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函数导数小题巅峰巨制
【类型一】单调性与奇偶性
1. (四川省眉山市彭山区第一中学 2022-2023 学年高三上学期期中数学试题) 下列函数中, 既是奇函数又为增函数的是 ( )
A. B.
C. D.
2. (山西大学附属中学 2024 届高三上学期 9 月模块诊断数学试题) 下列函数 中,满足 “对任意的 , 当 时,总有 ”的是 ( )
A. B. C. D.
3. 若函数 在 上是减函数,则实数 的取值范围为 ( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.
4. (2023 年新课标全国I卷数学真题) 设函数 在区间(0,1)上单调递减,则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5. 若函数 在区间 是增函数,则 的取值范围是_____.
6. 已知函数 在 内单调递减,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. (2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学 (新课标 3 卷) 设函数 则满足
的 的取值范围是_____.
8. 下列函数中为偶函数的是
A. B. C. D.
9. 下列函数是奇函数的是
A. B. C. D.
10. (多) (黑龙江省哈尔滨市第五中学校 2022-2023 学年高三下学期开学检测数学试题) 设函数 的定义域都为 ,且 是奇函数, 是偶函数,则下列结论正确的是 ( )
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是偶函数
11. 若函数 为奇函数,则 ( )
A. B. C. D. 1
12. (广东实验中学附属天河学校 2021-2022 学年高三上学期期中数学试题) 已知函数 ,若 是偶函数,记 ,若函数 是奇函数,记 ,则 的值为 ( )
A.-3 B. 0 或 4 C. 1 D. 2 或 5
13. (海南省海口市海南中学 2024 届高三上学期第四次月考数学试题) 若 是奇函数,则 和 的值分别为( )
A. B. C. D.
14. (2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学 (新课标I) 若函数 为偶函数,则 _____.
15. 已知 是奇函数,且当 时, . 若 ,则 ( )
A. 2 B. -2 C. -3 D. 3
16. (2019 年全国统一高考数学试卷 (文科) (新课标II) 设 为奇函数,且当 时, ,则当 时,
A. B.
C. D.
17. (2018 年全国卷III文数高考试题) 已知函数 ,则 _____.
18(2012 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(课标卷)设函数 的最大值为 ,最小值为 ,则 _____.
19. (2020 年全国统一高考数学试卷 (理科) (新课标II) 设函数 ,则 ( )
A. 是偶函数,且在 单调递增 B. 是奇函数,且在 单调递减
C. 是偶函数,且在 单调递增 D. 是奇函数,且在 单调递减
20. 已知函数 ,设 ,则
A. B. C. D.
21. 已知奇函数 在 上是增函数, . 若 ,则 的大小关系为 ( )
A. B. C. D.
22. 设函数 ,则不等式 的解集为
A. B. C. D.
23. (辽宁省大连市第二十四中学 2023-2024 学年高三上学期期末考试数学试卷) 已知函数 是定义在 的奇函数,且 在 上单调递增,若 ,则实数 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
24. (多)(湖北省武汉市江汉区 2024 届高三上学期 7 月模拟)已知函数 ,若不等式 对任意 恒成立,则实数 的取值可能是 ( )
A. -4 B. C. D.
25. (湖北省七市 (州) 2023 届高三下学期 3 月联合统一调研测试数学试题) 已知函数 ,若 成立,则实数 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
26. (江苏省镇江市丹阳市 2023-2024 学年高三上学期 10 月期中数学试题) 已知函数 ,若不等式 恒成立,则实数 的最大值为_____.
27. (2024 届大连模拟) 设函数 则满足 的 的取值范围是( )
A. B. C. D.
28. (广东省广州市 2023 届高三二模数学试题) 已知偶函数 与其导函数 的定义域均为 ,且 也是偶函数,若 ,则实数 的取值范围是 ( )
A. B.(0,2)
C. D.
【类型二】对称性与周期性
1. 若函数 的图象与函数 的图象关于坐标原点对称,则 的表达式为 ( )
A. B. C. D.
2. (2020 届辽宁省丹东市高三上学期期末教学质量监测数学(理)试题)下列函数中,其图象与函数 的图象关于点(1,0)对称的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列函数中,其图像与函数 的图像关于直线 对称的是
A. B. C. D.
4. (2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标I) 设函数 的图像与 的图像关于直线 对称,且 ,则
A. -1 B. 1 C. 2 D. 4
5. (2010 年普通高等学校招生全国统一考试 (重庆卷) 数学(理科)函数 的图象
A. 关于原点对称 B. 关于直线 对称 . 关于 轴对称 D. 关于 轴对称
6. (2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标 1 卷)已知函数 ,则
A. 在(0,2)单调递增 B. 在(0,2)单调递减
C. 的图像关于直线 对称 D. 的图像关于点(1,0)对称
7. 已知函数 满足 ,若函数 与 图像的交点为 , , ,则
A. 0 B. C. D.
8. 已知函数 满足 ,若函数 与 图像的交点为 ,则
A. 0 B. C. D.
9. (吉林省实验中学 2021-2022 学年高三上学期第一次诊断测试数学试题) 已知函数 ,定义域为 的函数 满足 ,若函数 与 图象的交点为 ,则 ( )
A. 0 B. 4 C. 8 D. 12
10. (江苏省苏州市部分高中 2024 届高三上学期 12 月联考数学试题) 已知函数 ,则直线 与 的图象的所有交点的横坐标之和为 ( )
A. 0 B. 8 C. 12 D. 16
11. (2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学 (湖南卷) 已知函数 与 图象上存在关于 轴对称的点,则 的取值范围是
A. B. C. D.
12. (福建省厦门第一中学 2024 届高三上学期数学第一次 (10 月) 月考数学试题) 已知函数 与 的图象上存在关于直线 对称的点,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
13. (辽宁省丹东市五校 2022-2023 学年高三上学期联考数学试题) 已知函数 的图象关于直线 对称,则 的最大值为_____.
