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2025年中考数学三轮复习备考－二次函数综合题高频考点冲刺练
1．如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知抛物线的顶点坐标为点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，若是位于直线下方抛物线上的一点，是抛物线对称轴上的一点，连接，当面积取得最大时，求周长的最小值及此时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿着射线方向平移个单位得到抛物线．点是抛物线的对称轴上的一点，将沿直线翻折，使得点的对应点落在坐标轴上．直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的过程．
2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点的坐标为，且．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)如图，为抛物线上位于第二象限内的一个动点，过点作轴的垂线，该垂线交直线于点，交轴于点，设线段的长度为，求关于的函数关系式．
(3)在（）的条件下，连接，若为直角三角形，求的值．
(4)连接，将线段沿轴向左平移个单位长度，若线段与抛物线有交点，请直接写出的取值范围．
3．如图， 抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为，点是抛物线上一点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当且 时：
求的取值范围；
若 ，直接写出的值．
4．如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)在轴上有一点，求出的值最小时点的坐标，及此时的值．
(3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴交轴于点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，且．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点在第二象限抛物线上，连接并延长交轴于点，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为，点的纵坐标为，求与的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，在上取点，使得，在的延长线上取点，使得，连接，当时，求点的坐标．
6．如图1，抛物线与直线交于点和点，点为该抛物线的顶点，已知抛物线经过点．
(1)求该抛物线与直线的函数表达式；
(2)若抛物线与轴交于点，直线与轴交于点．
（i）以为直角边，点为直角顶点，在直线的右侧作等腰直角，请在图2上画出符合条件的图形，并判断点是否在抛物线上；
（ii）如图3，连接，在直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积．
8．如图已知抛物线交轴于点（点在左侧），顶点为，交轴于点，且线交轴于点，线段在第一象限，其中点．
(1)求的值，并写出点的坐标；
(2)本小题需任选一题进行解答．
①若直线平分的面积，求的值；
②连接，过点作轴于点，求的值；
(3)若直线与抛物线交于两点，点为线段上方抛物线上任一点（不与两点重合），求面积的最大值，并求出此时点的坐标；
(4)在（3）的条件下，将抛物线沿直线方向向上平移个单位，使抛物线刚好经过线段的中点，直接写出的值．
9．已知抛物线经过点，，对称轴直线与抛物线交于点C，与直线交于点D，与x轴交于点M．
(1)试确定抛物线的解析式；
(2)若当时，的最小值为2，最大值为20，则m的取值范围为______；
(3)连接，在对称轴上，是否存在点E，使以点B，D，E为顶点的三角形与相似 若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)将抛物线平移，平移后的抛物线经过点A，M，与x轴的另一个交点为点N，在平面上是否存在点F，使得以点A，B，N，F为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
10．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、L两点，交y轴于点D．
(1)如图1，求点A的坐标；
(2)如图2，点B在的延长线上，连接，设点B的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，与的面积相等，过点B作，过点L作的垂线，垂足为F，交抛物线于点E，交于H，过点E作于G，连接和，若，，求的值．
11．如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，连接，．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴平行线交于点，点是线段上一点，当最大时，求的最小值．
(3)将抛物沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点坐标为，点是新抛物线对称轴上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
12．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点为第一象限抛物线上一点，过点作轴，垂足为点交直线于点，设点的横坐标为长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，直线经过点，且与轴交于点．点为线段上的一点，连接交轴正半轴于点，当时，求点的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，点P、Q在此抛物线上，其横坐标分别为，抛物线上点P、Q之间的部分（包括点P、Q）记为图象G．过点P作x轴的平行线与平行于y轴的直线交于点M，以点P为直角顶点，为腰在的上方作等腰直角三角形．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当轴时，求的面积；
