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高二下学期数学6月测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（40分）
1．己知是等差数列,,,则( )
A. B. C.0 D.14
2．在等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
3．已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最可能是( )
A. B.
C. D.
4．已知数列的通项公式为,则146是该数列的( )
A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第13项
5．已知函数,则( )
A. B. C. D.
6．设等比数列的各项均为正数，前n项和为，若，，则( )
A. B. C.15 D.40
7．已知函数，（其中e是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
8．函数与的图像上存在关于直线对称的点，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题（18分）
9．下列数列为等比数列的是( )
A.，，，，…（为常数，）
B.，，，，…
C.1，，，，…
D.，，，，…
10．若函数既有极大值也有极小值,则( )
A. B. C. D.
11．记函数的图象为曲线C，点不在曲线C上，过点P作曲线C的切线，则下列说法正确的有( )
A.若，，则可作1条切线
B.若，，则可作0条切线
C.若，，则可作3条切线
D.若，，则可作2条切线
三、填空题（15分）
12．曲线在点处的切线方程为___________.
13．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前n项和为__________.
14．若函数在时取得极小值，则的极大值为__________.
四、解答题
15．（13分）求下列函数在给定点处的导数：
（1）在处的导数；
（2）在处的导数.
16．（15分）设数列满足，.
（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明；
（2）求数列的前n项和.
17．（15分）设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.
18．（17分）总书记说：“绿水青山就是金山银山.”某地积极响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，2019年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.
（1）设n年内（2019年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式.
（2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入？
参考数据：，，.
19．（17分）一个圆柱形圆木的底面半径为，长为，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：），表面积为S（单位：）.
（1）求V关于的函数表达式；
（2）求的值，使体积V最大；
（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：设等差数列的公差为d,则,
解得,所以.
故选：C.
2．答案：D
解析：
，
∵等比数列中，
而，
∴
，
故选：D
3．答案：A
解析：由导函数图象可知在，上单调递减，在上单调递增.
4．答案：C
解析：依题意,,而,解得,
所以146是该数列的第12项.
故选：C.
5．答案：B
解析：,
令可得解得,
所以,所以,
故选：B.
6．答案：C
解析：设数列的公比为，由题意可知.
，
，解得或，
，，故选C.
7．答案：D
解析：解法1：要使在上恒成立，只需即可.
，
又，
易知：在上递增.
因为当x趋向于0时，趋向负无穷，
当x趋向正无穷时，趋向正无穷，
所以，在上存在唯一的零点，满足，
所以，
且在上单调递减，在上单调递增，
于是.
由得：，
必有，，
两边同时取自然对数，则有，
即.
构造函数，则，
所以函数在上单调递增，
又，
所以，即，
故，
于是实数m的取值范围是.
解法2：要使在上恒成立，
等价于在上恒成立.
令，则只需即可.
，令，
则，
所以在上单调递增，
又，，
所以有唯一的零点，且，
在上单调递减，在上单调递增.
因为，两边同时取自然对数，则有，
即.
构造函数，则，
所以函数在上单调递增，
又，即，即.
即.
于是实数m的取值范围是
解法3：（切线放缩，避开零点）要使在上恒成立，
等价于在上恒成立.
先证明，令，
则，
于是，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，故（当且仅当时取等号），
所以，当时，有，
所以，
即，当且仅当时取等号，
于是实数m的取值范围是.
解法4：（切线放缩，避开零点）
先证明，令，
所以在区间上，单调递减；
在区间上，单调递增，
所以，所以.
∵
∴，当时，等号成立；
而在上单调递增，
且，
所以存在，使得成立.
8．答案：C
解析：由题可知，曲线与有公共点，
即方程有解，
即有解，令，则，
则当时，；当时，，
故时，取得极大值，也即为最大值，
当x趋近于0时，趋近于，所以满足条件.
故选：C.
9．答案：AD
解析：A选项中的数列为常数列，公比为1，所以该数列是等比数列；B选项中，，所以该数列不是等比数列；C选项中，，所以该数列不是等比数列；D选项中的数列是首项为，公比为的等比数列.