14. (2027 年全国三卷) 已知函数 有唯一零点,则
A. B. C. D. 1
15. (2012 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学 (四川卷) 设函数 是公差为 的等差数列, ,则
A. 0 B. C. D.
16. (2021 届武汉九调) 已知函数 . 则( )
A. 当 时, 是 上的减函数
B. 当 时, 的最大值为
C. 可能有两个极值点
D. 若存在实数 ,使得 为奇函数,则
17. (福建省 2021 届普通高中学业水平合格性考试(会考)适应性练习数学试卷六试题)已知函数 的周期为 1, 且当 时, ,则 _____.
18. 设 是定义在 上的周期为 2 的函数,当 时, ,则 _____.
19. (重庆市部分学校 2022 届高三上学期 12 月考试数学试题) 已知 是定义在 上的周期为 4 的奇函数,当 时, . 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
20. (2008 年四川高考理科数学) 设定义在 上的函数 满足 ,若 ,则
A. 13 B. 2 C. D.
21. (2006 年普通高等学校招生全国统一考试安徽卷数学理科) 函数 对于任意实数 满足条件 , 若 ,则 _____.
22. (2012 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(山东卷)定义在 上的函数 满足 ,当 时, ,当 时, ,则
A. 335 B. 338 C. 1678 D. 2012
23. (2019 年全国统一高考数学试卷 (理科) (新课标II)) 设函数 的定义域为 ,满足 ,且当 时, . 若对任意 ,都有 ,则 的取值范围是
A. B.
C. D.
24. (四川省达州市 2021-2022 届高三上学期第一次诊断性测试理科数学试题) 已知定义在 上的函数 满足 ,当 时, . 设 在 上最小值为 ,若
恒成立,则 最小值为_____.
【类型三】抽象函数
1. (单) (2021 年全国新高考 II 卷数学试题) 已知函数 的定义域为 为偶函数, 为奇函数, 则( )
A. B. C. D.
2. (单) (2021 年全国高考甲卷数学(理)试题)设函数 的定义域为 为奇函数, 为偶函数, 当 时, . 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. (广东省汕头市潮阳区 2023 届高三三模数学试题) 设函数 定义域为 , 为奇函数, 为偶函数, 当 时, ,则下列结论正确的是( )
A.
B. 在(6,8)上是减函数
C. 为奇函数
D. 方程 仅有 6 个实数解
4. (重庆市第一中学校 2023-2024 学年高三下学期 2 月开学考试数学试卷) 已知定义在 上的函数 是奇函数, 是偶函数,当 ,则下列说法中正确的有 ( )
A. 函数 的最小正周期为 4
B. 函数 关于点(1,0)对称
C.
D. 函数 有 8 个不同零点
5. (单) (2022 年全国新高考 II 卷数学试题) 已知函数 的定义域为 ,且 , 则 ( )
A.-3 B. -2 C. 0 D. 1 6. (江苏省张家港市 2023-2024 学年高三下学期 2 月阶段性调研测试数学试卷) 已知函数 满足 ,且 ,则( )
A.
B.
C. 函数 为奇函数
D.
7. (江苏省南通市海安市 2022-2023 学年高三上学期期初学业质量监测数学试题) 设定义在 上的函数 满足 ,且 ,则下列说法正确的是( )
A. 为奇函数
B. 的解析式唯一
C. 若 是周期为 的函数,则
D. 若 时, ,则 是 上的增函数
8. (山东省菏泽第一中学人民路校区 2024 届高三下学期 3 月月考数学试题) 已知函数 的定义域为 ,且 为偶函数,则 ( )
A. B. 为奇函数
C. D.
9. (山东省日照市 2023-2024 学年高三上学期开学校际联考数学试题) 已知函数 的定义域为 ,且 为偶函数,则 ( )
A. 为偶函数 B.
C. D.
10. (单) (2022 年全国高考乙卷数学(理)试题)已知函数 的定义域均为 ,且
. 若 的图像关于直线 对称, ,则 ( )
A. -21 B. -22 C. -23 D. -24
11. (四川省绵阳市 2024 届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题) 已知函数 的定义域为 ,且 ,若 为奇函数, ,则 _____.
12. (吉林省东北师范大学附属中学 2022-2023 学年高三上学期第三次摸底考试数学试题) 已知函数 与 的定义域均为 ,且 ,若 为偶函数,则 ( )
A. 函数 的图象关于直线 对称 B.
C. 函数 的图象关于点(1,2)对称 D.
13. (江苏省南通市 2024 届高三第二次调研测试数学试题) 已知函数 的定义域均为 的图象关于点(2,0)对称, ,则( )
A. 为偶函数 B. 为偶函数 C. D.
14. (2024 届数学新高考学科基地秘卷 (七)) 设 都是定义在 上的奇函数,且 为单调函数, , 若对任意 有 ( 为常数), ,则( )
A. B.
C. 为周期函数 D.
15. (2022 年全国新高考 I 卷数学试题) 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ,记 ,若 , 均为偶函数,则 ( )
A. B. C. D.
16. (山东省潍坊市 2024 届高三一模数学试题) 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ,记 ,且 ,则 ( )
A. B. 的图象关于点(0,1)对称
C. D.
17. (湖北省武汉市 2024 届高三下学期四月调考数学试卷) 定义在 上的函数 与 的导函数分别为 和 ,若 ,且 ,则下列说法中一定正确的是 ( )
A. 为偶函数 B. 为奇函数
C. 函数 是周期函数 D.
18. (湖南省长沙市第一中学 2022-2023 学年高三上学期月考(二)数学试题)设定义在 上的函数 与 的导函数分别为 和 ,若 ,且 为奇函数,则下列说法中一定正确的是 ( )
