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湖南省衡阳市衡山县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·衡山期末）清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000084＝8.4×10-6，
故答案为：B.
【分析】利用科学记数法表示绝对值小于1的数：一般形式为a×10-n，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此选择．
2．（2024八下·衡山期末） 在平面直角坐标系中，点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P（-2，3）的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴点P位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】根据点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），判断出点P的横坐标与纵坐标的符号，即可得知点P所在的象限，即可求解.
3．（2024八下·衡山期末）（　　）
A． B．1 C．0 D．2024
【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：由．
故选：B．
【分析】本题考查了零指数幂的运算，根据“任何不等于0的数的0次幂都等于1”进行计算，即可得到到答案．
4．（2024八下·衡山期末）若点P在一次函数的图象上，则点P一定不在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵
∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，
则点P在一次函数的图象上，
即点P一定不在第一象限．
故答案为：A．
【分析】因为-2<0，-3<0，所以根据一次函数的图象与系数的关系，判断即可.
5．（2024八下·衡山期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接．若的面积为，则k的值（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：设点A（x，y），
∵ 过点A作x轴的垂线，垂足为B， 且点A在第一象限，
∴OB=x，AB=y，
∵S△OAB=OB×AB，
∴xy=
∴xy=
∵点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上 ，
∴xy=k；
∴．
故答案为：A．
【分析】设点A（x，y），由题意可得OB=x，AB=y，从而根据三角形面积计算公式可得出xy=，然后根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数“k”可得xy=k，从而即可得出答案.
6．（2024八下·衡山期末）如图，在菱形中，．已知的周长是15，则菱形的周长是（　　）
A．23 B．20 C．15 D．10
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
，，
是等边三角形，
∵的周长是15，
，
菱形ABCD的周长是20
故答案为：B．
【分析】由菱形的四边形相等得AB=BC，由菱形的每一条对角线平分一组对角得∠BAC=60°，由“有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形”得△ABC是等边三角形，由等边三角形的三边相等并结合三角形周长计算公式可得AB=BC=5，最后菱形周长计算公式可算出答案.
7．（2024八下·衡山期末）如图，平行四边形中，，对角线，相交于点O，，则的周长为（　　）
A．12 B．14 C．15 D．19
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴的周长为：，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的对边相等得AB=CD=5，由平行四边形的对角线互相平分得，，则可求出OC+OD=(AC+BD)=7，最后根据三角形的周长计算公式列式计算即可.
8．（2024八下·衡山期末）有一组数据：19，19，18，19，20，19，18，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．19，19 B．19，18 C．18，18 D．18，19
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将此组数据从小到大排列为
18，18，19，19，19，19，20，
19出现了4次，是此组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是19，
∵处于最中间的数是19，
∴这组数据的中位数是19.
故答案为：A.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此可求出已知数据的众数和中位数.
9．（2024八下·衡山期末）若方程＝有增根，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：因为方程＝ 有增根，而x-2≠0，
将分式化成整式方程后，得到：x-1＝a，
由分式方程有增根，所以x-2＝0，
解得，x＝2，
将x=2代入x-1＝a，
解得，a＝1，
故答案为：B．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．
10．（2024八下·衡山期末）老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（　　）
A． B．平均数为8
C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：根据题意得：该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，
平均数为：
（11+9+8+6+6）÷5
=40÷5
=8
故A、B选项正确，不符合题意；
添加一个数8后方差为
即添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意；
这组数据，6出现的次数最多，
即这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据方差公式的运算，可直接从方差算式中读出平均数和项数；
根据求方差的公式：，然后与原式对比，即可判断
根据众数的定义：数列中出现次数最多的数，即可众数，据此即可判断
11．（2024八下·衡山期末）化简：　 　．
【答案】-1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
；
故答案为：-1．
【分析】由于“x-2”与“2-x”互为相反数，故把第二个分式的分母与分式本身同时改变符号变形，就变为同分母分式的减法，进而根据同分母分式减法法则“同分母分式相减，分母不变，分子相减”进行计算即可.
