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上海市华东师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期三模数学试题
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．
1．已知集合，则________________．
2．若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为________________．
3．设为虚数单位，若为纯虚数，则________________．
4．不等式的解集为________________．
5．为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顺序排列，单位：kg）
据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为________________kg．
6．同一平面内的两个不平行的单位向量，在上的投影向量为，则________________．
7．如图，矩形ABCD中，为AD的中点，，连接EB,EC，若绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的表面积为________________．
8．设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是________________．
9．已知椭圆，圆分别为椭圆和圆上的点，，则的最小值为________________．
10．已知有穷数列的首项为1，末项为10，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为________________．
11．某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为千米，AD长4千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC上某一点（异于A,C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M,N，分别在边AB,BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的的面积S的最大值为____________平方千米．
12．在锐角中，，它的面积为分别在AB、AC上，且满足对任意怕成立，则____________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．，且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为2的是（ ）
A. B. C. D.
14．如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线，其离心率分别为．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
15．某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐餐，他第二天会有的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天中选择了米饭套餐，第天选择米饭套餐的概率为，给出以下论述：
①；
②；
③
④前天甲午餐总费用的数学期望为．
其中正确的是（ ）
A.②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②③
16．定义在[0,1]上的函数同时满足以下三个条件：①；②对任意，成立；（3）当时，总有成立．有下列两个命题：
命题①：函数在定义域内是增函数；
命题②：对任意，都有成立．
则下列说法正确的是（ ）
A.①真②真 B.①真②假 C.①假②真 D.①假②假
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，E,F分别为PA,BC的中点．
（1）证明：平面PCD.
（2）若平面，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数，
（1）当时，解不等式；
（2）已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围．
19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）某电台学办有奖知识竞答比赛，选于答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响．
（1）当时，
（i）若甲答对了某道题，求该题是甲自已答对的概率；
（ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望EX；
（2）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值．
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过焦点的直线与的右支交于P,Q两点，直线AP,AQ分别与直线交于M,N两点，记的面积为的面积为．
（1）求双曲线的离心率；
（2）求证：为定值；
（3）求的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”．
（1）判断是否为上的函数，说明理由；
（2）若实数满足：为上的函数，求t的取值范围；
（3）已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立
2024－2025学年上海市华东师大一附中高三年级下学期三模数学试卷
参考答案
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．
1．【答案】
【解析】，则．
2．【答案】
【解析】由题意知，斜率为-2，则倾斜角为．
3．【答案】2
【解析】为纯虚数，
则，故．
4．【答案】[0,2025]
【解析】，则等号成立的条件为．
5．【答案】69
【解析】，
数据从小到大第13个数是69，
所以第75百分位数为69．
6．【答案】0
【解析】设向量的夹伤为，且，
则在上的投影向量为，
则．
7．【答案】
【解析】矩形ABCD中，为AD的中点，，连接EB,EC，
，
绕直线AD旋转一周，形成的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥形成的组合体，
圆柱的底面半径，母线长，故侧面积为：，
圆柱锥的底面半径，母线长，故侧面积为：，
组合体的表而积由三者的侧面积组成，
故组合体似表面积．
8．【答案】
【解析】由题意，当时，不能满足在上极值点比零点多，
当时，
要使函数在区间内恰有三个极值点，两个零点，
由的部分图象，如图，
则，解得，即．
9．【答案】
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
如图所示，可知点为椭圆的左焦点，
设点为椭圆的右焦点，易知点在圆上，
由椭圆的定义可得，
由圆的几何性质可得，
，
当且仅当P,A,E三点共线且点在点的上方时，取得最小值．
10．【答案】55
【解析】从首项1到末项10的运算方法共分为以下五类：
（1）9次+1，方法数为1；
（2）7次次+2，方法数为；
（3）5次次+2，方法数为；
（4）3次次+2，方法数；
（5）1次次+2，方法数为．
故共有种．
11．【答案】
【解析】如图建立平面直角坐标系
则，
由题意设抛物线方程为，代入点，得，解得，
所以抛物线方程为，
由题意知直线MN为抛物线的切线，
因为点P到边AD的距离为，所以切点P的坐标为，
由，得，所以直线MN的斜率为4t，
所以直线MN的方程为，即，
令，得，所以，
令，得，所以，
所以，
即，
因为，所以，
所以当对，单调递增，
当时，单调递增，
所以当时，取得最大值．
12．【答案】
【解析】因的面积为10，且，
则有，解得，
由图知表示直线AB上一点到点的向量，
而则表示直线AB上一点到点的距离，
由对任意恒成立可知，的长是点到直线AB上的点的最短距离，
故易得此时，同理可得，
如图所示，因，
山可得：，
由可得：，
由锐角三角形ABC可知是锐角，故是钝角，
于是，
于是．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．【答案】B
【解析】对于选项A，当时，选项A显然错误；
对于选项B，因为，
当且仅当，即时取等号，B正确；
对于选项C，易知，则，
当且仅当，即时取等号，C错误；
对于选项D，易知，又，
当且仅当取等号，显然等号不成立，
所以，D错误．
故选：B.
