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四川省绵阳市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·绵阳期末）下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数含有分母不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、被开方数含有分母不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、被开方数含有分母不是最简二次根式，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
2．（2024八下·绵阳期末）如果一组数据，，，的平均数是3，那么是（　　）
A．0 B．3 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得：．
故答案为：A．
【分析】平均数等于一组数的所有数据之和除以这组数的总个数，据此建立方程求解即可.
3．（2024八下·绵阳期末）以下列各组数为边长构造三角形，不是直角三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+22=8≠32，∴线段2，2，3不能构成直角三角形，此选项符合题意；
B、∵，∴线段1，，2能构成直角三角形，此选项不符合题意；
C、∵，∴线段5，12，13能构成直角三角形，此选项不符合题意；
D、∵，∴线段3，4，5能构成直角三角形，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】分别计算每一个选项中两短边的平方和是否等于长边的平方，根据勾股定理的逆定理依次判断即可求解．
4．（2024八下·绵阳期末）式子有意义时，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”，列出不等式求解即可.
5．（2024八下·绵阳期末）一次函数在平面直角坐标系内的图象如图所示，则和的取值范围是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+b（k≠0）在平面直角坐标系内的图象过第一、二、三象限，∴k＞0，b＞0，
故答案为：A．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此求解即可.
6．（2024八下·绵阳期末）下列化简或计算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 ，故A选项错误；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误；
C、与不是同类二次根式，不能合并，故C选项错误；
D、，故D选项正确．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式乘法法则“”可判断A选项，二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断B、C选项；由于二次根号具有括号的作用，先计算根号下的有理数乘法，再根据二次根式性质“”化简可判断D选项.
7．（2024八下·绵阳期末）下面给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、若，，不能判断四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
B、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴，
∴AB∥CD，
∴四边形是平行四边形，即此选项符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵，
∴，
这些条件不能判断四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
D、若，，不能判断四边形是平行四边形，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、两组邻边相等不能判断四边形是平行四边形；
B、由平行线的性质“两直线平行同旁内角互补”并结合已知条件可得，然后根据平行线的判定“同旁内角互补两直线平行”可得AB∥CD，再根据平行四边形的定义“有两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形；
C、由平行线的性质“两直线平行同旁内角互补”并结合已知条件可得∠A=∠B=90°，这些条件不能判断四边形是平行四边形；
D、一组邻边相等且一组对角相等不能判断四边形是平行四边形．
8．（2024八下·绵阳期末）如图，甲乙两艘轮船从某港口同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西，乙航行方向为北偏东，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点处，则此时两船相距（　　）海里．
A．36 B．40 C．48 D．50
【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】 【解答】解：∵，
∴，
即为直角三角形，
∵甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，
∴两小时后，（海里），（海里），
∴在中，（海里），
∴此时两轮船相距40海里．
故答案为：B．
【分析】由题意可得∠AOB=90°，则 AOB是直角三角形，根据路程=速度×时间可求得两直角边OA、OB的长，然后用勾股定理计算即可求解．
9．（2024八下·绵阳期末）如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵点为中点
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴是菱形，
∴
故答案为：D．
【分析】根据等角对等边和中点的概念得到DE=AE=EO，由等边对等角得∠EDO=∠EOD，结合三角形的内角和定理可求出∠AOD=90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠ADO得度数，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得平行四边形ABCD是菱形，最后根据菱形的每一条对角线平分一组对角可得答案.
10．（2024八下·绵阳期末）如图，函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于点，其中点为函数图象上点，且其纵坐标为2，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：如图所示，设直线与x轴交于D，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴，
∴，
联立，
解得，
∴；
在中，当y=2时，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】设直线与x轴交于D，根据直线与x轴交点坐标特点，分别令直线y=-2x+4与y=3x+3中的y=0，算出对应的自变量x的值，可求出A、D两点坐标，根据两点间距离公式得到AD的长；联立直线y=3x+3与y=-2x+4求解得出点B的坐标，将y=2代入y=-2x+4算出对应的自变量x的值可得点C的坐标，从而根据S△ABC=S△ABD-S△ACD，结合三角形面积计算公式列式计算即可.
