资源简介

苏州市2025年初三数学考前查漏补缺训练卷一
一．选择题（共25小题）
1．（2024 苏州）如图，点A为反比例函数y（x＜0）图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y（x＞0）的图象交于点B，则的值为（　　）
A． B． C． D．
第1题第2题
2．（2025 高新区二模）随着科学技术的发展，汽车也越来越智能化，如图1，汽车抬头显示系统利用平面镜成像原理，将显示器上的重要行车数据投射在驾驶员前面的挡风玻璃上．这种车窗所采用的“智能玻璃”能根据车外光照度自动调节透明度，使得投射影像的亮度保持一个适宜的定值，经测算，玻璃的透明度m和车外光照度x（lx）成反比例关系，其图象如图2所示，则下列说法中正确的是（　　）
A．车外光照度越大，玻璃的透明度越高
B．车外光照度为300lx时，玻璃的透明度最低
C．玻璃的透明度m与车外光照度x 满足关系式：
D．玻璃的透明度为90%时，车外光照度为
3．（2025 高新区二模）已知二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）（a＜b），将该二次函数图象向上平移，若平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），下列说法正确的是（　　）
A．a+b＞m+n B．a+b＝m+n C．a+b＜m+n D．b﹣a＝n﹣m
4．（2025 无锡校级二模）已知点Q（﹣4，﹣5）是双曲线y上点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线y（x＞0）上任意一点，连接PA，PB，则四边形AQBP的面积的最小值为（　　）A．25； B．30； C．35； D．40
5．（2025 太仓校级二模）在平面直角坐标系中，若点A（m，y1）、B（m+2，y2）均在反比例函数（k是常数，k＞0）的图象上，则下列结论正确的是（　　）
A．当m＜﹣2时，y1＜y2＜0 B．当﹣2＜m＜0时，0＜y1＜y2
C．当﹣2＜m＜0时，y1 y2＜0 D．当m＞0时，y1 y2＜0
6．（2025 太仓校级二模）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，﹣1），AB经过原点O，AC∥x轴，若反比例函数的图象经过点A和边AB的中点P，则BC的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
第6题第7题
7．（2025 淮阴区校级二模）把一块含30°角的三角板ABC按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中C为直角顶点，30°角的顶点B在x轴上．若∠CBO＝120°，AC＝2，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，则B点横坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 无锡二模）定义：若x，y满足x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y（t是常数），则称点M（x，y）是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是（　　）
A．m＜5 B．m＜3
C．3＜m＜5或m＜3 D．3＜m＜4或m＜3
9．（2025 太仓校级二模）双曲线，当2≤x≤3时，函数y的最小值为a，则当﹣2≤x≤﹣1时，函数y有（　　）
A．最小值﹣2a B．最大值﹣2a C．最大值﹣a D．最小值
10．（2025 太仓校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（1，6），B（m，1）是直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线的交点，线段AB及其下方的双曲线围成的封闭区域为G．图形G内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第10题第11题第12题
11．（2025 太仓校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线V＝x与双曲线y交于A、B两点，P是以点C（﹣4，0）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，M为AP的中点．则线段OM长度最大值为（　　）A．2 B．1 C． D．
12．（2025 昆山校级模拟）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝4，2，，则线段BC的长度为（　　）
A．1 B． C．2 D．2
13．（2025 昆山校级二模）如图，A，B是双曲线图象上的两点，过A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，若D为OB的中点，则△ODC的面积为（　　）
A． B．1 C．2 D．4
第13题第14题
14．如图，点A为反比例函数图象上的一点，点B在反比例函数图象上，点B与点C关于原点对称，连接AC，BC，且AC＝AB，若，则k的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C． D．
15．如图，菱形ABCD在平面直角坐标系的第一象限，且边BC∥x轴，点A的横坐标为2，若该菱形ABCD的面积为20，周长为20，反比例函数的图象经过A，C两点，则k的值是（　　）
A．12 B．10 C．9 D．8
第15题第16题
16．（2024 苏州）如图，矩形ABCD中，AB，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（　　）
A． B． C．2 D．1
17．（2025 太仓校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BE平分∠ABC交AD于点E、交AC于点G，过E作EF⊥BC于点F、交AC于点H，若3AG＝2CH，则GH的长为（　　）
A． B． C． D．
第17题第18题
18．（2025 太仓校级一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝2BE，BF＝2CF，连接EC，FD，M，N分别是EC，FD的中点，连接MN，若AB＝6，BC＝9，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．2
19．（2025 太仓校级月考）如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，延长BC至点E，使得BE＝DE，连结OE交CD于点F．当∠CED＝45°时，有以下两个结论：①若CF＝1，则，②若BD＝2，则．则下列判断正确的是（　　）
A．①②均错误 B．①②均正确
C．①错误②正确 D．①正确②错误
第19题第20题第21题
20．（2024春 昆山校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE+CF的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
21．（2024春 包河区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为CD边的中点，F为线段AE上一点，若∠CFE＝∠DAE，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．2
22．（2023 工业园区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F，当点M的位置变化时，DF长的最大值为（　　）
A．3 B．6﹣2 C．2 D．6﹣3
第22题第23题第25题
23．（2024 工业园区校级模拟）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为（　　）
A．1 B．m C．m2 D．
24．（2025 扬州二模）已知A（a，b），B（b，c），将线段AB平移得到线段CD，其中，点A的对应点为点C，若C（a+2，n），D（m，c﹣3），则m﹣n的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
25．（2024 安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD是边AC上的高．点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且DE⊥DF．设AE＝x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为（　　）
A．B．C．D．
二．填空题（共16小题）
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D，E是CO的两个三等分点，过点D，E作x轴的平行线分别交AB于点F，G，反比例函数的图象经过点G，分别交BC，DF于点Q，P，分别过点Q，P作x轴的垂线，垂足分别为点H，K．图中阴影部分的面积分别为S1，S2，S3．
（1）若OE＝HK＝1，则k＝　 　 ．S1＝　 　 ；
（2）若S1+S3＝25．则S2＝　 　 ．
第26题第29题第30题
27．（2024 苏州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，m），B（1，﹣m），C（2，n），D（3，﹣m），其中m，n为常数，则的值为 　 　 ．
