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湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·宁乡市期末）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
A、是最简二次根式，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】直接根据最简二次根式的定义进行判断即可求解。
2．（2024八下·宁乡市期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A． ，2， B．2，3，4 C．6，7， 8 D．3，4，5
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵（ ）2+22=7≠（ ）2=5，故不是直角三角形，不合题意；
B、22+32≠42，故不是直角三角形，不合题意；
C、62+72≠82，故不是直角三角形，不合题意；
D、32+42=52，故是直角三角形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】欲判断是否是直角三角形，则需满足较小两边平方的和等于最大边的平方.
3．（2024八下·宁乡市期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不能合并，所以A选项不符合题意；
B、，所以B选项不符合题意；
C、，所以C选项符合题意；
D、，所以D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A、B选项；根据二次根式的乘法法则“”及对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则“”对D选项进行判断．
4．（2024八下·宁乡市期末）已知等边的边长为2，则其面积为（　　）
A．2 B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图1：过A点作AH⊥BC于H点，
∵等边的边长为2，AH⊥BC
∴，，
∴
∴．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出BH=BC=1，然后利用勾股定理算出AH的长，最后根据三角形的面积计算公式可算出△ABC的面积.
5．（2024八下·宁乡市期末）添添在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名同学，在近一年内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数 3 4 8 5
课外书数量（本） 12 13 15 18
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　）
A．13，15 B．14，15 C．15，18 D．15，15
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵阅读课外书数量为15本的人数最多，
众数为15，
随机调查了20名同学，
中位数是第10、11两个数的平均数，
中位数为：，
故答案为：D．
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
6．（2024八下·宁乡市期末）对于函数，说法正确的是（　　）
A．点在这个函数图象上 B．y随着x的增大而增大
C．它的图象必过一、三象限 D．当时，
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、函数，
当时，，故选项A不符合题意；
B、∵函数y=-3x+2中，-3＜0，
∴随的增大而减小，故选项B错误，不符合题意；
C、∵函数y=-3x+2中，-3＜0，2＞0，
∴它的图象经过第一、二、四象限，故选项C错误，不符合题意；
D、∵函数y=-3x+2中，-3＜0，
∴随的增大而减小，当时，，故选项D正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】将x=1代入y=-3x+2算出对应的函数值，即可判断A选项；一次函数y=ax+b中，当a＞0时，y随x的增大而增大，当a＜0时，y随x的增大而减小，据此可判断B、D选项；一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此可判断C选项.
7．（2024八下·宁乡市期末）如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当平行四边形是矩形时，
B．当平行四边形是菱形时，
C．当平行四边形是正方形时，
D．当平行四边形是菱形时，
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A：当四边形是矩形，得=90°，A错误；
B：当四边形是菱形时，但与不一定相等，B错误；
C：当平行四边形ABCD是正方形时，C错误；
D：四边形是菱形，对角线互相垂直，即，D错误.
故答案为：B．
【分析】利用矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质分别进行判断，即可得出答案．
8．（2024八下·宁乡市期末）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为（　　）
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=8，
∴，D是AB的中点，
∵∠AFB=90°，
∴，
∴EF=DE-DF=1，
故答案为：A．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长即可求出答案.
9．（2024八下·宁乡市期末）一次函数与的图象如图所示，其交点，则不等式的解集表示在数轴上正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：观察函数图象，可知：当时，直线在直线的上方，
不等式的解集为．
在数轴上表示为：
．
故答案为：C．
【分析】求关于x的不等式ax-bx+3≥-1的解集，就是求ax+3≥bx-1的解集，从图象的角度看，就是求函数y=ax+3的图象在y=bx-1的图象上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出解集，进而根据数轴上表示不等式的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式的解集在数轴上表示出来，即可逐一判断得出答案.
10．（2024八下·宁乡市期末）如图，在正方形中，为中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，则正方形的边长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠ADC=90°-∠CDE=∠CDF，
在△ADE与△CDF中，∵∠A=∠DCF=90°，AD=CD，∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△DCF(ASA)，
∴DE=DF，∴DE=DF=
∵点E为AB的中点，
∴设AE=x，则AD=2x，
∵AE2+AD2=DE2，
∴，
得，
得AD=2．
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质得AD=AB=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，由同角的余角相等得∠ADC=∠CDF，从而由ASA判断出△ADE≌△DCF，由全等三角形的对应边相等得DE=DF，然后在Rt△DEF中，利用勾股定理算出DE，最后在Rt△AED中，利用勾股定理算出AD即可.
