资源简介

2025年苏州中考数学定心卷
一．选择题（共8小题，共24分）
1．在（﹣1）2、﹣1、0、中，四个数中，最大的数是（　　）
A．（﹣1）2 B．﹣1 C．0 D．
2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．截止2025年2月14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2000万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2000万”用科学记数法表示为（　　）
A．2000×104 B．2000×105 C．2×107 D．2×108
4．不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，张师傅将两根木条AB和AC固定在点A处，在木条AB上点O处安装一根能旋转的木条DE．张师傅用量角仪测得∠A＝68°，木条DE与AB的夹角∠BOD＝80°，要使DE∥AC，木条DE绕点O至少旋转（　　）
A．10° B．12° C．14° D．16°
第5题 第6题
6．近年来中国高铁发展迅速，如图是中国高铁营运里增长率折线统计图程增长率折线统计图．依据图中信息，下列说法错误的是（　　）
A．2020年中国高铁营运里程增长率最大
B．2023年中国高铁营运里程增长率比2022年高1.4%
C．2020年至2024年，中国高铁营运里程逐年增长
D．2021年到2022年中国高铁营运里程下降
7．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交x轴于点C，且AB＝BC，D是第二象限一点，且DO∥AB，若△ADC的面积是15，则k的值为（　　）
A．8 B．10 C．11.5 D．13
第7题 第8题
8．如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上一点（不与点A、D重合），将线段CB沿直线CE翻折，得到线段CF，连接FD并延长，与线段CE的延长线相交于点G，连接AG．下列结论正确的是（　　）
①∠CDF＝∠CFD；②∠CGF＝45°；③AG2+CG2＝2DC2；④．
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
二．填空题（共8小题，共24分）
9．已知2m+3n＝3，则4m 8n的值为　 　 ．
10．已知a5，则　 ．
11．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000
发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204
发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，该油菜发芽的概率为　 　 （精确到0.1）．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABO＝∠ACO＝15°，BC＝6，若扇形OBC（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为＝ 　 　 ．
第12题 第13题 第14题
13．如图，直线y＝﹣2x+2与直线y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）相交于点A（﹣1，m），则关于x的不等式﹣2x+2≤kx+b的解集为 　 　 ．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以O为圆心，OC为半径作与OB交于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为 　 　 ．
15．定义：抛物线y＝a（x﹣m）2+k（a，m，k为常数，a＞0）中存在一点P（x0，y0）使得，则称y0﹣k为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线y＝ax2+2ax+1（a＞0）的“相对深度”为6，则a的值为　 　 ．
16．如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M、N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为E，F，且点F在平行四边形内部，MF的延长线交BC于点G．EF交边BC于点H．AB＝6，∠B＝45°，，当点H为NG三等分点时，MD的长为 　 　 ．
三．解答题（共11小题，共82分）
17．计算：．
18．解不等式组，把解表示在数轴上，并求出不等式组的整数解．
19．已知关于x，y的方程组．
（1）请写出方程x+3y＝7的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足2x﹣3y＝2，求m的值；
（3）如果方程组有正整数解，求整数m的值．
20．如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于点E，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
21．某班以小组为单位开展知识竞赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