28．（2024秋 太仓校级期末）如果点A（2，a）、B（3，b）在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，那么a 　 　 b（填“＞”“＜”或“＝”）．
29．（2024 苏州）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝5，CA＝10，点D，E分别在AC，AB边上，AEAD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD＝ 　 　 ．
30．（2024秋 太仓校级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E，作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，则的值为　 　 ．
31．（2024秋 太仓校级期末复习）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（0，m），B（2，﹣m），C（﹣2，n），D（﹣6，﹣m），其中m、n为常数，那么的值为 　 　 ．
32．（2025 苏州一模）二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的图象以点A（1，m），B（3，m），C（0，﹣m），其中m为常数，且m≠0，则方程ax2+bx﹣2c＝0的解为 　 　 ．
33．（2025 扬州二模）如图，∠ACB＝60°，⊙O的半径为3且与∠ACB两边都相切，点P为圆上一动点，分别作PM⊥CA，PN⊥CB，令s＝PM+2PN，则s的最大值与最小值的差为 　 　 ．
第33题第34题第35题
34．（2025 海安市一模）如图，点A在反比例函数的图象上，延长OA到B，使AB＝2OA，过点B作BC∥x轴，与的图象交于点C，AD∥OC，交BC于点D，若四边形OADC的面积为，则k的值为 　 　 ．
35．（2025 海安市一模）如图，AB是半圆O的直径，OC是半径，且OC⊥AB，弦AD经过CO的中点E，连接CD，则的值为　 　 ．
36．（2025 海门区二模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为AC边上一点，在AC上方作等腰直角△ADE，使∠EAD＝90°，连接BE，BD．若1≤AD≤3，则△BDE的最大面积为　 　 ．
第36题第37题
37．（2024秋 如东县期末）如图，凸四边形ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝90°，若，CD＝4，则对角线BD的最大值为 　 　 ．
38．（2025 盐城一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝8，P是线段BC外一动点，BP＝6，连接CP，将线段CP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，连接BD，则BD的长最大值为 　 　 ．
第38题第39题第40题
39．如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1，设BP＝x，平行四边形AFPE的面积为y，则y关于x的函数关系式为 　 　 ，y的最大值为 　 　 ．
40．（2021 柳州）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y（k＞0）的图象交于A，B两点，点M在以C（2，0）为圆心，半径为1的⊙C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为，则k的值是 　 　 ．
41．（2023春 苏州期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图∠MON＝40°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜60° ）．当△ABC为“灵动三角形”时，∠OAC的度数为 　 　 ．
第41题
三．解答题（共19小题）
42．（2020秋 南京校级月考）我们预定：对角线相等的凸四边形称之为“等线四边形”．
（1）①在“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中，一定是“等线四边形”的是 　 　 ；
②如图1，若四边形ABCD是“等线四边形”，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、AD的中点，依次连接E、F、G、H，得到四边形EFGH，请判断四边形EFGH的形状；
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，0）、B（8，0）、P（9，﹣8），以AB为直径作圆，该圆与y轴的正半轴交于点C，若Q为坐标系中一动点，且四边形AQBC为“等线四边形”，当PQ的长度最短时，求经过A、B、Q三点抛物线的解析式；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等线四边形”，A在x轴负半轴上，D在y轴的负半轴上，且，点B、C分别是一次函数与y、x轴的交点，动点P从点D开始沿y轴的正方向运动，运动的速度为2个单位长度/秒，设运动的时间为t秒，以点P为圆心，半径单位长度作圆，问：
①当⊙P与直线BC初次相切时，求此时运动的时间t0；
②当运动的时间t满足t＞t0且时，⊙P与直线BC相交于点M、N，求弦长MN的最大值．
43．如图，已知正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且面积为16，点H是正方形OABC的中心，反比例函数y经过点H，与AB，BC分别交于点E、F，过点H作HD⊥OA于点D，以DH为对称轴，且经过点E的抛物线L与反比例函数的图象交于点P．
（1）求k的值；
（2）若抛物线经过点F，求此时抛物线L的函数解析式；
（3）设抛物线L的顶点的纵坐标为m，点P的坐标为（x0，y0），当x0≤8，求m的取值范围．
44．（2024 高新区二模）如图（1），已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣3m2（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．连接CD，BC．
（1）点B的坐标为 　 　 ，点D的坐标为 　 　 ；（用含有m的代数式表示）
（2）如图（2），若CB平分∠OCD，若点P是二次函数图象上的点，且在直线BC下方．
①若对称轴与直线BC交于点M，试说明DC与DM相等；
②求二次函数的表达式；
③点P到直线BC距离的最大值为 　 　 ；
④直线AP、BP分别交y轴于点E、F，问3OE+OF是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由．
45．已知点A（﹣m，0）和B（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上，该图象与y轴交于点C．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点M（n，3）且点M不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）若a＜0，m＞0，且∠OBC＝30°，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，连接OP交BC于点D，求出的最大值及此时点P的坐标．
46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C（0，5）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，直线y＝﹣x+2与x轴交于点D，与y轴交于点E，在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y＝﹣x+2交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标；
（3）如图2，连接AE，将原抛物线沿射线ED方向平移得到新抛物线y′，使平移后的新抛物线y′经过点B，新抛物线y′与x轴的另一交点为点M，请问在新抛物线y′上是否存在一点T，使得∠TMB+∠AEO＝90°？若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由．
47．如图，抛物线T1：y＝ax2+2ax﹣3（a＞0）与x轴交于点A、B（1，0），与y轴交于点C，抛物线T1的顶点为D，连接AC，BC．点P是线段AC上一点，连接BP，∠PBC＝45°．
（1）填空：a＝　 　 ；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线T1向右平移得到抛物线T2，抛物线T2的顶点为E，过点E作直线BP的垂线，垂足为F．若tan∠PEF，求抛物线T2的函数表达式．
48．（2024 武进区校级一模）二次函数的图象与x轴交于点A、B（4，0），交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上一点，连接PB、AC，过点A作AQ⊥PB于Q．
（1）b＝　 　 ；
（2）连接CB，过点P作PT∥AC交x轴于点T，若∠BPT＝∠ABC，求BQ的长；
（3）连接OQ、CQ，若OQ＝CQ，求点P的坐标．
