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湖南省常德市城区及周边学校教学联盟2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·常德期末）如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A中，图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
B中，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意；
C中，图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
D中，图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查了图形的平移，根据图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，结合选项，逐项分析判断，得到的图案B，即可求解．
2．（2024七下·常德期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断D选项.
3．（2024七下·常德期末）已知是方程的一个解，那么a的值为（　　）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得：
，解得：；
故答案为：B．
【分析】使方程的左边等于右边的一对未知数的值就是二元一次方程的解，据此把代入方程x+ay=3可得关于字母a的一元一次方程，再解该一元一次方程即可．
4．（2024七下·常德期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、，故该式不成立，不符合题意，
D、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断是否是因式分解，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，据此逐一判断得出答案.
5．（2024七下·常德期末）已知方程组，则x﹣y的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣1
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
∴②①得：
故答案为：A．
【分析】两个方程相减即可.
6．（2024七下·常德期末）如图，已知，，垂足分别是C，D，其中，，，那么点C到的距离是（　　）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：因为
所以，即，
∴，即点C到的距离是，
故答案为：D．
【分析】由等面积法，根据建立方程，求解即可得出答案.
7．（2024七下·常德期末）如图，下列条件中不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，不能判定，则此项符合题意；
B、∵，
∴（内错角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
C、∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），则此项不符合题意；
D、∵，
∴（同位角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可求出答案.
8．（2024七下·常德期末）如图直线，，交于点O，平分，且，．则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，且，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】由垂直的定义得，由对顶角相等得，由角平分线的定义得，最后再根据代值计算即可．
9．（2024七下·常德期末）如图，将绕点逆时针旋转一定的角度，得到，且．若，，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：根据旋转的性质知，，，
∵，且设交于点，如图，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质可得，，由垂直的定义得，设AD交BC于点M，根据直角三角形两锐角互余得出∠MAC=30°，最后根据角的构成，由∠BAC=∠BAM+∠CAD，代值计算即可.
10．（2024七下·常德期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是（　　）
A． B．6 C． D．3
【答案】A
【知识点】幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：由题意得：，，
∴，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据每个三角形的三个顶点上的数字之和相等得出，，得出①，②，然后用①+②可得答案.
11．（2024七下·常德期末）计算：3x2 （﹣2x3）＝　 　．
【答案】
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：原式＝，
故答案为：．
【分析】根据单项式乘以单项式，把系数与相同字母的幂分别相乘作为积的一个因式，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式进行计算即可．
12．（2024七下·常德期末）已知方程组，则　 　．
【答案】0
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
则，
故答案为：0．
【分析】由于方程组中未知数y的系数呈倍数关系，故利用加减消元法求解较为简单；首先用方程①×3+②消去y求出x的值，再将x的值代入①方程求出y的值，从而可得原方程组的解.
13．（2024七下·常德期末）已知x+y=6，xy=-3，则x2y+xy2= 　 　．
【答案】-18
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x+y=6，xy=-3 ，
∴x2y+xy2= xy(x+y)=-3×6=-18.
故答案为：-18.
【分析】将待求式子利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算可得答案.
14．（2024七下·常德期末）若，则的值为　 　 .
【答案】-2
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：原式可化为，
∴，
解得：，
的值为-2.
故答案为：-2.
【分析】利用多项式乘多项式法则将等号右边展开、合并，再根据对应系数相等建立方程组，解之即可.
15．（2024七下·常德期末）已知：，则的值为　 　．
【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：8．
【分析】先根据已知等式可得m+2n=3，再逆用有理数乘方运算法则将所求式子变形为2m×(22)n，然后根据幂的乘方运算法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”进行计算，进而根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算，最后整体代入按有理数乘方运算法则计算即可．
16．（2024七下·常德期末）对甲、乙两位同学近六次数学测试成绩进行统计分析，已知甲测试成绩的方差是，甲的成绩比乙的成绩更稳定，则乙测试成绩的方差可能是　 　（写出一个即可）．
【答案】3（答案不唯一）
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲测试成绩的方差是，甲的成绩比乙的成绩更稳定，
∴乙发方差大于2.3
∴乙的方差可能是3（答案不唯一）.