11．（2024八下·绵阳期末）如图，函数图象与轴、轴分别交于两点，，点为直线上动点，连接，则的周长最小值为（　　）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵函数图象与轴、轴分别交于两点，
∴当时，，当时，，
∴点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
如图，取的中点E，连接，并延长至点D，使，连接，
则，，
∴，
∴的周长，
在 BEO和 AED中
∴ BEO≌ AED（SAS）
∴，
∴，
∴轴，
∵，
∴，
在Rt ACD中，由勾股定理得：
，
∴的周长的最小值为：CD+OC=．
故答案为：C.
【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，取的中点E，连接，并延长至点D，使，连接，则，，可得，根据两点之间线段最短可得的周长，用边角边可证，由全等三角形的性质“对应边相等、对应角相等”可得，从而可判断轴，在Rt ACD中，由勾股定理可求得的长，于是的周长的最小值即可求解．
12．（2024八下·绵阳期末）中，为边上点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．现有以下结论：
①；
②当时，四边形是平行四边形；
③当是正三角形时，四边形是菱形；
④保持的长度不变，改变大小，一定可以使得点是中点．
其中正确的有（　　）个
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，，
四边形是平行四边形，，
平分，
，
，
，
四边形是菱形，
，故①正确；
当时，，
∵DF∥AB，∴∠FDC=∠A，
∴∠FDC=∠C，
∴FC=FD
四边形是菱形，
，
∴ED=FC，
又，
四边形是平行四边形，故②正确；
当△ABC是正三角形时，AC=BC
又∵BD平分∠ABC，
∴DB⊥AC，CD=AC
又∵EF⊥BD，
∴EF∥AC，
又∵ED∥BC，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴ED=FC，
∵四边形BEDF是菱形，
∴ED=BF=FC=BC，
∴CD=CF
四边形是菱形，故③正确；
当点是中点时，，
四边形是菱形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，故④错误.
故答案为：C．
【分析】由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得四边形BEDF是平行四边形，由平行线的性质及角平分线的定义可得∠EBD=∠EDB，由等角对等边得BE=DE，从而根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得四边形BEDF是菱形，进而根据菱形的对角线垂线垂直可判断①；由等边对等角得∠A=∠C，由二直线平行，同位角相等得∠FDC=∠A，则∠FDC=∠C，由等角对等边得FD=FC，由菱形四边相等得ED=FD，则ED=FC，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形EDCF是平行四边形，据此可判断②；由等腰三角形的三线合一得DB⊥AC，CD=AC，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得EF∥AC，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得四边形EDCF是平行四边形，由平行四边形及菱形的四边相等得ED=BF=FC=BC，则CD=CF，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出四边形DEFC是菱形，据此可判断③；根据菱形性质及中点定义可得ED=FC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形EDCF是平行四边形，根据平行四边形的对边平行得EF∥AC，由平行线的性质及菱形性质推出BD⊥AC，进而结合结合等腰三角形的三线合一可推出AB=BC，据此可判断④.
13．（2024八下·绵阳期末）化简=　 　
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】先根据二次根式性质把化简为，然后再约分，即可得到答案．
14．（2024八下·绵阳期末）如图，在直角三角形中，，、分别为、边中点，若，，则　 　．
【答案】8
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，、分别为、边中点，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：8．
【分析】利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得CD=AB，由三角形的中位线等于第三边的一半得DE=AC，从而可求出AB、AC的长，最后根据勾股定理算出BC即可.
15．（2024八下·绵阳期末）若函数与的图象相交于第四象限，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；两一次函数图象相交或平行问题；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：联立得：，
解得：，
即交点坐标为，
∵交点在第四象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】解联立两函数解析式组成的方程组，用含k的式子表示出x、y，可得交点坐标，进而根据第四象限的点横坐标为正数，纵坐标为负数列出关于字母k的不等式组，求解即可得出k的取值范围.
16．（2024八下·绵阳期末）如图，点为正方形上边上点，于点，于点，若，为中点，则长度应是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：正方形中，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
故答案为：．
【分析】由正方形性质得AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠DCN=∠ADM，从而用AAS判断出△ADM≌△DCN，由全等三角形的对应边相等得AM=DN=3，DM=CN，进而结合中点定义求出DM的长，再利用勾股定理算出AD的长；由“有两组角对应相等的两个三角形相似”得△ADM∽△EDA，最后根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出AE.