有甲、乙两组同学，每组各8人，按照1﹣8号进行编号，他们的成绩统计图如下：
小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7.625 a 7 4.48 37.5%
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ；
（2）根据所学的统计知识，请你利用数据，从不同角度对甲、乙两组的成绩进行比较与评价．
22．中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．
（1）从中随机抽取1张，抽到“孟子”书签的概率是 　 　 ；
（2）从中随机一次性抽取2张，用列表法或树状图法，求随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率．
23．如图1，公园草坪上安置了某款自动感应遮阳伞，其侧面示意图如图2所示．该遮阳伞由支架（AB）、悬托架（AE）、伞面（DF）和感应器组成．支架AB垂直于地面BC，伞沿的支点D在AB上滑动．悬托架支点E在DF上．感应器根据太阳光线的角度自动调整伞面与悬托架之间的角度（即∠AED的大小）使得伞面DF与太阳光线始终保持垂直，从而达到最佳遮阳效果．已知AB＝2.5米，AE＝DE＝0.5米，且DF＝4DE．
（1）某天下午15点时太阳光线与地面的夹角α＝45°，此时伞沿支点D离地面多高？（结果精确到0.1米）
（2）如图3，一把铁椅固定在离支架5米处的点Q，小明坐在铁椅上的高度（头顶到地面的距离）为1米．若当天16点时太阳光线与地面的夹角α＝30°，请判断此时小明的头部是否会被太阳光照射到？（参考数据：
24．在图中，A，B两点在反比例函数的图象上，AB过点O，△ABC是等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）图1中，作AE⊥BC，垂足为点E；
（2）图2中，点D为AC的中点，在x轴上作出点F，使四边形ADBF为矩形；
（3）图3中，在第二象限内作出点G，使四边形ACBG为菱形．
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD边上一点，连接AC，AE，AC＝AE，作△ACE的外接圆⊙O交BC于点F，AB与⊙O相切于点A．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连接AF，求证：AF BC＝AE CD；
（3）若，BF＝3，，则⊙O的半径为 　 　 ．
26．【概念学习】
对于平面直角坐标系xOy中的图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作d（T，W）．例如，如图①，点P（1，2）与x轴之间的“关联距离”d（P，x轴）＝2．
【理解概念】
（1）如图②，已知点P（1，2）在边长为3的正方形OABC内，则d（P，正方形OABC）＝　 　 ．
【深入探索】
（2）如图③，在等边△ABC中，点A的坐标是（0，3），点B，C在x轴上，点Q是y轴上一点，若d（Q，△ABC）＝1，求点Q的坐标．
【拓展延伸】
（3）已知D（m，﹣2），E（m+2，﹣4），当﹣5≤m≤2时，对于每一个m，若线段DE和一次函数y＝kx﹣k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣k）＞0，则k的取值范围是 　 ．
27．“求索”兴趣小组对函数图象的翻折变换进行了讨论，请你完成下列相关问题．
（1）思源同学提出从最简单的一次函数图象开始：如图1，y＝﹣2x+6的图象与x轴、y轴交于点A（3，0）、B（0，6），把直线AB沿y轴翻折交x轴于点C，可得OC＝OA，所以点C坐标为　 　 ，由此可求得直线BC的表达式．
承宇同学提出新的思路：从点的变换考虑，任取直线y＝﹣2x+6上一点（m，﹣2m+6），沿y轴翻折得点（﹣m，﹣2m+6），则x＝﹣m，y＝﹣2m+6，即m＝﹣x，代入y＝﹣2m+6得翻折后所得直线的表达式为　 　 ．
（2）请你选用（1）中两位同学其中一种方法求二次函数y＝x2+x﹣1的图象沿直线x＝3翻折后所得图象的表达式．
（3）下列说法中正确的有　 　 （填序号）．
①将一次函数y＝kx的图象沿直线y＝x翻折得到直线的表达式为；②将反比例函数的图象沿直线x＝1翻折所得图象的表达式为；③将二次函数y＝ax2+bx+c的图象沿y轴翻折得到图象的表达式为y＝ax2﹣bx+c；④将函数y＝|x3﹣x2﹣1|的图象沿直线y＝3翻折得到图象的表达式为y＝﹣|x3﹣x2﹣1|+6．
（4）将抛物线y＝2x2+1沿直线y＝x翻折得到图象G，直线与图象G有两个公共点P1（m1，n1），P2（m2，n2），且|n1﹣n2|≤3，求b的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C B B D B B
一．选择题（共8小题）
1．在（﹣1）2、﹣1、0、中，四个数中，最大的数是（　　）
A．（﹣1）2 B．﹣1 C．0 D．
【分析】根据负数都小于0，正数都大于0即可得出答案．
【解答】解：（﹣1）2＝1，
∵1＞0＞﹣1，
∴（﹣1）2＞0＞﹣1，
∴最大的数是（﹣1）2．
故选：A．
2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A、图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，
故选：A．