11．（2024八下·宁乡市期末）要使二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵要使二次根式有意义
∴
解得：
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件是“被开方数不能为负数”列出不等式求解即可得到答案．
12．（2024八下·宁乡市期末）把直线＝－2＋1向下平移2个单位长度，得到的直线是　 　．
【答案】＝－2－1
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线＝－2＋1向下平移2个单位长度得：.
故答案为：y=-2x-1.
【分析】根据函数图象的平移规则：上加下减常数项，左加右减自变量，即可得出答案.
13．（2024八下·宁乡市期末）学校利用劳动课带领学生拔萝卜，从中抽取了6个白萝卜，测得白萝卜长度（单位：cm）分别为16，20，15，18，17，16，则这组数据的平均数是　 　cm．
【答案】17
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：
故答案为：17．
【分析】算术平均数是指一组数据的所有数据之和，除以这组数据的总个数，据此计算可得答案.
14．（2024八下·宁乡市期末）某办公桌摆件的示意图如图所示，四边形是矩形，若对角线与办公桌面垂直，，，延长交办公桌面于点，，则　 　cm．
【答案】25
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
又∵AB=15cm，BC=8cm，
∴cm，
又∵CE=8cm，
∴．
故答案为：25．
【分析】由矩形性质得∠B=90°，在Rt△ABC中，用勾股定理算出AC，进而根据AE=AC+CE列式计算即可.
15．（2024八下·宁乡市期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为　 　．
【答案】10
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形为矩形
∴
∴
由翻折变换的性质可得
∴
∴AF=CF
设，
在△BCF中，，
即
解得
∴AF=5
．
故答案为：10．
【分析】
先根据矩形的性质及翻折变换的性质求得AF=CF，在△BCF中，根据勾股定理：列出方程，解出x，即AF的值，再根据求解即可．
16．（2024八下·宁乡市期末）某医院研究所开发了一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化情况如图所示，如果每毫升血液中的含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有　 　小时．
【答案】4
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设时，正比例函数解析式为，
把代入得2k=6，
解得，
当时，与之间的函数关系式是；
设时，一次函数解析式为，
∵点（2，6）与点（6，2）在函数解析式上，
，
解得，
当时，与之间的函数关系式是；
把代入得，；
把代入得，，
有效时间为，
如果每毫升血液中的含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有4小时．
故答案为：4．
【分析】此题是分段函数，先利用待定系数法，分别求出时，与之间的函数关系式，时，与之间的函数关系式，把代入所得的两个函数解析式，算出对应的自变量x的值，再用较大的数减较小的数即为有效时间．
17．（2024八下·宁乡市期末）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用乘法分配律展开括号，同时根据0指数幂的性质“a0=1(a≠0)”计算，进而根据二次根式的性质“”及二次根式的乘法法则“(a≥0，b≥0)”进行计算，最后合并同类二次根式及进行有理数的减法运算即可.
18．（2024八下·宁乡市期末）已知a＝2＋，b＝2－，试求的值．
【答案】解：∵ a＝2＋，b＝2－，
∴a＋b＝4，a－b＝2，ab＝1，
∴＝
【知识点】因式分解的应用；二次根式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先根据二次根式加减法法则计算出a+b与a-b，同时根据平方差公式及二次根式性质计算出ab的值，然后将待求式子通分计算后将分母利用平方差公式分解因式，最后整体代入计算可得答案.
19．（2024八下·宁乡市期末）已知一次函数．
（1）若y是x的正比例函数，求k的值；
（2）若该函数图象过点，求一次函数的解析式．
【答案】（1）解：由题意得：且，
解得：；
（2）解：由题意得：且，
解得：，
次函数的解析式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）形如“y=kx(k为常数，且k≠0)”的函数就是正比例函数，据此列出关于字母k的混合组，求解即可；
（2）将（2，1）代入y=(k-2)x+2k+1算出k的值，即可得到该函数的解析式.
