资源简介

广东省佛山市2024-2025学年高三下学期教学质量检测（二）数学试题
1．（2025·佛山模拟）复数（　　）
A． B．25 C． D．5
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】.
故答案为：B.
【分析】利用复数的乘法运算法则化简复数.
2．（2025·佛山模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由题意，得.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和集合的并集运算法则，从而得出集合A和集合B的并集.
3．（2025·佛山模拟）已知向量，，若，则实数（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
若，
则，
所以，
解得.
故答案为：A.
【分析】先利用向量的线性运算的坐标公式得出，再利用向量垂直的坐标表示，从而列式求解得出实数k的值.
4．（2025·佛山模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．20
【答案】D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：因为曲线C：等价于或
或或，
对于表示以和为顶点线段，其长度为；
对于表示以和为顶点线段，其长度为；
对于表示以和为顶点线段，其长度为；
对于表示以和为顶点线段，其长度为，
所以，曲线C：的周长为.
故答案为：D.
【分析】利用曲线C：去绝对值得四条线段，再根据两点距离公式分别求出四条线段的长度，再结合四边形周长公式得出曲线C：的周长.
5．（2025·佛山模拟）若，则（　　）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：因为，
则，
则，
所以，
则，
所以.
故答案为：D.
【分析】利用两角和的正切公式得到，展开已知的式子，再代入求出的值.
6．（2025·佛山模拟）学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，两支最强的球队被分在不同组的分组组数为：，
所有的分组组数为：，
由古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.
故答案为：C.
【分析】由题意结合组合数公式和古典概率公式，从而得出两支最强的球队被分在不同组的概率.
7．（2025·佛山模拟）已知函数，命题p：是奇函数，命题q：在上是减函数，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：若的奇函数，
则，
所以恒成立，
所以，
则，在上单调递增，
所以在上是减函数，充分性成立；
若在上是减函数，在上单调递增，
所以，
则，此时不一定有，必要性不成立，
所以p是q的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据奇函数的性质求出a的值，结合指数函数的单调性判断的单调性，则判断出充分性；根据函数的单调性结合指数函数的单调性，则判断出必要性，从而得出p是q的充分不必要条件.
8．（2025·佛山模拟）已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【知识点】棱锥的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意可得，
三棱锥为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，
设其半径为，
因为球O的表面积为，
所以，
设，则正的边长为，
取中点，连接，作，根据正三棱锥的性质可知球心O在上，
如下图所示：
根据线面角的定义知，则，
因为，，
所以，
在中，，
所以，
解得或，
则，
故答案为：D.
【分析】由题意可得三棱锥为正三棱锥，则正三棱锥的外接球的球心在高线上，从而作出图形，根据外接球的表面积求出外接球的半径为，，则根据线面角的定义得出，再根据勾股定理列出关于的等式，从而解出的值，进而得出AB的长.
9．（2025·佛山模拟）已知函数，则（　　）
A．最小正周期为 B．是奇函数
C．在上单调递增 D．最大值为1
【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由，
显然不是的周期，故A错；
由的定义域为R，且，
所以为奇函数，故B对；
由解析式，易得，
显然在上不是单调递增，故C错；
由，
令，
则，且，
若，则，
又因为在、上都单调递减，
在上，；在上，，
所以的最大值为1，故D对.
故答案为：BD.
【分析】根据三角型函数的最小正周期公式，从而函数的最小正周期，则判断出选项A；利用函数奇偶性定义判断出选项B；由特殊值判断出选项C；由结合换元法和分式不等式的性质，从而求出函数的值域，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．（2025·佛山模拟）市场监督管理局对9家工厂生产的甲、乙产品进行抽查评分，且得分的平均数分别为77、60，其中A工厂生产的产品得分如下表：
　 分数 名次（按高分到低分排名）
甲产品 75 4
乙产品 66 6
则在此次抽查评分中（　　）
A．9家工厂甲产品得分的中位数一定小于平均数
B．9家工厂乙产品得分的中位数一定大于平均数
C．9家工厂甲产品得分中一定存在极端高分数（高于平均数10分以上）
D．9家工厂乙产品得分中一定存在极端低分数（低于平均数10分以上）
【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：对于甲、乙产品，9家工厂抽查评分从低到高的第5位是中位数，
由75分是甲产品按高分到低分的第4位，
则从低到高的第6位，
所以中位数小于等于75分，
由66分是乙产品按高分到低分的第6位，
则从低到高的第4位，
所以中位数大于等于66分，
又因为甲、乙得分的平均数分别为77分、60分，故选项A、选项B对；
因为甲产品评分可以为，此时不存在极端高分数，故选项C错；
对于乙产品，假设所有评分都为66分，则分，
所以从低到高的前3个评分平均比66分低18分，
则必存在极端低分数，故D对.
