资源简介

2025年九年级中考数学复习-全等三角形模型之旋转模型
1．如图1，在中，，，点E在AC上，，．连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．
（1）试猜想：PC与PE的数量关系是________，位置关系是________．
（2）将绕点A顺时针方向旋转，设旋转角为．
①如图2，当时，点D落在AB边上，（1）中PC与PE的数量关系和位置关系还成立吗？如果成立，写出结论，并证明；如果不成立，说明理由．
②如图3，当时，若，，直接写出的值．

2．安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围.
宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答：
(1)和全等吗？请说明理由；
(2)求出的取值范围.
3．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．请判AC与BF的数量关系，并说明理由．
4．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．

(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：
①延长到Q使得；
②再连接，把、、集中在中；
③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是______．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
(2)请写出图1中与的位置关系并证明；
(3)思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系，并加以证明．
5．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．

【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”．
【问题解决】
(1)直接写出图1中的取值范围：
(2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明．
(3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明．
6．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．
(1)【探究发现】图1中与的数量关系是___________，位置关系是___________；
(2)【初步应用】如图2，在中，是边上的中线，若，，，判断的形状；
(3)【探究提升】如图3，在中，若，，D为边上的点，且，求的取值范围．
7．【综合探究】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．
(1)【探究发现】图1中，由已知和作图能得到的理由是______．
A. B. C. D.
(2)【初步应用】如图2，在中，若，，求得的取值范围是______．
A. B. C. D.
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
(3)【问题解决】如图3，是的中线，交于，交于，且．求证：．
8．如图1，在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点.

(1)求证：；
(2)如图2，以为边作等边，与相等吗？并说明理由；
(3)如图3，若点是的中点，连接，，判断与有什么数量关系？并说明理由.
9．已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，．
（1）如图1，①若，请直接写出______；
②连接，若，求证：；
（2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由．
10．已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE．
(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；
(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN
(3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=，如图3，则BM=_______（直接写出结果）
11．如图，四边形、都是正方形，是的中点，连接、．
(1)当、、三点共线时，求证：，且．
(2)当、、三点不共线时，（1）中的结论是否成立，并加以证明．
12．阅读下面的题目及分析过程．
已知：如图1，点E是的中点，点A在上，且．说明：．
分析：说明两个角相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质． 观察本题中说明的两个角，它们既不在同一个三角形中，而且它们所在两个三角形也不全等．因此，要说明，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，现在提供两种添加辅助线的方法如下：如图2，过点C作，交的延长线于点F；如图3，延长至点M，使，连接．
(1)请从以上两种添加辅助线方法中选择一种完成上面的说理过程．
(2)反思应用：如图4，点B是的中点，于点B．请类比（1）中解决问题的思想方法，添加适当的辅助线，判断线段与之间的大小关系，并说明理由．
13．如图1，已知，连接．
(1)求证：．
(2)将绕点C旋转到如图2所示的位置，F为的中点，连接，．
①求证：．
②探究与的数量关系和位置关系，并说明理由．
14．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．
(1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围；
(3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．
15．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，,是中线，求的取值范围．
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到E，使得；
②连接，通过三角形全等把转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题解决】
（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______．
①；②；③；④
【问题拓展】
（3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：；
（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______．
参考答案
1．（1），；（2）①成立，结论：，，证明见解析，②
【分析】（1）延长EP与BC交于点M，根据平行线性质和全等三角形的判定证明，进而证明△MCE为等腰直角三角形，即可证得，；
（2）①延长EP过点B作交EP于N，易证和，进而证明△NCE为等腰直角三角形，即可做出判断；
（3）接AE、CE，过E作交CA延长线于Q，易求得，，求出CE长，再根据①中结论可求得PC2的值．
【详解】解：（1）延长EP与BC交于点M，
是BD中点，，
，，
，，
在中，
∵，
，
，，
∵BC=AC，
∴CM=CE，
为等腰直角三角形，
，．
（2）①延长EP过点B作交EP于N，
，
在和中，
∵，
，
，，
在和中，
∵，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，．
②连接AE，过E作交CA延长线于Q，
，
，
，，
，，
，
仿照（2）方法易证△EPC为等腰直角三角形，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定性质、勾股定理，添加辅助线，构造全等三角形解决问题是解答的关键．
2．(1)全等，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系；
（1）根据中线的性质可得，延长到，使，根据证明 ，即可；
（2）根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】（1）解：∵是中线，
∴，
延长到，使，
又，
∴
（2）由（1）可知，，，
在中，，，
∴，即，
∴.
3．(1)见解析
(2)AC=BF，理由见解析
【详解】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中
∵，
∴△ADC≌△EDB（SAS）．
∴BE=AC=3．
∵AB-BE∵2∵AE=2AD
∴1（2）AC=BF，理由如下：
延长AD至点G，使GD=AD，连接BG，
在△ADC和△GDB中，
，
∴△ADC≌△GDB（SAS）．
∴BG=AC，∠G=∠DAC．．
∵AE=EF
∴∠AFE=∠FAE．
∴∠DAC=∠AFE=∠BFG
∴∠G=∠BFG
∴BG=BF
∴AC=BF．
【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD到点E，使DE=AD，构造全等三角形是解题的关键．
4．(1)
(2)，证明过程见解析
(3)，证明过程见解析
【分析】（1）连接，证明四边形是平行四边形，可得，再根据三角形三边关系可得，即可求解；
（2）连接，根据中线的定义可得，再根据平行四边形的判定即可得出结论；
（3）延长使，连接、，证明四边形是平行四边形可得，，再根据平行线的性质可得，从而证明，可得，即可得出结论．
【详解】（1）解：连接，
∵是边上的中线，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，即，
∴，
故答案为：；