（1）由题意得：且，
解得：；
（2）由题意得：且，
解得：，
次函数的解析式为．
20．（2024八下·宁乡市期末）如图，平行四边形的对角线、相交于点，且、、、分别是、、、的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形
，，
、、、分别是、、、的中点．
，，，，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
，
、分别是、的中点，
，且，
，
的周长．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分可得，，由中点的性质可得，，，，由等量代换得EO=GO，FO=HO，进而由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由平行四边形的对角线互相平分得AO+BO=20，然后根据中点定义可得，由三角形中位线等于第三边的一半可得，最后根据三角形周长计算方法即可求解．
（1）证明：四边形是平行四边形
，，
、、、分别是、、、的中点．
，，，，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
，
、分别是、的中点，
，且，
，
的周长．
21．（2024八下·宁乡市期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
易得四边形ABDE是矩形，
所以DE=AB=1.6米，
所以，（米，
答：风筝的高度为16.6米；
（2）解：由题意得，，
，
（米，
（米，
他应该往回收线7米．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）在Rt△BCD中，利用勾股定理求出CD的长，易得四边形ABDE是矩形，由矩形对边相等得DE=AB=1.6米，最后根据CE=CD+DE，列式计算即可；
（2）先根据DM=CD-CM算出DM，再在Rt△BDM中利用勾股定理算出BM，最后根据往回收线的长度等于BC-BM列式计算即可.
（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米，
答：风筝的高度为16.6米；
（2）解：由题意得，，
，
（米，
（米，
他应该往回收线7米．
22．（2024八下·宁乡市期末）2022年5月10日，搭载天舟四号货运飞船的长征七号遥五运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩（十分制）进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的作品数量为______份，并补全条形统计图；
（2）求此次被抽取的参赛作品成绩的中位数和平均数；
（3）若该校共收到800份参赛作品，请估计此次大赛成绩不低于9分的作品有多少份？
【答案】（1）解： 本次抽取的作品数量为份，
得8分的分数为100-30-25-5=40份
补全条形统计图如图所示：
（2）解：∵由统计图可知，抽取的这100份参赛作品的中位数为第50个和第51个数据的平均数，
∴此次被抽取的参赛作品成绩的中位数为8分，
（分），
答：此次被抽取的参赛作品成绩的中位数为8分，平均数是8.05分；
（3）解：（份），
答：估计此次大赛成绩不低于9分的作品有240份．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用得9分的份数除以其所占的百分比可求出本次抽取作品的数量；进而用本次抽取的作品数量分别减去得7分、9分、10分的份数即可求出得8分的份数，据此即可补全条形统计图；
（2）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）用该校收取的作品总份数乘以样本中不低于9分作品的占比，即可估计此次大赛成绩不低于9分的作品数量．
23．（2024八下·宁乡市期末）如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，，
，
，，
，，
，
；
（2）解：∵，
，
∴AD=BC=BE+CE=8，
在Rt△ADF中，根据勾股定理，得.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据矩形是性质得BC=AD，AD∥BC，∠B=∠C=90°，由二直线平行，内错角相等得∠DAF=∠AEB，从而利用AAS可判断出△ABE≌△DFA，由全等三角形的对应边相等得AB=DF；
（2）由全等三角形的对应边相等得AF=BE=6，然后根据线段的和差得出AD=BC=8，最后在Rt△ADF中，利用勾股定理算出DF的长即可.
