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苏州市2024--2025学年第二学期初三数学查漏补缺滚动练习卷二
一．选择题（共8小题）
1．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点G，E分别在边AB，CD上，点F，H在对角线AC上．若四边形EFGH是菱形，则AG的长是（　　）
A．5 B．6 C．2 D．3
第1题第2题
2．（2025 高新区校级二模）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形ABCD，中间是一个小正方形EFGH，连接DE，并延长交BC于点I，若H是AE的中点，AB＝6，则EI的长（　　）
A．2 B． C． D．
3．（2025 高新区校级二模）定义：若x，y满足为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．下列说法中，①P（2，2）是“和谐点”；②直线y＝﹣2x+5上有且只有一个“和谐点”；③当k＞2时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数y＝x2+x+a的图象上有3个“和谐点”，则a＝﹣2或．正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（　　）cm2．
A．24 B．12 C．18 D．21
第4题第5题
5．（2020 枣庄）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（　　）
A．（，3） B．（﹣3，）
C．（，2） D．（﹣1，2）
6．（2024 姑苏区校级二模）若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（　　）
A．3：2 B．2：1 C．3：1 D．4：1
7．（2024 姑苏区校级二模）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，点D为斜边BC上一任意点，连接AD，将点B关于直线AD作轴对称变换得到点E，连接AE，BE，则△ABE面积的最大值为（　　）A．18； B．30； C．15； D．24
第7题第8题
8．（2024 姑苏区校级二模）如图，已知点A（0，6）在y轴上，点B为x轴正半轴上一动点，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90° 得到线段AC，连接BC，取BC中点D，连接OD，移动点B，若OD∥AC，则此时点B横坐标为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．8
二．填空题（共8小题）
9．（2025 姑苏区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，D，E分别为边BC，AB上一点，且∠ADE＝45°，设CD＝x，BE＝y，则y与x之间的函数表达式为 　 　 ．
第9题第10题
10．（2025 姑苏区一模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，连接OC，OD．若，则sin∠COD的值为 　 　 ．
11．（2025 高新区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，若二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上存在A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当m﹣3＜x1＜x2＜m时，满足y1＝y2，则m的取值范围为 　 　 ．
12．（2025 嘉兴模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，CD＝3，AD＝BD＝8，点E在边AB上，若∠ADE＝2∠CBD，且BD平分∠CDE，则BE的长为　 　 ．
第12题第13题
13．（2024 工业园区校级二模）有一段长度为1m的金属滑块在笔直的轨道AB上滑动．如图，滑块沿AB方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m/s，滑动开始前滑块左端与点A重合，滑动到右端与点B重合时停止．设运动时间为t（s）时，滑块左端离点A的距离为l1（m），右端离点B的距离为l2（m），记d＝l1（m）﹣l2（m）．已知滑块在从左向右滑动的过程中，当t＝4s和t＝5s时，与之对应的d的两个值互为相反数，则d与t的函数关系式为 　 　 ．
14．不等式组无解，则a的取值范围为　 　 ．
15．（2024 工业园区校级二模）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点B作AC的平行线交ED的延长线于点F，连接FC交AB于点G，设△ABC的面积为S1，△FCB的面积为S2，△FBG的面积为S3，若S1 S3，则　 　 ．
第15题第16题
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的点C坐标为（﹣3，0），点D坐标为（0，4），点E为菱形的对称中心，若反比例函数恰好经过点E，则k的值为 　 　 ．
三．解答题（共15小题）