12．（2024八下·衡山期末）在函数中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，
解得；
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件“分式的分母不为0”，列出不等式进行求解即可．
13．（2024八下·衡山期末）菱形的边长为10，一条对角线为16，它的面积是　 　.
【答案】96
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，AC=2OA=16，BD=2OD，
∴∠AOD=90°，OA=8，
∴，
∴BD=12，
∴菱形ABCD的面积为×12×16=96.
故答案为：96.
【分析】利用菱形的性质可证得AC⊥BD，AC=2OA=16，BD=2OD，可求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，可得到BD的长，然后利用菱形的面积公式求出其面积.
14．（2024八下·衡山期末）如图，在中，对角线相交于点O，若要使成为矩形，需要添加的条件是　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：要使成为矩形，需要添加的条件是，理由如下：
∵四边形是平行四边形，，
∴为矩形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据矩形的判定判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形进行作答即可．
15．（2024八下·衡山期末）如果点、在直线上，那么．（填“>”或“<”）．
【答案】>
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵中，，
∴随增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)中，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，当k＜0时，函数值y随x的增大而减小，据此求解即可.
16．（2024八下·衡山期末）直线平行于直线，且与轴交于点，则此函数的解析式　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵直线平行于直线，
∴，
∵与轴交于点，
∴，
∴此函数的解析式为．
故答案为：．
【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，则K相等，据此求出y=kx+b的k，然后再将点（0，3）代入y=kx+b，即可求出该函数解析式
17．（2024八下·衡山期末）如图所示，在平行四边形中，，，平分交于点E，则　 　．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得AD=BC=8，AD∥BC，由二直线平行内错角相等得∠AEB=∠CBE，进而根据角平分线的定义可推出∠ABE=∠AEB，由等角对等边得AB=AE，最后根据DE=AD-AE可算出答案.
18．（2024八下·衡山期末）如图，等腰直角的顶点A坐标为，直角顶点B坐标为，反比例函数的图象经过点C，则　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点C作轴于点D．
∵顶点A坐标为，直角顶点B坐标为，
∴，．
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
∵反比例函数的图象经过点C，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】过点C作轴于点D，根据A坐标为，直角顶点B坐标为，可知OA=3，OB=1；再根据三角形ABC为等腰三角形，从而得到AB=BC，； 易证 ，从而得到DB=OA，CD=OB，进而进一步求出C点坐标，然后再将C点坐标代入 ，即可求解。
19．（2024八下·衡山期末）化简：．
【答案】解：原式
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】将第一个分式的分母利用完全平方公式分解因式，同时把“1”看成，根据同分母分式减法法则计算括号内的部分，然后根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法改为乘法，然后计算分式乘法，约分化简即可．
20．（2024八下·衡山期末）解分式方程：．
【答案】解：
整理得：
去分母得：
去括号得：
合并同类项：
解得：，
经检验分式方程的解，
是原分式方程的根.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程左边的分母利用平方差公式分解因式为(x+2)(x-2)，由于“x-2”与“2-x”互为相反数，故可将方程右边分式的分母及分式本身同时改变符号进行变形，然后方程两边同时乘以各个分母的最简公分母(x-2)(x+2)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
21．（2024八下·衡山期末）关于 的分式方程 的解为正数，则 的取值范围是　 　.
【答案】 且
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：去分母得： ，
解得： ，
，
解得： ，
当 时， 不合题意，
故 且 .
故答案为： 且 .
