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2025年中考数学高频考点靶向过关练习-证明与计算（圆）
1．如图，内接于于，交于另一点E，交于，已知，．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
2．如图，是的直径，是的切线，连接交于点，点在上，，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
3．如图，在中，直径弦于点，连接，，过点作交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
4．如图，已知是的直径，，是上两点，位于两侧，过点的射线与的延长线交于点，连接，，，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
5．如图，内接于，是直径，为中点，连接，相交于点，过点作，交的延长线于点．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，
①求的长．
②求的长．
6．如图，直线经过上的点，直线交于点，交于点，连接交于点，连接，若点是的中点，．
(1)求证：是的切线；
(2)，求图中阴影部分面积．
7．如图， 在中， 以为直径作， 交于点 P， 是的切线， 且，垂足为点 D．
(1)求证： ；
(2)若， 求的半径．
8．如图，在中，弦与直径交于点G，平分，，过点A作，交于点E，连接．
(1)求证∶平分；
(2)若与交于点H，连接，且的半径是10，求的长．
9．如图，四点在上，为的直径，于点，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求弦与弧围成的弓形的面积．
10．如图1，中，，点在弦上，连接并延长交于点，直径交弦于点．
(1)若，求证：；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点作交于点，交于点，过点作于点交于点，设半径为．
①求证：；
②当，时，探究的长是否为定值，若是求出的值，若不是请说明理由．
11．如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的面积；
(3)在（2）的条件下，求．
12．如图，已知是的直径，都是的弦，于点G，交于点F，且，连结，分别交于点H，K．
(1)求证：．
(2)若，，求的直径．
(3)若点F在半径上，，请直接写出的值．
13．如图，内接于，是的直径，连接，过点B作的切线，交的延长线于点E，过点B作于点F，交于点C，连接、．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
14．已知内接于，为直径，在延长线上取一点，使得，连接，在下方，作，连接交于点，连接．
(1)如图，若．
①求证：是的切线；
②若，求的值；
(2)如图，若，时，试探究与的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆内接三角形相关性质、全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，解题关键是通过作辅助线，利用圆的性质找到角与边的关系，进而证明三角形全等和计算线段长度．
（1）连接，先由推出，进而得到角相等关系，再结合已知，利用判定定理证明，从而得出．
（2）延长交于，连接、，通过角的等量代换得到，结合得出，再根据已知边长和直径所对圆周角是直角，利用勾股定理求出直径，进而得到的长．
【详解】（1）证明：如图，连接
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图，延长交于，分别连接，
，，，
，
，
，
，
，，
，
是直径，
由勾股定理，得，
．
2．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由直径所对的圆周角是直角和切线的性质得到，则可得到，，再证明，即可证明，得到；
（2）证明，得到，设，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴的半径为．
3．(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查解直角三角形、切线的判定、垂径定理及圆周角的性质，熟练掌握解直角三角形、切线的判定、垂径定理及圆周角的性质是解题的关键；
（1）由题意易得，然后根据平行线的性质可知，则有，进而问题可求证；
（2）由题意易得，则有，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵直径弦于点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等边对等角结合已知推出，由圆周角定理推，即可证明；
（2）由圆周角定理得到，在中，，求出，易证是等边三角形，推出，解直角三角形即可解答．
【详解】（1）证明：如解图，连接，
，
，
，
，
是的直径，
，
，即，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是上一点，，
，
．
在中，，
，
，
是等边三角形，，
由（1）知，，
在中，．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边对等角，解直角三角形，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
5．(1)直线与相切，理由见解析；
(2)①；②．
【分析】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，同弧所对的圆周角相等等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，由垂径定理可得，再由，得到，据此可得结论；
（2）①证明，得到，由是直径，得到，则，证明，进而证明，则可求出，，则；②设，由勾股定理得
，解方程得到；设交于H，解得到，．
【详解】（1）解：直线与相切，理由如下；
如图所示，连接，
∵为中点，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切；
（2）解：①∵为中点，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴；
在中，，
∴，
∴．
6．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据题意得到，，，则，即，结合切线的判定即可求解；
（2）根据切线的性质得到是等边三角形，设，则，运用含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，结合阴影部分的面积为即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵点是的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是圆的半径，点在圆上，
∴是的切线；
（2）解：∵是切线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是是中点，且，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，（负值舍去），
∴，
在中，，，
∴，，
∴阴影部分的面积为：．