17．（2024秋 南京校级期末）计算：．
18．（2025 南京校级一模）解不等式组
19．（2024 工业园区校级二模）先化简，再求值：，其中．
20．（2024 工业园区校级二模）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，点A的对应点为点G．
（1）求证：△DEG≌△DFC；
（2）若∠CDF＝20°，求∠AEF的度数．
21．（2022 连云港）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．
（1）甲每次做出“石头”手势的概率为 　 　 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．
22．（2024 工业园区校级二模）为某次知识竞赛活动做准备，我校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，按成绩（百分制）分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的统计图表．
等级 成绩（x） 人数
A 90＜x≤100 m
B 80＜x≤90 24
C 70＜x≤80 14
D x≤70 10
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中m＝　 　 ；扇形统计图中，B等级所占百分比是 　 　 ，C等级对应的扇形圆心角为 　 　 度；
（2）若全校有800人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为A等级的共有多少人？
23．（2025 工业园区校级模拟）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）求证：；
（3）若AE＝3，DE＝6，求AF的长．
24．（2025 南通模拟）在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动．如图，已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，边BC的长为4．
（1）操作发现
操作：如图（1），分别取边AB、AC的中点D、E，连接DE，则的值为 　 　 ．
（2）变换探究
如图（2），将△ADE绕点A逆时针旋转得到△AD'E'，连接BD'、CE'，直线BD'与直线CE'相交于点F．
（Ⅰ）在旋转过程中的值是否发生变化？请说明理由．
（Ⅱ）直线BD'与直线CE'相交所形成的夹角（不超过90°）的大小是否发生变化？请说明理由．
（3）拓展应用
在△ADE旋转过程中，直线BD'与直线CE'相交于点F，当△BCF为等腰三角形时，请直接写出△BCF的面积．
25．（2025 宣城一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，C（点A在点C右侧），与y轴交于点B，直线y＝﹣x+3经过点A，B，点P为抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限内直线AB上方的抛物线上运动，过点P作PD垂直抛物线的对称轴于点D，作PE⊥AB于点E，当时，求点P的坐标；
（3）点Q在抛物线对称轴上运动，当点P，Q关于直线AB对称时，请直接写出点Q的坐标．
26．（2025 姑苏区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象经过A（4，0），B（3，3）两点，一次函数y＝mx﹣m+3（m≠0）的图象与x轴交于点C．
（1）填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ；
（2）求证：二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝mx﹣m+3的图象总有交点；
（3）当点A到一次函数y＝mx﹣m+3的图象的距离最大时，设此时一次函数y＝mx﹣m+3与二次函数y＝ax2+bx的图象交于D，E两点（点E在点D的右侧），试判断在线段AC上是否存在点P，使得∠BPD＝45°．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2025 姑苏区校级一模）如图，已知点A（4，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，点C是OB边上的动点，经过点C的反比例函数的图象与AB边交于点D，连接CD．
（1）求线段AB所在直线的解析式；
（2）若CD⊥OB，求此时k的值．
28．（2025 姑苏区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作弦CD⊥AB于点E，点F是弧BD上一点，连接OF，AF交CD于点H，过点F作直线交CD的延长线于M，交AB的延长线于点G，且FM＝HM，
（1）求证：MG是⊙O的切线；
（2）若；
①求HE的长；
②求AG的长．
29．（2025 姑苏区校级一模）如图1，已知正方形ABCD边长为4，点E、点F分别是边AB，BC上的动点，且AE＝BF，连接EF，过点F作FG⊥EF交CD边于点G，连接EG，设EG＝m．
（1）①猜想△EFG的形状并证明；
②取EG中点O，连接OA，则OA＝　 　 ；△FGC的面积＝　 　 ；（用含m的代数式表示）