【分析】把a作为常数，方程两边都乘以（x-2）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程，求出x的值，根据该方程的解是正数可知x值大于0，且x的值不为2，从而列出不等式组，求解即可。
22．（2024八下·衡山期末）如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，．求证：四边形是矩形；
【答案】证明：四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的对边平行得AB∥CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得BFDE是平行四边形，再根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”可得结论．
23．（2024八下·衡山期末）如图，点B是湖中一个小岛，点A是湖边一条观景长廊MN上的一个观景台．小萌同学想要测量A，B两点间的距离，采取了如下做法：首先在A处测得，然后从点A出发沿NM走400米到达C处，此时测得．
（1）计算观景台A到小岛B的距离；
（2）为了更好地吸引游客，提高旅游收入，小萌向该湖管理处建议，在A，B间修一条直线观景长廊（人工桥）．管理处经过调查论证，采取了小萌的建议．某工程队中标后，施工时采用了新的方式，实际施工时每天的工效比原计划增加25％，结果提前4天完成任务．则原计划每天修桥多少米？
【答案】（1）解：根据题意，可知：
AC=400（米）
∵，
∴
∴，
即，
答：观景台A到小岛的距离为400米．
（2）解：设原计划每天修桥x米，则实际施工时每天修桥米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：原计划每天修桥20米．
【知识点】分式方程的实际应用；三角形的外角性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）因为是三角形ABN的外角，所以，，将和 代入求出，从而得出三角形ABC为等腰三角形，进而即可求出AC=AB，据此即可求解
（2）设原计划每天修桥x米，则实际施工时每天修桥米，根据“实际施工时每天的工效比原计划增加25％，结果提前4天完成任务”，列出分式方程：，然后解方程即可
（1）解：由题意可得：（米），
∵，
∴，
∴，即，
∴观景台A到小岛的距离为400米．
（2）设原计划每天修桥x米，则实际施工时每天修桥米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：原计划每天修桥20米．
24．（2024八下·衡山期末）小明在课余时间，找了几副度数不同的近视镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小．此时他测量了镜片到光斑的距离，得到如下数据：
镜片度数y/度 … 400 625 800 m …
镜片到光斑的距离x/m … 0.25 0.16 0.125 0.10 …
（x表示镜片到光斑的距离，y表示镜片的度数）
为了进一步研究镜片度数y与镜片到光斑的距离x间的关系，小明借助计算机绘制了表示变量间关系的图象，并给出了它们的关系式，如图：
（1）m的值是______；
（2）小亮的眼镜是近视200度，用小亮的眼镜做实验的话，请写出其镜片到光斑的距离，并解释你是怎样得出这一结论的；
（3）根据图表中的信息，发现随着x的逐渐变大，y的变化趋势是________；
（4）你来预测一下，如果是一副平光镜（近视度数为0），会不会有光斑存在？（直接写结论，无需解释）
【答案】（1）1000
（2）解：镜片到光斑的距离为0.5m，理由如下：
将代入
得，
解得
∴其镜片到光斑的距离为；
（3）逐渐变小
（4）解：不会有光斑存在.
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）将代入，
得，
∴；
故答案为：1000；
（3）根据图表中的信息可得，随着x的逐渐变大，y逐渐变小；
故答案为：逐渐变小
（4）根据图表中的信息可得，如果是一副平光镜（近视度数为0），不会有光斑存在．
【分析】（1）将代入求解即可；
（2）将代入求解即可；
（3）函数图象在第一项象限，从左至右呈下降趋势，故随着x的逐渐变大，y的变化趋势是逐渐减小；
（4）由函数图象可知，当y趋近于0时，x趋近于无穷大，但y不会等于零，所以当y=0时，光斑不会存在.