故答案为：3.
【分析】根据方差的定义，方差越小，数据越稳定.
17．（2024七下·常德期末）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点作，
，
，
，，
又，，
，，
．
故答案为：.
【分析】过点C作CF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得CF∥DE，然后根据二直线平行，同旁内角互补（内错角相等）求出∠ACF=130°，∠DCF=120°，最后利用角的和差关系求解即可．
18．（2024七下·常德期末）已知直线，点P、Q分别在、上，，如图所示，射线按顺时针方向绕P点以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向绕Q点每秒旋转至停止，此时射线也停止旋转．若射线先转42秒，射线才开始转动，在到达前，当射线旋转的时间为　 　秒时，．
【答案】14或63.6或134
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：设射线PB旋转的时间为t秒，
∵射线QC绕Q点每秒旋转，射线QC先转42秒，射线PB才开始转动，
∴射线QC还需旋转138秒到达QD，
∴．
①如图，当，
，，
∵，
，
∵，
，
，
解得．
②如图，当时，
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
解得．
③如图，当时，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
综上，在到达前，当射线旋转的时间为14秒或63.6秒或134秒．
故答案为：14或63.6或134．
【分析】设射线PB旋转的时间为t秒，由题意得0＜t≤138，分三种情况：
①当时，根据路程、速度、时间三者的关系得，，由二直线平行同位角相等得， 由二直线平行，内错角相等得，则∠CQC'=∠BPB'，据此建立方程求解可得t的值；
②当时，由路程、速度、时间三者的关系得，， 由二直线平行，内错角相等得，有二直线平行，同旁内角互补得， 从而代入计算可得t的值；
③当时，根据路程、速度、时间三者的关系得， 由二直线平行，内错角相等得， 由二直线平行同位角相等得，据此建立方程，可求出t的值，综上即可得出答案.
19．（2024七下·常德期末）因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
，
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取各项的公因式x，再利用平方差公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止；
（2）把x2+4看成一个整体，先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止．
20．（2024七下·常德期末）先化简，再求值：．其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式的法则分别展开括号，再合并同类项得到最简结果，然后将x的值代入化简结果按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可．
21．（2024七下·常德期末）如图，平分，．
（1）判断与是否平行，并说明理由．
（2）若，，，求的度数．
【答案】（1）答：，理由如下：
平分
（2）解：设，则
平分
，即
，
答：．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）根据角平分线的定义结合等量代换可得到一组内错角相等，再利用平行线的判定定理即可；
（2）由垂直的概念结合直角三角形的性质可知与互余，再利用平行线的性质及角平分线的概念知，是的2倍，再利用已知与的数量关系可求出的值，再利用平行线的性质可得等于．
22．（2024七下·常德期末）如图①，和的顶点都在正方形网格中正方形格子的顶点上，我们把这样的三角形叫做“格点三角形”．
（1）在图①的正方形网格中，格点和格点关于某条直线成轴对称，请画出图①中的对称轴；
（2）请你利用轴对称的原理在图②中画出一个与图①位置不同且与成轴对称的格点；
（3）请图③中画出绕C点顺时针旋转的格点，
（4）在图④中找出点P（P不与C点重合），使格点三角形面积等于的面积，满足这样条件的点P共______个．
【答案】（1）解：如图所示，直线（点划线）即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
（3）解：如图所示，即为所求．
（4）
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；作图﹣旋转；作图-画给定对称轴的对称图形；作图-作给定图形的对称轴
【解析】【解答】（4）解：如图所示，满足条件的点有个．
故答案为：3.
【分析】（1）把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形折迹所在的直线就是对称轴，据此结合方格纸的特点作图即可；
（2）利用方格纸的特点及轴对称的性质，作出△ABC关于直线BC对称的图形DEF即可；
（3）根据旋转图形性质及方格纸的特点，找出A、B绕C点顺时针旋转90°后的的对应点A'、B'，再顺次连接A'、B'、C就可得到旋转后的图形；
（4）根据同底等高三角形面积相等及平行线间的距离处处相等，结合方格纸的特点即可得到所求的点P.