（2）证明：连接，
∵是边上的中线，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；

（3）解：，证明如下：
延长使，连接、，
∵是边上的中线，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．

【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质及三角形的三边关系，作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
5．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法；
（1）延长使得，连接，先证明得到，在中，根据三角形三边关系即可求解；
（2）由（1）中即可求解；
（3）延长使得，连接，同（1）可得，进而判断出，进而证明，即可求解．
【详解】（1）解：延长使得，连接，如图2，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：；
由（1）得：，
∴，，
∴；
（3）解：；
延长使得，连接，如图，

由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
由（2）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
6．(1)，
(2)是直角三角形；
(3)．
【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出；
（2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此计算即可得出结论；
（3）延长到，使得，连接，证明，推出，再利用三角形的三边关系，即可得出结论．
【详解】（1）解：延长到，使，连接．
是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案为：，；
（2）解：如图2，延长到，使，连接，
由（1）可知，，
，，，
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：延长到，使得，连接，则，
∵，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线．
7．(1)B
(2)C
(3)见解析
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
（1）根据，，推出和全等即可；
（2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；
（3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可．
【详解】（1）解：在和中
，
，
故选：B；
（2）解：由（1）知：，
，，
在中，，由三角形三边关系定理得：，
，
故选：C．
（3）证明：如图2，延长到，使，连接，
是中线，
，
在和中
，
，，
，
，
，
，
，
即．
8．(1)见解析
(2)相等，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）根据等边三角形的性质，由即可证明；
（2）结论：，证明，可得结论．
（3）证明，推出，可得结论．
【详解】（1）证明：如图1中，

∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：相等．
理由：如图2中，

∵都是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：如图3中，结论：．
理由：延长到R，使得，连接．