A. 函数 的图象关于 对称 B.
C. D.
19. (单) 已知函数 的定义域为 ,且满足下列三个条件: ①对任意的 ,都有 恒成立; ② ; ③ 是偶函数. 若 ,则 的大小关系正确的是
A. B. C. D.
20. (四川省成都市 2021 届高三第二次诊断性检测数学 (理科) 试题) 已知定义在 上的函数 满足 ,
且对任意的 ,当 时,都有 成立. 若 ,
,则 的大小关系为_____. (用符号“ ”连接)
【类型四】比大小
1. (2021 年全国新高考 II 卷数学试题) 已知 ,则下列判断正确的是 ( )
A. B. C. D.
2. (2018 年全国卷III理数高考试题) 设 ,则
A. B.
C. D.
3. (2020 年全国统一高考数学试卷 (理科) (新课标III)) 已知 . 设 ,则( )
A. B. C. D.
4.(2021 年全国高考乙卷数学(理)试题)设 . 则( )
A. B. C. D.
5. (2022 年全国高考甲卷数学 (理) 试题) 已知 ,则( )
A. B. C. D.
6. (2022 年全国新高考 I 卷数学试题) 设 ,则( )
A. B. C. D.
7. (2020 年全国统一高考数学试卷 (文科) (新课标II)) 若 ,则( )
B. C. D.
8. (2017 年全国一卷) 设 为正数,且 ,则有( )
A. B.
C. D.
9. (2022 年全国高考甲卷数学 (文) 试题) 已知 ,则( )
A. B. C. D.
10. (广东省广州市 2024 届普通高中毕业班综合测试(一)数学试卷)已知 ,则( )
A. B. C. D.
11. (2021 年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学) 已知 且 且 且 , 则( )
A. B. C. D.
12. (湖北省部分重点中学 2021-2022 学年高三上学期期中第一次联考数学试题) 已知 ,
则( )
A. B. C. D.
13. (湖南省邵阳市 2024 届高三第一次联考数学试题) 设 ,则 的大小关系为( )
A. B.
C. D.
14. (山西省部分学校 2024 届高三下学期 3 月月考数学试题) 已知 是自然对数的底数, ,
则( )
A. B. C. D.
15. (湖南省邵阳市 2024 届高三第一次联考数学试题) 已知 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
16. (多) (湖北省武汉市部分学校 2023-2024 学年高三上学期九月调研考试数学试题) 已知实数 满足 , 则( )
A. B. C. D.
17. (多) (河南省 TOP 二十名校 2023-2024 学年高三上学期 9 月调研考试数学试题) 已知 且 ,则 ( ) A. B. C. D.
18. (江苏省南京市第一中学 2022 届高三下学期三模考前自主练习数学试题) 已知 , ,则 ( )
A. B. C. D.
19. (多)(广东省广州市 2023 届高三一模数学试题)已知 ,则( )
A. B.
C. D.
20. (多)(江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023 届高三二模数学试题)已知 ,
则( )
A. B.
C. D.
21. (多) (陕西省西安市长安区第一中学 2021-2022 学年高二下学期期末理科数学试题) 已知 ,且 ,其中 为自然对数的底数,则下列选项中一定成立的是 ( )
A. B. C. D.
22. (河南省名校联盟 2020-2021 学年高二下学期六月联考理科数学试题) 已知实数 满足 ,
,则 的大小关系是 ( )
A. B.
C. D.
【类型五】分段函数
1. (2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(山东卷)设函数 ,若 ,则
A. 1 B. C. D.
2. (2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(浙江卷)已知函数 ,则 _____, 的最小值是_____.
3. 已知函数 若关于 的方程 有两个不同的实根,则实数 的取值范围是_____.
4. (2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学 (新课标 I 卷)) 已知函数 . 若 存在 2 个零点,则 的取值范围是
A. B. C. D.
5. (2024 届广东省实验中学月考) 已知函数 ,若函数 有三个不同的零点 ,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D. 6. (2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学 (北京卷) 设函数 ①若 ,则 的最小值_____； ②若 恰有 2 个零点,则实数 的取值范围是_____.
7. (2020 年天津市高考数学试卷) 已知函数 若函数 恰有 4 个零点, 则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数 . 设 ,若关于 的不等式 在 上恒成立,则 的取值范围是
A. B.
C. D.
9. 已知函数 ,若 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
10. (2018 年全国普通高等学校招生统一考试数学(浙江卷)) 已知 ,函数 ,当 时,不等式 的解集是_____. 若函数 恰有 2 个零点,则 的取值范围是_____.
11. (2022 年北京市高考数学试题) 设函数 若 存在最小值,则 的一个取值为_____; 的最大值为_____.
12. 已知函数 其存在实数 b,使得关于 x 的方程 有三个不同的根, 则 的取值范围是_____.
13. 已知函数 ,若 互不相等,且 ,则 的取值范围是( )
A. B. C.(10,12) D.
14. (多) (湖北省部分学校 2024 届高三上学期 8 月起点考试数学试题) 设函数 ,若 ,且 ,则 的值可以是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D.
15. (2024 年新课标全国I卷数学真题) 已知函数 在 上单调递增,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
16. (2010 年普通高等学校招生全国统一考试 (江苏卷) 数学试题) 已知函数 ,则满足不等式 的 的范围是_____
17. 设函数 ,则满足 的 的取值范围是 ( )
A. B. C.(-1,0) D.
18. (湖南省名校 2023 届普通高等学校招生全国统一考试考前演练一数学试题) 已知函数 然对数的底数),若存在 ,使得 ,则 的取值范围是( ) A. B. C. D.
19. (吉林省吉林市普通中学 2022-2023 学年高三第二次调研测试数学试题) 已知函数 ,点 、
是函数 图象上不同的两个点,则 ( 为坐标原点) 的取值范围是_____.