23．（2024七下·常德期末）雷锋精神是我们中华民族宝贵的精神财富，它激励着一代又一代的青少年健康成长，促进了社会文明的进步，为进一步弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的雷锋精神，倡导志愿服务理念，树立“学雷锋”的意识，某校组织了“学习雷锋精神，爱心捐款活动”．活动结束后，学生会随机抽取了部分学生的捐款金额进行统计，并用得到的数据绘制了如下统计图（不完整）．
请根据相关信息，解答下列问题，
（1）所抽取学生的人数为______；在扇形统计图中，捐款金额为40元所对的扇形的圆心角的度数为______，并补全条形统计图；
（2）所抽取学生的捐款金额的中位数是______元，并求出所抽取学生的平均捐款金额；
（3）若该校共有2400名学生参与捐款，请你估计该校学生捐款金额不少于30元的人数．
【答案】（1）解：所抽取学生的人数为（人），
捐款金额为40元所对的扇形的圆心角的度数为，
捐款金额为10元的人数为（人），
补全条形统计图如图：
故答案为：40人，；
（2）解：∵所抽取学生共有40人，其中捐款10元的6人，捐款20元的20人，
∴排序后排在第20，21位的是20元，
∴所抽取学生的捐款金额的中位数是（元），
所抽取学生的平均捐款金额为（元），
故答案为：20；
（3）解：（人），
答：估计该校学生捐款金额不少于30元的人数为840人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用捐款30元的人数除以所占百分比可得抽取总人数，用乘以捐款金额为40元的人数所占比例可得其所对的扇形圆心角度数，用本次调查的总人数分别减去捐款数为20元、30元、40元的人数，求出捐款10元的人数，即可补全条形统计图；
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可求出所抽取学生的捐款金额的中位数；进而利用加权平均数的计算方法求出所抽取学生的平均捐款金额；
（3）用该学校参与捐款的学生总人数乘以样本中捐款金额不少于30元的人数所占的比例即可估计该校学生捐款金额不少于30元的人数．
24．（2024七下·常德期末）某校准备组织七年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【答案】（1）解：设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生，
由题意得，
解得，
答：每辆小客车和每辆大客车各能坐20名学生，45名学生；
（2）解：①由题意得，，
∴，
∵x，y都是整数，
∴一定是整数，
∴一定是4的倍数，
∴或，
∴一共有2种租车方案：方案一，租用小客车17辆，大客车0辆；方案二：租用小客车8辆，大客车4辆；
②解：方案一的费用为元，
方案二的费用为元，
∵，
∴最省钱的方案是8辆小客车，4辆大客车，租金为64000元．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生，根据3辆小客车每次运送学生的人数+1辆大客车每次可运送学生=105人及1辆小客车每次运送学生的人数+2辆大客车每次可运送学生=110人，列出方程组求解即可；
（2）①x辆小客车每次运送学生的人数+y辆大客车每次可运送学生=340人，列出二元一次方程，求出方程的非负整数解即可得到答案；②求出两种方案的花费即可得到答案．
25．（2024七下·常德期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：∵，，
∴，，
∴，
∴．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若，，求的值；
（2）如图，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为24，求的面积．
（3）若，求的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴，．
∴，
∴．
（2）解：设，，
∴，．
∴，
∴．
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）由ab=1可得2ab=2，将a-b=2两边同时平方可得(a-b)2=4，然后根据完全平方公式将等式左边展开可得a2+b2-2ab=4，进而整体代入计算可得答案；
（2）设AC=m，BC=FC=n，由题意易得m+n=8，m2+n2=24，将m+n=8，两边同时平方得(m+n)2=64，然后根据完全平方公式将等式左边展开可得m2+n2+2mn=64，进而整体代入计算可得mn=40，最后利用三角形的面积公式即可求解；
（3）把8-x与x-5分别看成一个整体，可得(8-x)+(x-5)=3，两边同时平方得[(8-x)+(x-5)]2=9，然后根据完全平方公式将等式左边展开可得(8-x)2+(x-5)2+2(8-x)(x-5)=9，进而整体代入计算可得答案.