14．【答案】C
【解析】设椭圆的方程为，椭圆的方程为，
由图可知，
则，即，即，即，
设双曲线的方程为，双曲线的方程为，
由图可知，即，即，
即，即．
故选：C.
15．【答案】B
【解析】若甲在第天选择了米饭套餐，那么在第天有的可能性选择米饭套餐，
甲在第天选择了面食套餐，那么在第天有的可能性选择米饭套餐，
所以第天选择米饭套餐的概率，故②正确；
因为，所以甲在第1天选择了米饭套餐，所以，故①正确；
由②得，，所以，
又由题意得，是以0.5为首项，-0.2为公比的等比数列，
所以，所以，故③错误；
前天甲午餐总费用的数学期望为
,
故④正确．
故选：B.
16．【答案】A
【解析】令，则
所以，
又对任意成立，
则，即，
所以，
即对任意，都有，
所以在是增函数，故①为真命题；
令，则，
而任意成立，所以，
又，故
反证法：若存在，使成立，
对于，而，此时不存在使成立；
对于，若存在使成立，则，
而，则，即，
由，依次类推，必有且趋向于无穷大，
此时，而必然会出现大于1的情况，与矛盾，
所以在上也不存在使成立，
综上，对任意，都有成立，故命题②为真命题．
故选：A.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．【答案】（1）见解析：（2）
【解析】（1）证明：取PD的中点，连接CG,EG，
因为E,F分别为PA,BC的中点，
所以，
又底面ABCD为菱形，所以，
所以，
所以四边形EGCF为平行四边形，
所以，
又平面平面PCD，
所以EF／／平面PCD.
（2）解：连接BD，
则为平面平面ABCD，
所以，
因为四边形ABCD为菱形，，
所以为等边三角形，
因为为BC的中点，
所以，
因为，
所以，
所以DF,DA,DP两两垂直，
所以以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
则，
设平面DEF的法向量，
则，令，得，
设直线AF与平面DEF所成的角为，
则，
所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为．
18．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，函数是减函数，
所以不等式等价于，
解得或，
即原不等式解集为．
（2）由于是偶函数，则，
代入化简得，解得，
令，则，
所以在上恒成立，，
因为函数在上严格增，所以，
解得，故的取值范围为．
19．【答案】（1）（i）（ii）见解析；（2）
【解析】（1）（i）记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲确实会做”，
则．
（ii）可能取值为0,1,2,3,4，甲答对某道题的概率为（A），
则，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
则．
（2）记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”，其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为，
则，
，
，
所以甲答对题数比乙多的概率为：
解得，甲的亲友团助力的概率的最小值为．
20．【答案】（1）；（2）－9；（3）
【解析】（1）根据题意得，所以离心率，
（2）证明：根据题意知，
设直线PQ为
联立直线PQ和双曲线可得，化简得，
由于过焦点的直线与的右支交于P,Q两点，因此，所以．
根据韦达定理可得，
那么；
当直线PQ斜率不存在时，，
因此为定值．
（3）根据题意可得，
直线AQ的方程为，则，
直线AP的方程为，则，
并且．
因此，
因为，所以，因此，
当PQ斜率不存在时，为，
AQ方程为，可得，
综上所述，的取值范围为．
21．【答案】（1）是；（2）且；（3）见解析
【解析】（1）设定义域为的函数在上可导，导函数为．
若区间及实数满足：对任意成立，
则称函数为上的“函数”．．
等价于，在时恒成立，
是上的函数．
（2）实数满足：，
即．①
特别地，在①中取，可知，
反之，当时，①成立．
令，由于，且的为离散的点，
故为严格减函数，又，所以．
又，
从而t的取值范围是：且．
（3）（充分性）因为对任意与恒成立，则对任意正整数，有：,
即为上的函数，故充分条件成立．
（必要性）即对任意正整数，有：②，
记函数的最大值为．
先证：明恒成立．
反证法，假如存在使得，则取正整数，使得，
此时有，与②矛盾．
这意味着为上的严格减函数．
再证明恒成立．
取为的一个最大值点，
则当时，由单调性知，但，所以，
于是．
对任意，可取一个与有关的正整数，使得，
由②知：．
所以必要性成立，所以原命题正确．

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