（1）四边形是矩形，
，，，
，
，，
，，
，
；
（2）∵，
，，
，，
∴，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
．
24．（2024八下·宁乡市期末）“数学源于生活，又服务于生活”，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知浩然所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍，图书馆离宿舍．周末，浩然从宿舍出发，匀速走了到食堂；在食堂停留吃早餐后，匀速走了到图书馆；在图书馆停留借书后，匀速走了返回宿舍．给出的图象反映了这个过程中浩然离宿舍的距离与离开宿舍的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
离开宿舍的时间/ 2 5 20 23 30
离宿舍的距离/ ____ ____ ____
（2）填空：
①食堂到图书馆的距离为 ；
②浩然从食堂到图书馆的速度为 ；
③浩然从图书馆返回宿舍的速度为 ；
（3）当时，请写出y关于x的函数解析式．在整个过程中，当浩然离宿舍的距离为时，请求出他离开宿舍的时间．
【答案】（1）；；1
（2）；；
（3）解：当时，，
当时，设函数解析式为，
，
解得，
∴当时，．
∴；
当浩然离宿舍的距离为时，分两种情况讨论如下：
当时，，解得(分钟)；
当时，他离开宿舍的时间为：(分钟)，
∴当浩然离宿舍的距离为时，他离开宿舍的时间为6分钟或62分钟．
【知识点】分段函数；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：浩然从宿舍到食堂的速度为；
∴浩然离开宿舍5分钟时，离宿舍的距离为0.1×5=0.5km；
由图象可得浩然离开宿舍23分钟时，还在食堂吃早餐，离宿舍的距离为0.7km；浩然离开宿舍30分钟时，在图书馆借书，离宿舍的距离为1km；
填表如下：
离开宿舍的时间/ 2 5 20 23 30
离宿舍的距离/ 1
故答案为：．
（2）解：①食堂到图书馆的距离为；
②浩然从食堂到图书馆的速度为；
③浩然从图书馆返回宿舍的速度为；
故答案为：；
【分析】（1）首先根据图象提供的信息，用速度等于路程除以时间求出浩然从宿舍到食堂的速度，然后根据路程等于速度乘以时间可求出浩然离开宿舍5分钟时离宿舍的距离；由图象可得浩然离开宿舍23分钟时，还在食堂吃早餐，浩然离开宿舍30分钟时，在图书馆借书，从而根据食堂及图书馆距离宿舍得距离即可作答；
（2）用图书馆距离宿舍的距离减去宿舍距离食堂的距离即可求出食堂到图书馆的距离；根据图象提供的信息，用速度等于路程除以时间求出浩然从食堂到图书馆的速度及 浩然从图书馆返回宿舍的速度 ；
（3）分段函数，利用待定系数法求出当0≤x＜7及23≤x≤28时的两个一次函数解析式，利用图象直接写出7≤x＜23时的常值函数，即可得到0≤x≤28y关于x的函数关系式；分0≤x＜7与58≤x≤68两种情况分别计算出当浩然离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间即可.
（1）解：填表：浩然从宿舍到食堂的速度为；
离开宿舍的时间/ 2 5 20 23 30
离宿舍的距离/
1
故答案为：．
（2）解：填空：
①食堂到图书馆的距离为；
②浩然从食堂到图书馆的速度为；
③浩然从图书馆返回宿舍的速度为；
故答案为：．
（3）解：当时，，
当时，设函数解析式为，
，
解得，
∴当时，．
∴；
当浩然离宿舍的距离为时，分两种情况讨论如下：
当时，，解得(分钟)；
当时，他离开宿舍的时间为：(分钟)，
∴当浩然离宿舍的距离为时，他离开宿舍的时间为6分钟或62分钟．
25．（2024八下·宁乡市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，分别交坐标轴于点A，B，C，D．
（1）求a和k的值；
（2）如图，点P是直线上的一个动点，设点P的横坐标为m，当成立时，求点P的坐标；
（3）直线上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．
【答案】（1）解：将点M(4，a)代入，得，
解得：，
故点，
将点的坐标代入，得，
解得：，
，；
（2）解：由（1）得直线的表达式为：，
将x=0代入得y=-2，
∴点，
将x=0代入得y=3，
∴B（0，3）
∴S△PBM，
解得：或，
将x=-4代入得y=-5，
将x=12代入得y=7，
∴点的坐标为或；
（3）解： 点N的坐标为：或或
【知识点】坐标与图形性质；两一次函数图象相交或平行问题；菱形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）解：设点的坐标为，
∵，
∴，
当，是边时，
当点在点的上方时，则，即，
解得，
则点的坐标为或；
点在点的正下方个单位，
则点或；
当为对角线时，则的中点坐标为，
∴点纵坐标为，即：，
∴，
∴，
∵的中点也为，
∴；
综上，点的坐标为或或．
【分析】（1）将点M(4，a)代入即可求得的值，从而确定点M的坐标为(4，1)，再将点M(4，1)的坐标代入即可求得值；
（2）首先根据（1）的计算得出直线CD的解析式，然后根据直线与y轴交点的坐标特点，分别令直线CD、AB解析式中的x=0算出对应的y的值，可得点D、B的坐标；根据S△PBM，结合三角形面积计算公式建立方程，求得或，代入直线CD的解析式算出对应的函数值，即可求得答案；
（3）根据点的坐标与图形性质，设点F的坐标为，根据两点间的距离公式得出BD=5，然后分①当BD是边时和②当BD是对角线时，则BD的中点，即为NF的中点，且FN∥x轴，进而求解．
1 / 1湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·宁乡市期末）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·宁乡市期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A． ，2， B．2，3，4 C．6，7， 8 D．3，4，5
3．（2024八下·宁乡市期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·宁乡市期末）已知等边的边长为2，则其面积为（　　）
A．2 B． C．2 D．4
5．（2024八下·宁乡市期末）添添在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名同学，在近一年内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数 3 4 8 5
课外书数量（本） 12 13 15 18
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　）
A．13，15 B．14，15 C．15，18 D．15，15
6．（2024八下·宁乡市期末）对于函数，说法正确的是（　　）