3．截止2025年2月14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2000万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2000万”用科学记数法表示为（　　）
A．2000×104 B．2000×105 C．2×107 D．2×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2000万＝20000000＝2×107．
故选：C．
4．不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由1﹣2x＜3，得：x＞﹣1，
由3（x﹣1）≤2x﹣1，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将解集表示在数轴上如下：
故选：B．
5．如图，张师傅将两根木条AB和AC固定在点A处，在木条AB上点O处安装一根能旋转的木条DE．张师傅用量角仪测得∠A＝68°，木条DE与AB的夹角∠BOD＝80°，要使DE∥AC，木条DE绕点O至少旋转（　　）
A．10° B．12° C．14° D．16°
【分析】由同位角相等，两直线平行，即可解决问题．
【解答】解：当∠BOD＝∠A＝68°时，DE∥AC，
∴木条DE绕点O至少逆时针旋转80°﹣68°＝12°．
故选：B．
6．近年来中国高铁发展迅速，如图是中国高铁营运里增长率折线统计图程增长率折线统计图．依据图中信息，下列说法错误的是（　　）
A．2020年中国高铁营运里程增长率最大
B．2023年中国高铁营运里程增长率比2022年高1.4%
C．2020年至2024年，中国高铁营运里程逐年增长
D．2021年到2022年中国高铁营运里程下降
【分析】由折线统计图可知，2020年中国高铁营运里程增长率最大，023年中国高铁营运里程增长率比2022年高6.64%﹣5.24%＝1.4%，2020年至2024年，中国高铁营运里程逐年增长，进而可得答案．
【解答】解：由折线统计图可知，2020年中国高铁营运里程增长率最大，
故A选项正确，不符合题意；
2023年中国高铁营运里程增长率比2022年高6.64%﹣5.24%＝1.4%，
故B选项正确，不符合题意；
由折线统计图可知，2020年至2024年，中国高铁营运里程逐年增长，
故C选项正确，不符合题意；
2021年到2022年中国高铁营运里程增长率降低，但中国高铁营运里程上升，
故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交x轴于点C，且AB＝BC，D是第二象限一点，且DO∥AB，若△ADC的面积是15，则k的值为（　　）
A．8 B．10 C．11.5 D．13
【分析】连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G，根据平行线分线段成比例定理得到CG＝HG，求得AH＝2BG，设B（a，），得到A（，），由OD∥AB，得到S△AOC＝S△ADC＝15，根据三角形的面积和梯形的面积公式列方程即可得到结论．
【解答】解：连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G，
∴AH∥BG，
∵AB＝BC，
∴CG＝HG，
∴AH＝2BG，
∵A、B两点在反比例函数的图象上，
∴设B（a，），
∴A（，），
∵OD∥AB，
∴S△AOC＝S△ADC＝15，
∴S△AOBS△AOC，
∵S四边形AHGB＝S△AOB，
∴（AH+BG） HG）×（a），
∴k＝10，
故k的值为10，
故选：B．
8．如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上一点（不与点A、D重合），将线段CB沿直线CE翻折，得到线段CF，连接FD并延长，与线段CE的延长线相交于点G，连接AG．下列结论正确的是（　　）
①∠CDF＝∠CFD；②∠CGF＝45°；③AG2+CG2＝2DC2；④．
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【分析】依题意补全图形，然后根据翻折的性质及正方形的性质即可判断①；
设∠DCG＝α，根据正方形的性质及等边对等角得出∠BCG＝90°﹣α，再由各角之间的关系即可判断②；
连接BG、AC交于点M，作CH⊥DF，连接BF，利用相似三角形的判定得出△GMC∽△AMB，△AMG∽△BMC，利用其性质及各角之间的关系得出∠AGC＝90°，由勾股定理即可判断③；
再由相似三角形的判定和性质即可判断④．
【解答】解：根据题意，补全图形如下：
∵将线段CB沿直线CE翻折，得到线段CF，正方形ABCD，
∴CF＝CB，CD＝CB，
∴CD＝CF，
∴∠CDF＝∠CFD，故①正确；
设∠DCG＝α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠BCG＝90°﹣α，
∴CF＝CD，∠FCD＝∠FCG﹣∠DCG＝90°﹣2α，
∴，
∴∠CGF＝∠CDF﹣∠DCG＝45°，故②正确；
如图，连接BG、AC交于点M，作CH⊥DF，连接BF，
∴∠DHC＝90°，，
∴∠HCG＝∠CGF＝45°，
∵将线段CB沿直线CE翻折，得到线段CF，
∵BG＝FG，CG⊥BF，
∴∠CGB＝∠CGF＝45°，
∵AB＝CB＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，，
∴∠CGM＝∠BAM＝45°，
