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2025年人教版数学八年级下册期末综合测试卷
考试时间：100分钟 总分120分
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．5，6，7 C．，2， D．2，3，4
2．若，则下列二次根式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在外选一点C，然后测出的中点M，N，若的长为10米，则A，B间的距离是（ ）
A．10米 B．20米 C．30米 D．40米
4．一群运动爱好者沿着规定的跑道跑步，前9位跑完全程所需时间(单位：秒)记录如下：130，125，135，140，120，138，145，155，150．当第10位跑步者的时间加入后中位数未发生改变，则第10位的时间可能为（ ）
A．126 B．138 C．141 D．133
5．下列计算结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，点是边延长线上一点，连接、、，与交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）

A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，把直线向上平移后得到直线，若直线经过点，且，则直线的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，直线与相交于点P，点P的纵坐标为，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11．计算的结果等于 ．
12．如图，数轴上点表示的数为3，，，以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点，则点表示的数为 ．
13．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为 ．
14．如图，在菱形中，点，的坐标分别是，．若点在轴上，则点的坐标是 ．
15．图和图中的两组数据分别是甲、乙两地年月日至31日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为，，则 ．（填“”，“”，“”）
16．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为 尺．
17．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，则直线l的解析式是 ．
18．如图1，在长方形中，点E是上一点，点P从点A出发，沿着运动，到点E停止，运动速度为，三角形的面积为，点P的运动时间为，y与x之间的函数关系图象如图2（长方形：四个内角都是直角，对边相等且平行）．
（1）长方形的宽的长为 cm；
（2）当点P运动到点E时，，则m的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．[6分]计算：
(1)； (2).
20．[6分]老师布置了一项作业：利用所学知识在一张平行四边形纸片ABCD上做出一个菱形．
①嘉嘉的方案： 1．连接； 2．作的垂直平分线，交于点，； 3．连接； 4．四边形即为所作的菱形． ②淇淇的方案： 1．沿过点的直线折叠平行四边形纸片，使点与边上的点重合，交边于点； 2．连接； 3．四边形即为所作的菱形．
【解答问题】
（1）方案设计正确的是___________（写出序号即可）；
（2）请选择一种正确的方案进行证明；
21．[8分]如图（1）是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽，会徽的主体图案是由如图（2）的一连串直角三角形演化而成的．其中，所以，，，…，把的面积记为，的面积记为，的面积记为，…，如果把图2中的直角三角形继续作下去，请解答下列问题：
（1）请直接写出______，______；
（2）求出的值．
22．[8分]某校调研教师、学生、家长对科技节的满意度．
（1）从全校教师和学生中分别随机抽取了10人和50人对科技节的满意度进行评分（百分制），对他们的评分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．教师评分：
79 84 85 85 88 88 88 89 90 93
b．学生评分的频数分布直方图如下（数据分成4组：第1组，第2组，第3组，第4组）：
c．师生评分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师 86.9 88 m
学生 81.38 n 87
根据以上信息，回答下列问题：
①的值为______，的值位于学生评分数据分组的第______组；
②若在分析学生评分数据时发现一个记录为“70”的数据有误，如果去掉该数据，那么其余49个数据的平均数、中位数、众数与原来的50个数据的平均数、中位数、众数分别相比，一定变大的是______（填“平均数”“中位数”或“众数”）；
（2）学校邀请了四位家长对科技节的“活动丰富”与“学生参与”的满意度进行评分（百分制），评分如下：
家长1 家长2 家长3 家长4
活动丰富 90 93 94 91
学生参与 91 91 93
记四位家长对“活动丰富”满意度评分的平均数、方差分别为，对“学生参与”满意度评分的平均数、方差分别为，，若，，则（为整数）的最大值为______．
23．[8分]中国作为世界茶道的宗主国，茶文化是中华文化教育的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．某茶具加工厂需要一批茶具包装盒，经了解，有下列两种获得这种包装盒的方案可供选择：
方案一：从包装盒加工厂直接购买，每个包装盒6元，无需其他费用；
方案二：购买机器自己加工包装盒，购买机器的费用为900元，每个包装盒还需额外的加工成本1.5元．
设该茶具加工厂需要的包装盒数量为x个，按照方案一获得包装盒的总费用为y1元，按照方案二获得包装盒的总费用为y2元．
（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）假如你是该茶具加工厂的负责人，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．
24．[10分]先观察下列等式，再回答问题：
①
②
③
（1）根据上面等式提供的信息，请你写出式子化简后的值：______；
（2）请你用含n（n为正整数）的式子表示上面各等式的规律：______（直接写出）；
（3）对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，请直接写出式子的值：______．
25．[10分]实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好落在上的点处，得到折痕交于点M，再把纸片展平．问题解决：
（1）如图1，求证：四边形是正方形．
（2）如图2，若，求的面积．