25．（2024八下·衡山期末）如图，矩形中，点是边上的动点，连接、，以、为边向上作平行四边形，
（1）填空： ______（填“，，”）；
（2）当点运动到什么位置时，平行四边形是菱形，为什么？
（3）若要使得平行四边形为正方形，则与之间应该满足什么样的数量关系？请直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）=
（2）解：当点运动到中点时，平行四边形是菱形，理由如下：
如图，为的中点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
据此，当点运动到中点时，平行四边形是菱形；
（3）解：
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【(解答】（1）解：∵，，
∴，
∵，
，
故答案为：=；
（3）解：若要使得平行四边形为正方形，由当点运动到中点时，平行四边形是菱形知必须有，
∴，
由（）得，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∴．
【分析】（）由矩形和三角形面积公式得S矩形ABCD=2S△ADE，由平行四边形和三角形面积公式得S平行四边形AEDF=2S△ADE，据此可得结论；
（）当E为BC的中点时，平行四边形AEDF是菱形，由矩形的性质得∠B=∠C=90°，AB=CD，从而由SAS判断出△ABE≌△DCE，由全等三角形的对应边相等得AE=DE，从而根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形AEDF是菱形；
（）由平行四边形AEDF为正方形，得∠AED=90°，从而利用勾股定理得，由（）得，，于是有，再利用勾股定理即可得解．
26．（2024八下·衡山期末）如图1，已知点和点坐标分别为和，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交轴于点．
（1）求直线的函数关系式；
（2）如图2，若点为线段上一点，且的面积为，求点的坐标；
（3）若直线与有公共点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：如图所示，过点作轴于点，
∵点和点坐标分别为和，
∴OA=1，OB=3，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为；
（2）解：将代入，得
解得x=6，
，
又∵A(1，0)
∴AD=6-1=5；
如图2，过点作轴于，
设点的坐标为，
解得：，
；
（3）解：直线Y=-X+m与△ABC有公共点时，M的取值范围为：.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（3）当直线经过点时，
解得：，
当直线经过点时，，
解得：
观察图形可得：直线与△ABC有公共点，则.
【分析】（1）过点C作CE⊥x轴于点E，由旋转的性质得AB=AC，∠BAC=90°，由同角的余角相等推出∠OAB=∠ACE，从而由AAS判断出△OAB≌△ECA，由全等三角形的对应边相等得OA=CE=1，AE=OB=3，进而求得C(4，1) ，再根据待定系数法求得直线BD的解析式；
（2）令直线BD解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，可得点D的坐标，根据两点间的距离公式求出AD的长；过点P作PQ⊥x轴于Q，根据点的坐标与图形性质，设点的坐标为，根据三角形面积计算公式及割补法，由建立方程，求解得出m的值，即可求出点P的坐标；
（3）分别求得直线经过点时的值，结合图形，即可求解．
1 / 1湖南省衡阳市衡山县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·衡山期末）清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·衡山期末） 在平面直角坐标系中，点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024八下·衡山期末）（　　）
A． B．1 C．0 D．2024
4．（2024八下·衡山期末）若点P在一次函数的图象上，则点P一定不在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2024八下·衡山期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接．若的面积为，则k的值（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·衡山期末）如图，在菱形中，．已知的周长是15，则菱形的周长是（　　）
A．23 B．20 C．15 D．10
7．（2024八下·衡山期末）如图，平行四边形中，，对角线，相交于点O，，则的周长为（　　）
A．12 B．14 C．15 D．19
8．（2024八下·衡山期末）有一组数据：19，19，18，19，20，19，18，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．19，19 B．19，18 C．18，18 D．18，19
9．（2024八下·衡山期末）若方程＝有增根，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
10．（2024八下·衡山期末）老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（　　）
A． B．平均数为8
C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6
11．（2024八下·衡山期末）化简：　 　．
12．（2024八下·衡山期末）在函数中，自变量x的取值范围是　 　．
13．（2024八下·衡山期末）菱形的边长为10，一条对角线为16，它的面积是　 　.
14．（2024八下·衡山期末）如图，在中，对角线相交于点O，若要使成为矩形，需要添加的条件是　 　．
15．（2024八下·衡山期末）如果点、在直线上，那么．（填“>”或“<”）．
16．（2024八下·衡山期末）直线平行于直线，且与轴交于点，则此函数的解析式　 　．
17．（2024八下·衡山期末）如图所示，在平行四边形中，，，平分交于点E，则　 　．
18．（2024八下·衡山期末）如图，等腰直角的顶点A坐标为，直角顶点B坐标为，反比例函数的图象经过点C，则　 　．
19．（2024八下·衡山期末）化简：．
20．（2024八下·衡山期末）解分式方程：．
21．（2024八下·衡山期末）关于 的分式方程 的解为正数，则 的取值范围是　 　.