∵∠GMC＝∠AMB，
∴△GMC﹣△AMB，
∴，
∴，
∵∠AMG＝∠BMC，
∴△AMG∽△BMC，
∴∠AGM＝∠BCM＝45°，
∴∠AGC＝∠AGM+∠CGM＝90°，
∴AG2+CG2＝AC2＝2DC2，故③正确；
∴∠AGC＝∠DHC，
∵∠ACG＝∠DCH＝45°﹣∠DCG，
∴△ACG∽△DCH，
∴，
∴，
∴，故④错误；
综上可得：正确的有①②③，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．已知2m+3n＝3，则4m 8n的值为　8　 ．
【分析】把4m 8n转化为同底数相乘的形式，根据同底数幂的乘法的性质来求值．
【解答】解：4m 8n＝22m×23n＝22m+3n，
∵2m+3n＝3，
∴22m+3n＝23＝8．
故答案为8．
10．已知a5，则a　±5　 ．
【分析】直接利用已知结合完全平方公式以及平方差公式将原式变形得出答案．
【解答】解：∵a5，
∴a22＝25，
故a223，
∴a22＝21，
故（a）2＝21，
∴a±，
∴a2（a）（a）＝±5．
故答案为：±5．
11．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000
发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204
发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，该油菜发芽的概率为　0.8　 （精确到0.1）．
【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.8左右，从而得到结论．
【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.8左右，
∴该油菜籽发芽的概率为0.8，
故答案为：0.8．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABO＝∠ACO＝15°，BC＝6，若扇形OBC（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为＝ 　　 ．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据∠ABO＝∠ACO＝15°，可以得到∠BAC的度数，从而可以得到∠BOC的度数，然后根据BC＝6，可以得到OB的长，再根据圆锥和侧面展开图的关系，即可求得圆锥的高．
【解答】解：连接OA，
∵OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∵∠ABO＝∠ACO＝15°，
∴∠OAB＝∠OAC＝15°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵BC＝6，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝6，
设扇形OBC围成的圆锥的底面半径为r，
则，
解得r＝1，
∴该圆锥的高为：，
故答案为：．
13．如图，直线y＝﹣2x+2与直线y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）相交于点A（﹣1，m），则关于x的不等式﹣2x+2≤kx+b的解集为 　x≥﹣1　 ．
【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【解答】解：由所给函数图象可知，
当x≥﹣1时，函数y＝﹣2x+2的图象不在函数y＝kx+b图象的上方，即﹣2x+2≤kx+b，
所以不等式﹣2x+2≤kx+b的解集为x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以O为圆心，OC为半径作与OB交于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为 　2　 ．
【分析】利用三角形和扇形面积公式，根据“阴影部分的面积＝三角形OCE的面积+扇形OBE的面积﹣扇形COD的面积”计算即可．
【解答】解：如图，连接OE．
∵OA＝OE＝4，点C为OA的中点，
∴OCOA＝2，
∴OCOE，
∵CE⊥OA，
∴∠CEO＝30°，
∴CE＝OE cos∠CEO＝42，
∴SRt△OCEOC CE2×22，
∵CE∥OB，
∴∠BOE＝∠CEO＝30°，
∴S扇形BOEπ×42，
∵S扇形CODπ×22＝π，
∴S阴影＝SRt△OCE+S扇形BOE﹣S扇形COD＝2π＝2．
故答案为：2．
15．定义：抛物线y＝a（x﹣m）2+k（a，m，k为常数，a＞0）中存在一点P（x0，y0）使得，则称y0﹣k为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线y＝ax2+2ax+1（a＞0）的“相对深度”为6，则a的值为　　 ．
【分析】把所给抛物线解析式整理成顶点式，可得m和k的值，易得y0﹣k＝6，则可得用a表示的y0的值及x0﹣m的值，进而可得用a表示的x0的式子，把用a表示的P（x0，y0）代入抛物线解析式，可得a的值．
【解答】解：∵y＝ax2+2ax+1＝a（x2+2x+1）+1﹣a＝a（x+1）2+1﹣a，
∴m＝﹣1，k＝1﹣a，
∵抛物线y＝ax2+2ax+1（a＞0）的“相对深度”为6，
∴y0﹣k＝6，
∴y0＝6+k＝6+1﹣a＝7﹣a，
∵2，
∴x0﹣m＝3，