26．（2024七下·常德期末）已知，点P是平面内一点，过点P作射线与相交于点B．
（1）如图1，若点P为直线上一点，，，求的度数；
（2）如图2，若点P为直线之间区域的一点，射线交于点E，和的角平分线交于点F．请说明；
（3）如图3，若点P、H是直线上的点，射线交直线于点G，连接并延长交的角平分线于点Q，设.当时，请直接用含的代数式表示．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴.
∵，，
∴；
（2）证明：过点作，过点作，
，，
，
，，
，．
平分，
，
同理可得：．
设，，
，，
，，
，，
，
，
，
；
（3）解：或
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】（3）解：或．
当点在点的左侧时，如图，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
；
当点在点的右侧时，如图，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
；
综上所述，或．
【分析】（1）由二直线平行，同位角相等得∠CPM=∠ABM=60°，然后根据∠MPN=∠CPM+∠CPN代值计算可得答案；
（2）过点F作FK∥AB，过点P作PR∥AB，由二直线平行，内错角相等（同位角相等）得∠KFB=∠ABF，∠RPM=∠ABM，由平行于同一直线的两条直线互相平行得FK∥CD，PR∥CD，由二直线平行，内错角相等（同旁内角互补）得∠KFE=∠CEF及∠CEP+∠EPR=180°，由角平分线的定义得∠ABM=2∠ABF，∠CEP=2∠CEF，进而根据角的构成代值计算可得结论；
（3）分两种情况：当点H在点P的左侧时，由二直线平行，内错角相等得， 根据三角形外角性质及已知可得， 由角平分线的定义得， 进而再根据三角形外角性质即可求出； 当点H在点P的右侧时，由二直线平行，内错角相等得， 根据三角形外角性质及已知可得， 进而根据交的构成及三角形外角性质可求出，综上即可得出答案.
1 / 1湖南省常德市城区及周边学校教学联盟2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·常德期末）如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·常德期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·常德期末）已知是方程的一个解，那么a的值为（　　）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
4．（2024七下·常德期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·常德期末）已知方程组，则x﹣y的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣1
6．（2024七下·常德期末）如图，已知，，垂足分别是C，D，其中，，，那么点C到的距离是（　　）
A．3 B．4 C． D．
7．（2024七下·常德期末）如图，下列条件中不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024七下·常德期末）如图直线，，交于点O，平分，且，．则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024七下·常德期末）如图，将绕点逆时针旋转一定的角度，得到，且．若，，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·常德期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是（　　）
A． B．6 C． D．3
11．（2024七下·常德期末）计算：3x2 （﹣2x3）＝　 　．
12．（2024七下·常德期末）已知方程组，则　 　．
13．（2024七下·常德期末）已知x+y=6，xy=-3，则x2y+xy2= 　 　．
14．（2024七下·常德期末）若，则的值为　 　 .