(3)当M、O、N三点在同一条直线上时，直接写出点P的坐标；
(4)若，当图象G上恰好有2个点C、D到对称轴的距离均为（点C在点D的左侧），且C、D、O三点中有两个点在内部（不含边界）时，直接写出m的取值范围．
14．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与轴交于点，作直线．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由．
(3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），设点的横坐标为．若，且线段与抛物线有交点，求的取值范围．
参考答案
1．(1)
(2)周长的最小值为，此时点的坐标为
(3)点坐标为或，情况见解析
【分析】（1）先求出点坐标为，再将、、代入解析式计算即可得出答案；
（2）过点作轴，交于点，设，求出，设，则，可得，即时，面积有最大值为，此时点坐标为，可得，根据对称性即三角形第三边小于两边之和可得，设，求出，即可求出点的坐标；
（3）求出移动后新抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为，由折叠知，，当Q落在y轴时，设点的坐标为，分别由，得到，，得到，代入即可得到点坐标为；；当Q落在x轴时，同理可得：点坐标为．
【详解】（1）已知抛物线与轴交于点，且顶点坐标为
抛物线对称轴为直线
∴点坐标为．
则，解得
抛物线的解析式为：
（2）过点作轴，交于点，连接，
设，经过点
则，解得
设
时，面积有最大值为
此时点坐标为
∴
点是抛物线对称轴上的一点
点关于点所在直线的对称点为点
设，经过点
则，解得
∴
周长的最小值为，此时点的坐标为
（3）点坐标为或
抛物线沿着射线方向平移个单位，即水平向右1个单位，沿竖直方向向上平移2个单位．
移动后新抛物线的对称轴为直线．
设点的坐标为，
∵将沿直线翻折，使得点的对应点落在坐标轴上，
∴与关于直线对称，
∴，，
当Q落在y轴时，
设点的坐标为
∵
由得，
即，
由得，
即，
∵
∴，
即，
代入可得，
解得，
即点坐标为；
当Q落在x轴时，
同理可得：点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，轴对称的性质，平移的性质，折叠的性质，两点间的距离公式，熟练掌握各知识点是解题的关键.
2．(1)；
(2)；
(3)或；
(4)．
【分析】根据抛物线的解析可以求出点的坐标为，根据可以求出点的坐标为，又因为点的坐标是，设抛物线的解析式为，把点代入，求出的值即可；
用待定系数法求出直线的解析式为，设点的坐标为，点的坐标为，则有，整理可得：关于的函数表达式为；
由已知条件可知为等腰直角三角形，所以可得，若为直角三角形，则为等腰直角三角形，所以应分两种情况讨论，第一种情况是当时，此时点和点的纵坐标都是，所以可得：，解方程求出的值即可；第二种情况是当时，此时，，可得方程，解方程求出的值即可；
设线段向左平移了个单位长度，平移后点的坐标是，点的坐标是，当点在抛物线上时，可得：，解方程可得：，当点，在抛物线上时，可得方程，解方程可得：，所以可得的取值范围为．
【详解】（1） 解：将代入，
可得：，
点的坐标为，
，
，
点的坐标为，
又，
抛物线的解析式为，
将点代入，
可得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将点，点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
直线与抛物线交于点，与直线交于点，
设，，
线段的长为，
，
整理得：，
即关于的函数表达式为；
（3）解：，，
为等腰直角三角形，
，
，
若为直角三角形，则为等腰直角三角形，
分两种情况：
如图所示，
当时，
，
，
，
，
，
解得：（不符合题意，舍去），，
故此时的值为；
如图所示，
当时，过点作于点，则，，
，，
，
解得：(不符合题意，舍去)，，
故此时的值为，
综上所述，的值为或；
（4）解：如下图所示，
设线段向左平移了个单位长度，
点的坐标是，点的坐标是，
平移后点的坐标是，点的坐标是，
当点在抛物线上时，
可得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
当点在抛物线上时，
可得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
的取值范围为．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、用待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，图形的平移，解决本题的关键运用数形结合的思想和方程思想．
3．(1)；
(2)；或．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）设该抛物线的解析式为，然后把代入求出的值即可；
（）由（）得抛物线的解析式为，然后根据二次函数的性质即可求解；
（）由抛物线的解析式，求出，通过 ，则，则有，然后分情况解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：∵顶点坐标为，
∴设该抛物线的解析式为，
∵与轴交于点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为，
（2）解：由（）得抛物线的解析式为，
∴当时，的最大值为，当时，的最小值为，
∴的取值范围；
由抛物线的解析式，
当时，，
∴，
∴，
∵ ，
∴，即，
∵点是抛物线上一点，
∴，
当时，
解得或（舍去），
当时，
解得或（舍去），
∴的值为或．
4．(1)
(2)点的坐标为，的最小值为
(3)存在，点坐标为或
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2） 作点关于轴的对称点，连接、、，可知当共线时，最小，即最小，最小值为的长度，得到最小值，然后根据待定系数法求出直线的表达式为，即可得到点的坐标；
（3）设 ，则，得出，，，，分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，