A．点在这个函数图象上 B．y随着x的增大而增大
C．它的图象必过一、三象限 D．当时，
7．（2024八下·宁乡市期末）如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当平行四边形是矩形时，
B．当平行四边形是菱形时，
C．当平行四边形是正方形时，
D．当平行四边形是菱形时，
8．（2024八下·宁乡市期末）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为（　　）
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
9．（2024八下·宁乡市期末）一次函数与的图象如图所示，其交点，则不等式的解集表示在数轴上正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024八下·宁乡市期末）如图，在正方形中，为中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，则正方形的边长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024八下·宁乡市期末）要使二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2024八下·宁乡市期末）把直线＝－2＋1向下平移2个单位长度，得到的直线是　 　．
13．（2024八下·宁乡市期末）学校利用劳动课带领学生拔萝卜，从中抽取了6个白萝卜，测得白萝卜长度（单位：cm）分别为16，20，15，18，17，16，则这组数据的平均数是　 　cm．
14．（2024八下·宁乡市期末）某办公桌摆件的示意图如图所示，四边形是矩形，若对角线与办公桌面垂直，，，延长交办公桌面于点，，则　 　cm．
15．（2024八下·宁乡市期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为　 　．
16．（2024八下·宁乡市期末）某医院研究所开发了一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化情况如图所示，如果每毫升血液中的含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有　 　小时．
17．（2024八下·宁乡市期末）计算：．
18．（2024八下·宁乡市期末）已知a＝2＋，b＝2－，试求的值．
19．（2024八下·宁乡市期末）已知一次函数．
（1）若y是x的正比例函数，求k的值；
（2）若该函数图象过点，求一次函数的解析式．
20．（2024八下·宁乡市期末）如图，平行四边形的对角线、相交于点，且、、、分别是、、、的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的周长．
21．（2024八下·宁乡市期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
22．（2024八下·宁乡市期末）2022年5月10日，搭载天舟四号货运飞船的长征七号遥五运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩（十分制）进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的作品数量为______份，并补全条形统计图；
（2）求此次被抽取的参赛作品成绩的中位数和平均数；
（3）若该校共收到800份参赛作品，请估计此次大赛成绩不低于9分的作品有多少份？
23．（2024八下·宁乡市期末）如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
24．（2024八下·宁乡市期末）“数学源于生活，又服务于生活”，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知浩然所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍，图书馆离宿舍．周末，浩然从宿舍出发，匀速走了到食堂；在食堂停留吃早餐后，匀速走了到图书馆；在图书馆停留借书后，匀速走了返回宿舍．给出的图象反映了这个过程中浩然离宿舍的距离与离开宿舍的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
离开宿舍的时间/ 2 5 20 23 30
离宿舍的距离/ ____ ____ ____
（2）填空：
①食堂到图书馆的距离为 ；
②浩然从食堂到图书馆的速度为 ；
③浩然从图书馆返回宿舍的速度为 ；
（3）当时，请写出y关于x的函数解析式．在整个过程中，当浩然离宿舍的距离为时，请求出他离开宿舍的时间．
25．（2024八下·宁乡市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，分别交坐标轴于点A，B，C，D．
（1）求a和k的值；
（2）如图，点P是直线上的一个动点，设点P的横坐标为m，当成立时，求点P的坐标；
（3）直线上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
A、是最简二次根式，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】直接根据最简二次根式的定义进行判断即可求解。
2．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵（ ）2+22=7≠（ ）2=5，故不是直角三角形，不合题意；
B、22+32≠42，故不是直角三角形，不合题意；
C、62+72≠82，故不是直角三角形，不合题意；
D、32+42=52，故是直角三角形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】欲判断是否是直角三角形，则需满足较小两边平方的和等于最大边的平方.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不能合并，所以A选项不符合题意；
B、，所以B选项不符合题意；
C、，所以C选项符合题意；
D、，所以D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A、B选项；根据二次根式的乘法法则“”及对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则“”对D选项进行判断．
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图1：过A点作AH⊥BC于H点，
∵等边的边长为2，AH⊥BC
∴，，
∴
∴．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出BH=BC=1，然后利用勾股定理算出AH的长，最后根据三角形的面积计算公式可算出△ABC的面积.