（2）如图2，在EG上方作等边△EMG，ME，MG分别交AD边于点P，Q，且点M始终处在两平行直线AB，CD之间的区域内，
①直接写出m的范围　 　 ；
②计算的值．（结果用含m的代数式表示）
30．（2025 太仓校级模拟）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标．
31．（2025 高新区校级二模）抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P是线段BC上方抛物线上一点，连接PA，交线段BC于点D，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，当点P在对称轴右侧时，动点M从点A出发，以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点N从点B出发，以每秒3个单位的速度向点C运动，其中一个点到达终点时另一个点随之停止，将线段MN绕点N逆时针旋转90°得到线段NG，连接MG，设运动时间为t秒，直接写出当△MNG一边与AP平行时t的值．
两个不相等的实数根，方程x2+a＝0有两个不相等的实数根，且两个方程有一个实数根相同，
当时，∴a＝﹣2；联立，∴，
∴是方程x2+2x+a+3＝0和方程x2+a＝0的解，∴，
∴，此时﹣4a﹣8＝1＞0，0﹣4a＝9＞0，故④正确；故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，反比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
4．【解答】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：42s﹣24s＝18（s），
这段高度为：14﹣11＝3（cm），设匀速注水的水流速度为x cm3/s，则18 x＝30×3，解得x＝5，
即匀速注水的水流速度为5cm3/s；“几何体”下方圆柱的高为a，则a （30﹣15）＝18×5，解得a＝6，
所以“几何体”上方圆柱的高为11﹣6＝5（cm），设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5 （30﹣S）＝5×（24﹣18），解得S＝24，即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2．故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．
5．【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．
在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°，
∴OH＝2+1＝3，∴B′（，3），故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6．【解答】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，
由题意得2πr，∴rR，∵S侧πR2，S底＝πr2，
∴S侧：S底πR2：πr2πR2：πR2＝3：1．故选：C．
【点评】此题主要考查了圆锥的计算，熟记圆的面积和周长公式、扇形的面积和两个弧长公式并灵活应用是解答本题的关键．
7．【解答】解：∵点B与点E关于直线AD对称，∴AE＝AB＝6，
则点E在以点A为圆心，半径为6的圆上．
当点E在AC上时，△ABE的边AB上的高取得最大值为6，
∴△ABE面积的最大值为：．故选：A．
【点评】考查轴对称的性质及三角形的面积，能根据所给对称方式得出点E的运动轨迹是解题的关键．
第5题第7题第8题
8．【解答】解：过点C作y轴的垂线，垂足为M，由旋转可知，AC＝AB，∠CAB＝90°，
∴∠CAM+∠BAO＝∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CAM＝∠ABO．
在△ACM和△BAO中，，所以△ACM≌△BAO（AAS），所以CM＝AO，AM＝OB．
令点B的坐标为（m，0），所以AM＝OB＝m．又因为点A坐标为（0，6），所以CM＝AO＝6，
所以MO＝m+6，所以点C的坐标为（6，m+6）．因为点D为BC的中点，
所以点D的坐标为（）．因为OD∥AC，所以，解得m＝6，
即点B的横坐标为6．故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质及全等三角形的性质是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
9．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝1，CD＝x，∴AD2＝AC2+CD2＝1+x2，
∵AC＝CB＝1，∴∠B＝45°，AB，∵EB＝y，∴AEy，
∵∠DAE＝∠BAD，∠ADE＝∠B＝45°，∴△ADE∽△ABD，∴，∴AD2＝AE AB，
∴1+x2＝（y），∴yx2（0≤x＜1）．故答案为：yx2（0≤x＜1）．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形，函数关系式，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
10．【解答】解：如图，过点O作OE⊥AD，过点D作DF⊥OC，
