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安徽省重点中学2024--2025高二下学期期末复习检测试卷
数 学 试 题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知数列为等比数列，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知，若0是的极小值点，则a的取值范围为（ ）
A． B．. C． D．
4．已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B．
C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则
6．函数.若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
7．将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
8．若定义在上的函数满足，是奇函数，，设函数，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若一组数据的方差为，则所有数据都相同
B．在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变
C．已知回归方程为，若其中两个样本点和的残差相等，则
D．已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7
10．设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则（ ）
A．
B．函数的对称中心为
C．过引曲线的切线，有且仅有1条
D．若成等差数列，则
11．四棱锥的底面为正方形，面，动点M在线段上，则（ ）
A．四棱锥的外接球表面积为
B．不存在点M，使得
C．的最小值为
D．点M到直线的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ．
13．已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是 .
14．如图所示，已知M，N为双曲线上关于原点对称的两点，点M与点Q关于x轴对称，，直线交双曲线右支于点P，若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
16．(15分）在三棱锥中，，．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
17．(15分）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
18．(17分）已知点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为．
(1)求曲线的方程；
(2)已知点，若直线与直线的斜率分别为，求的值．
19．(17分）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
(1)已知，求；
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B A C D D A AC ABD
题号 11 12 13 14
答案 ACD 6
15．（1）因为，由正弦定理得，
故，.
（2），，
则，，故.
16．（1）以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系．
，设
，，，．.
（2）设平面的法向量，
设平面的法向量，，，取，．所以平面与平面的夹角的余弦值为
17．（1）.（2），在区间上恒成立.令，则，令，原问题等价于在区间上恒成立，则，当时，由于，故，在区间上单调递减，此时，不合题意;令，则，当，时，由于，所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，满足题意.当时，由可得，当时，在区间上单调递减，即单调递减，注意到，故当时，，单调递减，由于，故当时，，不合题意.综上可知：得取值范围是.
18．（1）连接，则．设点圆的圆心，半径为4，， 点的轨迹是以为焦点的椭圆，，焦距，曲线的方程为．
（2）（设直线的方程为，设点，
联立，消去，得，
，综上所述：．
19．(1)．
(2)设，
因为，故，
若，则，故．，
因为，，故有两个不同零点，且，且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，若，因为在为增函数且，而当时，因为在上为减函数，故，
故为的一个最小正实根，
若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，
综上，若，则．
若，则，故．此时，，故有两个不同零点，且，
且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，而，故，又，故在存在一个零点，且．所以为的一个最小正实根，此时，故当时，．
(3)意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1．

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