17．（2024八下·绵阳期末）如图，在矩形中，为边上点，，沿直线将翻折得到，且点在边上，那么　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在矩形中，
，
由折叠的性质得：，
∵，
∴可设，则，
在中，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】由矩形性质得AB=CD，AD=BC，∠B=∠C=90°，由折叠性质得AE=EF，AD=DF，∠EFD=∠A=90°，结合，可设BE=x，AB=CD=3x，则AE=EF=2x，在Rt△BEF中，由勾股定理表示出BF，然后在Rt△CDF中，根据勾股定理建立方程，表示出AD，从而即可求出两线段的比值.
18．（2024八下·绵阳期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点为线段中点，四边形为平行四边形，且轴，垂直于轴的直线从轴出发向右平移，平移过程中直线被所截得的线段长度与直线上点的横坐标之间的函数图象如图2，则直线所对应的函数解析式应是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；动点问题的函数图象；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：根据题意得：点A的横坐标为4，点D的横坐标为7，点C的横坐标为15，AB与CD之间的距离为6，
∴，
如图，过点D作于点G，设当直线l过点A时，直线l与x轴交于点H，则，，
∵轴，
∴，
∵A为线段中点，
∴，
∴，
∴，
∴点，
∵，，
∴点，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
故答案为：.
【分析】根据动点问题函数图象提供的信息可得点A的横坐标为4，点D的横坐标为7，点C的横坐标为15，AB与CD之间的距离为6，由两点间的距离公式得CD=8；过点D作DG⊥AB于点G，设当直线l过点A时，直线l与x轴交于点H，则DG=6，用AAS判断出△AEH≌△DAG，由全等三角形的对应边相等得AH=DG=6，从而根据点的坐标与图形性质可求出点A、D的坐标劲儿根据平行四边形的性质及点的坐标与图形性质可得到点B、C的坐标，最后利用待定系数法求出直线BC的解析式即可.
19．（2024八下·绵阳期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式性质将第一、二个二次根式分别化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先利用平方差公式展开括号，再根据二次根式性质计算，最后计算有理数减法即可．
20．（2024八下·绵阳期末）甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如下表所示：
次数 1次 2次 3次 4次 5次
甲 6 5 7 6 6
乙 7 6 6 3 8
（1）请根据表中的数据填写下表：
姓名 平均数（环） 众数（环）
甲 　 　
乙 　 　
（2）计算出甲乙二人射击成绩的方差，若在二人中选择一人代表学校参赛，你认为选谁更合理．
【答案】（1）解：甲射靶的成绩为：5，6，6，6，7；乙射靶的成绩为：3，6，6，7，8；
∴甲的平均数为：，众数为：6，
乙的平均数为：，众数为：6；
填表如下：
姓名 平均数（环） 众数（环）
甲 6 6
乙 6 6
（2）解：，
，
，且甲、乙成绩的平均数和众数都相同，
乙的成绩波动大，甲的成绩较稳定，
选择甲代表学校参赛，更合理．
【知识点】统计表；平均数及其计算；方差；众数
【解析】【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此求解即可；
（2）方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算出甲乙的方差，进而根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，即可判断得出答案.
