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四川省成都市成都市第四十六中学（四川师范大学附属中学外国语学校）2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·成都期末）下列各式： ， ， ＋y， ， ，其中分式共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】在 ， ， ， ， ，中是分式的有： ， ，故B符合题意.
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式.利用这点进行解题即可.
2．（2024八下·成都期末）若分式的值为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x=3
故答案为：D.
【分析】根据分式值为零的条件“分子等于零且分母不为零”建立混合组，求解即可.
3．（2024八下·成都期末）一组数据从小到大排列为1，2，4，x，6，9，它的中位数是5，则这组数据的众数是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴，
∴1，2，4，6，6，9，中出现次数最多的是6；
故众数为6.
故答案为：D．
【分析】中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求出x的值，进而根据“在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)”求解即可.
4．（2024八下·成都期末）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班 50名同学的视力检查数据如表，其中有两个数据被遮盖．
视力 4.6以下 4.6 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 　 　 7 9 14 11
下列关于视力的统计量中，与被遮盖的数据均无关的是（　　）
A．中位数，众数 B．中位数，方差
C．平均数，方差 D．平均数，众数
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由题意，得：视力在及以下的人数为名，
∴视力为4.9的人数最多，故众数为4.9，
排在第25和第26个的数据为4.9和4.8，
∴中位数为：，
故中位数，众数与被遮盖的数据均无关，平均数和方差受被遮盖的数据影响.
故答案为：A．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
5．（2024八下·成都期末）函数 的图象经过点（ ，6），则下列各点中，在函数 图象上的是（　　）
A．（3，8） B．（3， ）
C．（ ， ） D．（ ， ）
【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵函数y= 的图象经过点( 4，6)，
∴6= ，解得k= 24，∴y= ，
在A中，(3，8)代入不成立，故A不符合题意；
在B中，(3， 8)代入成立，故B符合题意；
在C中，( 8， 3)代入不成立，故C不符合题意；
在D中，( 4， 6)代入不成立，故D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】先将点( 4，6)代入y= 中，求出k值，即得y= ，然后将各项坐标代入检验即可.
6．（2024八下·成都期末）若点在第四象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意得
2m-1<0，
∴.
故答案为：D.
【分析】由点的坐标符号与象限的关系为：第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，据此结合题意列出关于字母m的不等式，求解即可.
7．（2024八下·成都期末）如图，平行四边形的周长为40，的周长比的周长多10，则为（　　）
A．5 B．20 C．10 D．15
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=OC，AB=CD，AD=BC，
∵△AOB的周长比△BOC的周长少10cm，
∴BC+OB+OC-（AB+OB+OA）=10cm，
∴BC-AB=10cm①，
∵平行四边形ABCD的周长是40cm，
∴AB+BC+CD+AD=40cm，
∴BC+AB=20cm②，
∴AB=5cm.
故答案为：A.
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得AO=OC，由三角形周长计算公式可推出BC-AB=10cm①，进而根据平行四边形的周长计算方法求出BC+AB=20cm②，从而用②-①可求出AB的长.
8．（2024八下·成都期末）直线经过第一、二、四象限，则直线的图像只能是图中的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：直线经过第一、二、四象限，
∴，
∴直线的图象经过一，三，四象限；
故答案为：D．
【分析】一次函数y=ax+b（a、b为常数，且a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；据此根据直线经过的象限，判断出a、b的符号，进而判断出另一条直线的图象经过的象限即可．
9．（2024八下·成都期末）若函数y=kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜5 D．x＞5
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx﹣b经过点（2，0），
∴2k﹣b=0，b=2k．
∵函数图象经过一、二、四象限
∴k＜0；
解关于k（x﹣3）﹣b＞0，
移项得：kx＞3k+b，即kx＞5k；
两边同时除以k，因为k＜0，因而解集是x＜5．
故答案为：C．
【分析】根据函数图象知：一次函数过点（2，0）；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出b=2k；由函数图象经过一、二、四象限得出k＜0，然后将b=2k代入k（x﹣3）﹣b＞0中进行求解即可．
10．（2024八下·成都期末）如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，AD∥BC，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的对边平行，四边相等得AB∥CD，AD∥BC，AB=BC，由二直线平行，内错角相等可得∠BCA=DAC=25°及∠MAO=∠NXO，∠AMO=∠CNO，结合AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，由全等三角形的对应边相等可得AO=CO，然后由等腰三角形的三线合一可得BO⊥AC，继而根据直角三角形的量锐角互余可求得∠OBC得度数.
11．（2024八下·成都期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD∥AB．
∵点O是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=AB=1.5，
∴ED=2OD=3．
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形的性质可得OD=OE，OA=OC，再证出当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC，再证出OD是△ABC的中位线，可得OD=AB=1.5，最后求出ED=2OD=3即可．
12．（2024八下·成都期末）定义新运算：例如：，，则函数，的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：根据题意得，
函数的图象为反比例函数的图象，
∵当时，，当，，
∴该分比例函数图象两支分布在第一、二象限，故A、B、C选项都不符合题意，只有D选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据新定义运算法则得出函数的图象为反比例函数与的图象， 然后根据反比例函数中当k＞0时，图象两支在一、三象限，当k＜0时，图象两支在二、四象限，进而再结合x的取值判断出函数值y的取值范围，即可判断得出答案.
13．（2024八下·成都期末）计算 的结果为　 　
【答案】-1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：由分式的加减运算法则可得：
故答案为：-1.
【分析】由同分母分式的相减，分母不变，分子相减进行计算，最后再约分化简即可.