【点睛】本题主要考查垂径定理的判定和性质，切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
7．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，如图，先根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用可得到结论；
（2）连接，先利用勾股定理计算出，再根据圆周角定理得到，接着证明，则利用相似三角形对应边成比例可计算出，然后利用得到，从而得到的半径．
【详解】（1）证明：连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，如图，

在中，
，则，
，
为直径，
，
，，
，
，
∴，即，
解得，
，
，
的半径为5．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题；
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线定理：
（1）根据等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到，继而得到，即可求证；
（2）连接，根据为直径以及平分，可得，再由圆周角定理可得，从而得到，然后根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】（1）证明∶∵，
∴．
∵，
，
，
∵，
，
∵，
∴，
∴平分．
（2）解：连接．
∵为直径，
∴，
∵平分，
∴，
，
，
∵，，
∴点E是的中点，
∵，，
∴点H是的中点，
．
9．(1)证明见解析
(2)
【分析】（）连接，由等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，即得，进而由平行线的性质即可求证；
（）连接，过点作，由直角三角形的性质和圆周角定理可得，，可得，即得，进而可得，，最后根据计算即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵ 平分，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：连接，过点作，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积，正确作出辅助线是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)①见解析②是定值，为
【分析】（1）设，则，证即可得证；
（2）①连接，易得，从而得到，即可得证；
②连接，易证，可得，所以，设，则，，，在中利用勾股定理求出，进而利用，求出，利用勾股求出，进而求出，在中利用勾股定理求出R，从而求出即可．
【详解】（1）证明：设，则，
∵，是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：的长为定值，过程如下：
连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
在中，，即，
解得或（不合题意舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，即，
解得，
∴，
∴的长为定值．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的 判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质等知识，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
（1）连接，利用同圆的半径相等的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义和平行线的判定与性质得到，利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）证明，然后利用相似三角形的性质求出，由圆周角定理得到，即可求解面积；
（3）连接，设交于点H，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求得，，，利用直角三角形的边角关系定理解答即可．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：连接，设交于点H，如图，
∵为的直径，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
12．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由垂径定理得，等量代换得，进而可证结论成立；
（2）先证明，进而可证，求出，再证明，利用相似三角形的对应边成比例可得结论；
（3）证明得，证明是的中位线得，设，则，由勾股定理得，，证明，可求出，再证明求出，然后证明，利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】（1）连接，
∵是的直径，
∴
∵
∴
∴
∴
（2）∵是的直径，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（3）连接，
∵是的直径，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴是的中位线
∴
设，则，
∴
∴，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等角对等边，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，难度较大，属中考压轴题．
13．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的性质得出，结合，根据余角性质得出，然后结合同弧所对的圆周角相等，即可证明；
（2）根据垂径定理得出，，在中，根据，得出，根据，求出，设的半径为x，则．根据勾股定理得出，求出结果即可．
【详解】（1）证明：，
∵是的切线，
，即，
，
，
．
（2）解：，
，，
，
，
，
∵是的直径，
．
在中，，
，
，
，
设的半径为x，则．
在中，，
即，
解得：，
∴的半径为．
【点睛】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，三角函数定义．
14．(1)①见解析；②
(2)，理由见解析
【分析】（1）①利用直径所对圆周角为直角，结合圆周角定理及已知角的等量关系，推导得出，进而证明是切线．
②先由三角函数和全等三角形得到相关线段关系，再在直角三角形中用勾股定理求出边长，最后根据余弦定义计算．
（2）通过构造相等线段的点，利用圆周角、等腰三角形性质推导角的关系，证明三角形全等，结合弧与弦的关系，得出与的数量关系 ．
【详解】（1）解：①∵为直径，
，
，
，
，
，
∴是的切线
②，
∴在中，
，
设，则
∴在中，
∴在中，
∴在中，
（2）解：
在上取一点使得
，
∴设
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查圆的性质（直径所对圆周角、圆周角定理、弧与弦的关系）、全等三角形的判定与性质、三角函数定义及切线的判定，熟练掌握圆的性质、全等三角形判定及角的等量代换是解题的关键．

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