故答案为：ABD.
【分析】根据中位数的定义和已知条件判断出选项A和选项B；找到一个特殊数据判断出选项C；假设乙产品所有评分都为66分结合平均数得出差值，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025·佛山模拟）圆C过抛物线：上的两点、，则（　　）
A．圆C面积的最小值为
B．圆C与抛物线的公共点个数为2或4
C．若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则P、Q的纵坐标之和为2
D．若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则直线PQ的斜率为2
【答案】A,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为点在抛物线：上，
所以，解得，所以抛物线的方程为.
对于A，因为圆C过抛物线上的两点、，
则以为直径时，圆的面积最小，半径，
此时圆C的面积为，故A正确；
对于B，过、、的圆C的方程为，
与联立，得，
所以或，
解得或，
则圆C与抛物线的公共点为，个数为3，故B错误；
对于D，直线的方程为，
由已知可知直线的斜率存在，设为，
则直线的方程设为，
设过、P、Q的曲线方程为，
方程左边的系数为，
因为、P、Q的曲线方程为圆，
所以，则，故D正确；
对于C，直线的方程为，与联立，
得，
设的纵坐标为，
则，故C正确.
故答案为：ACD.
【分析】由已知条件求出抛物线的标准方程，对于A，圆C以为直径时，圆的面积最小，求出半径，可得圆C的面积，则判断出选项A；先写出过、、的圆C的方程，与抛物线方程联立，消元后的方程有3个解，则判断出选项B；先写出直线的方程，设出直线的方程为，再设出过、P、Q的曲线方程，由方程中的系数为0可得直线PQ的斜率的值，则判断出选项D；由直线的方程与联立，消元后结合韦达定理可得P、Q的纵坐标之和，则判断出选项C，从而找出正确的选项.
12．（2025·佛山模拟）焦点分别为，且经过点的双曲线的标准方程为　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意得，
可设双曲线的标准方程为，
将代入方程可得，
解得或（舍），
则，
所以.
故答案为：.
【分析】根据双曲线的定义，设双曲线的标准方程，再将点的坐标代入a，b的值，从而得出焦点分别为，且经过点的双曲线的标准方程.
13．（2025·佛山模拟）已知的面积为，，，则　 　.
【答案】2
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意可得，则，
又因为，
所以，则，
综上所述，.
故答案为：2.
【分析】利用三角形面积公式可得的值，再由数量积的运算律得出，再结合已知条件和数量积的定义，从而得出b的值，进而得出AC的长.
14．（2025·佛山模拟）已知函数，若有三个零点，，，则实数a的取值范围为　 　；若，则的最大值为　 　.
【答案】；
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：根据函数解析式，可得函数大致图象如下，
由有三个零点，
则，
因为，又因为，
则，
又因为，
则，，
则，且，
对于且，
则，
当，，在上单调递增；
当，，在上单调递减，
所以，
综上所述，最大值为.
故答案为：，.
【分析】根据函数的解析式画出函数的大致图象，再数形结合可得参数a的取值范围，从而得出，且，，则可得，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出的最大值.
15．（2025·佛山模拟）已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求a；
（2）若图象恒在图象的上方，求a的取值范围.
【答案】（1）解：由题意，设，
则，
则切线为，
由，
令，可得且，
则，
所以切线为，
则，
所以，曲线在点处的切线与曲线也相切，
则.
（2）解：由图象恒在图象的上方，
则恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，
故.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式方程得出切线方程为，，再根据切线重合列方程求出参数a的值.