14．（2024八下·成都期末）某公司招聘一名公关人员，对甲进行了笔试和面试，面试和笔试的成绩分别为85分和90分，面试成绩和笔试成绩的权分别是6和4，则甲的平均成绩为　 　．
【答案】87
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵面试和笔试的成绩分别为86分和90分，面试成绩和笔试成绩的权分别是6和4，
∴甲的平均成绩为：(85×6+90×4)÷(6+4)=87（分）．
故答案为：87．
【分析】用面试与笔试成绩分别乘以相应的权重后求和，再除以权重总和，得出的成绩就是甲的平均成绩.
15．（2024八下·成都期末）若关于 的方程 无解，则 的值为　 　．
【答案】-5
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】去分母得：3x 2=2x+2+m，
由分式方程无解，得到x+1=0，即x= 1，
代入整式方程得： 5= 2+2+m，
解得：m= 5，
故答案为-5.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
16．（2024八下·成都期末）如图所示，菱形中，对角线相交于点O，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是　 　．（只填一个条件即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：添加，理由：
∵四边形是菱形，，
∴四边形是正方形．
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据正方形的判定方法“对角线相等的菱形是正方形”可以添加AC=BD；根据正方形的判定方法“有一个内角是直角的菱形是正方形”可以添加∠BAD=90°.
17．（2024八下·成都期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为　 　．
【答案】2
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；等腰直角三角形；角平分线的判定；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，
∵△AOP为等腰直角三角形，
∴OA=OP，∠AOP=90°，
易得四边形OECF为矩形，
∴∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠POF，
∴△OAE≌△OPF，
∴AE=PF，OE=OF，
∴CO平分∠ACP，矩形OECF是正方形
∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，CE=CF，
∵AE=PF，
即AC-CE=CF-CP，
而CE=CF，
∴CE=（AC+CP），
∴OC=CE=（AC+CP），
当AC=2，CP=CD=1时，OC=×（2+1）=，
当AC=2，CP=CB=5时，OC=×（2+5）=，
∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长=-=2．
故答案为：2．
【分析】过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，由有“三个内角为直角的四边形是矩形”得四边形OECF为矩形，得∠EOF=90°，由△AOP为等腰直角三角形得到OA=OP，∠AOP=90°，由同角的余角相等得∠AOE=∠POF，从而用AAS可判断出△OAE≌△OPF，由全等三角形的对应边相等得AE=PF，OE=OF，由“有一组邻边相等的矩形是正方形”得矩形OECF是正方形，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得到CO平分∠ACP，从而可判断当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，由线段的和差可得CE=（AC+CP），然后分别计算P点在D点和B点时OC的长，从而计算它们的差即可得到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长．
18．（2024八下·成都期末）对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为0，则或．
因为，所以关于x的方程的两个解分别为．
利用上面建构的模型，解决下列问题：
（1）若方程的两个解分别为．则　 　
（2）已知关于x的方程的两个解分别为，则的值为　 　
【答案】-4；1
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：（1）由材料可知：，，
∴；
故答案为：-4；
（2）∵
∴
∴
∴或
∴或
∵
∴
∴
故答案为：1．
【分析】（1）根据材料，得到，，进行求解即可；
（2）将原方程变形为，未知数变形为整体2x+1，利用题干中给出的结论及题干给出的条件求出x1与x2，然后再将x1与x2代入待式子分子、分母分别计算后约分即可.
19．（2024八下·成都期末）计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据有理数乘方运算法则、负整数指数幂性质“”、二次根式性质“”、绝对值的代数意义及零指数幂的性质“a0=1(a≠0)”分别计算后，再计算有理数的加减法运算即可得出答案.
20．（2024八下·成都期末）化简：，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．
【答案】解：原式=
∵不等式x≤2的非负整数解是0，1，2，且(x+1)(x﹣1)≠0，x+2≠0，
∴x≠±1，x≠﹣2，
∴当x=0时，原式=.
【知识点】一元一次不等式的特殊解；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将第二个分式的分母利用平方差公式分解因式，分子利用提取公因式法分解因式，同时将除式的分母利用完全平方公式分解因式，并根据除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后计算分式乘法，约分化简，进而计算同分母分式减法得出最简结果；根据原分式有意义的条件及不等式的非负整数解确定出x=0或x=2，然后将x的值代入分式运算的最简结果计算可得答案.
21．（2024八下·成都期末）解方程：
【答案】解：最简公分母为：（x+1）（x-1），
去分母得：x（x+1）-2=（x+1）（x-1），
去括号得：x2+x-2=x2-1，
移项合并得：x=1，
经检验：x=1时原方程的增根，
故原方程无解．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以各个分母的最简公分母(x+1)(x-1)约去分母，将分式方程化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
22．（2024八下·成都期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
【答案】证明：（1）如图
：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，，
∴∠3=∠4
∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，∠1=∠2
∴∠5=∠6
∵在△ADE与△CBF中，∠3=∠4，AD=BC，∠5=∠6，
∴△ADE≌△CBF（ASA）
∴AE=CF
（2）∵∠1=∠2，
∴
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，
∴DE=BF
∴四边形EBFD是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等得AD=BC，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠3=∠4，根据三角形外角相等及已知可推出∠5=∠6，从而用ASA判断出△ADE≌△CBF，由全等三角的对应边相等证得AE=CF；
（2）由内错角相等两直线平行得DE∥BF，由全等三角形的对应边相等得DE=BF，从而由对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
23．（2024八下·成都期末）《朗读者》自开播以来，以其厚重的文化底蕴和感人的人文情怀，感动了数以亿计的观众，某中学开展“朗读”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．
（1）根据图示填写表格．
平均数 中位数 众数
九（1）班 85
85
九（2）班
80
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
（3）如果规定成绩较稳定班级胜出，你认为哪个班级能胜出？请说明理由．
【答案】（1）解：九（1）班5位同学的成绩为75、80、85、85、100，
∴其中位数为85分；
九（2）班5位同学的成绩为70、100、100、75、80，
∴九（2）班的平均数为（分），其众数为100分．
补全表格如下：
平均数中位数众数九（1）班858585九（2）班8580100
　 　 　
　 　 　 　
　 　 　 　
（2）解：九（1）班成绩好些，理由如下：∵两个班的平均数都相同，而九（1）班的中位数高，
∴在平均数相同的情况下，中位数高的九（1）班成绩好些．
（3）解：九（1）班的成绩更稳定，能胜出．
∵
，
，
∴，
∴九（1）班的成绩更稳定，能胜出．
【知识点】频数（率）分布直方图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；据此.结合频数分布直方图提供的信息，分别求解即可；
（2）由两个班的平均数相同，结合“中位数是一种衡量集中趋势的量，数组中，一半的数据比中位数大，另一半的数据比中位数小”可得结论；
（3）方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，故分别计算出两个班的方差，再比较即可.