∴x0＝m+3＝﹣1+3＝2，
∴P（2，7﹣a）
∴7﹣a＝a（2+1）2+1﹣a，
解得：a，
故答案为：．
16．如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M、N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为E，F，且点F在平行四边形内部，MF的延长线交BC于点G．EF交边BC于点H．AB＝6，∠B＝45°，，当点H为NG三等分点时，MD的长为 　64或3　 ．
【分析】根据点H为GN三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明∠GMN＝∠MNG，得到MG＝NG，证明△FGH∽△ENH，求出FG的长，过点G作GP⊥AD于点P，过点D作DT⊥BC交BC延长线于点T，得矩形PGTD，则PG＝DT，DP＝CT，设MD＝MF＝x，根据勾股定理列方程求出x即可．
【解答】解：当HNGN时，GH＝2HN，
∵将平行四边形纸片ABCD折叠，折痕为MN，
∴MF＝MD，CN＝EN＝2，∠E＝∠C＝135°，∠D＝∠MFE＝45°，∠DMN＝∠GMN，AD∥BC，
∴∠GFH＝135°，∠DMN＝∠MNG，
∴∠GMN＝∠MNG，
∴MG＝NG，
∵∠GFH＝∠E＝135°，∠FHG＝∠EHN，
∴△FGH∽△ENH，
∴2，
∴FG＝2EN＝4，
如图，过点G作GP⊥DA交DA延长线于点P，过点D作DT⊥BC交BC延长线于点T，
得矩形PGTD，
则PG＝DT，DP＝CT，
设MD＝MF＝x，
则MG＝GN＝x+4，
∴CG＝x+6，
∵AB＝CD＝6，
∴CT＝DTCD＝3，
∴GT＝GC+CT＝x+9，
∴PD＝x+9，
∴PM＝PD﹣DM＝x+9x＝9，
在Rt△PGM中，PG＝DT＝3，
根据勾股定理得：GP2+PM2＝MG2，
∴（3）2+（9）2＝（x+4）2，
解得：x1＝64，x2＝﹣64（舍去），
∴MD＝64；
当GHGN时，HN＝2GH，
∵△FGH∽△ENH，
∴，
∴FGEN，
∴MG＝GN＝x，
∴CG＝GN+CN＝x+3，
∴PD＝GT＝GC+CT＝x+6，
∴PM＝PD﹣DM＝6，
∵GP2+PM2＝MG2，
∴（3）2+（6）2＝（x）2，
解得：x＝±3（负值舍去），
∴MD＝3，
故答案为：64或3．
三．解答题（共11小题）
17．计算：．
【分析】利用零指数幂，负整数指数幂，算术平方根的定义，绝对值的性质计算即可．
【解答】解：原式＝2﹣3﹣1+1＝﹣1．
18．解不等式组，把解表示在数轴上，并求出不等式组的整数解．
【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤求出不等式组的解集，然后把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解即可．
【解答】解：，
由①得：x≥﹣1，
由②得：3x﹣3＜x+2，
3x﹣x＜3+2，
2x＜5，
，
∴不等式组的解集为：，
不等式组的解集表示在数轴上为：
∴不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2．
19．已知关于x，y的方程组．
（1）请写出方程x+3y＝7的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足2x﹣3y＝2，求m的值；
（3）如果方程组有正整数解，求整数m的值．
【分析】（1）求出x＝7﹣3y＞0，求出y，求出整数y，再求出方程的正整数解即可；
（2）求出的解，把代入x﹣3y+mx+3＝0得出3﹣4+3m+3＝0，再求出m即可；
（3）把（1）中求出的x、y的值代入②，即可求出m．
【解答】解：（1）x+3y＝7，
x＝7﹣3y，
∵x、y为正整数，
∴7﹣3y＞0，
∴y，
∴y只能为1和2，
当y＝1时，x＝4；
等y＝2时，x＝1，
所以方程x+3y＝7的所有正整数解是，；
（2），
∵方程组的解满足2x﹣3y＝2，
∴得出方程组，
解方程组得：，
把代入x﹣3y+mx+3＝0，得3﹣4+3m+3＝0，
解得：m；
（3），
把代入②，得4﹣3+4m+3＝0，
解得：m＝﹣1，
把代入②，得1﹣6+m+3＝0，
解得：m＝2，
即m＝2或﹣1．
20．如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于点E，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADE＝∠F，∠A＝∠ECF，再利用“AAS”证明即可；
（2）由（1）可得，△ADE≌△CFE，即可得AD＝CF＝4，即可求解．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADE＝∠F，∠A＝∠ECF，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
（2）解：由（1）可得，△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．
21．某班以小组为单位开展知识竞赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
有甲、乙两组同学，每组各8人，按照1﹣8号进行编号，他们的成绩统计图如下：
小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7.625 a 7 4.48 37.5%