∵∠B＝90°，，∴，∴设BC＝2x，AB＝3x，
∴OA＝OB＝ODx，∴OCx，
∵OE⊥AD，∴AD＝2AE，，
∴设OE＝2a，AE＝3a，
∴OA，∴，
∴，，∴，
∵S△ABC＝S△OBC+S△AOD+S△COD，∴AB BC＝OB BC+AD OE+OC DF，
即2x，∴x，
∴，故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形，垂径定理，掌握以上知识点是解题的关键．
11．【解答】解：将抛物线解析式配方得y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵当m﹣3＜x1＜x2＜m时，满足y1＝y2，∴，∴x1＜1，x2＝2﹣x1＞1，
∵m﹣3＜x1＜x2＜m，∴，解得：1＜m＜4，故答案为：1＜m＜4．
【点评】本题考查了二次函数的性质、解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是关键．
12．【解答】解：如图，过点B分别作BM⊥DE于点M，BN⊥DC交DC的延长线于点N，
∵BD平分∠CDE，∴BM＝BN，∠BDE＝∠BDN，
设∠CBD＝x，∵∠ABC＝60°，∴∠ABD＝60°﹣x，
∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝60°﹣x，
∵∠ADE＝2∠CBD＝2x，∠A+∠ABD+∠ADE+∠BDE＝180°，
∴∠BDE＝180°﹣2（60°﹣x）﹣2x＝60°，
∴∠BDN＝60°，∴∠CDM＝120°，
∵BN⊥DC，∴∠DBN＝30°，
∴DNBD＝4，BNBD＝4，
∵CD＝3，∴CN＝DN﹣DC＝1，∴BC7，
在四边形CDMB中，∠MBN＝360°﹣∠CDM﹣∠BMD﹣∠BND＝360°﹣120°﹣90°﹣90°＝60°，
∴∠MBN＝∠ABC，∴∠MBE＝∠NBC，
在△BEM和△BCN中，，∴△BEM≌△BCN（ASA），
∴BE＝BC＝7，故答案为：7．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质等知识，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
13．【解答】解：设AB的距离为a m，当t＝4时，d＝9×4﹣（a﹣9×4﹣1）＝73﹣a，
当t＝5时，d＝9×5﹣（a﹣9×5﹣1）＝91﹣a，∵当t＝4s和t＝5s时，与之对应的d的两个值互为相反数，∴73﹣a+（91﹣a）＝0，∴a＝82，∴d＝9t﹣（82﹣9t﹣1）＝18t﹣81．故答案为：d＝18t﹣81．
【点评】本题考查了求一次函数解析式，掌握题意求出AB的距离是解题的关键．
14．【解答】解：∵不等式组无解，∴a≤3，故答案为：a≤3．
共有9种等可能的情况数，其中乙不输的有6种，则乙不输的概率是．
【点评】本题考查的是用列举法求概率，解答此题的关键是列出可能出现的所有情况，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．【解答】解：（1）随机抽取的学生人数为（人），∴m＝60﹣24﹣14﹣10＝12，
B等级所占百分比为，C等级对应的扇形圆心角为，
故答案为：12，40%，84；
（2）（人），答：估计其中成绩为A等级的共有160人．
【点评】考查频数分布表，扇形统计图，样本估计总体，弄清统计图表之间的数量关系是解题的关键．
23．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，
∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴∠C＝∠ODB＝∠B，∴AB＝AC；
（2）证明：如图2，连接AD、FD、BF，由（1）可知，AB＝AC，
∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°＝∠ADB，∴AD⊥BC，即D为BC的中点，
∴， DF＝ DB；
（3）解：由（2）可知，，AD⊥BC，
∵DE⊥AC，∴CE＝EF，∵∠C+∠DAE＝90°，∠C+∠CDE＝90°，∴∠DAE＝∠CDE，
又∵∠DEA＝90°＝∠CED，∴△DAE∽△CDE，∴，即，解得CE＝12，
∴EF＝12，∴AF＝EF﹣AE＝9，∴AF的长为9．
【点评】本题考查了切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，弦与弧的关系，相似三角形的判定与性质．熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8，
∴，∵D、E分别为边AB、AC的中点，∴，
AE＝CE，∴，故答案为：；
（2）（Ⅰ）的比值不变；
由旋转的性质可得出，AE'＝AE，AD'＝AD＝4，∠D'AE'＝∠BAC＝30°，
∴，∠BAD'＝∠CAE'＝30°+∠CAD'，∴，∴△BAD'∽△CAE'，
∴，∴的比值不变；
（Ⅱ）直线BD'与直线CE'相交所形成的夹角（不超过90°）的大小为定值，不发生改变；
由（Ⅰ）知△BAD'∽△CAE'，∴∠AE'C＝∠AD'B，设AD'与CE'交于点G，∴∠AGE'＝∠FGD'，
∵∠AE'C＝∠BD'A，∴∠E'FD'＝∠D'AE'＝30°，
∴直线BD'与直线CE'相交所形成的夹角（不超过90°）的大小为定值，不发生改变；