故选：AD.
10．答案：BCD
解析：函数的定义域为,求导得,
因为函数既有极大值也有极小值,则函数在上有两个变号零点,而,
因此方程有两个不等的正根,,
于是,即有,,,显然,即,A错误,BCD正确.
故选：BCD.
11．答案：BCD
解析：曲线C如图中实线部分所示，
不妨补全图象，显然，曲线的切线必在其“凸面”，即单独对的图象而言，在时不可作切线，而在其“凸面”能作2条切线，因此在阴影区域内和的图象都不可作切线.
因为的图象在处的切线为1，所以又可分为三个区域，在上方，作两条切线，所得切点的横坐标分别为，，且其中一个在上方，一个在上方.又假设点在下方，上方，若，则两切点都在上.若，则两切点都在上.
对于，根据对称性也有类似结论，回到题目中，可分为如图所示的8个区域.
区域1不可作切线，因为区域2和3在图象的“凹面”，故在段必不可作切线，又区域3在直线上方，区域2在直线下方，所以在上区域2内可作2条切线，区域3内可作1条切线.根据对称性，区域7和区域8在图象的“凹面”，所以在上必不可作切线，区域7在直线下方，区域8在直线上方，所以在上区域7内可作1条切线，区域8内不可作切线.同理，区域4在图象，的“凸面”，又在直线上方，在直线上方，所以在上可作2条切线，在上可作1条切线，所以区域4内可作3条切线.由对称性知区域6内仅可在上作1条切线，最后，在区域5内上可作1条切线，在上可作1条切线.
对于A选项，因为，，所以区域3内可作一条切线，而区域2内可作2条切线，故A错误；
对于B选项，因为，，所以在区域1内可作0条切线，故B正确；
对于C选项，因为，，所以在区域4内可作3条切线，故C正确；
对于D选项，因为，，所以在区域5内可作2条切线，故D正确.故选BCD.
12．答案：
解析：因为，所以，所以切点坐标为.又，所以曲线在点处的切线斜率，由直线的点斜式方程可得切线方程为，化简可得，所以切线方程为.
13．答案：
解析：数列的项为1，3，5，7，9，11，13，…，
数列的项为1，4，7，10，13，…，
数列是首项为1，公差为6的等差数列，
，
数列的前n项和.
14．答案：e
解析：，由题意得，解得，所以，
故当或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为可以看作函数和的复合函数，
所以，
所以当时，；
（2）因为可以看作函数和的复合函数，
所以，
所以当时，.
16．答案：（1），；猜想，证明见解析
（2）
解析：（1），.
猜想.由已知可得，
，
，
……
.
因为，所以.
（2）由（1）得，
所以.①
从而.②
得.
所以.
17．答案：（1）函数在上单调递减，在上单调递增
（2）
解析：（1），，
.
，，，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）的图象与x轴没有公共点且，
在上的图象在x轴的上方，
由（1）可得函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
解得，
故实数a的取值范围是.
18．答案：（1）；
（2）至少到2023年，旅游业的总收入才能超过总投入
解析：（1）2019年的投入为1000万元，第n年的投入为万元，
所以n年内的总投入为
.
2019年旅游业收入为500万元，第n年旅游业收入为万元，
所以n年内的旅游业总收入为
.
（2）设至少经过n年，旅游业的总收入才能超过总投入，
由此得，即，
令，代入上式并化简得，即，
解得或（舍去），即，
不等式两边取常用对数得，
所以，
所以，故至少到2023年，旅游业的总收入才能超过总投入.
19．答案：（1），
（2）当时，体积V最大
（3）当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大
解析：（1）梯形ABCD的面积，.
体积，.
（2）.
令，得或（舍）.
因为，所以.
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减.
所以当时，体积V最大.
（3）木梁的侧面积，.
，.
设，.
因为，
所以当，即时，最大.
又由（2）知时，取得最大值，
所以当时，木梁的表面积S最大.
综上所述，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大.

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