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝　7.5　 ，b＝　7　 ，c＝　25%　 ；
（2）根据所学的统计知识，请你利用数据，从不同角度对甲、乙两组的成绩进行比较与评价．
【分析】（1）根据中位数、众数、优秀率的定义即可求解；
（2）从优秀率、中位数和方差等角度进行分析即可．
【解答】解：（1）将甲组的成绩从小到大顺序排列，中位数为第4位和第5位的平均数，
∴，
乙组的成绩出现次数最多的是（7分），共5次，
∴b＝7，
乙组的成绩（9分）及以上有2人，
∴优秀率，
故答案为：7.5；7；25%；
（2）①甲组成绩的优秀率为37.5%，乙组成绩的优秀率为25%，
∴从优秀率的角度来看，甲组的成绩比乙组的成绩好；
②甲组成绩的中位数为7.5，乙组成绩的中位数为7，
∴从中位数的角度来看，甲组的成绩比乙组的成绩好；
③甲组成绩的方差为4.48，乙组成绩的方差为0.73，
∴从方差的角度来看，乙组的成绩比甲组的成绩更稳定．
22．中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．
（1）从中随机抽取1张，抽到“孟子”书签的概率是 　　 ；
（2）从中随机一次性抽取2张，用列表法或树状图法，求随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“孟子”书签的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“孟子”书签的结果有1种，
∴抽到“孟子”书签的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的结果有：（B，C），（C，B），共2种，
∴随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率为．
23．如图1，公园草坪上安置了某款自动感应遮阳伞，其侧面示意图如图2所示．该遮阳伞由支架（AB）、悬托架（AE）、伞面（DF）和感应器组成．支架AB垂直于地面BC，伞沿的支点D在AB上滑动．悬托架支点E在DF上．感应器根据太阳光线的角度自动调整伞面与悬托架之间的角度（即∠AED的大小）使得伞面DF与太阳光线始终保持垂直，从而达到最佳遮阳效果．已知AB＝2.5米，AE＝DE＝0.5米，且DF＝4DE．
（1）某天下午15点时太阳光线与地面的夹角α＝45°，此时伞沿支点D离地面多高？（结果精确到0.1米）
（2）如图3，一把铁椅固定在离支架5米处的点Q，小明坐在铁椅上的高度（头顶到地面的距离）为1米．若当天16点时太阳光线与地面的夹角α＝30°，请判断此时小明的头部是否会被太阳光照射到？（参考数据：
【分析】（1）过点G作GM⊥FH于M，由△GHM是等腰直角三角形，可得GM＝DF，再由△BDG是等腰直角三角形，可得∠BDG＝45°，再利用等腰三角形性质即可；
（2）过点E作EP⊥AB于P，过点Q作QN⊥BC交FH于N，解直角三角形即可求得答案．
【解答】解：（1）如图2，过点G作GM⊥FH于M，
∵α＝45°，
∴△GHM是等腰直角三角形，
∴GM＝DF，
∵∠DFH+∠FDG＝90°+90°＝180°，
∴DG∥FH，
∴∠BGD＝∠FHG＝45°，
∵∠B＝90°，
∴△BDG是等腰直角三角形，
∴∠BDG＝45°，
∴∠ADE＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∵AE＝DE＝0.5米，且DF＝4DE，
∴DF＝2米，∠A＝∠ADE＝45°，
∴∠AED＝90°，
∴ADAE（米），
∵AB＝2.5米，
∴BD＝AB﹣AD＝2.52.5﹣0.705＝1.795≈1.8（米），
答：此时伞沿支点D离地面1.8米．
（2）如图3，过点E作EP⊥AB于P，过点Q作QN⊥BC交FH于N，
∵∠FDG＝∠F＝∠GKF＝90°，
∴GK＝DF＝2米，
在Rt△GHK中，∠GHK＝α＝30°，
∴GH＝2GK＝4（米），
∵DG∥FH，
∴∠DGB＝∠GHK＝30°，
∵∠DGB+∠BDG＝90°，∠ADE+∠BDG＝90°，
∴∠ADE＝∠DGB＝30°，
在Rt△DEP中，DP＝DE cos∠ADE＝0.5cos30°＝0.50.4325（米），
∵AE＝DE，EP⊥AD，
∴AD＝2DP＝0.865（米），
∴BD＝AB﹣AD＝2.5﹣0.865＝1.635（米），
∴BG＝BD tan∠BDG＝1.635×tan60°≈2.829（米），
∵BQ＝5米，
∴HQ＝BG+GH﹣BQ＝2.829+4﹣5＝1.829（米），
∴NQ＝HQ tanα＝1.829×tan30°＝1.8291.055（米），
∵1.055＞1，
∴此时小明的头部不会被太阳光照射到．
24．在图中，A，B两点在反比例函数的图象上，AB过点O，△ABC是等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）图1中，作AE⊥BC，垂足为点E；
（2）图2中，点D为AC的中点，在x轴上作出点F，使四边形ADBF为矩形；
（3）图3中，在第二象限内作出点G，使四边形ACBG为菱形．
【分析】（1）连接OC、BD交于H，连接AH并延长交BC于E，点E即为所求；
（2）连接并延长BD交反比例函数y的图象于G，连接并延长GO交反比例函数y的图象于M，连接AM交x轴于F，则点F即为所求；
（3）与（2）一样方法得到点G，则CO和GF的延长线相交于点G，则四边形ACBG为菱形．