（3）①当BC＝CF＝4时，如图，过点C作CH⊥BF，则BF＝2FH，
由（2）知∠CFB＝∠EFD＝30°，∴，∴，
∴，∴；
②当BF＝CF时，过点B作BN⊥CF，设BN＝x，
∵∠CFB＝30°，∴BF＝2BN＝2x，，
∴CN＝CF﹣NF＝BF﹣NF＝（2﹣3）x，
在Rt△BNC 中，由勾股定理，得：BC2＝CN2+BN2，∴，
解得：，∴ ，
综上：△BCF的面积为：4．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关的性质是本题的关键．
25．【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，∴A（3，0），B（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y＝x2+bx+c得：
，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）过P作PK∥y轴交直线AB于K，如图1：
设P（m，m2﹣4m+3），则K（m，﹣m+3），∴PK＝m2﹣4m+3﹣（﹣m+3）＝m2﹣3m，
∵OA＝OB＝3，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠PKE＝∠OBA＝45°，∴△PKE是等腰直角三角形，
∴PE，由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1得抛物线对称轴为直线x＝2，
∵PD⊥抛物线对称轴，∴PD＝m﹣2，∵PEPD，∴（m﹣2），
解得m＝1（此时P不在直线AB上方，舍去）或m＝4，∴P（4，3）；
图1 图2
（3）设PQ交直线AB于M，过P作PN⊥直线x＝2于N，如图2：
设P（p，p2﹣4p+3），Q（2，q），∵点P，Q关于直线AB对称，∴M为PQ中点，∠QMA＝90°，
∴M（，），∠PQN＝∠BAO＝45°，∴QN＝PN，∴q﹣（p2﹣4p+3）＝2﹣p，
整理得p2﹣5p＝q﹣5①，把M（，）代入y＝﹣x+3得：3，
整理得：p2﹣3p＝﹣q+1②，②﹣①得：2p＝﹣2q+6，∴p＝﹣q+3③，
把③代入①得：（﹣q+3）2﹣5（﹣q+3）＝q﹣5，解得q＝1或q＝1，
∴Q的坐标为（2，1）或（2，1）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形判定与性质，中点坐标公式的应用等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
26．【解答】（1）解：把A（4，0），B（3，3）代入y＝ax2+bx，
得，解得：，故答案为：﹣1，4；
（2）证明：由（1）知：y＝﹣x2+4x，∵y＝mx﹣m+3＝m（x﹣1）+3，
∴当 x＝1时，y＝m（1﹣1）+3＝3，∴直线y＝mx﹣m+3恒过点（1，3），
又∵当x＝1时，y＝﹣12+4×1＝3，∴抛物线y＝﹣x2+4x也过点（1，3）；
∴二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝mx﹣m+3的图象总有交点；
（3）解：不存在，理由如下：
由（2）知道，直线y＝mx﹣m+3恒过点（1，3），∴当点A与点（1，3）形成的线段垂直直线y＝mx﹣m+3时，点A到直线y＝mx﹣m+3的距离最大，如图，
此时D（1，3），过点D作DM⊥x轴，则OM＝1，DM＝3，
∵A（4，0），∴OA＝4，∴AM＝4﹣1＝3，∴AM＝DM＝3，
∴∠DAM＝∠ADM＝45°，∴∠CDM＝45°，
∴CM＝DM＝3，∴OC＝CM﹣OM＝2，∴C（﹣2，0），
∵B（3，3），D（1，3），∴BD＝2，
以BD为斜边，在BD下方，构造等腰直角三角形BOD，
则O在BD的中垂线上，且，
∴O点的横坐标为，
设O（2，m），则：，
∴m＝2或m＝4（舍去）；∵O（2，2），
∴，∴点P在以O为圆心，为半径的圆上，
∵O（2，2）到x轴的距离为2，，∴圆与直线AC相离，∴线段AC上不存在点P使∠BPD＝45°．
【点评】考查二次函数综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
27．【解答】解：（1）过B作BH⊥OA于H，图1，
由题意可得：OB＝OA＝AB＝4，，∠AOB＝∠ABO＝60°，
∴，∴，
设线段AB所在直线的解析式为y＝kx+b，
将A（4，0），代入，得，解得，
∴线段AB所在直线的解析式为；
图1图2
（2）过C作CH⊥x于H，过D作DN⊥CH于N，过B作BM⊥HC延长线于M，图2，
则∠BMC＝∠CND＝90°，∵∠DCB＝90°，∴∠BCM＝∠CDN＝90°﹣∠NCD，
∴△BMC∽△CND，∴，∵∠ABO＝60°，∴，
∴，，设OH＝x，则BM＝2﹣x，∴，
∵，∴，则；
∴，，∴，
∴点D坐标为即，
由题意可得：，由，
解得，x2＝2（与点B重合，舍去），∴．
【点评】本题考查反比例函数、一次函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键．
28．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠AEH＝90°．∴∠EAH+∠EHA＝90°，
∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∵∠EHA＝∠MHF，FM＝HM，