∵等边，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
9．（1）①45°；②见解析；（2），理由见解析
【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题．
②延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，即可知道，所以，根据题干又可得到，所以，从而得出结论．
（2）延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，，根据题干即可证明≌（HL），即得出结论．
【详解】（1）①∵，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
故答案为．
②如图，延长至点，使得，连接，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴≌，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）．
如图，延长至点，使得，连接，
∵，，
∴≌，
∴，，
∵．
∴≌，
∴．
【点睛】本题主要考查直角三角形的角的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键．
10．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先判断出∠DBC=∠ABE，进而判断出△DBC≌△ABE，即可得出结论；
（2）先判断出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AND，进而判断出∠BAC=∠ACF，即可判断出△ABC≌△CFA，即可得出结论；
（3）先判断出△ABC≌△HEB(ASA)，得出，，再判断出△ADM≌△HEM (AAS)，得出AM=HM，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，
∴BD=AB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，
∴∠DBC=∠ABE，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=CD；
（2）解：如图，延长AN使NF=AN，连接FC，
∵N为CD中点，
∴DN=CN，
∵∠AND=∠FNC，
∴△ADN≌△FCN(SAS)，
∴CF=AD，∠NCF=∠AND，
∵∠DAB=∠BAC=60°
∴∠ACD +∠ADN=60°
∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°，
∴∠BAC=∠ACF，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，
∴AB=CF，
∵AC=CA，
∴△ABC≌△CFA (SAS)，
∴BC=AF，
∵△BCE是等边三角形，
∴CE=BC=AF=2AN；
（3）解： ∵△ABD是等边三角形，
∴，∠BAD=60°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°－∠BAC=30°，
∴，
如图，过点E作EH // AD交AM的延长线于H，
∴∠H=∠BAD=60°，
∵△BCE是等边三角形，
∴BC=BE，∠CBE=60°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBH=90°－∠CBE=30°=∠ACB，
∴∠BEH=180°－∠EBH－∠H=90°=∠ABC，
∴△ABC≌△HEB (ASA)，
∴，，
∴AD=EH，
∵∠AMD=∠HME，
∴△ADM≌△HEM (AAS)，
∴AM=HM，
∴
∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
11．(1)见解析
(2)成立，证明见解析
【分析】（1）延长交于点N，连接，通过证明，得出即点M为中点，再证明，得出为等腰直角三角形，即可求证；
（2）过点E作；延长，交于点N；延长交于点P；与相交于点Q；连接；用和（1）一样的方法即可证明．
【详解】（1）证明：延长交于点N，连接，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，即点M为中点，
∴．
（2）过点E作；延长，交于点N；延长交于点P；与相交于点Q；连接；
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，即点M为中点，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的性质和判定，解题的关键是正确画出辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形的性质进行证明．
12．(1)见解析
(2)，见解析
【分析】（1）法一：过点C作，交的延长线于点，证明，得到，，推出，得到，即可得证；
法二：延长至点M，使，连接，证明，得到，推出，进而得到，即可得证；
（2）延长到F，使，连接，证明，，推出，利用三角形三边关系，即可得出结论．
【详解】（1）解：法一：如图2，过点C作，交的延长线于点，
∵
∴，
∵E是的中点，
∴；
在和中，
，
∴；
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
法二：如图3，延长至点M，使，连接．
∵E为的中点，
∴，
在和中
，
∴；
∴，
又∵，
∴；
∴，
∴；
（2）解：；理由如下：
如图，延长到F，使，连接，
同（1）法可得：，
∴，
∵，
∴，
∵
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．中垂线的性质，通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键．
13．(1)证明见解析
(2)①证明见解析，②，理由见解析
【分析】（1）根据条件证明即可；
（2）①根据可得，进而证明即可得到结论；
②延长至点P，使，连接，延长交于点M，根据条件证明可得，进而得到，从而证明即可得到，从而得到．
【详解】（1）证明∵，
∴
∴；
（2）①证明:∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴；
②，
理由:如图，延长至点P，使，连接，延长交于点M，
∵F为的中点,
∴
在和中，
,
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴，
∴，
∵
∴
∵，
∴
又∵，
∴
∴，
∴，
∴
综上所述，，.
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．
14．(1)，
(2)
(3)，，理由见解析
【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出；
（2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论；
（3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论．
【详解】（1）解：是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案为：，；
（2）如图2，延长到，使，连接，
由（1）可知，，
，
在中，，
，
即，
，
即边上的中线的取值范围为；
（3），，理由如下：
如图3，延长到，使得，连接，
由（1）可知，，
，
，
，
由（2）可知，，
，
、，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线．
15．（1）；（2）②③；（3）证明见解析；（4）．
【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解；
（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解；
（3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论；
（4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使．
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图2，延长至，使，连接，
是中线，
，
又，，
，
，，
，，
，
为中线，
，
，
，
又，
，
，，
，
故答案为：②③；
（3）证明：如图3，延长至，使，连接，
是的中点，
，
又，，
，
，，
，
，
与互补，
，
，
又，，
，
，
；
（4）如图3，，，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：8．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

展开更多......

收起↑