22．（2024八下·衡山期末）如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，．求证：四边形是矩形；
23．（2024八下·衡山期末）如图，点B是湖中一个小岛，点A是湖边一条观景长廊MN上的一个观景台．小萌同学想要测量A，B两点间的距离，采取了如下做法：首先在A处测得，然后从点A出发沿NM走400米到达C处，此时测得．
（1）计算观景台A到小岛B的距离；
（2）为了更好地吸引游客，提高旅游收入，小萌向该湖管理处建议，在A，B间修一条直线观景长廊（人工桥）．管理处经过调查论证，采取了小萌的建议．某工程队中标后，施工时采用了新的方式，实际施工时每天的工效比原计划增加25％，结果提前4天完成任务．则原计划每天修桥多少米？
24．（2024八下·衡山期末）小明在课余时间，找了几副度数不同的近视镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小．此时他测量了镜片到光斑的距离，得到如下数据：
镜片度数y/度 … 400 625 800 m …
镜片到光斑的距离x/m … 0.25 0.16 0.125 0.10 …
（x表示镜片到光斑的距离，y表示镜片的度数）
为了进一步研究镜片度数y与镜片到光斑的距离x间的关系，小明借助计算机绘制了表示变量间关系的图象，并给出了它们的关系式，如图：
（1）m的值是______；
（2）小亮的眼镜是近视200度，用小亮的眼镜做实验的话，请写出其镜片到光斑的距离，并解释你是怎样得出这一结论的；
（3）根据图表中的信息，发现随着x的逐渐变大，y的变化趋势是________；
（4）你来预测一下，如果是一副平光镜（近视度数为0），会不会有光斑存在？（直接写结论，无需解释）
25．（2024八下·衡山期末）如图，矩形中，点是边上的动点，连接、，以、为边向上作平行四边形，
（1）填空： ______（填“，，”）；
（2）当点运动到什么位置时，平行四边形是菱形，为什么？
（3）若要使得平行四边形为正方形，则与之间应该满足什么样的数量关系？请直接写出与之间的数量关系．
26．（2024八下·衡山期末）如图1，已知点和点坐标分别为和，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交轴于点．
（1）求直线的函数关系式；
（2）如图2，若点为线段上一点，且的面积为，求点的坐标；
（3）若直线与有公共点，直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000084＝8.4×10-6，
故答案为：B.
【分析】利用科学记数法表示绝对值小于1的数：一般形式为a×10-n，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此选择．
2．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P（-2，3）的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴点P位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】根据点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），判断出点P的横坐标与纵坐标的符号，即可得知点P所在的象限，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：由．
故选：B．
【分析】本题考查了零指数幂的运算，根据“任何不等于0的数的0次幂都等于1”进行计算，即可得到到答案．
4．【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵
∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，
则点P在一次函数的图象上，
即点P一定不在第一象限．
故答案为：A．
【分析】因为-2<0，-3<0，所以根据一次函数的图象与系数的关系，判断即可.
5．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：设点A（x，y），
∵ 过点A作x轴的垂线，垂足为B， 且点A在第一象限，
∴OB=x，AB=y，
∵S△OAB=OB×AB，
∴xy=
∴xy=
∵点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上 ，
∴xy=k；
∴．
故答案为：A．
【分析】设点A（x，y），由题意可得OB=x，AB=y，从而根据三角形面积计算公式可得出xy=，然后根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数“k”可得xy=k，从而即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
，，
是等边三角形，
∵的周长是15，
，
菱形ABCD的周长是20
故答案为：B．
【分析】由菱形的四边形相等得AB=BC，由菱形的每一条对角线平分一组对角得∠BAC=60°，由“有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形”得△ABC是等边三角形，由等边三角形的三边相等并结合三角形周长计算公式可得AB=BC=5，最后菱形周长计算公式可算出答案.
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴的周长为：，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的对边相等得AB=CD=5，由平行四边形的对角线互相平分得，，则可求出OC+OD=(AC+BD)=7，最后根据三角形的周长计算公式列式计算即可.
8．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将此组数据从小到大排列为
18，18，19，19，19，19，20，
19出现了4次，是此组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是19，
∵处于最中间的数是19，
∴这组数据的中位数是19.