∴∠MFH＝∠MHF＝∠EHA，∴∠OFM＝∠OFA+∠MFH＝90°，
∵OF是⊙O的半径，∴MG是⊙O的切线；
（2）解：①连接OC，∵，即，
∴，∵∠M+∠G＝90°，
∵∠FOG+∠G＝∠MFO＝90°，∴∠M＝∠FOG，
∵AC∥MG，∴∠ACH＝∠M，∠CAH＝∠MFH，
∴，
设AE＝3x，则CE＝4x，AC＝5x，∵FM＝HM，∠CHA＝∠MHF，∴∠CAH＝∠CHA＝∠MHF＝∠MFH，
∴CH＝AC＝5x，∴EH＝CH﹣CE＝x，在Rt△AEH中AH2＝EH2+AE2，∴10x2＝10，∴HE＝1；
②由①知AE＝3x＝3，CE＝4x＝4，设⊙O的半径为r，∴OA＝OC＝r，∴OE＝OA﹣AE＝r﹣3，
由勾股定理可得：OE2+CE2＝OC2，∴（r﹣3）2+42＝r2，∴，∴，
由切线的性质可得：∠OFG＝90°，∴，∴，
∴，∴．
【点评】本题考查了圆切线的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
29．【解答】解：（1）①△EFG是等腰直角三角形，理由如下：
已知正方形ABCD边长为4，如图1.1，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，
∵FG⊥EF，∴∠EFG＝∠ABC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，
∵AE＝BF，∴AB﹣AE＝BC﹣BF，∴BE＝CF，
在△EBF和△FCG中，，∴△EBF≌△FCG（ASA），∴EF＝GF，
∴△EFG是等腰直角三角形；
②连接OC，如图1.2，∵△EBF≌△FCG，∴BF＝CG，∴AE＝CG，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠AEO＝∠CGO，∵O为EG中点，∴OE＝OG，
在△AEO和△CGO中，，∴△AEO≌△CGO（SAS），
∴OA＝OC，∠AOE＝∠COG，OA＝OC，∵∠AOE+∠AOG＝180°，
∴∠COG+∠AOG＝180°，∴A、O、C三点共线，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，∴，
设BF＝CG＝x，则CF＝4﹣x，
在直角三角形CFG中，由勾股定理得：FG2＝CF2+CG2＝（4﹣x）2+x2＝2x2﹣8x+16，
∵2FG2＝EG2，∴EG2＝2（2x2﹣8x+16）＝m2，即，
∴ ，
故答案为：，；
（2）①m的取值范围为；理由如下：
当EG∥AD时，如图2.1，EG有最小值，∴∠EAD+∠AEG＝180°，
∴∠EAD＝∠AEG＝∠ADG＝90°，∴四边形AEGD是矩形，∴EG＝AD＝AB＝4，即m的最小值为4，
当D与Q重合时，EG有最大值，如图2.2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵△MEG是等边三角形，∴EM＝EG＝m，∠M＝60°，∴∠MPD＝∠APE＝30°，
设AE＝a，则EP＝2a，∴PM＝m﹣2a，，∴，
∴，即，解得：，
∵点M始终处在两平行直线AB，CD之间的区域内，
∴m的范围是；故答案为：；
②如图，过M作MN⊥AD于点N，则MN∥AE∥DG，
∴△APE∽△NPM，△MNQ∽△GDQ，∴，，
由题意可知M在平行AD得直线上运动，且，
设AE＝CG＝b，则DG＝4﹣b，∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，故．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
30．【解答】解（1）将A（2，a）代入y＝3x得a＝3×2＝6，∴A（2，6），
将A（2，6）代入得，解得k＝12，∴反比例函数表达式为；
（2）如图1，设点B（m，3m），则点D（m+3，3m），
∵点D在反比例函数的图象上，∴3m（m+3）＝12，
解得m1＝1，m2＝﹣4（舍），∴B（1，3）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，交点坐标满足两个函数关系式是关键．
31．【解答】解：（1）抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和B（4，0），将点A，点B的坐标分别代入得：，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，过点A作AE∥y轴交直线BC于点E，
抛物线与y轴交于点C，当x＝0时，得：y＝3，∴C（0，3）；
设直线BC的解析式为y＝kx+b′，将点B，点C的坐标分别代入得：
，解得：，∴直线BC的解析式为，
在中，当x＝﹣1时，，∴，∴，
设，则，∴，
∵PF∥AE，∴△PFD∽△AED，∴，∵，∴，∴
解得或，∵P是线段BC上方抛物线上一点，∴0＜t＜4，∴和都符合题意，
当时，，
当时，，∴或；
解得：，又∵，∴经检验以上3个答案都符合题意，
综上所述，当△MNG一边与AP平行时，t的值为或t＝1或．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，旋转的性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用两直线平行，一次项系数相同是解决问题的关键．
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