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第3章 一次方程（组）单元提升卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列式子中，方程的个数是（ ）
；；；；；.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2．已知方程，下列用含的式子表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
3．下列等式的变形错误的是（ ）
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
4．用代入消元法解方程组时，把②变形后代入①，代入正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱.问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
6．现规定一种运算：，如，则方程的解为（ ）
A. B. C. D.
7．已知关于的一元一次方程★，★处被盖住了一个数字，且方程的解是，则★处的数字是（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
8．某市计划在一段公路的一侧栽上银杏树，要求路的两端各栽一棵，并且相邻两棵树的间隔都相等.现有树苗棵，若每隔栽1棵，则树苗缺21棵；若每隔栽1棵，则树苗正好用完.则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 现有树苗105棵 D. 这段公路长为
9．若方程组的解中与互为相反数，则的值等于（ ）
A. 2 B. 1 C. D. 4
10．关于，的方程组的解是则关于，的方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共24分）
11．列等式表示“的5倍等于的3倍与4的差“为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
12．将方程去分母得_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
13．写出一个解为的二元一次方程组，这个方程组可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
14．若方程是关于的一元一次方程，则的值为_ _ _ _ .
15．当_ _ _ _ _ _ 时，代数式与的和是.
16．已知，在等式中，当时，；当时，，则当时，_ _ _ _ .
17．《九章算术》中记载了一个数学问题，题目大意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺.问绳长和井深各多少尺？下列解题方案：①设井深为尺，列方程为；②设绳长为尺，则；③设绳长、井深分别为尺，尺，则其中正确的是_ _ _ _ （填序号）.
18．在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数之和都相等，则“奋发图强”这四个字表示的数之和为_ _ _ _ .
奋 发
图 0
强
三、解答题（共66分）
19．（6分）解下列方程（组）
（1） ；
（2）
20．（6分）本学期学了一元一次方程的解法，下面是小亮同学解方程的过程，请认真阅读并解答下列问题.
解方程：.
解：去分母，得， 第一步
去括号，得， 第二步
移项，得， 第三步
合并同类项，得， 第四步
系数化为1，得.……………………第五步
（1） 以上解题过程中，第一步是依据_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 进行变形的；
（2） 从第_ _ _ _ 步开始出现错误，这一步错误的原因是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） 请写出该方程的正确解答过程.
21．（8分）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到错解而小亮把方程②抄错了，从而得到错解请你求出正确答案.
22．（8分）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，A，B两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了，B类物质排放量降低了，A，B两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
23．（9分）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了一些田地.采用新技术种植A，B两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金/万元
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元.问A，B两种农作物的种植面积各多少公顷？
24．（9分）某商场销售甲、乙两种不同型号的智能扫地机器人，甲型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价高，乙型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价高，甲型号智能扫地机器人每台的进价比乙型号智能扫地机器人每台的进价高100元，甲型号智能扫地机器人每台的实际售价比乙型号智能扫地机器人每台的实际售价高70元.分别求出甲型号智能扫地机器人和乙型号智能扫地机器人每台的进价.
25．（10分）某名学生若用的速度步行就可以按时从家到达学校，但他在走了全程的后，搭上了速度是的公共汽车，因此比原定时间早到达学校，他家到学校的距离是多少？
26．（10分）综合与实践
【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能由一些正方形（或长方形）铺成，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，如图①和图②的大长方形，都是“优美长方形”.
【初步感知】
（1） 如图①，“优美长方形”是由5块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长.
解题过程如下：若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为.
依题意可列方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，
解得_ _ _ _ _ _ ，所以正方形的边长为_ _ _ _ .
【解决问题】
（2） 如图②，“优美长方形”是由8块相同的小长方形铺成的，若图①和图②的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图②中每块小长方形的面积.
第3章 一次方程（组）单元提升卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列式子中，方程的个数是（ ）
；；；；；.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
2．已知方程，下列用含的式子表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3．下列等式的变形错误的是（ ）
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
【答案】C
4．用代入消元法解方程组时，把②变形后代入①，代入正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
5．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱.问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
6．现规定一种运算：，如，则方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
7．已知关于的一元一次方程★，★处被盖住了一个数字，且方程的解是，则★处的数字是（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
8．某市计划在一段公路的一侧栽上银杏树，要求路的两端各栽一棵，并且相邻两棵树的间隔都相等.现有树苗棵，若每隔栽1棵，则树苗缺21棵；若每隔栽1棵，则树苗正好用完.则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 现有树苗105棵 D. 这段公路长为
【答案】B
9．若方程组的解中与互为相反数，则的值等于（ ）
A. 2 B. 1 C. D. 4
【答案】A
10．关于，的方程组的解是则关于，的方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
二、填空题（每题3分，共24分）
11．列等式表示“的5倍等于的3倍与4的差“为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
12．将方程去分母得_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
13．写出一个解为的二元一次方程组，这个方程组可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一）
14．若方程是关于的一元一次方程，则的值为_ _ _ _ .