（1）解：九（1）班5位同学的成绩为75、80、85、85、100，
∴其中位数为85分；九（2）班5位同学的成绩为70、100、100、75、80，
∴九（2）班的平均数为（分），其众数为100分．
补全表格如下：
平均数 中位数 众数
九（1）班 85 85 85
九（2）班 85 80 100
（2）解：九（1）班成绩好些，理由如下：
∵两个班的平均数都相同，而九（1）班的中位数高，
∴在平均数相同的情况下，中位数高的九（1）班成绩好些．
（3）解：九（1）班的成绩更稳定，能胜出．
∵
，
，
∴，
∴九（1）班的成绩更稳定，能胜出．
24．（2024八下·成都期末）饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当0≤x＜8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式．
（2）求图中t的值；
（3）若在通电开机后即外出散步，请你预测散步42分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
【答案】解：（1）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（0，20）、（8，100）代入y＝kx+b中，
，
解得：，
∴当0≤x≤8时，水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y＝10x+20；
（2）当8≤x≤t时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y＝（m≠0），
将（8，100）代入y＝中，
100＝，
解得：m＝800，
∴当8≤x≤t时，水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y＝，
当y＝＝20时，x＝40，
∴图中t的值为40；
（3）∵42﹣40＝2≤8，
∴当x＝2时，y＝2×10+20＝40，
答：散步42分钟回到家时，饮水机内的温度约为40℃．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由于当0≤x≤8时，水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，从而根据图象提供的信息，利用待定系数法求解即可；
（2）当8≤x≤t时， 水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，从而根据图象提供的信息，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而将y=20代入所求函数解析式计算得出t的值；
（3）利用已知由x＝2代入（1）求出函数解析式可算出饮水机内的温度．
25．（2024八下·成都期末）如图①，在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边EF交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）当点D为AB中点时，判断 ADEF的形状；
（3）延长图①中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．
【答案】解：（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，
∵∠DEF=∠A，
∴∠DEF=∠BDE，
∴AD∥EF，又∵DE∥AC，
∴四边形ADEF为平行四边形；
（2）解：平行四边形ADEF的形状为菱形，理由如下：
∵点D为AB中点，
∴AD=BD，
∵DE∥AC，
∴∠C=∠BED，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠BED，
∴BD=DE=AD，
∴平行四边形ADEF为菱形，
（3）四边形AEGF是矩形，理由如下：
由（1）得，四边形ADEF为平行四边形，
∴AF∥DE，AF=DE，
∵EG=DE，
∴AF∥DE，AF=GE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵AD=AG，EG=DE，
∴AE⊥EG，
∴四边形AEGF是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等得到∠BDE=∠A，结合已知由等量代换得到∠DEF=∠BDE，根据你持续相等，两直线平行得到AD∥EF，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得结论；
（2）由线段中点定义得AD=BD，由二直线平行，同位角相等得∠C=∠BED，由等边对等角得∠B=∠C，则∠B=∠BED，由等角对等边得DE=BD=AD，从而根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出结论；
（3）由平行四边形的对边平行且相等得AF∥DE，AF=DE，结合已知可得AF∥DE，AF=GE，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形AEGF是平行四边形，根据等腰三角形的三线合一得到AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论.
26．（2024八下·成都期末）今年，我省部分地区出现持续干旱现象，为确保生产生活用水，某村决定由村里提供一点，村民捐一点的办法筹集资金维修和新建一批储水池．该村共有243户村民，准备维修和新建的储水池共有20个，费用和可供使用的户数及用地情况如下表：
储水池 费用（万元/个） 可供使用的户数（户/个） 占地面积（m2/个）
新建 4 5 4
维修 3 18 6
已知可支配使用土地面积最多为，若新建储水池x个，新建和维修的总费用为y万元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）满足要求的方案各有几种；
（3）在以上备选方案中，若平均每户捐2000元时，村里出资最多和最少分别是多少？
【答案】（1）解：由题意，得：；
（2）解：由题意，得：，
解得：；
∴的整数解有7，8，9共3个；
故满足要求的方案有三种：
新建7个，维修13个；
新建8个，维修12个；
新建9个，维护11个；
（3）解：由知：y随x的增大而增大．
∴当时，y最小（万），
当时，y最大（万）．
而居民捐款共（万）．
∴村里出资最多为万，最少为万．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据总费用新建x个储水池的费用+维护(20-x)个储水池的费用，可列出y与x之间的函数关系式；
（2）根据新建x个储水池可供使用的户数+维护的(20-x)个水池可供使用的户数不少于243及新建的x个水池占地面积+维护的(20-x)个水池的占地面面积不超过106，列出不等式组，求出x的整数解即可得出答案；
（3）根据一次函数的增减性，求出函数最大值和最小值，进而算出居民捐款的总钱数，再分别求差即可.
