计划将如图所示的扇形空地分隔成三部分分别作为毛毛虫区、运动区及签到区．已知扇形的半径为60米，，动点在扇形的弧上（不包含端点），点在半径上，且．
(1)当米时，求分隔栏的长；
(2)综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区的面积的最大值．
18．已知在四棱锥 中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且 （用空间坐标系不得分）
(1)求证: 平面
(2)求点A到平面的距离.
(3)求平面与平面所成锐二面角的正弦值.
19．1712年英国数学家布鲁克·泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算，函数拟合，计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的阶泰勒展开式为：
其中，读作的阶乘.
1748年瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下创造了人类数学最美妙的公式，即欧拉公式，特别的欧拉恒等式被后世称为“上帝公式”.欧拉公式建立了复数域中指数函数与圆函数（正余弦函数）的关系，利用欧拉公式还可以完成圆的等分，即棣莫弗定理的应用.
(1)请写出复数的三角形式，并利用泰勒展开式估算出的3阶近似值（精确到0.001）；
(2)请根据上述材料证明欧拉公式，并计算与；
(3)记，由棣莫弗定理得，从而得，复数，我们称其为1在复数域内的三次方根. 若为64在复数域内的6次方根.求取值构成的集合，其中.
试卷第1页，共3页

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