（2）利用已知条件，将问题化为在上恒成立，利用导数研究右侧的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出参数a的取值范围.
（1）由题设，则，则切线为，
由，令，可得且，
则，所以切线为，则，
曲线在点处的切线与曲线也相切，则；
（2）由图象恒在图象的上方，则恒成立，
所以在上恒成立，
对应，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，故.
16．（2025·佛山模拟）如图，将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截出多面体，E是的中点.过点C，E，的平面与该多面体的面相交，交线围成一个多边形.
（1）在图中画出该多边形（说明作法和理由），并求其面积；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）解：若为的中点，连接，
显然，
所以共面，
则交线围成的多边形为，
由题意，得为等腰梯形，且，，
所以
（2）解：由正方体的结构特征，易知，
因为平面，平面，则平面，
同理得平面，都在平面内，
所以，平面平面，
则平面与平面的夹角，
即为平面与平面的夹角，
因为是棱长为的正四面体，
所以.
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；平面与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）若为的中点，连接，结合正方体的结构特征易得共面，从而得出多边形，再结合等腰梯形结构特征得出EF的长以及等腰梯形的面积公式得出该多边形的面积.
（2）由正方体的结构特征得出线线平行，则得出线面平行，从而证出面面平行，则证出平面平面，则平面与平面的夹角为平面与平面的夹角，再结合正四面体的结构特征得出平面与平面的夹角的余弦值.
（1）若为的中点，连接，显然，
所以共面，即交线围成的多边形为，
由题意，为等腰梯形，且，，
所以.
（2）由正方体的结构特征，易知，
由平面，平面，则平面，
同理得平面，都在平面内，
所以平面平面，
故平面与平面的夹角，即为平面与平面的夹角，
而是棱长为的正四面体，所以.
17．（2025·佛山模拟）因部分乘客可能误机，航空公司为减少座位空置损失，会对热门航班售卖超过实际座位数的机票，简称“超售”.已知某次热门航班的信息如下：①票价1000元，有195个座位，航空公司超售了5张票；②每一位乘客准时乘机的概率为，航空公司对误机乘客不予以退费；③对于在超售情况下，如出现满座导致个别旅客不能按原定航班成行，航空公司会让受到影响的乘客乘坐下一趟非热门航班，并赔偿每人500元.
（1）求该次航班不会发生赔偿事件的概率；
（2）航空公司在该次航班的收入记为Y，求.
参考数据：若，则X的分布列部分数据的近似值如下：
X 0 1 2 3 4 5 6 …
P 0 0 0.002 0.007 0.017 0.036 0.061 …
【答案】（1）解：由每一位乘客准时乘机的概率为，
得每一位乘客误机的概率为，航班不会发生赔偿事件，
则实际乘机人数不超过195人，也就是误机的乘客至少5人，
设误机人数为，则，
所以该次航班不会发生赔偿事件的概率为：
.
（2）解：设实际乘机人数为，则，
当误机人数时，
该次航班的收入元，
其概率为；
当误机人数时，有人乘机，
需要赔偿人，
该次航班的收入元，
其概率为；
当误机人数时，有人乘机，
需要赔偿人，
该次航班的收入元，
其概率为；
当误机人数时，有人乘机，
需要赔偿人，
该次航班的收入元，
其概率为；
当误机人数时，有人乘机，
需要赔偿人，
该次航班的收入元，
其概率为；
当误机人数时，有人乘机，
需要赔偿人，
该次航班的收入元，
其概率为，
所以
元.
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）根据对立事件求概率公式和二项分布的概率公式，从而得出该次航班不会发生赔偿事件的概率.
（2）根据实际乘机人数与座位数的关系确定收入Y的取值，再根据二项分布概率公式结合题目给的数值和期望公式，从而求解得出.
（1）由每一位乘客准时乘机的概率为，得每一位乘客误机的概率为，航班不会发生赔偿事件，
即实际乘机人数不超过195人，也就是误机的乘客至少5人，设误机人数为，则，
所以该次航班不会发生赔偿事件的概率为
；
（2）设实际乘机人数为，则，当误机人数时，
该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
所以
元
18．（2025·佛山模拟）在等差数列和等比数列中，和是下表第i行中的数（），且，，中的任何两个数不在同一列，，，中的任何两个数也不在同一列.