（1）解：由题意，得：；
（2）由题意，得：，
解得：；
∴的整数解有7，8，9共3个；
故满足要求的方案有三种：
新建7个，维修13个；
新建8个，维修12个；
新建9个，维护11个；
（3）由知：y随x的增大而增大．
∴当时，y最小（万），当时，y最大（万）．
而居民捐款共（万）．
∴村里出资最多为万，最少为万．
27．（2024八下·成都期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在正比例函数y＝x（x＞0）的图象上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，点P是x轴正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线，与正比例函数y＝x（x＞0）的图象交于点C，点B是线段CP与反比例函数的交点，连接AP、AB．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）观察图象，请直接写出当x＞0时，x≤的解集；
（3）若S△ABP＝1，求B点坐标；
（4）点Q是A点右侧双曲线上一动点，是否存在△APQ为以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）将点A(2，m)代入 y＝x（x＞0） 得，m＝×2＝3，故点A（2，3），
将点A的坐标代入 y＝（x＞0） 得：3＝，
解得k＝6，
故反比例函数表达式为y＝；
（2）0＜x≤2；
（3）设点B（m，），
则S△ABP＝×BP×（xB﹣xA）＝××|（m﹣2）|＝1，
解得m＝3或1.5（舍弃），
故点B的坐标为（3，2）；
（4）存在，理由：
设点Q的坐标为（t，），点P（n，0），
∵△APQ为以P为直角顶点的等腰直角三角形，故AP＝QP，∠APQ＝90°，
过点A、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵∠APM＋∠QPN＝90°，∠QPN＋∠PQN＝90°，
∴∠APM＝∠PQN，
∵∠AMP＝∠PNQ＝90°，AP＝QP，
∵△AMP≌△PNQ（AAS），
∴AM＝PN，PM＝QN，即n﹣2＝且t﹣n＝3，
解得t＝6，
故点Q（6，1）．
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）由图象可得：当x＞0时，x≤的解集为0＜x≤2；
【分析】（1）将点A(2，m)代入正比例函数解析式算出m的值，从而得到点A的坐标，然后将点A的坐标代入 反比例函数y＝（x＞0） 计算出k的值，从而即可得到反比例函数的解析式；
（2）从图象角度看，求当x＞0时，关于x的不等式x≤的解集 ，就是求一象限内，反比例函数图象位于一次函数图象上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案；
（3）根据点的坐标与图形性质，设点B（m，），然后根据S△ABP＝BP×（xB﹣xA），建立方程即可求解；
（4）根据点的坐标与图形性质，设点Q的坐标为（t，），点P（n，0），过点A、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，利用同角的余角相等得∠APM＝∠PQN，从而用AAS证明△AMP≌△PNQ，得则AM＝PN，PM＝QN，即n﹣2＝且t﹣n＝3，即可求解．
28．（2024八下·成都期末）如图①，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连接．
（1）探究与的位置关系（写出结论，不需要证明）；
（2）如图②，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的位置关系，写出你的猜想并加以证明：
（3）如图③，将图②中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
【答案】（1）解：
（2）解：猜想：与的位置关系是．
证明：如图②，延长交于点，
是线段的中点，
．
四边形、四边形是菱形，
∴，，，
．
又，
．
，．
．
．
．
又，
．
（3）解：猜想：不变．理由如下：如图③，延长到点，使，
连接，，．
是线段的中点，
．
又，
．
，．
四边形、四边形是菱形，
∴，，，，
，．
又，
∴，
．
点，，在一条直线上，，
．
．
，
．
又，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
如图①，延长交于点，
是线段的中点，
．
四边形、四边形是正方形，
∴，，，
．
又，
，
，．
，
，
是等腰直角三角形
，
；
【分析】（1）延长GP交DC于H，由正方形性质得DC∥BE∥GF，CD=CB，GB=GF，由二直线平行内错角相等得∠GFP=∠HDP，结合对顶角相等及线段中点定义，可用ASA判断出△GFP≌△HDP，由全等三角形的对应边相等得GP=HP，GF=HD，然后利用等腰直角三角形的性质可得结论；
（2）延长GP交DC于点H，由菱形的性质得DC∥BE∥GF，CD=CB，GB=GF，由二直线平行内错角相等得∠GFP=∠HDP，结合对顶角相等及线段中点定义，可用ASA判断出△GFP≌△HDP，由全等三角形的对应边相等得GP=HP，GF=HD，然后利用等腰三角形三线合一可得结论；
（3）延长GP到点H，使PH=PG，连接CH，CG，DH，利用SAS证明△GFP≌△HDP，得到GF=HD，∠GFP=∠HDP，由菱形的性质结合已知可得CD=CB，∠CDH=∠GBC=120°，HD=GB，再证明△HDC≌△GBC，得到CH=CG，然后利用等腰三角形的性质可得结论．
（1）解：
如图①，延长交于点，
是线段的中点，
．
四边形、四边形是正方形，
∴，，，
．
又，
，
，．
，
，
是等腰直角三角形
，
；
（2）解：猜想：与的位置关系是．
证明：如图②，延长交于点，
是线段的中点，
．
四边形、四边形是菱形，
∴，，，
．
又，
．
，．
．
．
．
又，
．
（3）猜想：不变．
证明：如图③，延长到点，使，
连接，，．
是线段的中点，
．
又，
．
，．
四边形、四边形是菱形，
∴，，，，
，．
又，
∴，
．
点，，在一条直线上，，
．
．
，
．
又，
．
1 / 1四川省成都市成都市第四十六中学（四川师范大学附属中学外国语学校）2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·成都期末）下列各式： ， ， ＋y， ， ，其中分式共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024八下·成都期末）若分式的值为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·成都期末）一组数据从小到大排列为1，2，4，x，6，9，它的中位数是5，则这组数据的众数是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
4．（2024八下·成都期末）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班 50名同学的视力检查数据如表，其中有两个数据被遮盖．
视力 4.6以下 4.6 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 　 　 7 9 14 11
下列关于视力的统计量中，与被遮盖的数据均无关的是（　　）
A．中位数，众数 B．中位数，方差
C．平均数，方差 D．平均数，众数
5．（2024八下·成都期末）函数 的图象经过点（ ，6），则下列各点中，在函数 图象上的是（　　）
A．（3，8） B．（3， ）
C．（ ， ） D．（ ， ）
6．（2024八下·成都期末）若点在第四象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·成都期末）如图，平行四边形的周长为40，的周长比的周长多10，则为（　　）
A．5 B．20 C．10 D．15
8．（2024八下·成都期末）直线经过第一、二、四象限，则直线的图像只能是图中的（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·成都期末）若函数y=kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜5 D．x＞5