26．[10分]在平面直角坐标系中，对于图形，点给出如下定义：图形向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到图形，若图形与图形有且只有一个公共点，称点为图形的“限定点”．
已知点，，
（1）在点，，中，的“限定点”是____．
（2）点在直线上，且点为的“限定点”，则点的坐标为____．
（3）的圆心在轴上，半径为，若上存在点，使得点为的“限定点”，则点的横坐标的取值范围为____．
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．
【详解】解：，
∴可以组成直角三角形；
，
∴不可以组成直角三角形；
，
∴不可以组成直角三角形；
∵，
∴不可以组成直角三角形，
故选．
2．【答案】D
【分析】二次根式有意义的条件是，据此判断各选项即可得到答案．
【详解】解：有意义的条件是，所以不符合题意；
有意义的条件是，所以不符合题意；
有意义的条件是，所以 不符合题意；
有意义的条件是 ，所以 满足条件．
故选D．
3．【答案】B
【分析】由中位线定理得，即求解．
【详解】解：的中点分别为M，N，且的长为10米，
是的中位线，
米；
故选B．
4．【答案】B
【分析】由题意可把前9位的数据从小到大进行排列，得到前9位的中位数，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：前9位的数据从小到大进行排列为120，125，130，135，138，140，145，150，155，其中位数为138，
∴当第10位跑步者的时间加入后中位数未发生改变，则第10位的时间可能为138；
故选B．
5．【答案】B
【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，逐项分析判断．
【详解】解：与不是同类项，不能合并，故A选项结果错误，不合题意；
，故B选项结果正确，符合题意；
，故C选项结果错误，不合题意；
，故D选项结果错误，不合题意；
故选B．
6．【答案】C
【分析】首先根据平行四边形的性质可得，，，，若，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可判断选项A；若，易得，即可证明，由“两组对边分别平行的四边形为平行四边形”即可判断选项B；若，证明，由全等三角形的性质可得，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可判断选项D；由不能证明四边形为平行四边形，即可判断选项C．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
即，
若，则有，
∴四边形为平行四边形，故选项A不符合题意；
∵，
∴，
若，则有，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，故选项B不符合题意；
∵，
∴，
若，则在和中，
，
∴，
∴，
又∵
∴四边形为平行四边形，故选项D不符合题意；
由不能证明四边形为平行四边形，选项C符合题意．
故选C．
7．【答案】A
【分析】求一次函数的解析式，先根据平移的性质，设直线的解析式，再把代入，结合，得，即可作答．
【详解】解：∵把直线向上平移后得到直线，
∴直线的解析式可设为
把点代入得，
解得
，
，
直线的解析式为
故选A
8．【答案】A
【分析】根据中间边长为的正方形面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角边为a和b的直角三角形的面积列式求解即可．
【详解】解：由题意得，中间小正方形的边长为，大正方形的边长为c，
则，
∴，
∴，
故选A．
9．【答案】D
【分析】先求得点P的横坐标，根据函数图象求得不等式的解集，进而表示在数轴上，结合选项即可求解．
【详解】解：∵直线与相交于点P，点P的纵坐标为，
∴，
解得：，即点P的横坐标为，
根据函数图象不等式的解集为，
用数轴表示为：
故选D．
10．【答案】B
11．【答案】11
【分析】根据平方差公式，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：
.
12．【答案】
【详解】解：如图所示，在中，，，，则由勾股定理可得，
以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点，
，
则点表示的数为.
13．【答案】1.5
【详解】解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，
∴DF=AB=2.5．
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC=4．
∴EF=DE-DF=1.5．
14．【答案】
【分析】由的坐标分别为，可得菱形边长，中求出从而可得点坐标，即可得出点坐标．
【详解】解：∵点的坐标分别为，
，
∵四边形是菱形，
，
在中，，
．
.
15．【答案】
【详解】解：甲地平均数为：，
∴，
乙地平均数为：，
∴，
∴.
16．【答案】4.2．
【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【详解】解：
设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：
x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.2，
答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．
17．【答案】
【分析】如图，利用正方形的性质得到，由于直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则，然后根据三角形面积公式计算出的长，从而可得点坐标．再由待定系数法求出直线l的解析式.
【详解】解：如图，
经过原点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，
，
而，
，
，
点坐标为，．
设直线l的解析式为，
∴，解得，
∴直线l的解析式为
18．【答案】4；12 .
【分析】（1）依据题意，根据三角形的面积随点P的运动时间变化图象，判断出，，进而可以得解；
（2）依据题意，根据三角形的面积随点P的运动时间变化图象，抓住当时，的面积进而进行计算可以得解．
【详解】解：（1）由题意，当P从A到B三角形的面积逐渐增大，三角形的面积逐渐变小．
故，
∴;
（2）由题意，当时，的面积，
又，
∴,
∴．
19．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先计算二次根式的除法运算，乘法运算，再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】（1）①②
（2）见详解
【分析】（1）根据题意结合菱形的判定定理即可得到答案；
（2）方案①证明：设交于O，由线段垂直平分线的性质得到，则可证明，得到，据此可证明结论；方案②证明：由折叠的性质可得，，再证明，得到，据此可证明结论．
【详解】（1）解：根据题意得方案设计正确的是①②.