故答案为：A.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此可求出已知数据的众数和中位数.
9．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：因为方程＝ 有增根，而x-2≠0，
将分式化成整式方程后，得到：x-1＝a，
由分式方程有增根，所以x-2＝0，
解得，x＝2，
将x=2代入x-1＝a，
解得，a＝1，
故答案为：B．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．
10．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：根据题意得：该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，
平均数为：
（11+9+8+6+6）÷5
=40÷5
=8
故A、B选项正确，不符合题意；
添加一个数8后方差为
即添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意；
这组数据，6出现的次数最多，
即这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据方差公式的运算，可直接从方差算式中读出平均数和项数；
根据求方差的公式：，然后与原式对比，即可判断
根据众数的定义：数列中出现次数最多的数，即可众数，据此即可判断
11．【答案】-1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
；
故答案为：-1．
【分析】由于“x-2”与“2-x”互为相反数，故把第二个分式的分母与分式本身同时改变符号变形，就变为同分母分式的减法，进而根据同分母分式减法法则“同分母分式相减，分母不变，分子相减”进行计算即可.
12．【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，
解得；
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件“分式的分母不为0”，列出不等式进行求解即可．
13．【答案】96
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，AC=2OA=16，BD=2OD，
∴∠AOD=90°，OA=8，
∴，
∴BD=12，
∴菱形ABCD的面积为×12×16=96.
故答案为：96.
【分析】利用菱形的性质可证得AC⊥BD，AC=2OA=16，BD=2OD，可求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，可得到BD的长，然后利用菱形的面积公式求出其面积.
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：要使成为矩形，需要添加的条件是，理由如下：
∵四边形是平行四边形，，
∴为矩形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据矩形的判定判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形进行作答即可．
15．【答案】>
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵中，，
∴随增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)中，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，当k＜0时，函数值y随x的增大而减小，据此求解即可.
16．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵直线平行于直线，
∴，
∵与轴交于点，
∴，
∴此函数的解析式为．
故答案为：．
【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，则K相等，据此求出y=kx+b的k，然后再将点（0，3）代入y=kx+b，即可求出该函数解析式
17．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得AD=BC=8，AD∥BC，由二直线平行内错角相等得∠AEB=∠CBE，进而根据角平分线的定义可推出∠ABE=∠AEB，由等角对等边得AB=AE，最后根据DE=AD-AE可算出答案.
18．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点C作轴于点D．
∵顶点A坐标为，直角顶点B坐标为，
∴，．
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
∵反比例函数的图象经过点C，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】过点C作轴于点D，根据A坐标为，直角顶点B坐标为，可知OA=3，OB=1；再根据三角形ABC为等腰三角形，从而得到AB=BC，； 易证 ，从而得到DB=OA，CD=OB，进而进一步求出C点坐标，然后再将C点坐标代入 ，即可求解。
19．【答案】解：原式
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】将第一个分式的分母利用完全平方公式分解因式，同时把“1”看成，根据同分母分式减法法则计算括号内的部分，然后根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法改为乘法，然后计算分式乘法，约分化简即可．
20．【答案】解：
整理得：
去分母得：
去括号得：
合并同类项：
解得：，
经检验分式方程的解，
是原分式方程的根.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程左边的分母利用平方差公式分解因式为(x+2)(x-2)，由于“x-2”与“2-x”互为相反数，故可将方程右边分式的分母及分式本身同时改变符号进行变形，然后方程两边同时乘以各个分母的最简公分母(x-2)(x+2)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
21．【答案】 且
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：去分母得： ，
解得： ，
，
解得： ，
当 时， 不合题意，
故 且 .
故答案为： 且 .