【类型六】复合函数零点问题
1.(2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(安徽卷)已知函数 有两个极值点 , 若 ,则关于 的方程 的不同实根个数为
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
2. (多) (湖北省八市 2024 届高三下学期 3 月联考数学试卷) 已知函数 存在两个极值点 ,且 . 设 的零点个数为 ,方程 的实根个数为 , 则( )
A. 当 时, B. 当 时,
C. 一定能被 3 整除 D. 的取值集合为
3. (2020 届江苏省镇江中学高三 (强化班) 上学期期中数学试题) 已知 恰有三个不同零点,则 的取值范围为_____.
4. (2022 年高考考前 20 天终极冲刺攻略(一)【理科数学】(5 月 18 日)】若关于 的方程 有三个不相等的实数解 ,且 ,其中 , 为自然对数的底数,则 的值为( )
A. 1 B. C. D.
5. (2024 湖南省模拟) 已知函数 ,则不等式 的解集是 ( )
A. B.
C.(0,2)D.
6. (多) (河南省南阳市 2024 届高三上学期期终质量评估数学试题) 设函数 ,若关于 的函数 恰好有 个零点,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则实数 的取值范围为
B. 若 ,则实数 的取值范围为(0,1)
C. 若 ,则实数 的取值范围为
D. 若 ,则实数 的取值范围为
7. (四川省成都市 2023 届高三第一次诊断性检测数学 (理科) 试题) 已知函数 . 有下列结论:
①若函数 有零点,则 的范围是 ；
②函数 的零点个数可能为0,2,3,4；
③若函数 有四个零点 ,则 ,且 ;
④若函数 有四个零点 ,且 成等差数列,则 为定值,且 .
其中所有正确结论的编号为_____.
8.(多)(湖北省武汉市部分学校 2023-2024 学年高三上学期九月调研考试数学试题)若函数 存在连续四个相邻且依次能构成等差数列的零点,则实数 的可能取值有 ( )
A. -2 B. C. 0 D.
9. (湖南省长沙市 2023 届高三上学期新高考适应性考试数学试题) 已知函数 ,若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根 ,且 ,则 的取值范围是_____.
【类型七】min max 绝对值 反函数
1. 表示 三个数中的最小值,设 ,则 的最大值为( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
2. (2024 年 1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试 (九省联考) 数学试题) 以 表示数集 中最大的数. 设 ,已知 或 ,则 的最小值为_____.
3. (广东省韶关市 2024 届高三综合测试(二)数学试题)定义 ,对于任意实数 ,则 的值是 ( )
A. B. C. D.
4.(2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(辽宁卷)已知函数
. 设
表示 中的较大值, 表示 中的较小值, 记 得最小值为 得最大值为 ,则
A. 16 B. -16 C. D.
5. (2023 年新高考天津数学高考真题) 设 ,函数 ,若 恰有两个零点,则 的取值范围为_____.
6. (浙江省温州市 2023 届高三下学期返校统一测试数学试题) 函数 在 上的值域为 ,
则 的值为_____.
7. (浙江省宁波市 2023-2024 学年高三上学期高考模拟考试数学试题) 已知函数 ,若不等式 在 上恒成立,则满足要求的有序数对(a, b)有( )
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 无数个
8. (广东省 2022 届高三上学期综合能力测试(二)数学试题) 已知函数 ,当 时, 恒成立,则 _____.
9. (湖北省武汉市 2019 届高三 4 月调研测试数学 (理) 试题) 已知函数 定义域为 ,记 的最大值为 ,则 的最小值为
A. 4 B. 3 C. 2 D.
10. (2012 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(课标卷)设点 在曲线 上,点 在曲线 上, 则 最小值为
A. B. C. D.
11. (安徽省合肥市 2024 届高三第一次教学质量检查数学试题) 已知点 ,定义
为 的“镜像距离”. 若点 在曲线 上,且 的最小值为 2,则实数 的值为_____.
12. (湖北省武汉市 2023 届高三下学期四月调研数学试题) 在同一平面直角坐标系中, 分别是函数
和 图象上的动点,若对任意 ,有 恒成立,则实数 的最大值为_____.
13. (多) (湖南省长沙市 2023 届高三上学期新高考适应性考试数学试题) 已知函数 与 相交于 两点, 与 相交于 两点,若 四点的横坐标分别为 ,且 ,则( )
A. B.
C. D.
14. (山东省淄博市 2024 届高三下学期一模考试数学试题) 设方程 的根分别为 ,函数 ,令 ,则 的大小关系为_____.
15. (多) (江苏省南通市 2022-2023 学年高三上学期第一次质量监测数学试题) 已知 分别是函数 和 的零点,则 ( )
A. B.
C. D.
【类型八】函数图像与科普
1. (福建省福州市 2024 届高三第三次质量检测数学试题) 函数 的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
2. (福建省南平市建阳区 2023-2024 学年高三预测绝密卷模拟预测数学试题) 函数 的部分图像大致为( )
A.
B.
C.
D.
3. (河北省保定市 2024 届高三下学期第二次模拟考试数学试题) 函数 的部分图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
4. (山东省实验中学 2024 届高三下学期第一次模拟考试数学试题) 函数 ,则 的部分图象大致形状是( )
A.
B.
C.
D.
5. (天津市八校 2023-2024 学年高三下学期联合模拟考试数学试题(二)) 已知函数 的部分图象如图所示,则 的解析式可能为 ( ).
A. B. C. D.
6. (多) (湖北省武汉市 2023 届高三下学期四月调研数学试题) 函数 的图像可能是 ( )
A.
B.
C.
D.