49．如图，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c与x轴交于A（6，0），B两点，与y轴交于点C，OA＝2OC，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点M是y轴上一动点，当△ADM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）如图2，过点C作CE⊥BC交x轴于点E，交OD于点F．抛物线上是否存在一点P，使∠BCO+∠PEC＝∠CFO？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
50．抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线顶点坐标为，点P是第一象限抛物线上动点，连接BC，PB．
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图1，点P在直线BC上方的抛物线上，使得∠PBC恰好等于∠CBA的，求tan∠PBC的值．
（3）如图2，连接P，交BC于点M，设△ABM的面积为S1，△PBM的面积为S2，求的最小值及此时点P的坐标．
51．（2025 扬州二模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足∠DEP+∠APB＝180°．
（1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P；（要求：尺规作图，写出必要的文字说明，保留作图痕迹）
（2）若CE＝1，试确定tan∠EPC的值．
52．（2025春 东台市月考）如图，点A（1，a）在反比例函数的图象上，把点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点B，点B仍然在这个反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点E是反比例函数图象上点A右侧一点，连接AE，将线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
53．（2024 苏州）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，A（﹣2，0），C（6，0），反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象与AB交于点D（m，4），与BC交于点E．
（1）求m，k的值；
（2）点P为反比例函数y（k≠0，x＞0）图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
54．（2025春 锡山区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E是AB边上的一个动点，连接DE，过点E作DE的垂线交BC于点F，以EF为斜边作等腰直角三角形EFG（点G在EF上方）．
（1）若AE＝2，求GE的长；
（2）当点E从点A运动到点B的过程中，求△EFB的外接圆的圆心到AB边距离的最大值；
（3）当点E从点A运动到点B时，则点G经过的路径长为 　 　 ．
55．如图，在⊙O中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，AE为切线，连接ED，并延长交⊙O于点F，连接BF交AC于点G．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）求证：△ADE≌△ABG；
（3）若AE＝6，AG＝3GC，求sin∠CBF的值．
56．在菱形ABCD中，，∠C＝60°，点E在射线CB上运动（点E与点C不重合），△DEC关于DE的轴对称图形为△DEC′．如图，⊙O为△DEC′的外接圆，直线CD与⊙O交于点G，连接GC'交DE于点M．
（1）若∠EC'G＝15°，则∠EDC′＝ 　 　 °；
（2）当EM ED＝4时，连接AC′，判断直线AC'与⊙O位置关系，并说明理由；
（3）直接写出△DEC′的外接圆的半径r的最小值．
57．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5．因为2＜3＜5，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组，的“友好方程”．（1）下列方程是不等式组的“友好方程”的是 　 　 ；（填序号）
①x﹣2＝0；②2x+1＝0；③﹣2x﹣2＝0．
（2）若关于x的方程3x﹣3k＝3是不等式组的“友好方程”，求k的取值范围；
（3）若方程2x+4＝0，都是关于x的不等式组的“友好方程”，其中m≠2，求m的取值范围．
58．（2017秋 工业园区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝10cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向匀速移动．连接PD、AC相交于点E，过点A作AF⊥PD，垂足为点F．设运动时间为t（s）．
（1）当点F为PD中点时，t＝　 　 ；
（2）当点F落在BC边上时，求t的值；
（3）当△PAE为等腰三角形时，直接写出t的值．
59．（2017秋 工业园区期末）如图，已知等边△ABC中，AB＝12．以AB为直径的半⊙O与边AC相交于点D．过点D作DE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求EF的长；
（3）求sin∠EFD的值．
60．（2025春 工业园区校级月考）如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）若由点A、B、C组成的角∠ABC满足，求m的值及点A的坐标；
（2）在（1）的条件下，点D是直线BC上方抛物线上的动点，过点D作直线BC的垂线，垂足为E，是否存在某个位置D使得线段DE的长度等于．若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）现将点C向右平移4个单位得到点M，若抛物线与线段CM有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围　 　 ．
∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+7，
根据题意可知，区域G满足y＜﹣x+7（1＜x＜6且x，y为正整数），
当x＝2时，3＜y＜5，∴y可以取4，对应点为（2，4）；
当x＝3时，2＜y＜4，∴y可以取3，对应点为（3，3）；
当x＝4时，1.5＜y＜3，∴y可以取2，对应点为（4，2）；
当x＝5时，1.2＜y＜2，无整数y可以满足．综上所述，区域内共有3个整点．故选：B．
【点评】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，关键是求出一次函数和反比例函数的解析式．
11．【解答】解：连接BP，点O是AB的中点，则OM是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线时，PB最大，则OMBP最大，
∵直线V＝x与双曲线y交于A、B两点，∴B（﹣1，﹣1），
∵C（﹣4，0），∴BC，
∵半径长为1，∴BP的最大值为1，∴OM的最大值为：，故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，确定OM是△ABP的中位线是解本题的关键．
12．【解答】解：∵，∴可设AD＝3a、OA＝4a，则BC＝AD＝3a，点D坐标为（4a，3a），
∵2，∴BEBC＝a，∵AB＝4，∴点E（4+4a，a），∵反比例函数y经过点D、E，
∴k＝4a 3a＝（4+4a）a，解得：a或a＝0（舍），∴BC＝AD＝3a＝3，故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．
13．【解答】解：过点B作BE⊥x轴于E，∵B是双曲线图象上的点，∴S△OBE＝2，
∵AC⊥x轴，∴AC平行于BE，∴△OCD∽△OEB，∴，
又∵D是OB的中点，∴，∴S△OCD，故选：A．
【点评】考查反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是关键．
第13题第14题
14．【解答】解：设B（m，），∵点B与点C关于原点对称，∴C点坐标为（﹣m，），
∵AC＝AB，△ABC是等腰三角形，连接AO，根据等腰三角形三线合一可知AO⊥BC，
直线BC的斜率kBC，∵AO⊥BC，两垂直直线斜率之积为﹣1，
∴直线OA的斜率kAO，直线AO的方程为yx，
∵点A在y（x＞0）上，联立，可的x，
即x2（x＞0），则x，y，∴A（，）m
根据两点间距离公式d，AB，
CB2，∵，即AB2CB2，
将AB和CD的表达式代入并化简，∵点A在y上，∴k＝﹣2，故选：B．
【点评】本题综合性较强，融合了反比例函数、等腰三角形性质以及两点间距离公式等知识点．解题关键在于利用等腰三角形三线合一建立点坐标之间的联系，再通过线段比例关系构建方程求解k．
15．【解答】解：过点A作AH⊥BC交CB的延长线于点G，AG的延长线交x轴于点H，
由条件可知AB＝BC＝CD＝AD＝5，BC AG＝20，∴AG＝4，∴，
∴CG＝GB+BC＝8，∵点A的横坐标为2，边BC∥x轴，∴，AH⊥x，
∴，∴，解得k＝10，故选：B．
【点评】此题考查了菱形的性质、反比例函数的图象和性质等知识．熟练掌握以上知识点是关键．
第15题第16题