【分析】把a作为常数，方程两边都乘以（x-2）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程，求出x的值，根据该方程的解是正数可知x值大于0，且x的值不为2，从而列出不等式组，求解即可。
22．【答案】证明：四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的对边平行得AB∥CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得BFDE是平行四边形，再根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”可得结论．
23．【答案】（1）解：根据题意，可知：
AC=400（米）
∵，
∴
∴，
即，
答：观景台A到小岛的距离为400米．
（2）解：设原计划每天修桥x米，则实际施工时每天修桥米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：原计划每天修桥20米．
【知识点】分式方程的实际应用；三角形的外角性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）因为是三角形ABN的外角，所以，，将和 代入求出，从而得出三角形ABC为等腰三角形，进而即可求出AC=AB，据此即可求解
（2）设原计划每天修桥x米，则实际施工时每天修桥米，根据“实际施工时每天的工效比原计划增加25％，结果提前4天完成任务”，列出分式方程：，然后解方程即可
（1）解：由题意可得：（米），
∵，
∴，
∴，即，
∴观景台A到小岛的距离为400米．
（2）设原计划每天修桥x米，则实际施工时每天修桥米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：原计划每天修桥20米．
24．【答案】（1）1000
（2）解：镜片到光斑的距离为0.5m，理由如下：
将代入
得，
解得
∴其镜片到光斑的距离为；
（3）逐渐变小
（4）解：不会有光斑存在.
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）将代入，
得，
∴；
故答案为：1000；
（3）根据图表中的信息可得，随着x的逐渐变大，y逐渐变小；
故答案为：逐渐变小
（4）根据图表中的信息可得，如果是一副平光镜（近视度数为0），不会有光斑存在．
【分析】（1）将代入求解即可；
（2）将代入求解即可；
（3）函数图象在第一项象限，从左至右呈下降趋势，故随着x的逐渐变大，y的变化趋势是逐渐减小；
（4）由函数图象可知，当y趋近于0时，x趋近于无穷大，但y不会等于零，所以当y=0时，光斑不会存在.
25．【答案】（1）=
（2）解：当点运动到中点时，平行四边形是菱形，理由如下：
如图，为的中点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
据此，当点运动到中点时，平行四边形是菱形；
（3）解：
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【(解答】（1）解：∵，，
∴，
∵，
，
故答案为：=；
（3）解：若要使得平行四边形为正方形，由当点运动到中点时，平行四边形是菱形知必须有，
∴，
由（）得，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∴．
【分析】（）由矩形和三角形面积公式得S矩形ABCD=2S△ADE，由平行四边形和三角形面积公式得S平行四边形AEDF=2S△ADE，据此可得结论；
（）当E为BC的中点时，平行四边形AEDF是菱形，由矩形的性质得∠B=∠C=90°，AB=CD，从而由SAS判断出△ABE≌△DCE，由全等三角形的对应边相等得AE=DE，从而根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形AEDF是菱形；
（）由平行四边形AEDF为正方形，得∠AED=90°，从而利用勾股定理得，由（）得，，于是有，再利用勾股定理即可得解．
26．【答案】（1）解：如图所示，过点作轴于点，
∵点和点坐标分别为和，
∴OA=1，OB=3，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为；
（2）解：将代入，得
解得x=6，
，
又∵A(1，0)
∴AD=6-1=5；
如图2，过点作轴于，
设点的坐标为，
解得：，
；
（3）解：直线Y=-X+m与△ABC有公共点时，M的取值范围为：.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（3）当直线经过点时，
解得：，
当直线经过点时，，
解得：
观察图形可得：直线与△ABC有公共点，则.
【分析】（1）过点C作CE⊥x轴于点E，由旋转的性质得AB=AC，∠BAC=90°，由同角的余角相等推出∠OAB=∠ACE，从而由AAS判断出△OAB≌△ECA，由全等三角形的对应边相等得OA=CE=1，AE=OB=3，进而求得C(4，1) ，再根据待定系数法求得直线BD的解析式；
（2）令直线BD解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，可得点D的坐标，根据两点间的距离公式求出AD的长；过点P作PQ⊥x轴于Q，根据点的坐标与图形性质，设点的坐标为，根据三角形面积计算公式及割补法，由建立方程，求解得出m的值，即可求出点P的坐标；
（3）分别求得直线经过点时的值，结合图形，即可求解．
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