7. (陕西省 2024 届高三下学期 2 月大联考数学试题 (全国乙卷)) 已知函数 的部分图象如图所示,则 的解析式可能为 ( )
A. ] B. C. D.
8. (2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(安徽卷)函数 的图象如图所示,则下列结论成立的是
A.
B.
C.
D.
9. (多) 已知函数 的图象如图所示,则以下结论正确的是 ( )
A. B. C. D.
10. (周测 4 基本初等函数一轮周测卷) 新能源汽车主要指电动力汽车,其能量来源于蓄电池. 已知蓄电池的容量 (单位:A·h)、放电时间 (单位:h)、放电电流 (单位:A)三者之间满足关系 . 假设某款电动汽车的蓄电池容量为 ,正常行驶时放电电源为 ,那么该汽车能持续行驶的时间大约为(参考数据: ) ( )
A. B. C. D.
11. (2020 年新高考全国卷I数学高考试题 (山东)) 基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数. 基本再生数指一个感染者传染的平均人数, 世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间. 在新冠肺炎疫情初始阶段, 可以用指数模型: 描述累计感染病例数 随时间 (单位: 天)的变化规律,指数增长率 与 近似满足 . 有学者基于已有数据估计出 , . 据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为 (ln2≈0.69) ( )
A. 1.2 天 B. 1.8 天
C. 2.5 天 D. 3.5 天
12. (2024 届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷数学试题) 地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值, 里氏震级最早是由查尔斯·里克特提出的,其计算基于地震波的振幅,计算公式为 ,其中 表示某地地震的里氏震级, A 表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅, 表示这次地震中的标准地震振幅. 假设在一次地震中, 某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为 5000,且这次地震的标准地震振幅为 0.002 ,则该地这次地震的里氏震级约为( )(参考数据: )
A. 6.3 级 B. 6.4 级 C. 7.4 级 D. 7.6 级
13. (青海海西格尔木三校 2024 届高三第三次联考理科数学试题) 北京时间 2020 年 11 月 24 日 4 时 30 分, 中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭,成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道,发射取得圆满成功. 在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 和燃料的质量 、火箭(除燃料外)的质量 的函数关系是 . 按照这个规律,当 时,火箭的最大速度为 ; 当 时,火箭的最大速度为 . 则 (参考数据: ) ( )
A. B. C. D.
14. (内蒙古自治区兴安盟 2023-2024 学年高二下学期学业水平质量检测数学试题) 内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统. 已知过滤过程中废水的污染物浓度 (单位: ) 与时长 (单位: ) 的关系为 ( 为最初污染物浓度). 如果前 2h 消除了 20%的污染物,那么污染物消除至最初的 51.2%还需要( )
A. B. C. D.
15. (广东省茂名市高州市 2024 届高三第一次模拟考试数学试题) Gompertz 曲线用于预测生长曲线的回归预测,常见的应用有: 代谢预测,肿瘤生长预测,有限区域内生物种群数量预测,工业产品的市场预测等,其公式为: (其中 为参数). 某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况,发现 . 若 表示该新产品今年的年产量,估计明年 的产量将是今年的 倍,那么 的值为 ( 为自然数对数的底数) ( )
A. B. C. D.
【类型九】切线问题
1. (2024 年高考全国甲卷数学 (理) 真题) 设函数 ,则曲线 在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
2. (广东省茂名市 2023-2024 学年高三一模数学试题) 曲线 在点(0,1)处的切线与直线 平行,则 ( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3. (2021 年全国新高考I卷数学试题) 若过点(a, b)可以作曲线 的两条切线,则( )
A. B.
C. D.
4. (重庆市第八中学校 2024 届高三下学期高考适应性月考数学试卷(五))若过点(a, b)可以作曲线 的两条切线,
则( )
A. B. C. D.
5. (多) (湖北省武汉市部分学校 2022-2023 学年高三上学期九月调研考试数学试题) 已知函数 ,则过点(a, b)恰能作曲线 的两条切线的充分条件可以是( )
A. B.
C. D.
6. (湖北省十堰市 2023-2024 学年高三元月调研考试数学试题) 若直线 与曲线 相切,则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7. (江苏省南京市 2021 届高三下学期 5 月第三次模拟考试数学试题) 已知直线 与曲线 相切,则 的最大值为_____.
8. (2020 届河北省衡水中学高三第一次教学质量检测数学(理)试题)设直线 分别是函数 图象上点 处的切线, 与 垂直相交于点 ,且 分别与 轴相交于点 ,则 的面积的取值范围是
A.(0,1) B.(0,2) C. D.
9. (2021 年全国新高考 II 卷数学试题) 已知函数 ,函数 的图象在点 和点 的两条切线互相垂直,且分别交 轴于 两点,则 取值范围是_____.
10. (多) (广东省广州市 2024 届普通高中毕业班综合测试 (一) 数学试卷) 已知直线 与曲线 相交于不同两点 ,曲线 在点 处的切线与在点 处的切线相交于点 ,则( )
A. B. C. D.
11. (多) (江西省南昌市 2024 届高三第一次模拟测试数学试题) 已知直线 是曲线 上任一点 处的切线,直线 是曲线 上点 处的切线,则下列结论中正确的是 ( )
A. 当 时,
B. 存在 ,使得
C. 若 与 交于点 时,且三角形 为等边三角形,则
D. 若 与曲线 相切,切点为 ,则
12. (多)(江苏省南通市基地大联考 2023 届高三下学期 3 月重点热点诊断测试数学试题)已知 为坐标原点,曲线 在点 处的切线与曲线 相切于点 ,则( )
A. B.
C. 的最大值为 0 D. 当 时,
13. (江西省南昌市 2022 届高三第二次模拟测试卷数学 (理) 试题) 已知函数 ,若函数 的图象上存在两个点 ,满足 ,则 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
14. (中学生标准学术能力诊断性测试 2021-2022 学年高三上学期 11 月测试理科数学试题) 已知 满足 , 则 的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. D. 15. (四川省绵阳市绵阳中学 2024 届高三下学期 3 月月考数学试题) 实数 满足 , 的最小值是( )
A. 4 B. 0 C. 2 D. 10 16. (宁夏银川市第一中学 2023 届高三模拟数学 (理) 试题) 已知实数 满足 ,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
17. (云南省曲靖市 2024 届高三上学期第一次质量监测数学试题) 已知 ,若点 为曲线 与曲线 的交点,且两条曲线在点 处的切线重合,则实数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
18. (河北省沧州市 2023 届高三下学期调研性模拟数学试题) 若函数 的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称函数 具有 性质. 若函数 具有 性质, 其中 为实数,且满足 ,则实数 的取值范围是_____.