16．【解答】解：连接AC，交EF于O，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B＝90°，
∵AB，BC＝1，∴AC2，∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，∴CF＝AE，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，
又∵∠COF＝∠AOE，∴△COF≌△AOE（AAS），∴AO＝CO＝1，∵AG⊥EF，
∴点G在以AO为直径的圆上运动，∴AG为直径时，AG有最大值为1，故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，确定点G的运动轨迹是解题的关键．
17．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AD∥BC，
∵EF⊥BC，∴∠BFE＝90°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFE＝90°，∴四边形ABFE是矩形，
∵BE平分∠ABC交AD于点E，∴∠ABE＝∠FBE＝45°，∵∠AEB＝∠EBF＝45°，
∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴四边形ABFE是正方形，∴AB∥EF，AB＝EF＝BF＝AE＝4，
∵3AG＝2CH，∴设AG＝2x，GH＝a，则CH＝3x，AH＝AG+GH＝2x+a，
∵AD∥BC，∴△AEH∽△CFH，∴，解得CF，
∵AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴，∴，解得 CF＝2a+2x，∴CF，
整理得a2+3ax﹣4x2＝0，解得 a＝x或a＝﹣4x （舍去），∴CF4，∴BC＝8，
∵AB＝EF＝BF＝AE＝4，∴AE＝CF＝4，∵∠EAH＝∠FCH，∠AEF＝∠CFH＝90°，
∴△AEH≌△CFH（ASA），∴EH＝FH＝2，AH＝CH，∴BF＝CF＝4，∴BC＝8，∴AC4，
∵，∴GHx，∴AC＝6x＝4，∴x，∴GH．故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
18．【解答】解：在矩形ABCD中，M，N分别是EC，FD的中点，如图，连接CN并延长交AD于点G，连接EG，∴AD∥BC，AB＝BC，BC＝AD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，DN＝FN，
∴∠GDN＝∠CFN，在△GND和△CNF中，
，∴△GND≌△CNF（ASA），
∴GN＝CN，即N是CG的中点．
∴MN是△CEG的中位线．∴．
∵AE＝2BE，BF＝2CF，AB＝6，BC＝9，
∴，，AG＝AD﹣DG＝6．
在Rt△AEG中，AE2+AG2＝EG2，∴．∴，故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
19．【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，∠BCD＝90°∠DCE＝180°﹣∠BCD＝90°，
∵∠CED＝45°，∴△DCE为等腰直角三角形，CD＝CE，∵BE＝DE，OB＝OD，根据等腰三角形三线合一，∴OE⊥BD，若CF＝1，设DF＝x，则CD＝CF+DF＝x+1，∴CE＝CD＝x+1，
∴，∴，
∵∠DBC+∠FEC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠DBC＝∠EFC，
∴，∴△DCB≌△ECF，∴BC＝CF＝1，∴，
解得，即，故结论①正确；
若BD＝2，则OD＝OB＝1．设OE＝a，则 ，
∴，，
在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，∴，解得，
∴，故结论②正确；综上所述，结论①②正确．故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
20．【解答】解：延长DA到G，使DG＝DB，连接FG，CG，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，，DC＝AB＝2，∠BAD＝∠GDC＝90°．
∴∠GDF＝∠DBE．∵DF＝BE，DG＝BD，∴△DGF≌△BDE（SAS）．∴FG＝DE，
∴DE+CF＝FG+CF，∴当点G、F、C共线时，FG+CF最小，最小值为CG．∴DE+CF最小值为CG．
∵∠BAD＝90°，∴．
在Rt△GDC中，GD＝BD＝4，∠GDC＝90°，∴．
∴DE+CF最小值为，故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
第20题第21题
21．【解答】解：延长AE与BC的延长线交于点M，过点C作CN⊥AM于点N，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝∠BCE＝90°，AD∥BC，∴∠MCE＝90°，∴∠ADE＝∠MCE＝90°，
∵E为CD边的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△MCE中，，∴△ADE≌△MCE（ASA），
∴AD＝CM＝4，AE＝ME，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠CME，∵∠CFE＝∠DAE，∴∠CFE＝∠CME，
∴CF＝CM，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为CD边的中点，∴DE＝CE＝3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，∴ME＝5，
在Rt△MCE中，，∴3×4＝5CN，∴，
在Rt△MCN中，由勾股定理得，
∵CM＝CF，CN⊥MF，∴MF＝2MN，∴EF＝MF﹣ME，故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的面积，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
22．【解答】解：连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AF的中点R，连接OR，如图：
∵AD∥CG，OK⊥AD，∴OK⊥CG，
∴∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°，
∴四边形AGTK是矩形，
∴AG＝TK＝AB sin60°＝3，
∵折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，
∴OA＝OM，∠AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°，
∴△AOK≌△MOT（AAS），∴OK＝OT，
∵OK⊥AD，∴OR≥OK，
∵∠AOF＝90°，AR＝RF，∴AF＝2OR≥3，∴AF的最小值为3，∴DF的最大值为6﹣3，选：D．
【点评】本题考查菱形中的翻折问题，涉及矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形斜边上的中线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
23．【解答】解：设点A，B在二次函数y＝x2图象上，点C在反比例函数y（x＞0）的图象上．因为A、B关于y轴对称，∴x1+x2＝0，∵C（x3，m），在反比例函数图象上，则x3，
∴ω＝x1+x2+x3＝x3．故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
24．【解答】解：因为点A（a，b）平移后的对应点为C（a+2，n），点B（b，c）平移后的对应点为D（m，c﹣3），所以a+2﹣a＝m﹣b，n﹣b＝c﹣3﹣c，则m＝b+2，n＝b﹣3，
所以m﹣n＝b+2﹣（b﹣3）＝5．故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．
25．【解答】解：过D作DH⊥AB于H，如图：
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC2，
∵BD是边AC上的高，∴BD；
∴CD，AD＝AC﹣CD，
∴DH，
∴S△ADEAE DHxx，S△BDEBE DH（4﹣x）x；
∵∠BDE＝90°﹣∠BDF＝∠CDF，∠DBE＝90°﹣∠CBD＝∠C，∴△BDE∽△CDF，
∴（）2＝（）2，∴S△CDFS△BDE（x）x，
∴y＝S△ABC﹣S△ADE﹣S△CDF2×4x﹣（x）x，
∵0，∴y随x的增大而减小，且y与x的函数图象为线段（不含端点），
观察各选项图象可知，A符合题意；故选：A．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，涉及相似三角形判定与性质，勾股定理及应用，面积法等，解题的关键是求出y与x的函数关系式．
二．填空题（共16小题）
26．【解答】解：若OE＝HK＝1，∵点D，E是CO的两个三等分点，
∴OC＝3，PK＝2，AG＝1，∴Q（，3），P（，2），G（k，1），∴，
∵HK＝1，∴OH＝2，OK＝3，∴Q（2，3），P（3，2），
∵点Q，P，G在反比例函数y（x＞0）的图象上，∴k＝2×3＝6，∴G（6，1）；
若S1+S3＝25，由反比例函数系数k的几何意义可知，3S1＝2S1+2S2＝S1+S2+S3＝k，∴S1＝2S2，2S1＝S2+S3，