第一列 第二列 第三列 第四列
第一行 1 2 3 4
第二行 5 6 7 8
第三行 9 10 11 12
（1）请问满足题意的数列和各有多少个？写出它们的通项公式（无需说明理由）；
（2）若的公比为整数，且.数列满足，求的前n项和.
【答案】（1）对于等差数列，设公差为d，
当时，则，
所以，
当时，则，
所以，
当时，则，
所以，
当时，则，
所以，
满足题意的数列有4个，
分别为，，，；
对于等比数列，设公比为q，
当时，则，
所以，
当时，则，
所以，
满足题意的数列有2个，
分别为，.
（2）解：因为的公比为整数，
由（1）知，则，
所以，
所以，
所以，
所以
所以，数列的前n项和为：
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列的性质和题目中的数据，从而分别求出数列和数列的通项公式，进而得出满足题意的数列和各有的个数.
（2）结合（1）中数列和数列的通项公式求出，裂项为，再利用裂项相消法求和得出数列的前n项和.
（1）对于等差数列，设公差为d，
当时，则，所以，
当时，则，所以，
当时，则，所以，
当时，则，所以，
满足题意的数列有4个，分别为，，，；
对于等比数列，设公比为q，
当时，则，所以，
当时，则，所以，
满足题意的数列有2个，分别为，；
（2）因为的公比为整数，由（1）知，则，所以，
所以，所以，
所以，
所以的前n项和.
19．（2025·佛山模拟）对于椭圆：上的任意两点P，Q定义“”运算满足：过点作直线直线（规定当P和Q相同时，直线就是在点P处的切线），若l与有异于S的交点T，则；否则.已知“”满足交换律和结合律，记.
（1）若，，求，以及；
（2）对于上的四点，，，，求证：的充要条件是；
（3）是否存在异于S的点P，使得？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意，直线的斜率为，
则过且平行于直线的直线方程，
联立，可得，
解得（舍）或，则，
所以；
过且平行于椭圆在点处切线的直线方程为，
联立，可得（舍）或，
故；
过且平行于的直线方程为，
联立，可得（舍）或，
故，
所以；
过且平行于的直线方程为，
联立，可得（舍）或，
故；
过且平行于的直线方程为，
联立，可得，
故，
对于椭圆上任意一点，都有，
故，，
所以.
（2）证明：因为，
所以
，
则
，
所以，
同理，
故，
当且仅当
，
所以，
则.
（3）解：设，，
因为，点处的切线平行于，
又因为（2）知，
则，
因为，
所以，
则，
因为，
所以，
则，
若，则，
所以，
所以，存在异于S的点P，使得，
坐标为或或.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件依次写出过的相关直线，再联立直线和椭圆方程求出交点坐标，根据题中定义求出，和的坐标.
（2）利用向量的坐标表示和三角恒等变换得，同理得，再根据向量平行的坐标表示、辅助角公式化简证出的充要条件是.
（3）设，，根据线段平行关系和（2）的结论，从而判断出存在异于S的点P，使得，并确定点P的坐标.
（1）由题设，直线的斜率为，则过且平行于直线的直线方程，
联立，可得，解得（舍）或，则，
所以，
过且平行于椭圆在点处切线的直线方程为，
联立，可得（舍）或，故，
过且平行于的直线方程为，
联立，可得（舍）或，故，
所以，
过且平行于的直线方程为，
联立，可得（舍）或，故，
过且平行于的直线方程为，
联立，可得，故，
又对于椭圆上任意一点，都有，故，，
所以；
（2）由，
，
，
所以，
同理，
故，当且仅当
，
所以，即，得证；
（3）设，，
由，点处的切线平行于，
由（2）知，则，
由，所以，则，
由，所以，则，
若，则，即，
所以存在异于S的点P，使得，坐标为或或.