19. (浙江省杭州市 2023 届高三下学期教学质量检测 (二模) 数学试题) 已知函数 在点 处的切线方程为 ,若对任意 ,都有 成立,则 _____.
20. (多) (山东省百校大联考 2022-2023 学年高三上学期 12 月数学试题) 已知函数 ,数列 按照如下方式取定: ,曲线 在点 处的切线与经过点 与点 的直线平行,则( )
A. B. 恒成立 C. D. 数列 为单调数列
21. (2016 年全国二卷) 若直线 是曲线 的切线,也是曲线 的切线,则 _____.
22. (广东省深圳市 2023 届高三第一次调研数学试题) 已知函数 ,若总存在两条不同的直线与函数 图象均相切,则实数 的取值范围为 ( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(1, e)
23. (江苏省横林高级中学 2023-2024 学年高三下学期 3 月学情调研数学试卷) 若曲线 与曲线 存在公切线,则实数 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
【类型十】三次函数
1. (多) (2022 年全国新高考 I 卷数学试题) 已知函数 ,则( )
A. 有两个极值点 B. 有三个零点
C. 点(0,1)是曲线 的对称中心 D. 直线 是曲线 的切线
2. (多) (2024 年新课标全国II卷数学真题) 设函数 ,则( )
A. 当 时, 有三个零点
B. 当 时, 是 的极大值点
C. 存在 ,使得 为曲线 的对称轴
D. 存在 ,使得点 为曲线 的对称中心
3. (多) (2024 年新课标全国I卷数学真题) 设函数 ,则( )
A. 是 的极小值点 B. 当 时,
C. 当 时, D. 当 时,
4. (2021 年全国高考乙卷数学(文)试题)设 ,若 为函数 的极大值点,则( )
A. B. C. D.
5. (江西省南昌市 2022 届高三第一次模拟测试数学 (理) 试题) 已知函数 ,若不等式 的解集为 ,且 ,且 ,则函数 的极大值为 ( )
A. B. C. 0 D.
6.(多)(湖北省云新数高考联盟学校 2022-2023 学年高三下学期 3 月联考数学试题)已知函数 ,若 ,其中 ,则 ( )
A. B.
C. D. 的取值范围为(0,4) 7. (多) (重庆市南开中学校 2023-2024 学年高三下学期第七次质量检测数学试题) 已知三次函数 有三个不同的零点 ,函数 . 则 ( )
A.
B. 若 成等差数列,则
C. 若 恰有两个不同的零点 ,则
D. 若 有三个不同的零点 ,则
8.(多)(山东省枣庄市第八中学 2023-2024 学年高三下学期三月测试数学试卷)下列关于三次函数 叙述正确的是( )
A. 函数 的图象一定是中心对称图形
B. 函数 可能只有一个极值点
C. 当 时, 在 处的切线与函数 的图象有且仅有两个交点
D. 当 时,则过点 的切线可能有一条或者三条
9. (多) (浙江省杭州市长河高级中学 2021-2022 学年高三下学期期中数学试题) 若三次函数 有三个相异且成等差的零点,则 的可能取值为 ( )
A. 3 B. 1 C. D.
10. (2024 届山东省德州市第一中学高三三模数学试题) 已知函数 恰有两个零点 和一个极大值点 ,且 成等比数列,则 _____. 若 的解集为 ,则 的极大值为_____.
11. 已知三次函数 有三个零点 ,且在点 处切线的斜率为 ,则 _____.
12. (广东省深圳市 2024 届高三第一次调研考试数学试卷) 已知函数 ,设曲线 在点 处切线的斜率为 ,若 均不相等,且 ,则 的最小值为_____.
13. (2020 届湖北省武汉市武昌区高三下学期四月调研测试数学(理)试题)已知一个正方形的四个顶点都在函数 的图像上,则此正方形的面积为 ( )
A. 5 或 B. 5 或 10 C. 5 或 17 D. 10 或 17
14.(江苏省南通市如皋市 2021-2022 学年高二下学期教学质量调研(二)数学试题)已知三次函数 无极值,且满足 ,则 _____.
15. (四川省绵阳市 2023 届高三三模理科数学试题) 已知函数 的定义域为 ,且 为 与 中较大的数, 恒成立,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
【类型十一】同构
1. (2024 届广东省深圳市二模数学试题) 设函数 ,若存在 ,使得 , 则 的最小值为 ( )
A. B. 1 C. 2 D.
2. (四川省南充市 2022 届高考适应性考试(二诊)理科数学试题) 已知函数 ,若 ,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
3. (四川省成都市 2020-2021 学年高三上学期第一次诊断性检测数学 (文) 试题) 已知函数 , 若 ,则 的最小值为 ( ).