10．（2024八下·成都期末）如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·成都期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（2024八下·成都期末）定义新运算：例如：，，则函数，的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
13．（2024八下·成都期末）计算 的结果为　 　
14．（2024八下·成都期末）某公司招聘一名公关人员，对甲进行了笔试和面试，面试和笔试的成绩分别为85分和90分，面试成绩和笔试成绩的权分别是6和4，则甲的平均成绩为　 　．
15．（2024八下·成都期末）若关于 的方程 无解，则 的值为　 　．
16．（2024八下·成都期末）如图所示，菱形中，对角线相交于点O，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是　 　．（只填一个条件即可）
17．（2024八下·成都期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为　 　．
18．（2024八下·成都期末）对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为0，则或．
因为，所以关于x的方程的两个解分别为．
利用上面建构的模型，解决下列问题：
（1）若方程的两个解分别为．则　 　
（2）已知关于x的方程的两个解分别为，则的值为　 　
19．（2024八下·成都期末）计算：
20．（2024八下·成都期末）化简：，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．
21．（2024八下·成都期末）解方程：
22．（2024八下·成都期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
23．（2024八下·成都期末）《朗读者》自开播以来，以其厚重的文化底蕴和感人的人文情怀，感动了数以亿计的观众，某中学开展“朗读”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．
（1）根据图示填写表格．
平均数 中位数 众数
九（1）班 85
85
九（2）班
80
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
（3）如果规定成绩较稳定班级胜出，你认为哪个班级能胜出？请说明理由．
24．（2024八下·成都期末）饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当0≤x＜8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式．
（2）求图中t的值；
（3）若在通电开机后即外出散步，请你预测散步42分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
25．（2024八下·成都期末）如图①，在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边EF交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）当点D为AB中点时，判断 ADEF的形状；
（3）延长图①中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．
26．（2024八下·成都期末）今年，我省部分地区出现持续干旱现象，为确保生产生活用水，某村决定由村里提供一点，村民捐一点的办法筹集资金维修和新建一批储水池．该村共有243户村民，准备维修和新建的储水池共有20个，费用和可供使用的户数及用地情况如下表：
储水池 费用（万元/个） 可供使用的户数（户/个） 占地面积（m2/个）
新建 4 5 4
维修 3 18 6
已知可支配使用土地面积最多为，若新建储水池x个，新建和维修的总费用为y万元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）满足要求的方案各有几种；
（3）在以上备选方案中，若平均每户捐2000元时，村里出资最多和最少分别是多少？
27．（2024八下·成都期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在正比例函数y＝x（x＞0）的图象上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，点P是x轴正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线，与正比例函数y＝x（x＞0）的图象交于点C，点B是线段CP与反比例函数的交点，连接AP、AB．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）观察图象，请直接写出当x＞0时，x≤的解集；
（3）若S△ABP＝1，求B点坐标；
（4）点Q是A点右侧双曲线上一动点，是否存在△APQ为以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
28．（2024八下·成都期末）如图①，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连接．
（1）探究与的位置关系（写出结论，不需要证明）；
（2）如图②，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的位置关系，写出你的猜想并加以证明：
（3）如图③，将图②中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】在 ， ， ， ， ，中是分式的有： ， ，故B符合题意.
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式.利用这点进行解题即可.
2．【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x=3
故答案为：D.
【分析】根据分式值为零的条件“分子等于零且分母不为零”建立混合组，求解即可.
3．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴，
∴1，2，4，6，6，9，中出现次数最多的是6；
故众数为6.
故答案为：D．
【分析】中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求出x的值，进而根据“在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)”求解即可.
4．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由题意，得：视力在及以下的人数为名，
∴视力为4.9的人数最多，故众数为4.9，
排在第25和第26个的数据为4.9和4.8，
∴中位数为：，
故中位数，众数与被遮盖的数据均无关，平均数和方差受被遮盖的数据影响.
故答案为：A．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵函数y= 的图象经过点( 4，6)，
∴6= ，解得k= 24，∴y= ，
在A中，(3，8)代入不成立，故A不符合题意；
在B中，(3， 8)代入成立，故B符合题意；
在C中，( 8， 3)代入不成立，故C不符合题意；
在D中，( 4， 6)代入不成立，故D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】先将点( 4，6)代入y= 中，求出k值，即得y= ，然后将各项坐标代入检验即可.
6．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意得
2m-1<0，
∴.
故答案为：D.
【分析】由点的坐标符号与象限的关系为：第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，据此结合题意列出关于字母m的不等式，求解即可.