把点，点，点的坐标代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：作点关于轴的对称点，连接、、，如图所示，
根据轴对称可知：，
，
两点之间线段最短，
当共线时，最小，即最小，最小值为的长度，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
顶点坐标，
的最小值为：；
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的表达式为，
当时，，
点的坐标为，
（3）解：在第四象限中的抛物线上存在点，使与相似，理由如下：
设 ，则，
，，，，
①当时，
，
即，
解得：，（舍去），
此时，
；
②当时，
，
即，
解得：，（舍去），
此时，
；
综上所述，点坐标为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数的解析式，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
5．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用抛物线的对称性求得，再利用待定系数法求解即可；
（2）由题意，得，，则，据此列式计算即可求解；
（3）过作，且，连接，，在上取点，使，连接交于点．证明和求得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】（1）解：由题可得对称轴为直线，
设对称轴交于点，则．
又∵，
∴，
∴，
∴，
把代入得，
∴；
（2）解：由题意，得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，在中，，
∴，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴，，
过作，且，连接，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
在上取点，使，连接交于点．则．
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
（舍）或．
∴．
【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
6．(1)抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为；
(2)（i）图见解析，点在抛物线上；（ii）点的坐标为．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）（i）根据题意作出图形，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，，证明，求得，据此求解即可判定；
（ii）分两种情况讨论，当时，，求得直线的解析式为，得到直线的解析式为，联立即可求得点的坐标；当时，设点的坐标为，利用两点之间的距离公式列式计算的坐标，从而确定射线QB上不存在满足条件的点．
【详解】（1）解：将和点代入，得
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∵，
∴抛物线的顶点，
∵直线过点和，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：当时，，，
∴，，
（i）由题意画出图形，如图，
分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
当时，，
∴点在抛物线上；
（ii）如图，当时，，
∵，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，
∴点的坐标为；
当时，
∵，∴，
设点的坐标为，
由题意得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标为,且在第三象限，
此时，，
故在射线上的任一点Q，得到的
综上，点的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7．(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法求函数表达式、重心的概念，正确利用中点公式是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）为“平稳三角形”，则可得到点，求出直线的表达式为，进而求解．
【详解】（1）解：将点，代入，
得，
解得，
所以二次函数的表达式为；
（2）解： 为“平稳三角形”，是的中线，交x轴于G点，
G是的重心，
设交x轴于点H，
是的中线，
点的纵坐标为，
令，则，解得，（舍去），
．
设直线的表达式为，
将与代入，
得，
解得，
所以直线的表达式为，
令，则，解得，
，
是的中线，
D为的中点，
，
．
8．(1)；
(2)①；②
(3)面积最大值为，此时点
(4)或．
【分析】题目主要考查二次函数综合问题，包括面积问题，平移，相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，构造相似三角形是解题关键．
（1）根据待定系数法代入确定函数解析式，然后求与坐标轴的交点即可；
（2）①连接，根据题意得出，设直线交轴于点，设，代入，得出，再由题意得出方程求解即可；②将解析式化为顶点式得出，确定，再由勾股定理及余弦函数求解即可；
（3）利用待定系数法确定直线的解析式为，联立两个函数确定点，点，过点作轴交于点，根据三角形面积，设，得出相应函数关系式即可求解；
（4）设平移后点对应的点为，连接，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交于点，利用相似三角形的判定和性质及平移的性质求解即可
【详解】（1）解：抛物线交轴于点，
，
令，
，
；
（2）①如解图①，连接，
，，
，
如解图①，设直线交轴于点，
设，代入得，
，
，
直线平分的面积，
，
，
（舍去），
；
②如解图②，
由（1）可知，抛物线的解析式为，
，
，
，
在Rt中，，
；
（3）直线与抛物线交于两点，
将点代入直线中，
得，
直线的解析式为，
联立
解得或
点，点，
如解图③．过点作轴交于点，
，
设，
，
，
当时，最大，最大值为，
面积的最大值为，此时；
（4）或.