A. B. C. D. 4. (广西南宁市 2022 届高三高中毕业班第二次适应性测试数学 (理) 试题) 设大于 1 的两个实数 满足 , 则正整数 的最大值为 ( ).
A. 7 B. 9 C. 11 D. 12
5. (安徽省黄山市 2022 届高三下学期第二次质量检测理科数学试题) 不等式 在 上恒成立,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. (黑龙江省哈尔滨市第六中学校 2021-2022 学年高三下学期期末数学试题) 若对任意 ,不等式 恒成立,则实数 的最小值是 ( )
A. 1 B. 2 C. D. 3
7. (湖北省部分学校 2022 届高三下学期 5 月适应性考试数学试题) 对于任意实数 ,不等式 恒成立,则 的取值范围是_____.
8.(黑龙江省哈尔滨市第三中学校 2022-2023 学年高三下学期期末考试数学试题)已知函数 ,若关于 的不等式 恒成立,则实数 的取值范围是( )
A.(0,1) B. C. D.(0, e)
9. 已知不等式 对 恒成立,则实数 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
10. (2024 年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷(一))若存在正数 ,使得不等式 有解,则实数 的取值范围是_____.
11. (湖北省荆荆襄宜四地七校 2022-2023 学年高三下学期期中联考数学试题) 若存在正实数 ,使得不等式 成立 ( 是自然对数的底数),则 的最大值为 ( )
A. B. C. D.
12. (江西省九江市 2021 届高三高考数学 (理) 二模试题) 若不等式 恒成立,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
13. (多) (湖北省随州市第一中学、荆州市龙泉中学 2023 届高三下学期四月联考数学试题) 已知函数 , ,则下列说法正确的是 ( )
A. 在 上是增函数
B. ,不等式 恒成立,则正实数 的最小值为
C. 若 有两个零点 ,则
D. 若 ,且 ,则 的最大值为
14. (浙江省 Z20 名校联盟 (名校新高考研究联盟) 2024 届高三第二次联考数学试题) 已知函数 ,
,若关于 的不等式 有解,则 的最小值是_____.
15. (多) (重庆市南岸区 2022-2023 学年高二下学期期末数学试题) 已知直线 与曲线 相交于 两点,与 相交于 两点, 的横坐标分别为 ,则( )
A. B. C. D.
16. (多) (湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学 2022-2023 学年高三上学期期中数学试题) 函数 和 有相同的最大值 ,直线 与两曲线 和 恰好有三个交点,从左到右三个交点横坐标依次为 ,则下列说法正确的是 ( )
A. B. C. D.
【类型十二】构造原函数
1. (2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标II)设函数 是奇函数 的导函数, , 当 时, ,则使得 成立的 的取值范围是
A. B.
C. D.
2. (2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(福建卷)若定义在 上的函数 满足 ,其导函数 满足 ,则下列结论中一定错误的是 ( )
A. B.
C. D.
3. (多) (成都七中模拟) 定义在 上的函数 是它的导函数,且恒有 成立,则下列正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4. (湖南省益阳市 2024 届高三下学期 4 月教学质量检测数学试题) 已知 的定义域为 是 的导函数,且 ,则 的大小关系是 ( )
A. B.
C. D.
5. (2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学 (辽宁卷) 设函数 满足 ,则 时,
A. 有极大值, 无极小值 B. 有极小值, 无极大值
C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值
6. (多) (福建省南平市 2023 届高三第三次质量检测数学试题) 已知函数 满足 ,则 ( )
A.
B.
C. 若方程 有 5 个解,则
D. 若函数 有三个零点,则
7.(多)(T8(华师一附中、湖南师大附中等)2023 届高三上学期第一次学业质量评价数学试题)已知函数 及其导函数 的定义域均为 ,若 ,则下列结论正确的是 ( )
A.
B.
C. 方程 有两个解
D. 在区间 上单调递增
8. (多) (浙江省温州市普通高中 2024 届高三上学期第一次适应性考试数学试题) 定义在 上的函数 的导函数为 ,对于任意实数 ,都有 ,且满足 ,则 ( )
A. 函数 为奇函数
B. 不等式 的解集为
C. 若方程 有两个根 ,则
D. 在 处的切线方程为
【类型十三】难以单独分类的小题
1. (河南省郑州市 2024 届高三第二次质量预测数学试题) 已知不等式 对任意的实数 恒成立,则 的最大值为_____.
2. (湖南省永州市 2023 届高三三模数学试题) 已知函数 ,对于定义域内的任意 恒有 ,则 的最大值为 ( )
A. B. C. D.
3. (2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标I) 设函数 ,其中 ,若存在唯一的整数 ,使得 ,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
4. (江西省吉安市吉州区吉安一中 2023-2024 学年高三上学期期中数学试题) 设函数 (e = 2.718... 为自然对数的底数),若关于 的不等式 的正整数解有且只有两个,则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
5. 在关于 的不等式 (其中 为自然对数的底数) 的解集中,有且仅有两个大于 2 的整数,则实数 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
6. (吉林省 (东北师大附中, 长春十一高中, 吉林一中, 四平一中, 松原实验中学) 五校 2023 届高三上学期联合模拟考试数学试题)已知函数 在区间 上总存在零点,则 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
7. (湖北省七市州 2024 届高三下学期 3 月联合统一调研测试数学试题) 已知函数 有零点, 当 取最小值时, 的值为_____.
8. (2024 年新课标全国II卷数学真题) 设函数 ,若 ,则 的最小值为 ( )
A. B. C. D. 1
9. 已知函数 (其中 ),当 时 恒成立,则 的取值范围为_____.