21．（2024八下·绵阳期末）如图，中，为对角线中点，分别为边上点，直线，垂足为，连接．
（1）证明：四边形是菱形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵为对角线中点，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，过点A作交延长线于点G，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠BAC=∠ACD，∠AEF=∠CFE，由中点定义得OA=OC，从而由AAS判断出△AOE≌△COF，由全等三角形的对应边相等得CF=AE，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形AECF是平行四边形，进而再根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可得出结论；
（2）过点A作AG⊥CD交CD延长线于点G，由二直线平行，同旁内角互补得∠BAG=90°，由角的和差得出∠DAG=30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质得出DG=AD=2，进而利用勾股定理算出AG的长，由菱形的性质设AE=AF=CF=x，则DF=8-x，FG=10-x，在Rt△AGF中，根据勾股定理建立方程，即可求解．
22．（2024八下·绵阳期末）某快递公司准备投入资金（万元）购买A、B两型自动分拣机器共10台，其中购进型机器台．下表是两种型号机器的相关信息：
型号 分拣速度 单价
A 1500件/小时 8万元/台
B 1200件/小时 6万元/台
（1）求关于的函数关系式；
（2）若要使10台自动分拣机器每小时分拣快递件数达到13000件，该公司需要至少投入资金多少万元？
【答案】（1）解：根据题意得，y关于x的函数关系式为；
（2）解：由题得：，解得，
∵x为整数，
∴x的最小值为4，
∵在中，，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y取得最小值，最小值为，
∴该公司至少需要投入资金68万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设购进A型自动分拣机器x台，则购进B型自动分拣机器(10-x)台，根据单价乘以数量等于总价及投入资金等于购买x台A型自动分拣机器的费用+购买(10-x)台B两型自动分拣机器费用，即可建立出y关于x的函数关系式；
（2）根据x台A型自动分拣机器每小时的分拣量+(10-x)台B两型自动分拣机器每小时的分拣量不少于13000件，列出不等式，求出x的最小整数解，进而再根据一次函数的性质，即可求解．
23．（2024八下·绵阳期末）如图，四边形中，，，，为中点，且，连接．
（1）求的长度；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）解：过点D作，垂足为，
∴，
=∠AHD，
，
∵AD=，
，
，
，为中点，
，
，
在Rt DEH中，由勾股定理得：
；
答：DE的长为
（2）解：在图（1）的基础上，过点作，分别交与点G，交延长线于点P，
，，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在 DHE和 CPD中
，
，
，
四边形是矩形，
，
，即点G为中点，
，
∴在Rt CGE中，由勾股定理可得：
．
答：BC的长为
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）过点D作，垂足为，根据，由等角对等边可得，在Rt ADH中，用勾股定理即可求出，由线段中点定义可得，由线段的构成可求得HE=AE-AH求出HE的值，在Rt DEH中，用勾股定理即可求得的值；
（2）在图（1）基础上，过点作，分别交与点G，交延长线于点P，由三角形外角的性质得到，结合，推出，由，由等角对等边可得DE=CD，用勾股定理求出，结合已知用角角边可证 DHE≌ CPD，由全等三角形的对应边相等可得，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的性质可得HG=PC，由线段的构成EG=HG-EH求出EG的值，即点G为中点，在Rt CGE中，由勾股定理即可求解．
24．（2024八下·绵阳期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于两点，已知，连接，分别为线段上动点（不含端点），连接．
（1）求直线所对应的函数解析式；
（2）如图1，作轴于点，作轴于点，当四边形是正方形时，求长度；
（3）如图2，为轴上动点，连接，当四边形是平行四边形时，若设点的横坐标为，点的纵坐标为，请求关于的函数解析式及相应的取值范围．
【答案】（1）解：令y=-x+4中的，得，
令y=-x+4中的，得，
∴，，
设直线所对应的函数解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线所对应的函数解析式为；
（2）解：∵，，，
∴，，，
∴，
设正方形的边长为，则，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，则，
∵DM⊥x轴，OC⊥x轴，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：∵点的横坐标为，点的纵坐标为，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
则，
即，
整理得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；正方形的性质；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据直线与纵坐标交点的坐标特点，分别令y=-x+4中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得点C与B的坐标；然后利用待定系数法求出直线AC的解析式即可；
（2）首先根据A、B、C三点坐标得出OA、OB、OC的长度，然后利用勾股定理算出AC的长度，设正方形DMNE的边长为m，则DM=GO=DE=m，GC=4-m，由正方形对边平行得DE∥AB，由“平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似”得△CDE∽△CAB，由相似三角形对应边成比例建立方程求出DM的长；由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得DM∥OC，由“平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似”得△ADM∽△ACO，由相似三角形对应边成比例建立方程求出AD的长；
（3）易得AF=x+3，GC=4-y，由平行四边形的对边平行且相等得DE∥AB，DE=AF=x+3，由“平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似”得△CDE∽△CAB，由相似三角形对应边成比例建立方程求出y关于x的函数关系式.