1 / 1广东省佛山市2024-2025学年高三下学期教学质量检测（二）数学试题
1．（2025·佛山模拟）复数（　　）
A． B．25 C． D．5
2．（2025·佛山模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·佛山模拟）已知向量，，若，则实数（　　）
A． B． C．1 D．2
4．（2025·佛山模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．20
5．（2025·佛山模拟）若，则（　　）
A．－1 B．0 C．1 D．2
6．（2025·佛山模拟）学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·佛山模拟）已知函数，命题p：是奇函数，命题q：在上是减函数，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2025·佛山模拟）已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（　　）
A． B． C．2 D．3
9．（2025·佛山模拟）已知函数，则（　　）
A．最小正周期为 B．是奇函数
C．在上单调递增 D．最大值为1
10．（2025·佛山模拟）市场监督管理局对9家工厂生产的甲、乙产品进行抽查评分，且得分的平均数分别为77、60，其中A工厂生产的产品得分如下表：
　 分数 名次（按高分到低分排名）
甲产品 75 4
乙产品 66 6
则在此次抽查评分中（　　）
A．9家工厂甲产品得分的中位数一定小于平均数
B．9家工厂乙产品得分的中位数一定大于平均数
C．9家工厂甲产品得分中一定存在极端高分数（高于平均数10分以上）
D．9家工厂乙产品得分中一定存在极端低分数（低于平均数10分以上）
11．（2025·佛山模拟）圆C过抛物线：上的两点、，则（　　）
A．圆C面积的最小值为
B．圆C与抛物线的公共点个数为2或4
C．若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则P、Q的纵坐标之和为2
D．若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则直线PQ的斜率为2
12．（2025·佛山模拟）焦点分别为，且经过点的双曲线的标准方程为　 　.
13．（2025·佛山模拟）已知的面积为，，，则　 　.
14．（2025·佛山模拟）已知函数，若有三个零点，，，则实数a的取值范围为　 　；若，则的最大值为　 　.
15．（2025·佛山模拟）已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求a；
（2）若图象恒在图象的上方，求a的取值范围.
16．（2025·佛山模拟）如图，将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截出多面体，E是的中点.过点C，E，的平面与该多面体的面相交，交线围成一个多边形.
（1）在图中画出该多边形（说明作法和理由），并求其面积；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17．（2025·佛山模拟）因部分乘客可能误机，航空公司为减少座位空置损失，会对热门航班售卖超过实际座位数的机票，简称“超售”.已知某次热门航班的信息如下：①票价1000元，有195个座位，航空公司超售了5张票；②每一位乘客准时乘机的概率为，航空公司对误机乘客不予以退费；③对于在超售情况下，如出现满座导致个别旅客不能按原定航班成行，航空公司会让受到影响的乘客乘坐下一趟非热门航班，并赔偿每人500元.
（1）求该次航班不会发生赔偿事件的概率；
（2）航空公司在该次航班的收入记为Y，求.
参考数据：若，则X的分布列部分数据的近似值如下：
X 0 1 2 3 4 5 6 …
P 0 0 0.002 0.007 0.017 0.036 0.061 …
18．（2025·佛山模拟）在等差数列和等比数列中，和是下表第i行中的数（），且，，中的任何两个数不在同一列，，，中的任何两个数也不在同一列.
第一列 第二列 第三列 第四列
第一行 1 2 3 4
第二行 5 6 7 8
第三行 9 10 11 12
（1）请问满足题意的数列和各有多少个？写出它们的通项公式（无需说明理由）；
（2）若的公比为整数，且.数列满足，求的前n项和.
19．（2025·佛山模拟）对于椭圆：上的任意两点P，Q定义“”运算满足：过点作直线直线（规定当P和Q相同时，直线就是在点P处的切线），若l与有异于S的交点T，则；否则.已知“”满足交换律和结合律，记.
（1）若，，求，以及；
（2）对于上的四点，，，，求证：的充要条件是；
（3）是否存在异于S的点P，使得？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】.
故答案为：B.
【分析】利用复数的乘法运算法则化简复数.
2．【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由题意，得.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和集合的并集运算法则，从而得出集合A和集合B的并集.
3．【答案】A
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
若，
则，
所以，
解得.
故答案为：A.