如解图④，设平移后点对应的点为，连接，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交于点，
由题意得
，
，
设，则，
，
平移后的抛物线解析式为，
线段的中点坐标为，
当经过点时，
解得，
，．
9．(1)抛物线的解析式为；
(2)
(3)在对称轴上，存在点E，使以点B，D，E为顶点的三角形与相似，点E的坐标为或；
(4)点F的坐标为或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得以及点关于直线的对称点为，利用配方法求得顶点，据此求解即可；
（3）先求得，推出是等腰三角形，得到也是等腰三角形，分三种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可；
（4）先求得平移后的解析式为，点N的坐标为，设点F的坐标为，利用平行四边形的性质结合中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，对称轴直线，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，此时，
∵对称轴直线，
∴点关于直线的对称点为，
∵，，
∴当时，有最小值为2，
此时，
∵当时，的最小值为2，最大值为20，
∴；
故答案为：；
（3）解：∵点，，
∴设直线的解析式为，
将，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∵点，，，
作于点，
∴，
∴，，，，
∴，
∴是等腰三角形，点B，D，E为顶点的三角形与相似，
∴也是等腰三角形，
当点在点B上方时，作于点，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴点E的坐标为；
当点在点D上方，点B下方时，作于点，
，，
∵，
∴，即，
解得，
∴点E的坐标为；
当点在点D上下方时，
∵，而，
∴，此情况不存在，
综上，在对称轴上，存在点E，使以点B，D，E为顶点的三角形与相似，点E的坐标为或；
（4）解：设平移后的解析式为，
∵抛物线与x轴交于点M，
∴点M的坐标为，
将，代入得，，
解得，
∴平移后的解析式为，
令，则，
解得或，
∴点N的坐标为，
设点F的坐标为，
当为对角线时，，，
解得，，
∴点F的坐标为；
当为对角线时，，，
解得，，
∴点F的坐标为，
当为对角线时，，，
解得，，
∴点F的坐标为，
综上，点F的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键是解题的关键．
10．(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）解方程，即可求解；
（2）先求得，得到，再利用三角形的面积公式列式求解即可；
（3）利用等积法求得，在中，利用勾股定理求得，结合已知求得，利用等角的余角相等求得，利用正切函数的定义求得，得到，据此求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
，
，
，，
；
（2）解：当时，，
，
，
点在轴负半轴上，点的横坐标为，
，
，
即；
（3）解：，
，
，
，，
在中，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
代入，得
，
，
，
在中，．
【点睛】本题主要考查了二次函数与面积的综合、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正切的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
11．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将点，代入，即可求解；
（2）先求出直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，得出，得当时，取得最大值，此时点的坐标为，过点作，过点作于点， 则，得出，证明，则，则当点，，三点依次共线，且时，取得最小值，最小值为的长，求出直线的解析式为，则可得直线的解析式为，得点的坐标为，分别计算 和即可；
（3）利用平移得出新抛物线的对称轴为直线，在轴负半轴上取点，使得，得出，过点作于点，求出，证明，得，则，设，
分两种情况：当点在轴上方时和当点在轴下方时，分别构造一线三垂直全等，再利用全等性质和一次函数求解即可．
【详解】（1）解：把点，代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：当时，，
∴点，
设直线的解析式为，
把点，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，
此时点的坐标为，
如图，过点作，过点作于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据题意得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点，，三点依次共线，且时，取得最小值，最小值为的长，
设直线的解析式为，
把点，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴可设直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴点的坐标为，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：∵，，，
∴抛物线沿射线方向平移个单位长度，即水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴新抛物线的对称轴为直线，