1 / 1四川省绵阳市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·绵阳期末）下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·绵阳期末）如果一组数据，，，的平均数是3，那么是（　　）
A．0 B．3 C．4 D．2
3．（2024八下·绵阳期末）以下列各组数为边长构造三角形，不是直角三角形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·绵阳期末）式子有意义时，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·绵阳期末）一次函数在平面直角坐标系内的图象如图所示，则和的取值范围是（　　）
A．， B．， C．， D．，
6．（2024八下·绵阳期末）下列化简或计算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·绵阳期末）下面给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
8．（2024八下·绵阳期末）如图，甲乙两艘轮船从某港口同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西，乙航行方向为北偏东，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点处，则此时两船相距（　　）海里．
A．36 B．40 C．48 D．50
9．（2024八下·绵阳期末）如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·绵阳期末）如图，函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于点，其中点为函数图象上点，且其纵坐标为2，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·绵阳期末）如图，函数图象与轴、轴分别交于两点，，点为直线上动点，连接，则的周长最小值为（　　）
A．3 B．4 C． D．
12．（2024八下·绵阳期末）中，为边上点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．现有以下结论：
①；
②当时，四边形是平行四边形；
③当是正三角形时，四边形是菱形；
④保持的长度不变，改变大小，一定可以使得点是中点．
其中正确的有（　　）个
A． B． C． D．
13．（2024八下·绵阳期末）化简=　 　
14．（2024八下·绵阳期末）如图，在直角三角形中，，、分别为、边中点，若，，则　 　．
15．（2024八下·绵阳期末）若函数与的图象相交于第四象限，则的取值范围是　 　．
16．（2024八下·绵阳期末）如图，点为正方形上边上点，于点，于点，若，为中点，则长度应是　 　．
17．（2024八下·绵阳期末）如图，在矩形中，为边上点，，沿直线将翻折得到，且点在边上，那么　 　．
18．（2024八下·绵阳期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点为线段中点，四边形为平行四边形，且轴，垂直于轴的直线从轴出发向右平移，平移过程中直线被所截得的线段长度与直线上点的横坐标之间的函数图象如图2，则直线所对应的函数解析式应是　 　．
19．（2024八下·绵阳期末）计算：
（1）；
（2）．
20．（2024八下·绵阳期末）甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如下表所示：
次数 1次 2次 3次 4次 5次
甲 6 5 7 6 6
乙 7 6 6 3 8
（1）请根据表中的数据填写下表：
姓名 平均数（环） 众数（环）
甲 　 　
乙 　 　
（2）计算出甲乙二人射击成绩的方差，若在二人中选择一人代表学校参赛，你认为选谁更合理．
21．（2024八下·绵阳期末）如图，中，为对角线中点，分别为边上点，直线，垂足为，连接．
（1）证明：四边形是菱形；
（2）若，，，求的长．
22．（2024八下·绵阳期末）某快递公司准备投入资金（万元）购买A、B两型自动分拣机器共10台，其中购进型机器台．下表是两种型号机器的相关信息：
型号 分拣速度 单价
A 1500件/小时 8万元/台
B 1200件/小时 6万元/台
（1）求关于的函数关系式；
（2）若要使10台自动分拣机器每小时分拣快递件数达到13000件，该公司需要至少投入资金多少万元？
23．（2024八下·绵阳期末）如图，四边形中，，，，为中点，且，连接．
（1）求的长度；
（2）若，求的长度．
24．（2024八下·绵阳期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于两点，已知，连接，分别为线段上动点（不含端点），连接．
（1）求直线所对应的函数解析式；
（2）如图1，作轴于点，作轴于点，当四边形是正方形时，求长度；
（3）如图2，为轴上动点，连接，当四边形是平行四边形时，若设点的横坐标为，点的纵坐标为，请求关于的函数解析式及相应的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数含有分母不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、被开方数含有分母不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、被开方数含有分母不是最简二次根式，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得：．
故答案为：A．
【分析】平均数等于一组数的所有数据之和除以这组数的总个数，据此建立方程求解即可.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+22=8≠32，∴线段2，2，3不能构成直角三角形，此选项符合题意；
B、∵，∴线段1，，2能构成直角三角形，此选项不符合题意；
C、∵，∴线段5，12，13能构成直角三角形，此选项不符合题意；
D、∵，∴线段3，4，5能构成直角三角形，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】分别计算每一个选项中两短边的平方和是否等于长边的平方，根据勾股定理的逆定理依次判断即可求解．
4．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”，列出不等式求解即可.