15．（2024七下·常德期末）已知：，则的值为　 　．
16．（2024七下·常德期末）对甲、乙两位同学近六次数学测试成绩进行统计分析，已知甲测试成绩的方差是，甲的成绩比乙的成绩更稳定，则乙测试成绩的方差可能是　 　（写出一个即可）．
17．（2024七下·常德期末）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则　 　．
18．（2024七下·常德期末）已知直线，点P、Q分别在、上，，如图所示，射线按顺时针方向绕P点以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向绕Q点每秒旋转至停止，此时射线也停止旋转．若射线先转42秒，射线才开始转动，在到达前，当射线旋转的时间为　 　秒时，．
19．（2024七下·常德期末）因式分解：
（1）；
（2）．
20．（2024七下·常德期末）先化简，再求值：．其中．
21．（2024七下·常德期末）如图，平分，．
（1）判断与是否平行，并说明理由．
（2）若，，，求的度数．
22．（2024七下·常德期末）如图①，和的顶点都在正方形网格中正方形格子的顶点上，我们把这样的三角形叫做“格点三角形”．
（1）在图①的正方形网格中，格点和格点关于某条直线成轴对称，请画出图①中的对称轴；
（2）请你利用轴对称的原理在图②中画出一个与图①位置不同且与成轴对称的格点；
（3）请图③中画出绕C点顺时针旋转的格点，
（4）在图④中找出点P（P不与C点重合），使格点三角形面积等于的面积，满足这样条件的点P共______个．
23．（2024七下·常德期末）雷锋精神是我们中华民族宝贵的精神财富，它激励着一代又一代的青少年健康成长，促进了社会文明的进步，为进一步弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的雷锋精神，倡导志愿服务理念，树立“学雷锋”的意识，某校组织了“学习雷锋精神，爱心捐款活动”．活动结束后，学生会随机抽取了部分学生的捐款金额进行统计，并用得到的数据绘制了如下统计图（不完整）．
请根据相关信息，解答下列问题，
（1）所抽取学生的人数为______；在扇形统计图中，捐款金额为40元所对的扇形的圆心角的度数为______，并补全条形统计图；
（2）所抽取学生的捐款金额的中位数是______元，并求出所抽取学生的平均捐款金额；
（3）若该校共有2400名学生参与捐款，请你估计该校学生捐款金额不少于30元的人数．
24．（2024七下·常德期末）某校准备组织七年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
25．（2024七下·常德期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：∵，，
∴，，
∴，
∴．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若，，求的值；
（2）如图，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为24，求的面积．
（3）若，求的值．
26．（2024七下·常德期末）已知，点P是平面内一点，过点P作射线与相交于点B．
（1）如图1，若点P为直线上一点，，，求的度数；
（2）如图2，若点P为直线之间区域的一点，射线交于点E，和的角平分线交于点F．请说明；
（3）如图3，若点P、H是直线上的点，射线交直线于点G，连接并延长交的角平分线于点Q，设.当时，请直接用含的代数式表示．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A中，图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
B中，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意；
C中，图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
D中，图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查了图形的平移，根据图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，结合选项，逐项分析判断，得到的图案B，即可求解．
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断D选项.
3．【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得：
，解得：；
故答案为：B．
【分析】使方程的左边等于右边的一对未知数的值就是二元一次方程的解，据此把代入方程x+ay=3可得关于字母a的一元一次方程，再解该一元一次方程即可．
4．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、，故该式不成立，不符合题意，
D、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断是否是因式分解，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
∴②①得：
故答案为：A．
【分析】两个方程相减即可.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：因为
所以，即，
∴，即点C到的距离是，
故答案为：D．
【分析】由等面积法，根据建立方程，求解即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，不能判定，则此项符合题意；
B、∵，
∴（内错角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
C、∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），则此项不符合题意；
D、∵，
∴（同位角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，且，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】由垂直的定义得，由对顶角相等得，由角平分线的定义得，最后再根据代值计算即可．
9．【答案】C
【知识点】旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：根据旋转的性质知，，，
∵，且设交于点，如图，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质可得，，由垂直的定义得，设AD交BC于点M，根据直角三角形两锐角互余得出∠MAC=30°，最后根据角的构成，由∠BAC=∠BAM+∠CAD，代值计算即可.
10．【答案】A
【知识点】幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：由题意得：，，
∴，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据每个三角形的三个顶点上的数字之和相等得出，，得出①，②，然后用①+②可得答案.
11．【答案】
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：原式＝，
故答案为：．
【分析】根据单项式乘以单项式，把系数与相同字母的幂分别相乘作为积的一个因式，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式进行计算即可．
12．【答案】0
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
则，
故答案为：0．
【分析】由于方程组中未知数y的系数呈倍数关系，故利用加减消元法求解较为简单；首先用方程①×3+②消去y求出x的值，再将x的值代入①方程求出y的值，从而可得原方程组的解.
13．【答案】-18
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x+y=6，xy=-3 ，
∴x2y+xy2= xy(x+y)=-3×6=-18.
故答案为：-18.
【分析】将待求式子利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算可得答案.
14．【答案】-2
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：原式可化为，
∴，
解得：，
的值为-2.