∵S1+S3＝25，∴S3＝25﹣S1，∴2S1＝S2+25﹣S1，∴3S1＝S2+25，∴6S2＝S2+25，∴S2＝5．∴S1＝10．
故答案为：（1）62，10；（2）5．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，熟知反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
27．【解答】解：将A（0，m），B（1，﹣m），D（3，﹣m）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），
得：，∴∴ymx2mx+m，
把C（2，n）代入，得：，
∴，∴，故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握方程组的求解是解题的关键．
28．【解答】解：∵点A（2，a）、B（3，b）在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，
∴a＝x2﹣3x＝22﹣3×2＝﹣2；b＝x2﹣3x＝32﹣3×3＝0；∴a＜b．故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式是关键．
29．【解答】解：∵，∴设AD＝x，，
∵△ADE沿DE翻折，得到△FDE，∴DF＝AD＝x，∠ADE＝∠FDE，
过E作EH⊥AC于H，设EF与AC相交于M，则∠AHE＝∠ACB＝90°，
又∵∠A＝∠A，∴△AHE∽△ACB，∴，
∵CB＝5，CA＝10，，∴，
∴EH＝x，，则DH＝AH﹣AD＝x＝EH，∴Rt△EHD是等腰直角三角形，
∴∠HDE＝∠HED＝45°，则∠ADE＝∠EDF＝135°，∴∠FDM＝135°﹣45°＝90°，
在△FDM和△EHM中，，∴△FDM≌△EHM（AAS），
∴，，
∴，
25﹣5x，
∵△CEF的面积是△BEC的面积的2倍，∴，则3x2﹣40x+100＝0，
解得，x2＝10（舍去），则，故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解 答的关键．
第29题第30题
30．【解答】解：∵AE平分∠BAC，∴∠FAH＝∠GAH，
∵DF⊥AE，∴∠AHF＝∠AHG＝90°。又∵AH＝AH，
在△AHF和△AHG中，，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF＝AG，
如图1，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．∵AF＝AG，∴∠AFG＝∠AGF，
∵∠AGF＝∠OGL，∴∠OGL＝∠OLG，∴OG＝OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴，
∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2OD，∴，∴BF＝2OL，∴BF＝2OG．
如图2，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠CDA＝90°，
∴∠DKA＝∠CDA，∵∠DAK＝∠CAD，
∴△ADK∽△ACD，∴，
∵，，
又∵BF＝2OG，，∴，
∴，设CD＝2x，则AC＝3x，AB＝2x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：，
∴．故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，矩形的性质，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
31．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（0，m），B（2，﹣m），C（﹣2，n），D（﹣6，﹣m），∴，∴，∴．故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征，用含a的代数式表示出m，n是解题的关键．
32．【解答】解：由题意得：，解得：，
则方程ax2+bx﹣2c＝0为mx22m＝0，解得：x＝2，故答案为：2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握方程组的求解是解题的关键．
33．【解答】解：作MH⊥NB于H，作MF⊥BC于F，∵PM⊥AC，PN⊥CB，
∴∠PMC＝∠PNC＝90°，∴∠MPN＝360°﹣∠PMC﹣∠PNC﹣∠C＝120°，
∴∠MPH＝180°﹣∠MPN＝60°，∴，
∴，∵MH⊥HN，MF⊥FN，FH⊥HN，
∴四边形MFNH是矩形，∴MF＝NH，∴当MP与⊙O相切时，MF取得最大和最小，
如图1，连接OP，OG，OC，∵MP与⊙O相切，MG与⊙O相切，PM⊥CA，GO＝OP，
∴四边形OPMG是正方形，∴MG＝OP＝3，∵⊙O的半径为3且与∠ACB两边都相切，∴OC平分∠MCN，
∵∠ACB＝60°，∴，∴在Rt△COG中，∠COG＝90﹣∠OCG＝60°，
∴CG＝OG tan∠COG＝OG tan60°＝3，∴，
在Rt△CMF中，，
∴，∴；
如图2，∴，MG＝2，∴，∴，
∴，∴．
∵S＝PM+2PN，∴S的最大值为与最小值为．
∴S的最大值与最小值的差为．故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形的相关计算，切线的性质定理，正方形的性质与判定，三角形内角和定理等知识点，解题关键是熟悉上述知识并能熟练运用求解．
34．【解答】解：设点A的坐标为（a，），∵AB＝2OA，∴B（3a，），
∵BC∥x轴，点C在反比例函数图形上，∴C（，），∵AD∥OC，∴kAD＝kOC，
∴直线AD的解析式为y，当y时，x，∴D（，），
∵四边形OADC的面积为，∴S四边形OADC＝S△OBC﹣S△ABDBC yBBD （yB﹣yA）
（3a） （3a） （），整理得，解得k＝2．
【点评】考查反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．
35．【解答】解：∵∠AOC＝90°，∴由圆周角定理可得∠CDF＝45°，
作CF⊥AD于点F，如图1所示，∵E为CO中点，∴设OE＝CE＝a，则AO＝BO＝OC＝2a，
∴tan∠EAO，∴cos∠EAO，∵∠EAO＝∠ECF，∴cos∠ECF＝cos∠EAO，
∴，CFa，又∵△CFD为等腰直角三角形，∴CD，
故．故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，三角函数，
等腰直角三角形的判定与性质，
熟练掌握以上知识点并作出恰当的辅助线是解题关键．
36．【解答】解：如图：AB、DE相交于点O，
由题意得，△ADE，△ABC均为等腰直角三角形，
∴∠ADO＝∠DAO＝45°，AE＝AD，∴AB⊥ED，∴AB垂直平分DE，∴BE＝BD，
在Rt△BOD和Rt△BOE中，，∴Rt△BOD≌Rt△BOE（HL），
∴S△BDE＝2S△BDO＝2（S△ADB﹣S△AOD），设AD＝x（1≤x≤3），
在△AOD中，∠1＝45°，AO⊥DE，∴△AOD为等腰直角三角形，∴，
∴，
∵，（1≤x≤3），∴当x＝3时，S△BDE取得最大值为，故答案为：7.5．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
第36题第37题
37．【解答】解：过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，点E在点A的下方，连接DE，BE，如图所示：
∴∠EAD＝90°，在Rt△AED中，由勾股定理得：DE6，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAD，∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD＝4，
根据“两点之间线段最短”得：BD≤BE+DE，∴当点B，E，D在同一条直线上时，BD为最大，最大值为BE+DE＝4+6＝10，∵对角线BD的最大值为10．故答案为：10．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，握理解“两点之间线段最短”是解决问题的关键．
38．【解答】解：∵BD≤AB+AD，∴当点D在BA的延长线上时，BD取得最大值．
如图，连接CD，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝8，
∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，
∴∠ACP+∠BCP＝45°．由旋转得，CP＝DP，∠CPD＝90°，
∴△CDP为等腰直角三角形，∴∠PCD＝45°，
∴∠ACP+∠ACD＝45°，∴∠BCP＝∠ACD．
∵，
∴△BCP∽△ACD，∴，
即，∴AD，
∴BD＝AD+AB．故答案为：．
【点评】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
39．【解答】解：∵四边形AFPE是平行四边形，∴PF∥CA，∴△BFP∽△BAC，∴，
∵S△BAC＝1，∴S△BFP，同理：S△PEC＝（）2，∴y＝1，∴yx，
∵yx（x﹣1）2，0，∴y有最大值，
∴当x＝1时，y有最大值，最大值为．故答案为：yx，．
【点评】考查相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形面积比是边长比的平方是解决问题的关键．
40．【解答】解：方法一、联立，∴，∴，