【解答】解：（1）如图：
连接OC、BD交于H，连接AH并延长交BC于E，点E即为所求；
（2）如图：
连接并延长BD交反比例函数y的图象于G，连接并延长GO交反比例函数y的图象于M，连接AM交x轴于F，则点F即为所求；
（3）如图：
与（2）一样方法得到点G，则CO和GF的延长线相交于点G，则四边形ACBG为菱形．
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD边上一点，连接AC，AE，AC＝AE，作△ACE的外接圆⊙O交BC于点F，AB与⊙O相切于点A．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连接AF，求证：AF BC＝AE CD；
（3）若，BF＝3，，则⊙O的半径为 　　 ．
【分析】（1）连接AO，并延长交⊙O于点G，连接GE，GC，证明Rt△ACG≌Rt△AEG（HL），证明AG⊥CE，再由切线的性质可得OA⊥AB，从而证得AB∥CD，即可判断四边形ABCD是平行四边形；
（2）证明△ABF∽△ADC，根据相似三角形的性质可得结论；
（3）分别计算AD＝4，，，设⊙O的半径为r，连接OE，则AO＝OE＝r，在Rt△OME中，根据勾股定理列方程求出，从而得出结论．
【解答】（1）证明：连接AO，并延长交⊙O于点G，连接GE，GC，如图，
∴∠ACG＝∠AEG＝90°，
∵AC＝AE，AG＝AG，
∴Rt△ACG≌Rt△AEG（HL），
∴∠CAG＝∠EAG，
∵AC＝AE，
∴AG⊥CE，
∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴AB∥CD，
又AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）证明，由（1）知，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABF＝∠ADC，
又∠AFB＝180°﹣∠AFC，
在四边形AFCE中，∠AEC＝∠180﹣∠AFC，
∴∠AFB＝∠AEC，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AFB，
∴∠AFB＝∠ACE，
即∠AFB＝∠ACD，
∵∠ABF＝∠ADC，
∴△ABF∽△ADC，
∴，
又AC＝AE，AB＝CD，AD＝BC，
∴，
∴AF BC＝AE CD；
（3）解：设AG与CE交于点M，
由（1）知，AM垂直平分CE，
由（2）知△ABF∽△ADC，
∴，
∴AD BF＝AB DC，
∵，BF＝3，
∴，
∴AD＝4，
又∠B＝∠D，
∴在Rt△AMD中，，
∴，
∴，
设⊙O的半径为r，连接OE，则AO＝OE＝r，
∴，
又，
在Rt△OME中，OM2+ME2＝OE2，
∴，
解得，，
故答案为：．
26．【概念学习】
对于平面直角坐标系xOy中的图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作d（T，W）．例如，如图①，点P（1，2）与x轴之间的“关联距离”d（P，x轴）＝2．
【理解概念】
（1）如图②，已知点P（1，2）在边长为3的正方形OABC内，则d（P，正方形OABC）＝　1　 ．
【深入探索】
（2）如图③，在等边△ABC中，点A的坐标是（0，3），点B，C在x轴上，点Q是y轴上一点，若d（Q，△ABC）＝1，求点Q的坐标．
【拓展延伸】
（3）已知D（m，﹣2），E（m+2，﹣4），当﹣5≤m≤2时，对于每一个m，若线段DE和一次函数y＝kx﹣k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣k）＞0，则k的取值范围是 　k且k≠0　 ．
【分析】（1）根据“关联距离”的定义得：d（P，正方形OABC）＝1；
（2）分三种情况画出图形：当Q在A上方时，Q的坐标是（0，4）；当Q在线段OA上时，过Q作QH⊥AC于H，可得AQ＝2QH＝2，Q（0，1）；当Q在BC下方时，Q（0，﹣1）；
（3）求出直线y＝kx﹣k过定点（1，0），当m＝﹣5时，D（﹣5，﹣2），E（﹣3，﹣4），当m＝2时，D'（2，﹣2），E'（4，﹣4），直线y＝kx﹣k过D（﹣5，﹣2）时﹣2＝﹣5k﹣k，k，把E'（4，﹣4）代入y＝kx﹣k得k，根据线段DE和一次函数y＝kx﹣k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣k）＞0，可得直线y＝kx﹣k与平行四边形DEE'D'无公共点，画出图形可得答案．
【解答】解：（1）∵P（1，2）与边长为3的正方形OABC的边上的点的最小距离为1，
∴根据“关联距离”的定义得：d（P，正方形OABC）＝1，
故答案为：1；
（2）当Q在A上方时，如图：
∵d（Q，△ABC）＝1，
∴AQ＝1，
∵A的坐标是（0，3），
∴Q的坐标是（0，4）；
当Q在线段OA上时，过Q作QH⊥AC于H，如图：
∵d（Q，△ABC）＝1，
∴QH＝1，
∵△ABC是等边三角形，OA⊥BC，
∴∠QAH＝30°，
∴AQ＝2QH＝2，
∵A的坐标是（0，3），
∴OQ＝1，
∴Q（0，1）；
当Q在BC下方时，如图：
∵d（Q，△ABC）＝1，
∴OQ＝1，
∴Q（0，﹣1）；
综上所述，Q的坐标为（0，4）或（0，1）或（0，﹣1）；
（3）如图：
当x＝1时，y＝k×1﹣k＝0，
∴直线y＝kx﹣k过定点（1，0），
当m＝﹣5时，D（﹣5，﹣2），E（﹣3，﹣4），