【答案】1
15．当_ _ _ _ _ _ 时，代数式与的和是.
【答案】
16．已知，在等式中，当时，；当时，，则当时，_ _ _ _ .
【答案】0
17．《九章算术》中记载了一个数学问题，题目大意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺.问绳长和井深各多少尺？下列解题方案：①设井深为尺，列方程为；②设绳长为尺，则；③设绳长、井深分别为尺，尺，则其中正确的是_ _ _ _ （填序号）.
【答案】②③
18．在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数之和都相等，则“奋发图强”这四个字表示的数之和为_ _ _ _ .
奋 发
图 0
强
【答案】22
三、解答题（共66分）
19．（6分）解下列方程（组）
（1） ；
（2）
【答案】（1） 解：去括号，得，移项、合并同类项，得，系数化为1，得.
（2） 原方程组可化为
，得，解得.将代入①，得，解得，
所以原方程组的解为
20．（6分）本学期学了一元一次方程的解法，下面是小亮同学解方程的过程，请认真阅读并解答下列问题.
解方程：.
解：去分母，得， 第一步
去括号，得， 第二步
移项，得， 第三步
合并同类项，得， 第四步
系数化为1，得.……………………第五步
（1） 以上解题过程中，第一步是依据_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 进行变形的；
（2） 从第_ _ _ _ 步开始出现错误，这一步错误的原因是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） 请写出该方程的正确解答过程.
【答案】（1） 等式的基本性质
（2） 一；去分母时，常数项没有乘最简公分母
（3） 解：去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得.
21．（8分）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到错解而小亮把方程②抄错了，从而得到错解请你求出正确答案.
解：解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到错解所以是的正确解，所以.
小亮把方程②抄错了，从而得到错解所以是的正确解，所以.解方程组得
所以原方程组为
，得，即，③
，得，即，④
，得，解得，把代入①，得，解得，所以原方程组的正确解为
22．（8分）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，A，B两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了，B类物质排放量降低了，A，B两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为，
由题意，得，
解得.因为，
所以这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”.
23．（9分）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了一些田地.采用新技术种植A，B两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金/万元
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元.问A，B两种农作物的种植面积各多少公顷？
解：设A农作物的种植面积为公顷，B农作物的种植面积为公顷，
由题意可得解得
答：A农作物的种植面积为3公顷，B农作物的种植面积为4公顷.
24．（9分）某商场销售甲、乙两种不同型号的智能扫地机器人，甲型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价高，乙型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价高，甲型号智能扫地机器人每台的进价比乙型号智能扫地机器人每台的进价高100元，甲型号智能扫地机器人每台的实际售价比乙型号智能扫地机器人每台的实际售价高70元.分别求出甲型号智能扫地机器人和乙型号智能扫地机器人每台的进价.
解：设乙型号智能扫地机器人每台的进价为元，则甲型号智能扫地机器人每台的进价为元.
由题意可得，
解得，所以.
答：甲型号智能扫地机器人每台的进价为600元，乙型号智能扫地机器人每台的进价为500元.
25．（10分）某名学生若用的速度步行就可以按时从家到达学校，但他在走了全程的后，搭上了速度是的公共汽车，因此比原定时间早到达学校，他家到学校的距离是多少？
解：设他家到学校的距离是，
依题意有，
解得.
答：他家到学校的距离是.
26．（10分）综合与实践
【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能由一些正方形（或长方形）铺成，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，如图①和图②的大长方形，都是“优美长方形”.
【初步感知】
（1） 如图①，“优美长方形”是由5块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长.
解题过程如下：若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为.
依题意可列方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，
解得_ _ _ _ _ _ ，所以正方形的边长为_ _ _ _ .
【解决问题】
（2） 如图②，“优美长方形”是由8块相同的小长方形铺成的，若图①和图②的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图②中每块小长方形的面积.
【答案】（1） ；；20
（2） 解：由（1）可知，，所以，设题图②中小长方形的长和宽分别为和，
则解得
所以题图②中每块小长方形的面积为.
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