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=OC，AB=CD，AD=BC，
∵△AOB的周长比△BOC的周长少10cm，
∴BC+OB+OC-（AB+OB+OA）=10cm，
∴BC-AB=10cm①，
∵平行四边形ABCD的周长是40cm，
∴AB+BC+CD+AD=40cm，
∴BC+AB=20cm②，
∴AB=5cm.
故答案为：A.
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得AO=OC，由三角形周长计算公式可推出BC-AB=10cm①，进而根据平行四边形的周长计算方法求出BC+AB=20cm②，从而用②-①可求出AB的长.
8．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：直线经过第一、二、四象限，
∴，
∴直线的图象经过一，三，四象限；
故答案为：D．
【分析】一次函数y=ax+b（a、b为常数，且a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；据此根据直线经过的象限，判断出a、b的符号，进而判断出另一条直线的图象经过的象限即可．
9．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx﹣b经过点（2，0），
∴2k﹣b=0，b=2k．
∵函数图象经过一、二、四象限
∴k＜0；
解关于k（x﹣3）﹣b＞0，
移项得：kx＞3k+b，即kx＞5k；
两边同时除以k，因为k＜0，因而解集是x＜5．
故答案为：C．
【分析】根据函数图象知：一次函数过点（2，0）；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出b=2k；由函数图象经过一、二、四象限得出k＜0，然后将b=2k代入k（x﹣3）﹣b＞0中进行求解即可．
10．【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，AD∥BC，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的对边平行，四边相等得AB∥CD，AD∥BC，AB=BC，由二直线平行，内错角相等可得∠BCA=DAC=25°及∠MAO=∠NXO，∠AMO=∠CNO，结合AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，由全等三角形的对应边相等可得AO=CO，然后由等腰三角形的三线合一可得BO⊥AC，继而根据直角三角形的量锐角互余可求得∠OBC得度数.
11．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD∥AB．
∵点O是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=AB=1.5，
∴ED=2OD=3．
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形的性质可得OD=OE，OA=OC，再证出当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC，再证出OD是△ABC的中位线，可得OD=AB=1.5，最后求出ED=2OD=3即可．
12．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：根据题意得，
函数的图象为反比例函数的图象，
∵当时，，当，，
∴该分比例函数图象两支分布在第一、二象限，故A、B、C选项都不符合题意，只有D选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据新定义运算法则得出函数的图象为反比例函数与的图象， 然后根据反比例函数中当k＞0时，图象两支在一、三象限，当k＜0时，图象两支在二、四象限，进而再结合x的取值判断出函数值y的取值范围，即可判断得出答案.
13．【答案】-1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：由分式的加减运算法则可得：
故答案为：-1.
【分析】由同分母分式的相减，分母不变，分子相减进行计算，最后再约分化简即可.
14．【答案】87
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵面试和笔试的成绩分别为86分和90分，面试成绩和笔试成绩的权分别是6和4，
∴甲的平均成绩为：(85×6+90×4)÷(6+4)=87（分）．
故答案为：87．
【分析】用面试与笔试成绩分别乘以相应的权重后求和，再除以权重总和，得出的成绩就是甲的平均成绩.
15．【答案】-5
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】去分母得：3x 2=2x+2+m，
由分式方程无解，得到x+1=0，即x= 1，
代入整式方程得： 5= 2+2+m，
解得：m= 5，
故答案为-5.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
16．【答案】（答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：添加，理由：
∵四边形是菱形，，
∴四边形是正方形．
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据正方形的判定方法“对角线相等的菱形是正方形”可以添加AC=BD；根据正方形的判定方法“有一个内角是直角的菱形是正方形”可以添加∠BAD=90°.
17．【答案】2
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；等腰直角三角形；角平分线的判定；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，
∵△AOP为等腰直角三角形，
∴OA=OP，∠AOP=90°，
易得四边形OECF为矩形，
∴∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠POF，
∴△OAE≌△OPF，
∴AE=PF，OE=OF，
∴CO平分∠ACP，矩形OECF是正方形
∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，CE=CF，
∵AE=PF，
即AC-CE=CF-CP，
而CE=CF，
∴CE=（AC+CP），
∴OC=CE=（AC+CP），
当AC=2，CP=CD=1时，OC=×（2+1）=，
当AC=2，CP=CB=5时，OC=×（2+5）=，
∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长=-=2．
故答案为：2．
【分析】过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，由有“三个内角为直角的四边形是矩形”得四边形OECF为矩形，得∠EOF=90°，由△AOP为等腰直角三角形得到OA=OP，∠AOP=90°，由同角的余角相等得∠AOE=∠POF，从而用AAS可判断出△OAE≌△OPF，由全等三角形的对应边相等得AE=PF，OE=OF，由“有一组邻边相等的矩形是正方形”得矩形OECF是正方形，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得到CO平分∠ACP，从而可判断当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，由线段的和差可得CE=（AC+CP），然后分别计算P点在D点和B点时OC的长，从而计算它们的差即可得到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长．
18．【答案】-4；1
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：（1）由材料可知：，，
∴；
故答案为：-4；
（2）∵
∴
∴
∴或
∴或
∵
∴
∴
故答案为：1．
【分析】（1）根据材料，得到，，进行求解即可；
（2）将原方程变形为，未知数变形为整体2x+1，利用题干中给出的结论及题干给出的条件求出x1与x2，然后再将x1与x2代入待式子分子、分母分别计算后约分即可.
19．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据有理数乘方运算法则、负整数指数幂性质“”、二次根式性质“”、绝对值的代数意义及零指数幂的性质“a0=1(a≠0)”分别计算后，再计算有理数的加减法运算即可得出答案.