5．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵阅读课外书数量为15本的人数最多，
众数为15，
随机调查了20名同学，
中位数是第10、11两个数的平均数，
中位数为：，
故答案为：D．
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
6．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、函数，
当时，，故选项A不符合题意；
B、∵函数y=-3x+2中，-3＜0，
∴随的增大而减小，故选项B错误，不符合题意；
C、∵函数y=-3x+2中，-3＜0，2＞0，
∴它的图象经过第一、二、四象限，故选项C错误，不符合题意；
D、∵函数y=-3x+2中，-3＜0，
∴随的增大而减小，当时，，故选项D正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】将x=1代入y=-3x+2算出对应的函数值，即可判断A选项；一次函数y=ax+b中，当a＞0时，y随x的增大而增大，当a＜0时，y随x的增大而减小，据此可判断B、D选项；一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此可判断C选项.
7．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A：当四边形是矩形，得=90°，A错误；
B：当四边形是菱形时，但与不一定相等，B错误；
C：当平行四边形ABCD是正方形时，C错误；
D：四边形是菱形，对角线互相垂直，即，D错误.
故答案为：B．
【分析】利用矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质分别进行判断，即可得出答案．
8．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=8，
∴，D是AB的中点，
∵∠AFB=90°，
∴，
∴EF=DE-DF=1，
故答案为：A．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：观察函数图象，可知：当时，直线在直线的上方，
不等式的解集为．
在数轴上表示为：
．
故答案为：C．
【分析】求关于x的不等式ax-bx+3≥-1的解集，就是求ax+3≥bx-1的解集，从图象的角度看，就是求函数y=ax+3的图象在y=bx-1的图象上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出解集，进而根据数轴上表示不等式的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式的解集在数轴上表示出来，即可逐一判断得出答案.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠ADC=90°-∠CDE=∠CDF，
在△ADE与△CDF中，∵∠A=∠DCF=90°，AD=CD，∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△DCF(ASA)，
∴DE=DF，∴DE=DF=
∵点E为AB的中点，
∴设AE=x，则AD=2x，
∵AE2+AD2=DE2，
∴，
得，
得AD=2．
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质得AD=AB=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，由同角的余角相等得∠ADC=∠CDF，从而由ASA判断出△ADE≌△DCF，由全等三角形的对应边相等得DE=DF，然后在Rt△DEF中，利用勾股定理算出DE，最后在Rt△AED中，利用勾股定理算出AD即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵要使二次根式有意义
∴
解得：
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件是“被开方数不能为负数”列出不等式求解即可得到答案．
12．【答案】＝－2－1
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线＝－2＋1向下平移2个单位长度得：.
故答案为：y=-2x-1.
【分析】根据函数图象的平移规则：上加下减常数项，左加右减自变量，即可得出答案.
13．【答案】17
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：
故答案为：17．
【分析】算术平均数是指一组数据的所有数据之和，除以这组数据的总个数，据此计算可得答案.
14．【答案】25
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
又∵AB=15cm，BC=8cm，
∴cm，
又∵CE=8cm，
∴．
故答案为：25．
【分析】由矩形性质得∠B=90°，在Rt△ABC中，用勾股定理算出AC，进而根据AE=AC+CE列式计算即可.
15．【答案】10
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形为矩形
∴
∴
由翻折变换的性质可得
∴
∴AF=CF
设，
在△BCF中，，
即
解得
∴AF=5
．
故答案为：10．
【分析】
先根据矩形的性质及翻折变换的性质求得AF=CF，在△BCF中，根据勾股定理：列出方程，解出x，即AF的值，再根据求解即可．
16．【答案】4
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设时，正比例函数解析式为，
把代入得2k=6，
解得，
当时，与之间的函数关系式是；
设时，一次函数解析式为，
∵点（2，6）与点（6，2）在函数解析式上，
，
解得，
当时，与之间的函数关系式是；
把代入得，；
把代入得，，
有效时间为，
如果每毫升血液中的含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有4小时．
故答案为：4．
【分析】此题是分段函数，先利用待定系数法，分别求出时，与之间的函数关系式，时，与之间的函数关系式，把代入所得的两个函数解析式，算出对应的自变量x的值，再用较大的数减较小的数即为有效时间．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用乘法分配律展开括号，同时根据0指数幂的性质“a0=1(a≠0)”计算，进而根据二次根式的性质“”及二次根式的乘法法则“(a≥0，b≥0)”进行计算，最后合并同类二次根式及进行有理数的减法运算即可.