【分析】先利用向量的线性运算的坐标公式得出，再利用向量垂直的坐标表示，从而列式求解得出实数k的值.
4．【答案】D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：因为曲线C：等价于或
或或，
对于表示以和为顶点线段，其长度为；
对于表示以和为顶点线段，其长度为；
对于表示以和为顶点线段，其长度为；
对于表示以和为顶点线段，其长度为，
所以，曲线C：的周长为.
故答案为：D.
【分析】利用曲线C：去绝对值得四条线段，再根据两点距离公式分别求出四条线段的长度，再结合四边形周长公式得出曲线C：的周长.
5．【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：因为，
则，
则，
所以，
则，
所以.
故答案为：D.
【分析】利用两角和的正切公式得到，展开已知的式子，再代入求出的值.
6．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，两支最强的球队被分在不同组的分组组数为：，
所有的分组组数为：，
由古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.
故答案为：C.
【分析】由题意结合组合数公式和古典概率公式，从而得出两支最强的球队被分在不同组的概率.
7．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：若的奇函数，
则，
所以恒成立，
所以，
则，在上单调递增，
所以在上是减函数，充分性成立；
若在上是减函数，在上单调递增，
所以，
则，此时不一定有，必要性不成立，
所以p是q的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据奇函数的性质求出a的值，结合指数函数的单调性判断的单调性，则判断出充分性；根据函数的单调性结合指数函数的单调性，则判断出必要性，从而得出p是q的充分不必要条件.
8．【答案】D
【知识点】棱锥的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意可得，
三棱锥为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，
设其半径为，
因为球O的表面积为，
所以，
设，则正的边长为，
取中点，连接，作，根据正三棱锥的性质可知球心O在上，
如下图所示：
根据线面角的定义知，则，
因为，，
所以，
在中，，
所以，
解得或，
则，
故答案为：D.
【分析】由题意可得三棱锥为正三棱锥，则正三棱锥的外接球的球心在高线上，从而作出图形，根据外接球的表面积求出外接球的半径为，，则根据线面角的定义得出，再根据勾股定理列出关于的等式，从而解出的值，进而得出AB的长.
9．【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由，
显然不是的周期，故A错；
由的定义域为R，且，
所以为奇函数，故B对；
由解析式，易得，
显然在上不是单调递增，故C错；
由，
令，
则，且，
若，则，
又因为在、上都单调递减，
在上，；在上，，
所以的最大值为1，故D对.
故答案为：BD.
【分析】根据三角型函数的最小正周期公式，从而函数的最小正周期，则判断出选项A；利用函数奇偶性定义判断出选项B；由特殊值判断出选项C；由结合换元法和分式不等式的性质，从而求出函数的值域，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：对于甲、乙产品，9家工厂抽查评分从低到高的第5位是中位数，
由75分是甲产品按高分到低分的第4位，
则从低到高的第6位，
所以中位数小于等于75分，
由66分是乙产品按高分到低分的第6位，
则从低到高的第4位，
所以中位数大于等于66分，
又因为甲、乙得分的平均数分别为77分、60分，故选项A、选项B对；
因为甲产品评分可以为，此时不存在极端高分数，故选项C错；
对于乙产品，假设所有评分都为66分，则分，
所以从低到高的前3个评分平均比66分低18分，
则必存在极端低分数，故D对.
故答案为：ABD.
【分析】根据中位数的定义和已知条件判断出选项A和选项B；找到一个特殊数据判断出选项C；假设乙产品所有评分都为66分结合平均数得出差值，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为点在抛物线：上，
所以，解得，所以抛物线的方程为.
对于A，因为圆C过抛物线上的两点、，
则以为直径时，圆的面积最小，半径，
此时圆C的面积为，故A正确；
对于B，过、、的圆C的方程为，
与联立，得，
所以或，
解得或，
则圆C与抛物线的公共点为，个数为3，故B错误；
对于D，直线的方程为，
由已知可知直线的斜率存在，设为，
则直线的方程设为，
设过、P、Q的曲线方程为，
方程左边的系数为，
因为、P、Q的曲线方程为圆，
所以，则，故D正确；
对于C，直线的方程为，与联立，
得，
设的纵坐标为，
则，故C正确.