∴A（），B（），∴A与B关于原点O对称，∴O是线段AB的中点，
∵N是线段AM的中点，连接BM，则ON∥BM，且ON，
∵ON的最大值为，∴BM的最大值为3，∵M在⊙C上运动，∴当B，C，M三点共线时，BM最大，
此时BC＝BM﹣CM＝2，∴（，∴k＝0或，∵k＞0，∴，
方法二、设点B（a，2a），∵一次函数y＝2x与反比例函数y（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点O对称，∴O是线段AB的中点，∵N是线段AM的中点，
连接BM，则ON∥BM，且ON，∵ON的最大值为，∴BM的最大值为3，
∵M在⊙C上运动，∴当B，C，M三点共线时，BM最大，此时BC＝BM﹣CM＝2，
∴2，∴a1或a2＝0（不合题意舍去），∴点B（，），∴k，故答案为：．
【点评】此题是反比例和一次函数的交点问题，考查了点到圆上一点的最值问题，对此类模型结论要非常熟悉才可解决问题．
41．【解答】解：∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∵∠MON＝40°，∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
当△ABC为“灵动三角形”时，
①当∠ACB＝3∠ABC时，∠ACB＝3×50°＝150°，
∴∠OAC＝150°﹣∠O＝150°﹣40°＝110°（不合题意舍去），
②当∠ACB＝3∠CAB时，4∠CAB+50°＝180°，∴∠CAB＝32.5°，
∴∠OAC＝90°﹣∠CAB＝57.5°，综上，∠OAC＝57.5°．故答案为：57.5°．
【点评】本题考查三角形的内角和，属于新定义题型，掌握三角形内角和是180°是解决问题的前提，理解“灵动三角形”是正确解答的关键．
三．解答题（共19小题）
42．【解答】解：（1）①在“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中，一定是“等线四边形”的是矩形、正方形，故答案为：矩形、正方形；
②四边形EFGH是菱形，理由如下：
如图1，∵四边形ABCD是“等线四边形”，∴AC＝BD，
∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF＝GHAC，EH＝FGBD，∴EF＝GH＝EH＝FG，∴四边形EFGH是菱形；
∵DH为对称轴，设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+h，
∴，∴，∴y＝﹣x2+4x+1，
（3）∵P（x0，y0）在反比例函数图象上，∴y0，
当x0＜4，有1＜y0，设函数y＝a（x﹣2）2+m，∵E（4，1）在函数上，∴a，
∴当P（，）时，m，∴当P（4，1）时，m，∴m．
【点评】本题考查反比例函数图象，二次函数图象，正方形的综合知识，利用待定系数法求解函数解析式．数形结合研究函数的性质是解题的关键．
44．【解答】解：（1）把y＝0代入y＝x2﹣2mx﹣3m2，得x2﹣2mx﹣3m2＝0，解得x1＝3m，x2＝﹣m，
∵m＞0，∴点A的坐标为（﹣m，0），点B的坐标为（3m，0），由抛物线解析式为y＝x2﹣2mx﹣3m2，
得，，则顶点D的坐标为（m，﹣4m2），故答案为：（3m，0），（m，﹣4m2）；
（2）①根据题意作图，图1，∵CB平分∠OCD，∴∠OCB＝∠BCD，
∵对称轴与直线BC交于点M，∴DM在抛物线对称轴上，∴DM∥y轴，∴∠OCB＝∠CMD，
∴∠BCD＝∠CMD，∴DC＝DM；
②把x＝0代入y＝x2﹣2mx﹣3m2，得y＝﹣3m2，∴点C的坐标为（0，﹣3m2），
∵点D的坐标为（m，﹣4m2），∴CD2＝（m﹣0）2+（﹣4m2+3m2）＝m4+m2，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（3m，0），C（0，﹣3m2）代入y＝kx+b，
得直线BC的解析式为y＝mx﹣3m2，把x＝m代入y＝mx﹣3m2，得y＝﹣2m2，
∴点M的坐标为（m，﹣2m2），∴DM＝2m2，∵DC＝DM，∴DC2＝DM2，即m4+m2＝（2m2）2，
解得，∵m＞0，∴，∴二次函数的表达式为；
图1图2图3
③设点P的坐标为，点P到直线BC的距离为h，过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，
由直线BC的解析式为，得点Q的坐标为，
∵点P是二次函数图象上的点，且在直线BC下方，∴PQ，
由，即当△PBC的面积取最大值时，h取最大值，
由，
当时，S△PBC取得最大值，即，得，
∴点P到直线BC距离的最大值为；故答案为：；
④3OE+OF是定值，理由如下：
过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，由点P的坐标为，则点G的坐标为（a，0），
∵PG⊥x轴，∴PG∥y轴，∴△AOE∽△AGP，∴，即，得，
∵PG∥y轴，∴△FOB∽△PGB，∴，即，得，
∴3OE+OF．
【点评】本题考查了求二次函数的点的坐标，等腰三角形的性质，待定系数法求函数解析式，利用二次函数求面积的最大值，相似三角形的性质和判定等知识点，本题关键点是构造相似三角形解决定值问题．
45．【解答】解：（1）当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx+3，则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，即a＝﹣1，b＝﹣2；
（2）∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（﹣n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，
∴由图象的对称性得﹣n＝2m，且n≠0，∴mn，∵﹣2＜m＜1，∴﹣2n＜1，
∴﹣2＜n＜4，∴n的取值范围为﹣2＜n＜4且n≠0；
（3）∵∠OBC＝30°，则tan∠OBC，则BO＝33m，则m，
则点A、B的坐标分别为：（，0）、（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣9），则﹣9a＝3，解得：a，
则抛物线的表达式为：yx2x+3，则点C（0，3），OC＝3，
由点C、B的坐标得，直线BC的表达式为：yx+3，
过点P作PH∥y轴交BC于点H，设点P（x，x2x+3），则点H（x，x+3），
∵PH∥y轴，则△PHD∽△OCD，则[（x2x+3）﹣（x+3）]（x2x），
∵（）＜0，则有最大值为，此时点P（，）．
【点评】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，涉及待定系数法，三角形相似，不等式，方程组等知识，解题的关键是整体思想的应用．
第45题第46题
46．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；
（2）由抛物线的表达式知，点B（5，0），
过点A、P分别作y轴的平行线分别交EN于点H、G，则△PNG∽△ANH，则PN：AN＝PG：AH，
当x＝﹣1时，y＝﹣x+2＝﹣3，则AH＝3，
设点P（x，﹣x2+4x+5），则点H（x，﹣x+2），则PG＝﹣x2+5x+3，
则PN：AN＝PG：AHPG（﹣x2+5x+3）（x﹣2.5）2，
故的最大值为，此时点P的坐标（，）；
（3）存在，理由：
将原抛物线沿射线ED方向平移，设向右向下均平移m个单位，则y′＝﹣（x﹣m）2+4（x﹣m）+5，将点B的坐标代入上式得：0＝﹣（5﹣m）2+4（5﹣m）+5﹣m，则m＝0（舍去）或5，
则y′＝﹣（x﹣5）2+4（x﹣5）+5＝﹣x2+14x﹣45，令y′＝0，则x＝5（舍去）或9，即点M（9，0），
由点A、E（0，2）的坐标得，tan∠AEO，当∠TMB+∠AEO＝90°时，则tan∠TMB＝2，
则直线MT的表达式为：y＝±2（x﹣9），联立上式和新抛物线的表达式得：﹣x2+14x﹣45＝±2（x﹣9），
解得：x＝9（舍去）或7或3，即点T（7，4）或（3，﹣12）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
47．【解答】解：（1）将点B的坐标代入函数表达式得：0＝a+2a﹣3，则a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3，故答案为：1；
（2）由抛物线的表达式知，点A、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，﹣3），则AC＝3，BC，
过点A、P分别作BC的垂线，垂足分别为点H、N，图1，则S△ABCAB×OCBC×AH，
即4×3AH，则AH，则sin∠ACH，则tan∠ACH＝2，
在△ABC中，∠PBC＝45°，设PN＝2x＝BN，则CN＝x，则CB＝BN+CN＝3x，
则x，则PCx，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
设点P（x，﹣x﹣3），则（x﹣0）2+（﹣x﹣3+3）2＝（）2，
解得：x（正值已舍去），则点P（，）；
图1图2
（3）由点B、P的坐标得，直线BP的表达式为：y（x﹣1），故设点F（t，t），
由（1）知，D（﹣1，﹣4），故设点E（x，﹣4），过点F作x轴的抛物线MN，交过点E和x轴的垂线于点N，交过点P和x轴的垂线于点M，图2，∵EF⊥PB，则∠MFP+∠MFE＝90°，
∵∠FEN+∠NFE＝90°，∴∠MFP＝∠FEN，∵∠ENF＝∠FMP＝90°，∴△ENF∽△FMP，
∵tan∠PEF，即EF：PF＝2，∴EN：MF＝FN：MP＝EF：PF＝2，则2，