18．【答案】解：∵ a＝2＋，b＝2－，
∴a＋b＝4，a－b＝2，ab＝1，
∴＝
【知识点】因式分解的应用；二次根式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先根据二次根式加减法法则计算出a+b与a-b，同时根据平方差公式及二次根式性质计算出ab的值，然后将待求式子通分计算后将分母利用平方差公式分解因式，最后整体代入计算可得答案.
19．【答案】（1）解：由题意得：且，
解得：；
（2）解：由题意得：且，
解得：，
次函数的解析式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）形如“y=kx(k为常数，且k≠0)”的函数就是正比例函数，据此列出关于字母k的混合组，求解即可；
（2）将（2，1）代入y=(k-2)x+2k+1算出k的值，即可得到该函数的解析式.
（1）由题意得：且，
解得：；
（2）由题意得：且，
解得：，
次函数的解析式为．
20．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形
，，
、、、分别是、、、的中点．
，，，，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
，
、分别是、的中点，
，且，
，
的周长．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分可得，，由中点的性质可得，，，，由等量代换得EO=GO，FO=HO，进而由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由平行四边形的对角线互相平分得AO+BO=20，然后根据中点定义可得，由三角形中位线等于第三边的一半可得，最后根据三角形周长计算方法即可求解．
（1）证明：四边形是平行四边形
，，
、、、分别是、、、的中点．
，，，，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
，
、分别是、的中点，
，且，
，
的周长．
21．【答案】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
易得四边形ABDE是矩形，
所以DE=AB=1.6米，
所以，（米，
答：风筝的高度为16.6米；
（2）解：由题意得，，
，
（米，
（米，
他应该往回收线7米．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）在Rt△BCD中，利用勾股定理求出CD的长，易得四边形ABDE是矩形，由矩形对边相等得DE=AB=1.6米，最后根据CE=CD+DE，列式计算即可；
（2）先根据DM=CD-CM算出DM，再在Rt△BDM中利用勾股定理算出BM，最后根据往回收线的长度等于BC-BM列式计算即可.
（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米，
答：风筝的高度为16.6米；
（2）解：由题意得，，
，
（米，
（米，
他应该往回收线7米．
22．【答案】（1）解： 本次抽取的作品数量为份，
得8分的分数为100-30-25-5=40份
补全条形统计图如图所示：
（2）解：∵由统计图可知，抽取的这100份参赛作品的中位数为第50个和第51个数据的平均数，
∴此次被抽取的参赛作品成绩的中位数为8分，
（分），
答：此次被抽取的参赛作品成绩的中位数为8分，平均数是8.05分；
（3）解：（份），
答：估计此次大赛成绩不低于9分的作品有240份．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用得9分的份数除以其所占的百分比可求出本次抽取作品的数量；进而用本次抽取的作品数量分别减去得7分、9分、10分的份数即可求出得8分的份数，据此即可补全条形统计图；
（2）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）用该校收取的作品总份数乘以样本中不低于9分作品的占比，即可估计此次大赛成绩不低于9分的作品数量．
23．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，，
，
，，
，，
，
；
（2）解：∵，
，
∴AD=BC=BE+CE=8，
在Rt△ADF中，根据勾股定理，得.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据矩形是性质得BC=AD，AD∥BC，∠B=∠C=90°，由二直线平行，内错角相等得∠DAF=∠AEB，从而利用AAS可判断出△ABE≌△DFA，由全等三角形的对应边相等得AB=DF；
（2）由全等三角形的对应边相等得AF=BE=6，然后根据线段的和差得出AD=BC=8，最后在Rt△ADF中，利用勾股定理算出DF的长即可.