（2）证明：方案①证明如下：
设交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
方案②证明如下：
由折叠的性质可得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
21．【答案】（1）；；（2）979．
【分析】（1）根据求出的结果得出规律，即可得出答案；
（2）把求出的面积代入，再进行计算即可．
【详解】解：（1）由规律可得OAn=，
∴Sn=.
（2）
=
=
=
=979．
22．【答案】（1）①88，3；②平均数；
（2）94
【分析】（1）①根据众数是出现次数最多的数据，中位数为排序后，位于中间一位或中间两位数据的平均数，进行判断即可；②根据中位数和众数，平均数的确定方法，进行判断即可；
（2）根据平均数和方差的计算方法，结合，，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：①教师评分中出现次数最多的数据位88，故众数为88，即：；
由直方图可知，学生评分数据的第25个和第26个数据均位于第三组；故中位数位于第三组；
②学生评分的众数为87，与数据70无关，故众数不变，中位数由第25个数据和第26个数据的平均数变为第25个数据，中位数可能不变，也可能变小，平均数受极端值影响，去掉一个比平均数小的数，平均数会变大，故一定变大的是平均数；
（2）；，
，
∵，
∴，解得：，
当时：
，满足题意；
当时：
，满足题意；
当时：，不满足题意；
当时，，不符合题意；
故整数的最大值为94．
23．【答案】见详解
【分析】（1）根据两个方案分别写出y1，y2与x之间的函数关系式即可；
（2）分别计算当y1＜y2、y1＝y2、y1＞y2时对应x的取值范围即可．
【详解】解：（1）y1＝6x，y2＝1.5x+900，
∴y1与x之间的函数关系式为y1＝6x，y2与x之间的函数关系式为y2＝1.5x+900．
（2）当0≤x＜200时，选择方案一更省钱；当x＝200时，两个方案的费用相同，任选一个即可；当x＞200时，选择方案二更省钱．理由如下：
当y1＜y2时，得6x＜1.5x+900，
解得x＜200，
当y1＝y2时，得6x＝1.5x+900，
解得x＝200，
当y1＞y2时，得6x＞1.5x+900，
解得x＞200，
∴当0≤x＜200时，选择方案一更省钱；当x＝200时，两个方案的费用相同，任选一个即可；当x＞200时，选择方案二更省钱．
24．【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据题中所给信息计算即可；
（2）根据第一问的结果用字母代替数字即可；
（3）根据规律将原式进行正确变形求解．
【详解】（1）解：根据题意得.
（2）解：根据题意得.
（3）解：
25．【答案】（1）见详解；
（2）6．
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据，即可得出结论；
（2）连接，，由矩形的性质得到，由折叠的性质，证明，得到，设，由勾股定理得，解得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形；
（2）解：如图，连接，，
由（1）知，，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠知，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得：，
即，
∴的面积 =．
26．【答案】（1）
（2）或
（3）或
【分析】（1）可证明平移后点O的对应点即为点P，由于是以O为直角顶点的等腰直角三角形，那么由平移的性质可得平移后的对应图形是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，根据和有且只有一个交点，得到的某一个顶点在的边上或的某一个顶点在的边上，可得点P在六边形的边上，据此求解即可；
（2）根据（1）所求可得点P即为直线与六边形的交点，据此求解即可；
（3）根据（1）所求只需要找到与六边形有交点时m的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：当是的“限定点”时，
当时，则平移后点O的对应点坐标为，即，
当时，则平移后点O的对应点坐标为，即，
当时，则平移后点O的对应点坐标为，即，
当时，则平移后点O的对应点坐标为，即，
综上所述，平移后点O的对应点即为点P，
∵，，
∴，
∴是以O为直角顶点的等腰直角三角形，
∴由平移的性质可得平移后的对应图形是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
∵和有且只有一个交点，
∴的某一个顶点在的边上或的某一个顶点在的边上，
如图所示，当点在线段上时，则点P在线段上，；
当点在线段上时，则点P在线段上，；
当点在线段上时，则点P在线段上；
当点在线段上时，则点P在线段上；
当点在线段上时，则点P在线段上；
点在线段上时，则点P在线段上；
综上所述，点P在六边形的边上，
∵在点，，中，只有在六边形的边上，
∴在点，，中，的“限定点”是；
（2）解：∵点在直线上，且点为的“限定点”，
∴由（1）可得点P即为直线与六边形的交点，
在中，当时，，当时，，
∴点P的坐标为或．
（3）点C的横坐标m的取值范围为或．
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