故答案为：ACD.
【分析】由已知条件求出抛物线的标准方程，对于A，圆C以为直径时，圆的面积最小，求出半径，可得圆C的面积，则判断出选项A；先写出过、、的圆C的方程，与抛物线方程联立，消元后的方程有3个解，则判断出选项B；先写出直线的方程，设出直线的方程为，再设出过、P、Q的曲线方程，由方程中的系数为0可得直线PQ的斜率的值，则判断出选项D；由直线的方程与联立，消元后结合韦达定理可得P、Q的纵坐标之和，则判断出选项C，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意得，
可设双曲线的标准方程为，
将代入方程可得，
解得或（舍），
则，
所以.
故答案为：.
【分析】根据双曲线的定义，设双曲线的标准方程，再将点的坐标代入a，b的值，从而得出焦点分别为，且经过点的双曲线的标准方程.
13．【答案】2
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意可得，则，
又因为，
所以，则，
综上所述，.
故答案为：2.
【分析】利用三角形面积公式可得的值，再由数量积的运算律得出，再结合已知条件和数量积的定义，从而得出b的值，进而得出AC的长.
14．【答案】；
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：根据函数解析式，可得函数大致图象如下，
由有三个零点，
则，
因为，又因为，
则，
又因为，
则，，
则，且，
对于且，
则，
当，，在上单调递增；
当，，在上单调递减，
所以，
综上所述，最大值为.
故答案为：，.
【分析】根据函数的解析式画出函数的大致图象，再数形结合可得参数a的取值范围，从而得出，且，，则可得，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出的最大值.
15．【答案】（1）解：由题意，设，
则，
则切线为，
由，
令，可得且，
则，
所以切线为，
则，
所以，曲线在点处的切线与曲线也相切，
则.
（2）解：由图象恒在图象的上方，
则恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，
故.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式方程得出切线方程为，，再根据切线重合列方程求出参数a的值.
（2）利用已知条件，将问题化为在上恒成立，利用导数研究右侧的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出参数a的取值范围.
（1）由题设，则，则切线为，
由，令，可得且，
则，所以切线为，则，
曲线在点处的切线与曲线也相切，则；
（2）由图象恒在图象的上方，则恒成立，
所以在上恒成立，
对应，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，故.
16．【答案】（1）解：若为的中点，连接，
显然，
所以共面，
则交线围成的多边形为，
由题意，得为等腰梯形，且，，
所以
（2）解：由正方体的结构特征，易知，
因为平面，平面，则平面，
同理得平面，都在平面内，
所以，平面平面，
则平面与平面的夹角，
即为平面与平面的夹角，
因为是棱长为的正四面体，
所以.
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；平面与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）若为的中点，连接，结合正方体的结构特征易得共面，从而得出多边形，再结合等腰梯形结构特征得出EF的长以及等腰梯形的面积公式得出该多边形的面积.
（2）由正方体的结构特征得出线线平行，则得出线面平行，从而证出面面平行，则证出平面平面，则平面与平面的夹角为平面与平面的夹角，再结合正四面体的结构特征得出平面与平面的夹角的余弦值.
（1）若为的中点，连接，显然，
所以共面，即交线围成的多边形为，
由题意，为等腰梯形，且，，
所以.
（2）由正方体的结构特征，易知，
由平面，平面，则平面，
同理得平面，都在平面内，
所以平面平面，
故平面与平面的夹角，即为平面与平面的夹角，
而是棱长为的正四面体，所以.
17．【答案】（1）解：由每一位乘客准时乘机的概率为，
得每一位乘客误机的概率为，航班不会发生赔偿事件，
则实际乘机人数不超过195人，也就是误机的乘客至少5人，
设误机人数为，则，
所以该次航班不会发生赔偿事件的概率为：
.