5．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+b（k≠0）在平面直角坐标系内的图象过第一、二、三象限，∴k＞0，b＞0，
故答案为：A．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此求解即可.
6．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 ，故A选项错误；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误；
C、与不是同类二次根式，不能合并，故C选项错误；
D、，故D选项正确．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式乘法法则“”可判断A选项，二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断B、C选项；由于二次根号具有括号的作用，先计算根号下的有理数乘法，再根据二次根式性质“”化简可判断D选项.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、若，，不能判断四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
B、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴，
∴AB∥CD，
∴四边形是平行四边形，即此选项符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵，
∴，
这些条件不能判断四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
D、若，，不能判断四边形是平行四边形，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、两组邻边相等不能判断四边形是平行四边形；
B、由平行线的性质“两直线平行同旁内角互补”并结合已知条件可得，然后根据平行线的判定“同旁内角互补两直线平行”可得AB∥CD，再根据平行四边形的定义“有两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形；
C、由平行线的性质“两直线平行同旁内角互补”并结合已知条件可得∠A=∠B=90°，这些条件不能判断四边形是平行四边形；
D、一组邻边相等且一组对角相等不能判断四边形是平行四边形．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】 【解答】解：∵，
∴，
即为直角三角形，
∵甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，
∴两小时后，（海里），（海里），
∴在中，（海里），
∴此时两轮船相距40海里．
故答案为：B．
【分析】由题意可得∠AOB=90°，则 AOB是直角三角形，根据路程=速度×时间可求得两直角边OA、OB的长，然后用勾股定理计算即可求解．
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵点为中点
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴是菱形，
∴
故答案为：D．
【分析】根据等角对等边和中点的概念得到DE=AE=EO，由等边对等角得∠EDO=∠EOD，结合三角形的内角和定理可求出∠AOD=90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠ADO得度数，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得平行四边形ABCD是菱形，最后根据菱形的每一条对角线平分一组对角可得答案.
10．【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：如图所示，设直线与x轴交于D，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴，
∴，
联立，
解得，
∴；
在中，当y=2时，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】设直线与x轴交于D，根据直线与x轴交点坐标特点，分别令直线y=-2x+4与y=3x+3中的y=0，算出对应的自变量x的值，可求出A、D两点坐标，根据两点间距离公式得到AD的长；联立直线y=3x+3与y=-2x+4求解得出点B的坐标，将y=2代入y=-2x+4算出对应的自变量x的值可得点C的坐标，从而根据S△ABC=S△ABD-S△ACD，结合三角形面积计算公式列式计算即可.
11．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵函数图象与轴、轴分别交于两点，
∴当时，，当时，，
∴点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
如图，取的中点E，连接，并延长至点D，使，连接，
则，，
∴，
∴的周长，
在 BEO和 AED中
∴ BEO≌ AED（SAS）
∴，
∴，
∴轴，
∵，
∴，
在Rt ACD中，由勾股定理得：
，
∴的周长的最小值为：CD+OC=．
故答案为：C.
【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，取的中点E，连接，并延长至点D，使，连接，则，，可得，根据两点之间线段最短可得的周长，用边角边可证，由全等三角形的性质“对应边相等、对应角相等”可得，从而可判断轴，在Rt ACD中，由勾股定理可求得的长，于是的周长的最小值即可求解．
12．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，，
四边形是平行四边形，，
平分，
，
，
，
四边形是菱形，
，故①正确；
当时，，
∵DF∥AB，∴∠FDC=∠A，
∴∠FDC=∠C，
∴FC=FD
四边形是菱形，
，
∴ED=FC，
又，
四边形是平行四边形，故②正确；
当△ABC是正三角形时，AC=BC
又∵BD平分∠ABC，
∴DB⊥AC，CD=AC
又∵EF⊥BD，
∴EF∥AC，
又∵ED∥BC，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴ED=FC，
∵四边形BEDF是菱形，
∴ED=BF=FC=BC，
∴CD=CF
四边形是菱形，故③正确；
当点是中点时，，
四边形是菱形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，故④错误.