解得：x，即点E（，﹣4），则抛物线T2的函数表达式为：y＝（x）2﹣4．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似等，综合性强，难度适中．
48．【解答】解：（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：016+4b+3，
解得：b，故答案为：；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：yx2x+3，则点A、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，3），
则AB＝BC＝5，即△ABC为等腰三角形，∵∠BPT＝∠ABC，∴∠PTB＝∠CAB，
∵∠BPT＝∠ABC，∴△ABC∽△TPB，∵△ABC为等腰三角形，
则△TPB为等腰三角形，且∠PBT＝∠PTB＝∠ACB，则tan∠PBT＝tan∠PTB＝tan∠ACB＝2，
则cos∠PBT，则BQ＝ABcos∠PBT＝5；
（3）若OQ＝CQ，则点Q在OC的中垂线上，则yQ，过点Q作QM⊥AB交于M点，
∵AQ⊥BQ，∴MQ2＝AM BM，即AM （5﹣AM），解得AM或AM，
∴M（，0）或（，0），∴Q（，）或（，），
当点Q（，）时，直线BQ的解析式为y＝﹣3x+12，
当﹣3x+12x2x+3时，解得x＝3或x＝4（舍），∴P（3，3）；
当点Q（，）时，直线BQ的解析式为yx，
当xx2x+3时，解得x＝4（舍）或x（舍去），∴P（，）；
综上所述：P点坐标为（3，3）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
49．【解答】解：（1）∵A（6，0），OA＝2OC，∴OC＝3，∴C（0，﹣3），
由题意得：，解得：，则抛物线的解析式为：；
（2）抛物线 的顶点D的坐标为（2，﹣4），
∵A（6.0），∴，则AD2＝32，设M（0，m），则AM2＝62+m2＝m2+3，
则DM2＝（m+4）2+22＝m2+8m+20，
①当MA＝MD 时，有MA2＝MD2，则m2+36＝m2+8m+20，解得m＝2，故 M1（0，2）；
②当AM＝AD时，有AM2＝AD2，则m2+36＝32，此时无解；
③当DA＝DM时，有DA2＝DM2，则m2+8m+20＝32，解得：或；
故，，
综上所述，点M的坐标为（0，2）或；
（3）存在，理由：
在抛物线上存在点P，使∠BCO+∠PEC＝∠CFO．
∵抛物线 交x轴于点B（﹣2，0），则 ，
∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°，∴∠BCO+∠ECO＝90°，又∠OEC+∠ECO＝90°，∴∠BCO＝∠OEC．
∵，∴；
①当点P在x轴上方的抛物线上时，
作FG⊥OC 于G，DH⊥OE 于H，延长CB与直线EP交于点I，过点I作 I⊥y轴于J，
则GF∥OE，∴∠GFC＝∠OEC＝∠BCO，∠OFG＝∠EOF，
∵∠BCO+∠PEC＝∠CFO，∠CFO＝∠GFO+∠GFC，
∴∠PEC＝∠GFO＝∠FOE，
∴，，
∴，
∵OB∥JI，∴△CBO∽△CD，
∴，∴，
∴Jl＝6，JC＝9，∴JO＝6，∴I（﹣6，6），
由I、E的坐标得，直线IE的解析式为，
联立上式和抛物线的表达式得：xx2﹣x﹣3，
解得：x（不合题意的值已舍去），
则；
②当点P在x轴下方的抛物线上时，延长BC与直线 EP2 交于点K．过点K作 KL⊥y轴于L，
则CK＝CI，则KL＝L＝6，CL＝C＝9，∴K（6，﹣12），则直线EK的解析式为：y＝﹣8x+36，
联立上式和抛物线的表达式得：﹣8x+36x2﹣x﹣3，解得：x＝﹣14+4（不合题意的值已舍去），
则点P2（﹣14+4，148﹣32），
综上所述，点P的坐标为：．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
50．【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点C（0，3），由题意得：y＝a（x﹣1）2，
将点C的坐标代入上式得：3＝a（﹣1）2，解得：a，
则抛物线的表达式为：y（x﹣1）2，
令y＝0，则x＝﹣2或4，即点A、B坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+3；
（2）如图2，设∠CBA＝θ，在直线BC上方的抛物线上存在点P，使得∠PBC恰好等于，理由如下：
作BD平分∠CBA，交OC于D，作DE⊥BC于E，交BP于F，作EH⊥AB于H，作FG⊥EH于G，
∴∠G＝∠EHB＝90°，∠FEB＝90°，∴∠GEF+∠GFE＝90°，∠GEF+∠BEH＝90°，
∴∠BEH＝∠GFE，∴△GEF∽△HBE，∴FG：EH＝EG：BH＝EF：EB，
∵OD＝DE，∠BDE＝∠BDO，∴BE＝OB＝4，
∵∠PBC＝∠EBDCBA，∠DBE＝∠FEB＝90°，EB＝EB，
∴△BED≌△BEF（ASA），∴EF＝DE，∵∠DCE＝∠BCO，∠CED＝∠BOC＝90°，
∴△CDE∽△CBO，∴DE：OB＝CD：BC，∵CD＝OC﹣OD＝3﹣DE，BC＝5，OB＝4，
∴DE：4＝（3﹣DE）：5，∴EF＝OD＝DE，则tan∠DOB，即tan∠PBC；
（3）y（x﹣1）2x2x+3，如图1，作PQ∥AB，交BC于Q，
∴△PMQ∽△AMB，∴AM：PM＝AB：PQ，设P（m，m2m+3），由x+3m2m+3，
则xm2﹣m，∴PQ＝m﹣（m2﹣m）m2﹣2m，∵AB＝4﹣（﹣2）＝6，
∴S1：S2＝AM：PM＝6：（m2+2m）＝6：[（m﹣2）2+2]，
∴当m＝2时，（m﹣2）2+2的最大值为2，∴的最小值为3，则点P（2，3）．
【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和知，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形，较强的计算能力也很重要．
51．【解答】解：（1）如图，点P，点P′即为所求；
（2）∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAP＝∠APB，
∵∠PEC＝∠DAP，∴∠APB＝∠PEC，∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABP∽△PCE，∴，
设PC＝x，AB＝4，BC＝5，∴BP＝5﹣x，∴，解得x1＝1，x2＝4，∴PC的长为1或4，
当PC＝1时，tan∠EPC1，当PC＝4时，tan∠EPC．综上所述，tan∠EPC的值为1或．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，圆内接四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，正切的概念，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
52．【解答】解：（1）由题意点B的坐标为（3，a﹣2），
由题意可得：∴a＝3（a﹣2），∴a＝3，∴A（1，3），∴k＝1×3＝3，∴．
（2）设点E的坐标为，
过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N，∴∠AME＝∠FNA＝90°，
由题意可得：∠EAM+∠MAF＝∠MAF+∠AFN＝90°，∴∠EAM＝∠AFN．
在△EAM和△AFN中，，∴△EAM≌△AFN（AAS）．∴FN＝AM，AN＝ME．
∵点A坐标为（1，3），点E坐标为，∴，AN＝ME＝a﹣1，
∴点F的坐标为．∵点F在函数图象上，∴，解得a1＝1，a2＝6，
因为点A坐标为（1，3），所以a＝1舍去，所以点E坐标为．
【点评】本题考查反比例函数性质，一元二次方程的解法，熟知求解反比例函数解析式是解题的关键．
第52题第53题
53．【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），C（6，0），∴AC＝8．
又∵AC＝BC，∴BC＝8．∠ACB＝90°，∴点B（6，8）．
设直线AB的函数表达式为 y＝ax+b，将 A（﹣2，0），B（6，8）代入 y＝ax+b得：
，解得，∴直线AB的函数表达式为 y＝x+2．
∴将点D（m，4）代入y＝x+2，得 m＝2．∴D（2，4），
将D（2，4）代入反比例函数解析式y得：4，解得k＝8．
（2）延长NP交y轴于点Q，交AB于点L．∵AC＝BC，∠BCA＝90°，∴∠BAC＝45°，
∵PN∥x轴，∴∠BLN＝∠BAC＝45°，∠NQM＝90°，∵AB∥MP，
∴∠MPL＝∠BLP＝45°，∠QMP＝∠QPM＝45°，∴QM＝QP，
设点P的坐标为（t，），则PQ＝t，PN＝6﹣t，MQ＝PQ＝t，
∴S△PMN，
∴当t＝3时，S△PMN 有最大值 ，此时P（3，）．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数顶点式求最值是关键．
54．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，
∵DE⊥EF，∴∠AED+∠FEB＝90°，∴∠ADE＝∠FEB．∵AE＝2，AB＝8，AD＝6，∴BE＝6＝AD，
在△ADE和△BEF中，，∴△ADE≌△BEF（ASA），∴AE＝BF＝2，
∴EF2．∵△EFG为等腰直角三角形，∴GE；
（2）∵∠B＝90°，∴△EFB的外接圆的圆心Z在斜边EF的中点处．
设△EFB的外接圆的圆心为O，过点O作OH⊥AB于点H，如图1，