（2）解：设实际乘机人数为，则，
当误机人数时，
该次航班的收入元，
其概率为；
当误机人数时，有人乘机，
需要赔偿人，
该次航班的收入元，
其概率为；
当误机人数时，有人乘机，
需要赔偿人，
该次航班的收入元，
其概率为；
当误机人数时，有人乘机，
需要赔偿人，
该次航班的收入元，
其概率为；
当误机人数时，有人乘机，
需要赔偿人，
该次航班的收入元，
其概率为；
当误机人数时，有人乘机，
需要赔偿人，
该次航班的收入元，
其概率为，
所以
元.
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）根据对立事件求概率公式和二项分布的概率公式，从而得出该次航班不会发生赔偿事件的概率.
（2）根据实际乘机人数与座位数的关系确定收入Y的取值，再根据二项分布概率公式结合题目给的数值和期望公式，从而求解得出.
（1）由每一位乘客准时乘机的概率为，得每一位乘客误机的概率为，航班不会发生赔偿事件，
即实际乘机人数不超过195人，也就是误机的乘客至少5人，设误机人数为，则，
所以该次航班不会发生赔偿事件的概率为
；
（2）设实际乘机人数为，则，当误机人数时，
该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
所以
元
18．【答案】（1）对于等差数列，设公差为d，
当时，则，
所以，
当时，则，
所以，
当时，则，
所以，
当时，则，
所以，
满足题意的数列有4个，
分别为，，，；
对于等比数列，设公比为q，
当时，则，
所以，
当时，则，
所以，
满足题意的数列有2个，
分别为，.
（2）解：因为的公比为整数，
由（1）知，则，
所以，
所以，
所以，
所以
所以，数列的前n项和为：
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列的性质和题目中的数据，从而分别求出数列和数列的通项公式，进而得出满足题意的数列和各有的个数.
（2）结合（1）中数列和数列的通项公式求出，裂项为，再利用裂项相消法求和得出数列的前n项和.
（1）对于等差数列，设公差为d，
当时，则，所以，
当时，则，所以，
当时，则，所以，
当时，则，所以，
满足题意的数列有4个，分别为，，，；
对于等比数列，设公比为q，
当时，则，所以，
当时，则，所以，
满足题意的数列有2个，分别为，；
（2）因为的公比为整数，由（1）知，则，所以，
所以，所以，
所以，
所以的前n项和.
19．【答案】（1）解：由题意，直线的斜率为，
则过且平行于直线的直线方程，
联立，可得，
解得（舍）或，则，
所以；
过且平行于椭圆在点处切线的直线方程为，
联立，可得（舍）或，
故；
过且平行于的直线方程为，
联立，可得（舍）或，
故，
所以；
过且平行于的直线方程为，
联立，可得（舍）或，
故；
过且平行于的直线方程为，
联立，可得，
故，
对于椭圆上任意一点，都有，
故，，
所以.
（2）证明：因为，
所以
，
则
，
所以，
同理，
故，
当且仅当
，
所以，
则.
（3）解：设，，
因为，点处的切线平行于，
又因为（2）知，
则，
因为，
所以，
则，
因为，
所以，
则，
若，则，
所以，
所以，存在异于S的点P，使得，
坐标为或或.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件依次写出过的相关直线，再联立直线和椭圆方程求出交点坐标，根据题中定义求出，和的坐标.
（2）利用向量的坐标表示和三角恒等变换得，同理得，再根据向量平行的坐标表示、辅助角公式化简证出的充要条件是.
（3）设，，根据线段平行关系和（2）的结论，从而判断出存在异于S的点P，使得，并确定点P的坐标.
（1）由题设，直线的斜率为，则过且平行于直线的直线方程，
联立，可得，解得（舍）或，则，
所以，
过且平行于椭圆在点处切线的直线方程为，
联立，可得（舍）或，故，
过且平行于的直线方程为，
联立，可得（舍）或，故，
所以，
过且平行于的直线方程为，
联立，可得（舍）或，故，
过且平行于的直线方程为，
联立，可得，故，
又对于椭圆上任意一点，都有，故，，
所以；
（2）由，
，
，
所以，
同理，
故，当且仅当
，
所以，即，得证；
（3）设，，
由，点处的切线平行于，
由（2）知，则，
由，所以，则，
由，所以，则，
若，则，即，
所以存在异于S的点P，使得，坐标为或或.
1 / 1

展开更多......

收起↑