当m＝2时，D'（2，﹣2），E'（4，﹣4），
把D（﹣5，﹣2）代入y＝kx﹣k得：﹣2＝﹣5k﹣k，
解得k，
把E'（4，﹣4）代入y＝kx﹣k得：﹣4＝4k﹣k，
解得k，
∵线段DE和一次函数y＝kx﹣k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣k）＞0，
∴直线y＝kx﹣k与平行四边形DEE'D'无公共点，
由图可知，此时k且k≠0．
故答案为：k且k≠0．
27．“求索”兴趣小组对函数图象的翻折变换进行了讨论，请你完成下列相关问题．
（1）思源同学提出从最简单的一次函数图象开始：如图1，y＝﹣2x+6的图象与x轴、y轴交于点A（3，0）、B（0，6），把直线AB沿y轴翻折交x轴于点C，可得OC＝OA，所以点C坐标为　（﹣3，0）　 ，由此可求得直线BC的表达式．
承宇同学提出新的思路：从点的变换考虑，任取直线y＝﹣2x+6上一点（m，﹣2m+6），沿y轴翻折得点（﹣m，﹣2m+6），则x＝﹣m，y＝﹣2m+6，即m＝﹣x，代入y＝﹣2m+6得翻折后所得直线的表达式为　y＝2x+6　 ．
（2）请你选用（1）中两位同学其中一种方法求二次函数y＝x2+x﹣1的图象沿直线x＝3翻折后所得图象的表达式．
（3）下列说法中正确的有　①③④　 （填序号）．
①将一次函数y＝kx的图象沿直线y＝x翻折得到直线的表达式为；②将反比例函数的图象沿直线x＝1翻折所得图象的表达式为；③将二次函数y＝ax2+bx+c的图象沿y轴翻折得到图象的表达式为y＝ax2﹣bx+c；④将函数y＝|x3﹣x2﹣1|的图象沿直线y＝3翻折得到图象的表达式为y＝﹣|x3﹣x2﹣1|+6．
（4）将抛物线y＝2x2+1沿直线y＝x翻折得到图象G，直线与图象G有两个公共点P1（m1，n1），P2（m2，n2），且|n1﹣n2|≤3，求b的取值范围．
【分析】（1）由A（3，0），OC＝OA，即得C（﹣3，0），由m＝﹣x，y＝﹣2m+6，可得y＝﹣2（﹣x）+6＝2x+6；
（2）任取二次函数y＝x2+x﹣1的图象上一点（m，m2+m﹣1），沿直线x＝3翻折得点（6﹣m，m2+m﹣1），故x＝6﹣m，y＝m2+m﹣1，即可得y＝（6﹣x）2+（6﹣x）﹣1＝x2﹣13x+41；
（3）设一次函数y＝kx的图象上一点为（m，km），点（m，km）沿直线y＝x翻折得到点（km，m），可得x＝km，y＝m，从而x＝ky，知y，判断①正确；同理判断②错误，③正确，④正确；
（4）任取二次函数y＝2x2+1的图象上一点（m，2m2+1），沿直线y＝x翻折得点（2m2+1，m），即可得图象G的表达式为x＝2y2+1，联立，可得x2+（4b﹣2）x+4b2+2＝0，由直线与图象G有两个公共点P1（m1，n1），P2（m2，n2），有Δ＞0，m1+m2＝2﹣4b，m1m2＝4b2+2，故（4b﹣2）2﹣4（4b2+2）＞0，解得b，又|n1﹣n2|≤3，可得|m1﹣m2|≤6，（m1﹣m2）2≤36，即（m1+m2）2﹣4m1m2≤36，得（2﹣4b）2﹣4（4b2+2）≤36，解得b；即知b的取值范围为b．
【解答】解：（1）∵A（3，0），OC＝OA，
∴C（﹣3，0），
∵m＝﹣x，y＝﹣2m+6，
∴y＝﹣2（﹣x）+6＝2x+6；
故答案为：（﹣3，0），y＝2x+6；
（2）任取二次函数y＝x2+x﹣1的图象上一点（m，m2+m﹣1），沿直线x＝3翻折得点（6﹣m，m2+m﹣1），
∴x＝6﹣m，y＝m2+m﹣1，
∴m＝6﹣x，
∴y＝（6﹣x）2+（6﹣x）﹣1＝x2﹣13x+41；
∴二次函数y＝x2+x﹣1的图象沿直线x＝3翻折后所得图象的表达式为y＝x2﹣13x+41；
（3）①设一次函数y＝kx的图象上一点为（m，km），
点（m，km）沿直线y＝x翻折得到点（km，m），
∴x＝km，y＝m，
∴x＝ky，
∴y，故①正确；
②设反比例函数的图象上一点为（m，），
点（m，）沿直线x＝1翻折得到点（2﹣m，），
∴x＝2﹣m，y，
∴m＝2﹣x，
∴y，故②错误；
③设二次函数y＝ax2+bx+c的图象上一点为（m，am2+bm+c），
点（m，am2+bm+c）沿y轴翻折得到点（﹣m，am2+bm+c），
∴x＝﹣m，y＝am2+bm+c，
∴m＝﹣x，
∴y＝a（﹣x）2+b（﹣x）+c＝ax2﹣bx+c，故③正确；
④设函数y＝|x3﹣x2﹣1|的图象上一点为（m，|m3﹣m2﹣1|），
点（m，|m3﹣m2﹣1|）沿直线y＝3翻折得到点（m，6﹣|m3﹣m2﹣1|），
∴x＝m，y＝6﹣|m3﹣m2﹣1|，
∴y＝﹣|x3﹣x2﹣1|+6，故④正确；
∴正确的有①③④，
故答案为：①③④；
（4）任取二次函数y＝2x2+1的图象上一点（m，2m2+1），沿直线y＝x翻折得点（2m2+1，m），
∴x＝2m2+1，y＝m，
将m＝y代入得x＝2y2+1，
∴图象G的表达式为x＝2y2+1，
联立，
∴x＝2（x+b）2+1，
整理得x2+（4b﹣2）x+4b2+2＝0
∵直线与图象G有两个公共点P1（m1，n1），P2（m2，n2），
∴Δ＞0，m1+m2＝2﹣4b，m1m2＝4b2+2，
∴（4b﹣2）2﹣4（4b2+2）＞0，
解得b，
∵|n1﹣n2|≤3，
∴|m1+b﹣（m2+b）|≤3，
∴|m1﹣m2|≤6，
∴（m1﹣m2）2≤36，
∴（m1+m2）2﹣4m1m2≤36，
∵m1+m2＝2﹣4b，m1m2＝4b2+2，
∴（2﹣4b）2﹣4（4b2+2）≤36，
解得b；
∴b的取值范围为b．
第1页（共8页）

展开更多......

收起↑