故答案为：C．
【分析】由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得四边形BEDF是平行四边形，由平行线的性质及角平分线的定义可得∠EBD=∠EDB，由等角对等边得BE=DE，从而根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得四边形BEDF是菱形，进而根据菱形的对角线垂线垂直可判断①；由等边对等角得∠A=∠C，由二直线平行，同位角相等得∠FDC=∠A，则∠FDC=∠C，由等角对等边得FD=FC，由菱形四边相等得ED=FD，则ED=FC，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形EDCF是平行四边形，据此可判断②；由等腰三角形的三线合一得DB⊥AC，CD=AC，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得EF∥AC，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得四边形EDCF是平行四边形，由平行四边形及菱形的四边相等得ED=BF=FC=BC，则CD=CF，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出四边形DEFC是菱形，据此可判断③；根据菱形性质及中点定义可得ED=FC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形EDCF是平行四边形，根据平行四边形的对边平行得EF∥AC，由平行线的性质及菱形性质推出BD⊥AC，进而结合结合等腰三角形的三线合一可推出AB=BC，据此可判断④.
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】先根据二次根式性质把化简为，然后再约分，即可得到答案．
14．【答案】8
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，、分别为、边中点，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：8．
【分析】利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得CD=AB，由三角形的中位线等于第三边的一半得DE=AC，从而可求出AB、AC的长，最后根据勾股定理算出BC即可.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；两一次函数图象相交或平行问题；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：联立得：，
解得：，
即交点坐标为，
∵交点在第四象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】解联立两函数解析式组成的方程组，用含k的式子表示出x、y，可得交点坐标，进而根据第四象限的点横坐标为正数，纵坐标为负数列出关于字母k的不等式组，求解即可得出k的取值范围.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：正方形中，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
故答案为：．
【分析】由正方形性质得AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠DCN=∠ADM，从而用AAS判断出△ADM≌△DCN，由全等三角形的对应边相等得AM=DN=3，DM=CN，进而结合中点定义求出DM的长，再利用勾股定理算出AD的长；由“有两组角对应相等的两个三角形相似”得△ADM∽△EDA，最后根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出AE.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在矩形中，
，
由折叠的性质得：，
∵，
∴可设，则，
在中，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】由矩形性质得AB=CD，AD=BC，∠B=∠C=90°，由折叠性质得AE=EF，AD=DF，∠EFD=∠A=90°，结合，可设BE=x，AB=CD=3x，则AE=EF=2x，在Rt△BEF中，由勾股定理表示出BF，然后在Rt△CDF中，根据勾股定理建立方程，表示出AD，从而即可求出两线段的比值.
18．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；动点问题的函数图象；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：根据题意得：点A的横坐标为4，点D的横坐标为7，点C的横坐标为15，AB与CD之间的距离为6，
∴，
如图，过点D作于点G，设当直线l过点A时，直线l与x轴交于点H，则，，
∵轴，
∴，
∵A为线段中点，
∴，
∴，
∴，
∴点，
∵，，
∴点，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
故答案为：.
【分析】根据动点问题函数图象提供的信息可得点A的横坐标为4，点D的横坐标为7，点C的横坐标为15，AB与CD之间的距离为6，由两点间的距离公式得CD=8；过点D作DG⊥AB于点G，设当直线l过点A时，直线l与x轴交于点H，则DG=6，用AAS判断出△AEH≌△DAG，由全等三角形的对应边相等得AH=DG=6，从而根据点的坐标与图形性质可求出点A、D的坐标劲儿根据平行四边形的性质及点的坐标与图形性质可得到点B、C的坐标，最后利用待定系数法求出直线BC的解析式即可.
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式性质将第一、二个二次根式分别化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先利用平方差公式展开括号，再根据二次根式性质计算，最后计算有理数减法即可．
20．【答案】（1）解：甲射靶的成绩为：5，6，6，6，7；乙射靶的成绩为：3，6，6，7，8；
∴甲的平均数为：，众数为：6，
乙的平均数为：，众数为：6；
填表如下：
姓名 平均数（环） 众数（环）
甲 6 6
乙 6 6
（2）解：，
，
，且甲、乙成绩的平均数和众数都相同，
乙的成绩波动大，甲的成绩较稳定，
选择甲代表学校参赛，更合理．
【知识点】统计表；平均数及其计算；方差；众数
【解析】【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此求解即可；
（2）方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算出甲乙的方差，进而根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，即可判断得出答案.