故答案为：-2.
【分析】利用多项式乘多项式法则将等号右边展开、合并，再根据对应系数相等建立方程组，解之即可.
15．【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：8．
【分析】先根据已知等式可得m+2n=3，再逆用有理数乘方运算法则将所求式子变形为2m×(22)n，然后根据幂的乘方运算法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”进行计算，进而根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算，最后整体代入按有理数乘方运算法则计算即可．
16．【答案】3（答案不唯一）
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲测试成绩的方差是，甲的成绩比乙的成绩更稳定，
∴乙发方差大于2.3
∴乙的方差可能是3（答案不唯一）.
故答案为：3.
【分析】根据方差的定义，方差越小，数据越稳定.
17．【答案】
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点作，
，
，
，，
又，，
，，
．
故答案为：.
【分析】过点C作CF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得CF∥DE，然后根据二直线平行，同旁内角互补（内错角相等）求出∠ACF=130°，∠DCF=120°，最后利用角的和差关系求解即可．
18．【答案】14或63.6或134
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：设射线PB旋转的时间为t秒，
∵射线QC绕Q点每秒旋转，射线QC先转42秒，射线PB才开始转动，
∴射线QC还需旋转138秒到达QD，
∴．
①如图，当，
，，
∵，
，
∵，
，
，
解得．
②如图，当时，
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
解得．
③如图，当时，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
综上，在到达前，当射线旋转的时间为14秒或63.6秒或134秒．
故答案为：14或63.6或134．
【分析】设射线PB旋转的时间为t秒，由题意得0＜t≤138，分三种情况：
①当时，根据路程、速度、时间三者的关系得，，由二直线平行同位角相等得， 由二直线平行，内错角相等得，则∠CQC'=∠BPB'，据此建立方程求解可得t的值；
②当时，由路程、速度、时间三者的关系得，， 由二直线平行，内错角相等得，有二直线平行，同旁内角互补得， 从而代入计算可得t的值；
③当时，根据路程、速度、时间三者的关系得， 由二直线平行，内错角相等得， 由二直线平行同位角相等得，据此建立方程，可求出t的值，综上即可得出答案.
19．【答案】（1）解：
，
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取各项的公因式x，再利用平方差公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止；
（2）把x2+4看成一个整体，先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止．
20．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式的法则分别展开括号，再合并同类项得到最简结果，然后将x的值代入化简结果按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可．
21．【答案】（1）答：，理由如下：
平分
（2）解：设，则
平分
，即
，
答：．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）根据角平分线的定义结合等量代换可得到一组内错角相等，再利用平行线的判定定理即可；
（2）由垂直的概念结合直角三角形的性质可知与互余，再利用平行线的性质及角平分线的概念知，是的2倍，再利用已知与的数量关系可求出的值，再利用平行线的性质可得等于．
22．【答案】（1）解：如图所示，直线（点划线）即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
（3）解：如图所示，即为所求．
（4）
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；作图﹣旋转；作图-画给定对称轴的对称图形；作图-作给定图形的对称轴
【解析】【解答】（4）解：如图所示，满足条件的点有个．
故答案为：3.
【分析】（1）把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形折迹所在的直线就是对称轴，据此结合方格纸的特点作图即可；
（2）利用方格纸的特点及轴对称的性质，作出△ABC关于直线BC对称的图形DEF即可；
（3）根据旋转图形性质及方格纸的特点，找出A、B绕C点顺时针旋转90°后的的对应点A'、B'，再顺次连接A'、B'、C就可得到旋转后的图形；
（4）根据同底等高三角形面积相等及平行线间的距离处处相等，结合方格纸的特点即可得到所求的点P.