20．【答案】解：原式=
∵不等式x≤2的非负整数解是0，1，2，且(x+1)(x﹣1)≠0，x+2≠0，
∴x≠±1，x≠﹣2，
∴当x=0时，原式=.
【知识点】一元一次不等式的特殊解；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将第二个分式的分母利用平方差公式分解因式，分子利用提取公因式法分解因式，同时将除式的分母利用完全平方公式分解因式，并根据除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后计算分式乘法，约分化简，进而计算同分母分式减法得出最简结果；根据原分式有意义的条件及不等式的非负整数解确定出x=0或x=2，然后将x的值代入分式运算的最简结果计算可得答案.
21．【答案】解：最简公分母为：（x+1）（x-1），
去分母得：x（x+1）-2=（x+1）（x-1），
去括号得：x2+x-2=x2-1，
移项合并得：x=1，
经检验：x=1时原方程的增根，
故原方程无解．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以各个分母的最简公分母(x+1)(x-1)约去分母，将分式方程化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
22．【答案】证明：（1）如图
：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，，
∴∠3=∠4
∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，∠1=∠2
∴∠5=∠6
∵在△ADE与△CBF中，∠3=∠4，AD=BC，∠5=∠6，
∴△ADE≌△CBF（ASA）
∴AE=CF
（2）∵∠1=∠2，
∴
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，
∴DE=BF
∴四边形EBFD是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等得AD=BC，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠3=∠4，根据三角形外角相等及已知可推出∠5=∠6，从而用ASA判断出△ADE≌△CBF，由全等三角的对应边相等证得AE=CF；
（2）由内错角相等两直线平行得DE∥BF，由全等三角形的对应边相等得DE=BF，从而由对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
23．【答案】（1）解：九（1）班5位同学的成绩为75、80、85、85、100，
∴其中位数为85分；
九（2）班5位同学的成绩为70、100、100、75、80，
∴九（2）班的平均数为（分），其众数为100分．
补全表格如下：
平均数中位数众数九（1）班858585九（2）班8580100
　 　 　
　 　 　 　
　 　 　 　
（2）解：九（1）班成绩好些，理由如下：∵两个班的平均数都相同，而九（1）班的中位数高，
∴在平均数相同的情况下，中位数高的九（1）班成绩好些．
（3）解：九（1）班的成绩更稳定，能胜出．
∵
，
，
∴，
∴九（1）班的成绩更稳定，能胜出．
【知识点】频数（率）分布直方图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；据此.结合频数分布直方图提供的信息，分别求解即可；
（2）由两个班的平均数相同，结合“中位数是一种衡量集中趋势的量，数组中，一半的数据比中位数大，另一半的数据比中位数小”可得结论；
（3）方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，故分别计算出两个班的方差，再比较即可.
（1）解：九（1）班5位同学的成绩为75、80、85、85、100，
∴其中位数为85分；九（2）班5位同学的成绩为70、100、100、75、80，
∴九（2）班的平均数为（分），其众数为100分．
补全表格如下：
平均数 中位数 众数
九（1）班 85 85 85
九（2）班 85 80 100
（2）解：九（1）班成绩好些，理由如下：
∵两个班的平均数都相同，而九（1）班的中位数高，
∴在平均数相同的情况下，中位数高的九（1）班成绩好些．
（3）解：九（1）班的成绩更稳定，能胜出．
∵
，
，
∴，
∴九（1）班的成绩更稳定，能胜出．
24．【答案】解：（1）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（0，20）、（8，100）代入y＝kx+b中，
，
解得：，
∴当0≤x≤8时，水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y＝10x+20；
（2）当8≤x≤t时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y＝（m≠0），
将（8，100）代入y＝中，
100＝，
解得：m＝800，
∴当8≤x≤t时，水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y＝，
当y＝＝20时，x＝40，
∴图中t的值为40；
（3）∵42﹣40＝2≤8，
∴当x＝2时，y＝2×10+20＝40，
答：散步42分钟回到家时，饮水机内的温度约为40℃．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由于当0≤x≤8时，水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，从而根据图象提供的信息，利用待定系数法求解即可；
（2）当8≤x≤t时， 水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，从而根据图象提供的信息，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而将y=20代入所求函数解析式计算得出t的值；
（3）利用已知由x＝2代入（1）求出函数解析式可算出饮水机内的温度．
25．【答案】解：（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，
∵∠DEF=∠A，
∴∠DEF=∠BDE，
∴AD∥EF，又∵DE∥AC，
∴四边形ADEF为平行四边形；
（2）解：平行四边形ADEF的形状为菱形，理由如下：
∵点D为AB中点，
∴AD=BD，
∵DE∥AC，
∴∠C=∠BED，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠BED，
∴BD=DE=AD，
∴平行四边形ADEF为菱形，
（3）四边形AEGF是矩形，理由如下：
由（1）得，四边形ADEF为平行四边形，
∴AF∥DE，AF=DE，
∵EG=DE，
∴AF∥DE，AF=GE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵AD=AG，EG=DE，
∴AE⊥EG，
∴四边形AEGF是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等得到∠BDE=∠A，结合已知由等量代换得到∠DEF=∠BDE，根据你持续相等，两直线平行得到AD∥EF，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得结论；
（2）由线段中点定义得AD=BD，由二直线平行，同位角相等得∠C=∠BED，由等边对等角得∠B=∠C，则∠B=∠BED，由等角对等边得DE=BD=AD，从而根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出结论；
（3）由平行四边形的对边平行且相等得AF∥DE，AF=DE，结合已知可得AF∥DE，AF=GE，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形AEGF是平行四边形，根据等腰三角形的三线合一得到AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论.