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵为对角线中点，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，过点A作交延长线于点G，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠BAC=∠ACD，∠AEF=∠CFE，由中点定义得OA=OC，从而由AAS判断出△AOE≌△COF，由全等三角形的对应边相等得CF=AE，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形AECF是平行四边形，进而再根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可得出结论；
（2）过点A作AG⊥CD交CD延长线于点G，由二直线平行，同旁内角互补得∠BAG=90°，由角的和差得出∠DAG=30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质得出DG=AD=2，进而利用勾股定理算出AG的长，由菱形的性质设AE=AF=CF=x，则DF=8-x，FG=10-x，在Rt△AGF中，根据勾股定理建立方程，即可求解．
22．【答案】（1）解：根据题意得，y关于x的函数关系式为；
（2）解：由题得：，解得，
∵x为整数，
∴x的最小值为4，
∵在中，，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y取得最小值，最小值为，
∴该公司至少需要投入资金68万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设购进A型自动分拣机器x台，则购进B型自动分拣机器(10-x)台，根据单价乘以数量等于总价及投入资金等于购买x台A型自动分拣机器的费用+购买(10-x)台B两型自动分拣机器费用，即可建立出y关于x的函数关系式；
（2）根据x台A型自动分拣机器每小时的分拣量+(10-x)台B两型自动分拣机器每小时的分拣量不少于13000件，列出不等式，求出x的最小整数解，进而再根据一次函数的性质，即可求解．
23．【答案】（1）解：过点D作，垂足为，
∴，
=∠AHD，
，
∵AD=，
，
，
，为中点，
，
，
在Rt DEH中，由勾股定理得：
；
答：DE的长为
（2）解：在图（1）的基础上，过点作，分别交与点G，交延长线于点P，
，，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在 DHE和 CPD中
，
，
，
四边形是矩形，
，
，即点G为中点，
，
∴在Rt CGE中，由勾股定理可得：
．
答：BC的长为
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）过点D作，垂足为，根据，由等角对等边可得，在Rt ADH中，用勾股定理即可求出，由线段中点定义可得，由线段的构成可求得HE=AE-AH求出HE的值，在Rt DEH中，用勾股定理即可求得的值；
（2）在图（1）基础上，过点作，分别交与点G，交延长线于点P，由三角形外角的性质得到，结合，推出，由，由等角对等边可得DE=CD，用勾股定理求出，结合已知用角角边可证 DHE≌ CPD，由全等三角形的对应边相等可得，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的性质可得HG=PC，由线段的构成EG=HG-EH求出EG的值，即点G为中点，在Rt CGE中，由勾股定理即可求解．
24．【答案】（1）解：令y=-x+4中的，得，
令y=-x+4中的，得，
∴，，
设直线所对应的函数解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线所对应的函数解析式为；
（2）解：∵，，，
∴，，，
∴，
设正方形的边长为，则，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，则，
∵DM⊥x轴，OC⊥x轴，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：∵点的横坐标为，点的纵坐标为，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
则，
即，
整理得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；正方形的性质；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据直线与纵坐标交点的坐标特点，分别令y=-x+4中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得点C与B的坐标；然后利用待定系数法求出直线AC的解析式即可；
（2）首先根据A、B、C三点坐标得出OA、OB、OC的长度，然后利用勾股定理算出AC的长度，设正方形DMNE的边长为m，则DM=GO=DE=m，GC=4-m，由正方形对边平行得DE∥AB，由“平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似”得△CDE∽△CAB，由相似三角形对应边成比例建立方程求出DM的长；由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得DM∥OC，由“平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似”得△ADM∽△ACO，由相似三角形对应边成比例建立方程求出AD的长；
（3）易得AF=x+3，GC=4-y，由平行四边形的对边平行且相等得DE∥AB，DE=AF=x+3，由“平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似”得△CDE∽△CAB，由相似三角形对应边成比例建立方程求出y关于x的函数关系式.
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