23．【答案】（1）解：所抽取学生的人数为（人），
捐款金额为40元所对的扇形的圆心角的度数为，
捐款金额为10元的人数为（人），
补全条形统计图如图：
故答案为：40人，；
（2）解：∵所抽取学生共有40人，其中捐款10元的6人，捐款20元的20人，
∴排序后排在第20，21位的是20元，
∴所抽取学生的捐款金额的中位数是（元），
所抽取学生的平均捐款金额为（元），
故答案为：20；
（3）解：（人），
答：估计该校学生捐款金额不少于30元的人数为840人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用捐款30元的人数除以所占百分比可得抽取总人数，用乘以捐款金额为40元的人数所占比例可得其所对的扇形圆心角度数，用本次调查的总人数分别减去捐款数为20元、30元、40元的人数，求出捐款10元的人数，即可补全条形统计图；
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可求出所抽取学生的捐款金额的中位数；进而利用加权平均数的计算方法求出所抽取学生的平均捐款金额；
（3）用该学校参与捐款的学生总人数乘以样本中捐款金额不少于30元的人数所占的比例即可估计该校学生捐款金额不少于30元的人数．
24．【答案】（1）解：设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生，
由题意得，
解得，
答：每辆小客车和每辆大客车各能坐20名学生，45名学生；
（2）解：①由题意得，，
∴，
∵x，y都是整数，
∴一定是整数，
∴一定是4的倍数，
∴或，
∴一共有2种租车方案：方案一，租用小客车17辆，大客车0辆；方案二：租用小客车8辆，大客车4辆；
②解：方案一的费用为元，
方案二的费用为元，
∵，
∴最省钱的方案是8辆小客车，4辆大客车，租金为64000元．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生，根据3辆小客车每次运送学生的人数+1辆大客车每次可运送学生=105人及1辆小客车每次运送学生的人数+2辆大客车每次可运送学生=110人，列出方程组求解即可；
（2）①x辆小客车每次运送学生的人数+y辆大客车每次可运送学生=340人，列出二元一次方程，求出方程的非负整数解即可得到答案；②求出两种方案的花费即可得到答案．
25．【答案】（1）解：∵，，
∴，．
∴，
∴．
（2）解：设，，
∴，．
∴，
∴．
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）由ab=1可得2ab=2，将a-b=2两边同时平方可得(a-b)2=4，然后根据完全平方公式将等式左边展开可得a2+b2-2ab=4，进而整体代入计算可得答案；
（2）设AC=m，BC=FC=n，由题意易得m+n=8，m2+n2=24，将m+n=8，两边同时平方得(m+n)2=64，然后根据完全平方公式将等式左边展开可得m2+n2+2mn=64，进而整体代入计算可得mn=40，最后利用三角形的面积公式即可求解；
（3）把8-x与x-5分别看成一个整体，可得(8-x)+(x-5)=3，两边同时平方得[(8-x)+(x-5)]2=9，然后根据完全平方公式将等式左边展开可得(8-x)2+(x-5)2+2(8-x)(x-5)=9，进而整体代入计算可得答案.
26．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴.
∵，，
∴；
（2）证明：过点作，过点作，
，，
，
，，
，．
平分，
，
同理可得：．
设，，
，，
，，
，，
，
，
，
；
（3）解：或
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】（3）解：或．
当点在点的左侧时，如图，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
；
当点在点的右侧时，如图，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
；
综上所述，或．
【分析】（1）由二直线平行，同位角相等得∠CPM=∠ABM=60°，然后根据∠MPN=∠CPM+∠CPN代值计算可得答案；
（2）过点F作FK∥AB，过点P作PR∥AB，由二直线平行，内错角相等（同位角相等）得∠KFB=∠ABF，∠RPM=∠ABM，由平行于同一直线的两条直线互相平行得FK∥CD，PR∥CD，由二直线平行，内错角相等（同旁内角互补）得∠KFE=∠CEF及∠CEP+∠EPR=180°，由角平分线的定义得∠ABM=2∠ABF，∠CEP=2∠CEF，进而根据角的构成代值计算可得结论；
（3）分两种情况：当点H在点P的左侧时，由二直线平行，内错角相等得， 根据三角形外角性质及已知可得， 由角平分线的定义得， 进而再根据三角形外角性质即可求出； 当点H在点P的右侧时，由二直线平行，内错角相等得， 根据三角形外角性质及已知可得， 进而根据交的构成及三角形外角性质可求出，综上即可得出答案.
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