26．【答案】（1）解：由题意，得：；
（2）解：由题意，得：，
解得：；
∴的整数解有7，8，9共3个；
故满足要求的方案有三种：
新建7个，维修13个；
新建8个，维修12个；
新建9个，维护11个；
（3）解：由知：y随x的增大而增大．
∴当时，y最小（万），
当时，y最大（万）．
而居民捐款共（万）．
∴村里出资最多为万，最少为万．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据总费用新建x个储水池的费用+维护(20-x)个储水池的费用，可列出y与x之间的函数关系式；
（2）根据新建x个储水池可供使用的户数+维护的(20-x)个水池可供使用的户数不少于243及新建的x个水池占地面积+维护的(20-x)个水池的占地面面积不超过106，列出不等式组，求出x的整数解即可得出答案；
（3）根据一次函数的增减性，求出函数最大值和最小值，进而算出居民捐款的总钱数，再分别求差即可.
（1）解：由题意，得：；
（2）由题意，得：，
解得：；
∴的整数解有7，8，9共3个；
故满足要求的方案有三种：
新建7个，维修13个；
新建8个，维修12个；
新建9个，维护11个；
（3）由知：y随x的增大而增大．
∴当时，y最小（万），当时，y最大（万）．
而居民捐款共（万）．
∴村里出资最多为万，最少为万．
27．【答案】解：（1）将点A(2，m)代入 y＝x（x＞0） 得，m＝×2＝3，故点A（2，3），
将点A的坐标代入 y＝（x＞0） 得：3＝，
解得k＝6，
故反比例函数表达式为y＝；
（2）0＜x≤2；
（3）设点B（m，），
则S△ABP＝×BP×（xB﹣xA）＝××|（m﹣2）|＝1，
解得m＝3或1.5（舍弃），
故点B的坐标为（3，2）；
（4）存在，理由：
设点Q的坐标为（t，），点P（n，0），
∵△APQ为以P为直角顶点的等腰直角三角形，故AP＝QP，∠APQ＝90°，
过点A、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵∠APM＋∠QPN＝90°，∠QPN＋∠PQN＝90°，
∴∠APM＝∠PQN，
∵∠AMP＝∠PNQ＝90°，AP＝QP，
∵△AMP≌△PNQ（AAS），
∴AM＝PN，PM＝QN，即n﹣2＝且t﹣n＝3，
解得t＝6，
故点Q（6，1）．
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）由图象可得：当x＞0时，x≤的解集为0＜x≤2；
【分析】（1）将点A(2，m)代入正比例函数解析式算出m的值，从而得到点A的坐标，然后将点A的坐标代入 反比例函数y＝（x＞0） 计算出k的值，从而即可得到反比例函数的解析式；
（2）从图象角度看，求当x＞0时，关于x的不等式x≤的解集 ，就是求一象限内，反比例函数图象位于一次函数图象上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案；
（3）根据点的坐标与图形性质，设点B（m，），然后根据S△ABP＝BP×（xB﹣xA），建立方程即可求解；
（4）根据点的坐标与图形性质，设点Q的坐标为（t，），点P（n，0），过点A、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，利用同角的余角相等得∠APM＝∠PQN，从而用AAS证明△AMP≌△PNQ，得则AM＝PN，PM＝QN，即n﹣2＝且t﹣n＝3，即可求解．
28．【答案】（1）解：
（2）解：猜想：与的位置关系是．
证明：如图②，延长交于点，
是线段的中点，
．
四边形、四边形是菱形，
∴，，，
．
又，
．
，．
．
．
．
又，
．
（3）解：猜想：不变．理由如下：如图③，延长到点，使，
连接，，．
是线段的中点，
．
又，
．
，．
四边形、四边形是菱形，
∴，，，，
，．
又，
∴，
．
点，，在一条直线上，，
．
．
，
．
又，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
如图①，延长交于点，
是线段的中点，
．
四边形、四边形是正方形，
∴，，，
．
又，
，
，．
，
，
是等腰直角三角形
，
；
【分析】（1）延长GP交DC于H，由正方形性质得DC∥BE∥GF，CD=CB，GB=GF，由二直线平行内错角相等得∠GFP=∠HDP，结合对顶角相等及线段中点定义，可用ASA判断出△GFP≌△HDP，由全等三角形的对应边相等得GP=HP，GF=HD，然后利用等腰直角三角形的性质可得结论；
（2）延长GP交DC于点H，由菱形的性质得DC∥BE∥GF，CD=CB，GB=GF，由二直线平行内错角相等得∠GFP=∠HDP，结合对顶角相等及线段中点定义，可用ASA判断出△GFP≌△HDP，由全等三角形的对应边相等得GP=HP，GF=HD，然后利用等腰三角形三线合一可得结论；
（3）延长GP到点H，使PH=PG，连接CH，CG，DH，利用SAS证明△GFP≌△HDP，得到GF=HD，∠GFP=∠HDP，由菱形的性质结合已知可得CD=CB，∠CDH=∠GBC=120°，HD=GB，再证明△HDC≌△GBC，得到CH=CG，然后利用等腰三角形的性质可得结论．
（1）解：
如图①，延长交于点，
是线段的中点，
．
四边形、四边形是正方形，
∴，，，
．
又，
，
，．
，
，
是等腰直角三角形
，
；
（2）解：猜想：与的位置关系是．
证明：如图②，延长交于点，
是线段的中点，
．
四边形、四边形是菱形，
∴，，，
．
又，
．
，．
．
．
．
又，
．
（3）猜想：不变．
证明：如图③，延长到点，使，
连接，，．
是线段的中点，
．
又，
．
，．
四边形、四边形是菱形，
∴，，，，
，．
又，
∴，
．
点，，在一条直线上，，
．
．
，
．
又，
．
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