在轴负半轴上取点，使得，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
当点在轴上方时，如图，过点作，交于点，过点作轴的垂线，过点作于点，过点作于点，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
将代入，
得，
解得：（负值舍），
∴；
当点在轴下方时，如图，过点作，交直线于点，过点作轴的垂线，过点作于点，过点作于点，
同理可得，
∴，，
∴，
同理可得直线的解析式为，
将代入，
得，
解得：或（舍），
∴；
综上，或．
【点睛】本题考查二次根式的图象与性质，待定系数法求一次函数与二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握二次函数与几何的相关方法是解题的关键．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）先求出点B的坐标，然后再运用待定系数法确定直线解析式，设，则，，最后根据即可解答；
（3）先求出点D的坐标，再求出的值，过点F作轴于点H，证明可得，再在上取点K，使得，连接，然后说明，再在中运用勾股定理可得；设F，则，根据点N在直线上列式求得t，进而确定点N的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点
∴，解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线经过点、点B，
令，
∴，解得，
∴
设直线解析式为
∵，，
∴，解得：
∴直线解析式为：
设，则，
∴，
即．
（3）解：由于直线交y轴于点D，又当时，
∴，
又∵
∴，
∴，
过点F作轴于点H，
∵轴于点M，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
在上取点K，使得，连接
∵，，
∴
∴，
又∵
∴，
∴，
在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，解得，
设F，则，
∴，
∵，，
∴，
∴点N的坐标是，
又∵点N在直线上
∴，解得，
当时，，
∴点N坐标是．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识点，灵活运用相关知识点为解答本题的关键．
13．(1)
(2)
(3)或
(4)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可得点P与点Q关于x轴对称，则可求出，据此得到此时点M与点Q重合，再根据三角形面积计算公式求解即可；
（3）分点P在点Q左边和右边两种情况，讨论求解即可；
（4）先求出C、D坐标，再分图4-1和图4-2两种临界情况，求出对应的m的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵轴，
∴点P与点Q关于x轴对称，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，当时，，
∴，
∴此时点M与点Q重合，
∴，
∵是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：当点P在点M左侧时，则，即，
∵是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∵轴，
∴轴，
设交x轴于H，则，
∵，，
∴，
∵，轴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
∴，
∴；
当点P在点M右侧时，则，即，
同理可得，
解得或，
∴，
∴
综上所述，点P的坐标为或
（4）解：∵，
∴，
∵点C、D到对称轴的距离均为（点C在点D的左侧），
∴点C的横坐标为，点D的横坐标为
在中，当时，，
∴，
∵点C和点D在图象G上，
∴，
∴；
如图4-1所示，当恰好经过点D时，设此时直线交x轴于I，交y轴于H，
∵轴，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∵，
∴，
解得或（舍去）
如图4-2所示，当恰好经过点O时，由（3）可得；
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
14．(1)
(2)线段存在最大值，最大值为，此时点的坐标为，理由见详解
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的结合，求线段的长度及最值问题，求自变量的取值范围等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）分析出线段存在最大值时的点位置，求出点坐标，然后借助几何图形和勾股定理求出此时线段的长度；
（3）假设，根据线段长度列出一元二次方程进行求解，结合图象即可求出自变量的取值范围．
【详解】（1）解：将代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：线段存在最大值，最大值为，此时点的坐标为，理由如下：
如果过点作直线，那么当直线与抛物线相切时，的值最大，
假设直线的解析式为，将代入解析式得，
解得
∴直线的解析式为，
∴直线的，
假设直线的解析式为，
联立得
，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
此时点的坐标为，
直线可以看作直线向上平移了个单位长度得到的，
如果过点作轴的平行线，交直线于一点，此时该点与两点够成了等腰直角三角形，
根据勾股定理得,
解得；
（3）解：假设，
∴，
解得或，
结合二次函数和一次函数图象得，
的取值范围为或．

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