∵OH⊥AB，FB⊥AB，∴OH∥FB，∵OE＝OF，∴OH为△BEF的中位线，∴OH．
设AE＝x，则BE＝8﹣x，由（1）知：∠ADE＝∠FEB，∠A＝∠B＝90°，∴△ADE∽△BEF，
∴，∴，∴BF，
∵0，∴当AE＝4时，DF有最大值为．∴OH的最大值为DF．
∴△EFB的外接圆的圆心到AB边距离的最大值为．
图1图2
（3）过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，连接BG，如图2，
∵GM⊥AB，GN⊥BC，∠B＝90°，∴四边形GNBN为矩形，∠MGN＝90°，
∵△EFG为等腰直角三角形，∴∠EGF＝90°，GE＝GF，∴∠EGF＝∠MGN＝90°，∴∠EGM＝∠FGN，
在△EGM和△FGN中，，∴△EGM≌△FGN（AAS），∴GM＝GN，EM＝NF，
∴四边形GNBN为正方形，∴∠MBG＝∠NBG＝45°，∴点G在∠ABC的平分线上运动，
当点E与点A重合时，如图3，此时AG1＝BG1AB＝4，此时的点G1为运动的起点，当点E到达终点B时，点F，G在点B处，
图3图4
当点E从点A运动到点B时，如图4，则BGBM，
由（1）知：设AE＝x，则BE＝8﹣x，BF，
设BM＝BN＝a，则EM＝BE﹣BM＝8﹣x﹣a，NF＝BN﹣BF＝a﹣（）a，
∴8﹣x﹣aa，∴a4，∴a的最大值为，
∴BG的最大值．由此可知：当0≤AE≤1时，点G的运动距离为4，
当1＜AE≤8时，点G的运动距离为．∴点G经过的路径长为4．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形点P的与性质，正方形的判定与性质，三角形的中位线，直角三角形的外接圆的性质，条件适当的辅助线构造全等三角形与相似三角形是解题的关键．
55．【解答】（1）证明：连接CD，如图1，∵点A，B，C，D为圆周的四等分点，
∴四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝CD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴AC为⊙O的直径，∵AE为切线，∴AC⊥AE，∴∠CAE＝90°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠CAD＝45°，∴∠EAD＝∠CAD，∴AD平分∠CAE；
图1图2
（2）证明：由（1）得：∠EAD＝∠DAC＝∠BAC＝45°，
∵四边形ADFB为圆的内接四边形，∴∠ADE＝∠ABF，
在△ADE和△ABG中，，∴△ADE≌△ABG（ASA）；
（3）解：连接FC，FA，过点C作CH⊥FB于点H，过点A作AK⊥BF于点K，如图2，
∵CH⊥FB，AK⊥BF，∴CH∥AK，∴△CHG∽△AKG，∴，
∵AG＝3GC，∴．∵，∴∠CFH＝∠AFB，
∵∠CHF＝∠AKF＝90°，∴△CFH∽△AFK，∴，
设CF＝k，则AF＝3k，由（1）知：AC为⊙O的直径，∴∠AFC＝90°，∴ACk，
∴sin∠FAC，∵∠CBF＝∠CAF，∴sin∠CBF＝sin∠FAC．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，正方形的判定与性质，圆的切线的性质定理，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
56．【解答】解：（1）∵△DEC关于DE的轴对称图形为△DEC′，∴△DEC≌△DEC′，
∴∠C′DE＝∠CDE，∵∠CDE＝∠EC'G，∵∠EC'G＝15°，∴∠CDE＝∠EC'G＝15°，
∴∠EDC′＝∠CDE＝15°．故答案为：15；
（2）直线AC'与⊙O相切，理由：
过点E作EH⊥C′D于点H，如图1，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝CD＝1，
∵△DEC关于DE的轴对称图形为△DEC′，∴△DEC≌△DEC′，
∴∠DC′E＝∠C＝60°，DC＝DC＝1，∠C′DE＝∠CDE，
∵∠CDE＝∠EC'G，∴∠EDC′＝∠EC'G，∵∠C′ED＝∠MEC′，∴△C′ED∽△MEC′，
∴，∴EC′2＝EM ED＝4，∴EC′＝2，∵EH⊥C′D，∠DC′E＝60°，
∴C′H＝EC′ cos60°＝21，EH＝EC′ sin60°，∴DH＝DC′﹣C′H，
∴DH＝EH，∴∠HED＝∠HDE＝45°，∴∠EDC＝∠HDE＝45°，∴∠C′DC＝90°，
∴GC′为圆的直径，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C＝180°，∵∠C＝60°，∴∠ADC＝120°，
∴∠ADC′＝120°﹣90°＝30°，∵DC＝AD，DC＝DC′，∴DC′AD，∴∠DAC′＝∠DC′A＝75°．
∵∠GC′E＝∠EDC＝45°，∴∠DC′G＝∠DC′E﹣∠GC′E＝15°，
∴∠AC′G＝∠AC′D+∠DC′G＝90°，∴GC′⊥AC′，∵GC′为圆的直径，∴直线AC'与⊙O相切；
图1 图2
（3）△DEC′的外接圆的半径r的最小值为．由题意得：∠DC′E＝∠C＝60°，
∴△DEC′的外接圆为以DE为弦，DE所对的圆周角为60°的圆，
∴当DE取得最小值时，△DEC′的外接圆的半径r取得最小值，
∵点E在射线CB上运动，∴当DE⊥BC时，DE取得最小值，
过点D作DE⊥BC于点E，如图2，此时点C′与点B重合，BD为△DEC′的外接圆的直径，
∵BC＝CD，∠C＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴BD＝CD＝1，
∴△DEC′的外接圆的半径r的最小值BD．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质和菱形的性质是解题的关键．
57．【解答】解：（1）解不等式组得1＜x＜3，解方程x﹣2＝0得：x＝2；
解方程2x+1＝0得：x；解方程﹣2x﹣2＝0得：x＝﹣1，∵1＜2＜3，1＜3，﹣1＜1，
∴①是不等式组组的“友好方程”，故答案为：①；
（2）解不等式组得：2＜x≤5，解方程3x﹣3k＝3得：x＝k+1，
∵关于x的方程3x﹣3k＝3是不等式组的“相伴方程”，
∴2＜k+1≤5，解得：1＜k≤4，即k的取值范围是1＜k≤4；
（3）解方程2x+4＝0得x＝﹣2，解方程1得x＝﹣1，
∵方程2x+4＝0，1都是关于x的不等式组的“相伴方程”，m≠2，
当m＞2时，不等式组的解集是m﹣5≤x＜1，所以根据题意得，解得：2＜m≤3，
所以m的取值范围是2＜m≤3，故答案为：2＜m≤3．
【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键．
58．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10cm，∵点F是PD中点，∴PF＝DF，
∵AF⊥PD，∴AP＝AD＝10cm，由运动知，AP＝t，∴t＝10秒，故答案为10秒；
（2）如图1，∵∠AFD＝90°，∴∠AFB+∠CFD＝90°，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCF＝∠ABC＝90°，∴∠AFB+∠BAF＝90°，∴∠BAF＝∠CFD，
∵∠ABF＝∠FCD＝90°，∴△ABF∽△FCD，∴，∴，∴BF＝2或BF＝8，
易知，△ABF∽△FBP，∴，∴或，∴t＝5秒或t＝20秒；
（3）∵△PAE为等腰三角形，
∴①当PA＝PE时，∴PE＝t，∠PAE＝∠PEA，∵AB∥CD，∴∠PAE＝∠DCE，
∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝CD＝4，∴DP＝PE+DE＝t+4
在Rt△ADP中，根据勾股定理得，PD2＝AD2+AP2，∴（t+4）2＝100+t2，∴t，
②当PA＝AE时，∴AE＝t，∠APE＝∠AEP，
∵AB∥CD，∴∠APE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠CED，∴DE＝CD＝4，∴AC＝t+4，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，（t+4）2＝16+100，∴t＝﹣4﹣2（舍）或t＝24，
③当PE＝AE时，∴∠APE＝∠PAE，
∵AB∥CD，∴∠APE＝∠CDE，∠PAE＝∠DCE，∴CE＝DE，∴PE+DE＝AE+CE＝AC，
∴点P和点B重合，即：AP＝AB＝4，∴t＝4秒，
综上所述，当△PAE为等腰三角形时，t的值为秒或24秒或4秒．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
∴，
∵∠DHE＝∠BHF，∠BHF+∠CBO＝90°，∴∠DHE+∠CBO＝90°，
∵∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠DHE＝∠BCO，∵∠DEH＝∠COB＝90°，∴△DEH∽△BOC，
∴，∵，∴，解得，
∴存在某个位置D使得线段DE的长度等于，点D的坐标为或；
（3）∵点C向右平移4个单位得到点M，∴点M的坐标为（4，4），∴抛物线的对称轴为直线x＝2m，
令x＝4，则y＝4m，当m≤0时，C在抛物线对称轴右侧，其向右平移与抛物线没有交点，故符合题意；
当m＞0时，若CM与抛物线只有一个交点，则（4，4）在抛物线下方，∴4m＞4，∴m＞1；
综上所述，m≤0或m＞1．故答案为：m≤0或m＞1．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，数形结合和熟练掌握相似三角形的性质是关键．
第1页（共1页）

展开更多......

收起↑