（1）四边形是矩形，
，，，
，
，，
，，
，
；
（2）∵，
，，
，，
∴，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
．
24．【答案】（1）；；1
（2）；；
（3）解：当时，，
当时，设函数解析式为，
，
解得，
∴当时，．
∴；
当浩然离宿舍的距离为时，分两种情况讨论如下：
当时，，解得(分钟)；
当时，他离开宿舍的时间为：(分钟)，
∴当浩然离宿舍的距离为时，他离开宿舍的时间为6分钟或62分钟．
【知识点】分段函数；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：浩然从宿舍到食堂的速度为；
∴浩然离开宿舍5分钟时，离宿舍的距离为0.1×5=0.5km；
由图象可得浩然离开宿舍23分钟时，还在食堂吃早餐，离宿舍的距离为0.7km；浩然离开宿舍30分钟时，在图书馆借书，离宿舍的距离为1km；
填表如下：
离开宿舍的时间/ 2 5 20 23 30
离宿舍的距离/ 1
故答案为：．
（2）解：①食堂到图书馆的距离为；
②浩然从食堂到图书馆的速度为；
③浩然从图书馆返回宿舍的速度为；
故答案为：；
【分析】（1）首先根据图象提供的信息，用速度等于路程除以时间求出浩然从宿舍到食堂的速度，然后根据路程等于速度乘以时间可求出浩然离开宿舍5分钟时离宿舍的距离；由图象可得浩然离开宿舍23分钟时，还在食堂吃早餐，浩然离开宿舍30分钟时，在图书馆借书，从而根据食堂及图书馆距离宿舍得距离即可作答；
（2）用图书馆距离宿舍的距离减去宿舍距离食堂的距离即可求出食堂到图书馆的距离；根据图象提供的信息，用速度等于路程除以时间求出浩然从食堂到图书馆的速度及 浩然从图书馆返回宿舍的速度 ；
（3）分段函数，利用待定系数法求出当0≤x＜7及23≤x≤28时的两个一次函数解析式，利用图象直接写出7≤x＜23时的常值函数，即可得到0≤x≤28y关于x的函数关系式；分0≤x＜7与58≤x≤68两种情况分别计算出当浩然离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间即可.
（1）解：填表：浩然从宿舍到食堂的速度为；
离开宿舍的时间/ 2 5 20 23 30
离宿舍的距离/
1
故答案为：．
（2）解：填空：
①食堂到图书馆的距离为；
②浩然从食堂到图书馆的速度为；
③浩然从图书馆返回宿舍的速度为；
故答案为：．
（3）解：当时，，
当时，设函数解析式为，
，
解得，
∴当时，．
∴；
当浩然离宿舍的距离为时，分两种情况讨论如下：
当时，，解得(分钟)；
当时，他离开宿舍的时间为：(分钟)，
∴当浩然离宿舍的距离为时，他离开宿舍的时间为6分钟或62分钟．
25．【答案】（1）解：将点M(4，a)代入，得，
解得：，
故点，
将点的坐标代入，得，
解得：，
，；
（2）解：由（1）得直线的表达式为：，
将x=0代入得y=-2，
∴点，
将x=0代入得y=3，
∴B（0，3）
∴S△PBM，
解得：或，
将x=-4代入得y=-5，
将x=12代入得y=7，
∴点的坐标为或；
（3）解： 点N的坐标为：或或
【知识点】坐标与图形性质；两一次函数图象相交或平行问题；菱形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）解：设点的坐标为，
∵，
∴，
当，是边时，
当点在点的上方时，则，即，
解得，
则点的坐标为或；
点在点的正下方个单位，
则点或；
当为对角线时，则的中点坐标为，
∴点纵坐标为，即：，
∴，
∴，
∵的中点也为，
∴；
综上，点的坐标为或或．
【分析】（1）将点M(4，a)代入即可求得的值，从而确定点M的坐标为(4，1)，再将点M(4，1)的坐标代入即可求得值；
（2）首先根据（1）的计算得出直线CD的解析式，然后根据直线与y轴交点的坐标特点，分别令直线CD、AB解析式中的x=0算出对应的y的值，可得点D、B的坐标；根据S△PBM，结合三角形面积计算公式建立方程，求得或，代入直线CD的解析式算出对应的函数值，即可求得答案；
（3）根据点的坐标与图形性质，设点F的坐标为，根据两点间的距离公式得出BD=5，然后分①当BD是边时和②当BD是对角线时，则BD的中点，即为NF的中点，且FN∥x轴，进而求解．
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