10. (2024 届高三新高考改革数学适应性练习 (5) (九省联考题型)) 已知函数 有三个零点 , 其中 ,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
11. (四川省成都市第七中学 2024 届高三下学期三诊模拟考试理科数学试卷) 设函数 ,正实数 满足 ,若 ,则实数 的最大值为( )
A. B. 4 C. D.
12. (2012 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(湖南卷)已知两条直线 和 , 与函数 的图像从左至右相交于点 与函数 的图像从左至右相交于 . 记线段 和 在 轴上的投影长度分别为 ,当 变化时, 的最小值为
A. B. C. D.
13. (2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(四川卷)设函数 , 为自然对数的底数),若曲线 上存在点 使得 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
14. (山东省枣庄市 2023 届高三下学期第二次模拟考试数学试题) 已知 ,曲线 上存在点 ,使得 ,则 的范围是 ( )
A. B.
C. D.
15. (湖南省长沙市雅礼中学 2023 届高三下学期月考 (八) 数学试题) 若函数 只有一个极值点,
则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
16. (四川省成都市 2024 届高三一模数学(理)试题)若 恒成立,则实数 的最大值为 ( )
A. B. 2 C. 1 D.
17. 已知函数 时, ,则实数 的范围是_____.
18. (广东省 2024 届高三上学期元月期末统一调研测试数学试卷) 已知函数 且 ),
若 恒成立,则 的最小值为_____.
19. (2022 年全国高考乙卷数学 (理) 试题) 已知 和 分别是函数 的极小值点和极大值点. 若 ,则 的取值范围是_____.
20. (2023 年高考全国乙卷数学 (理) 真题) 设 ,若函数 在 上单调递增,则 的取值范围是_____.
【类型十四】函数导数综合
1. (海南省海口市 2022 届高三下学期学生学科能力诊断数学试题) 已知 ,圆 ,则( )
A. 存在 3 个不同的 ,使得圆 与 轴或 轴相切
B. 存在 2 个不同的 ,使得圆 在 轴和 轴上截得的线段相等
C. 存在 2 个不同的 ,使得圆 过坐标原点
D. 存在唯一的 ,使得圆 的面积被直线 平分
2. (广东省佛山市 2024 届高三教学质量检测 (一) 数学试题) 已知 有两个不同的极值点 ,则( )
A. B.
C. D.
3. (重庆市南开中学 2024 届高三上学期第一次质量检测数学试题) 已知实数 满足 ,函数
(e) 为自然对数的底数) 的极大值点和极小值点分别为 ,且 ,则下列说法正确的有 ( )
A. B.
C. D. 4. (浙江省温州市普通高中 2023 届高三下学期 3 月第二次适应性考试数学试题) 函数 , 则( )
A. ,使得 在 上递减
B. ,使得直线 为曲线 的切线
C. ,使得 既为 的极大值也为 的极小值
D. ,使得 在 上有两个零点 ,且
5. (福建省泉州市 2023 届高三毕业班质量监测 (二) 数学试题) 已知 是函数 的零点, 是函数 的零点,且 ,则下列说法正确的是 ( )
(参考数据: )
A.
B. 若 . 则
C. 存在实数 ,使得 成等比数列
D. 存在实数 ,使得 ,且 成等差数列
6. (湖北省武汉市 2024 届高中毕业班二月调研考试数学试题) 已知函数 恰有三个零点, 设其由小到大分别为 ,则( )
A. 实数 的取值范围是
B.
C. 函数 可能有四个零点
D.
7. (重庆市南开中学 2023 届高三第六次质量检测数学试题) 已知函数 ,下列说法正确的是 ( )
A. 定义域为 B.
C. 是偶函数 D. 在区间 上有唯一极大值点
8. (河北省保定市唐县第一中学 2023 届高三二模数学试题) 已知函数 ,则( )
A. 是 的周期
B. 的图象有对称中心,没有对称轴
C. 当 时,
D. 对任意 在 上单调
9. (湖北省武汉市 2023 届高三下学期二月调研数学试题) 已知函数 ,将 的所有极值点按照由小到大的顺序排列,得到数列 ,对于正整数 ,则下列说法中正确的有 ( )
A. B.
C. 为递减数列 D.
10. (单) (湖北省武汉市 2023 届高三下学期四月调研数学试题) 已知直线 与函数 的图象恰有两个切点,设满足条件的 所有可能取值中最大的两个值分别为 和 ,且 ,则( )
A. B. C. D.
11. (单) (浙江省 2023 届高三二模数学试题) 正数列 通过以下过程确定: 是 的最小值,其中 . 则当 时, 满足 ( )
A. B. C. D.
12. (重庆市 2024 届高三上学期第二次质量检测数学试题) 已知函数 ,下列说法正确的有( )
A. 当 时,
B. 当 时,有 恒成立
C. 当 时, 有两个零点
D. 存在唯一的 使得 仅有一个零点
13. (黑龙江省哈尔滨市顺迈学校高中部 2022-2023 学年高三下学期 3 月月考数学试题) 已知函数 , 则下列说法正确的是( )
A. 若 在 上单调递增,则
B. 若 ,设 的解集为 ,则
C. 若 有两个极值点 ,且 ,则
D. 若 ,则过(0,3)仅能做曲线 的一条切线
14. (浙江省名校协作体 2022-2023 学年高三下学期开学联考适应性考试数学试题) 设 是函数
的两个极值点,若 ,则 的最小值为_____.
15. (湖北省武汉市 2024 届高三下学期 5 月模拟训练试题数学试卷) 对于函数 ,下列说法正确的是 ( )
A. 函数 的单调递减区间为
B.
C. 若方程 有 6 个不等实数根,则
D. 对任意正实数 ,且 ,若 ,则
16. (单) (四川省成都市第七中学 2022-2023 学年高三上期一诊模拟考试数学(理)试题)已知 ,且 ,则下列说法正确的个数有 ( ) 个
① ② ③ ④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4单调性与奇偶性
参考答案
1. D
【分析】分别判断每一个选项的函数的奇偶性和单调性即得解.
【详解】A. ,是奇函数,但是是减函数,所以不符合题意；
B. ,是偶函数,所以不符合题意;
C. ,是偶函数,在定义域上不单调,所以不符合题意;
D. ,是奇函数,也是增函数,符合题意.
故选: D
2.
【分析】根据题目所给条件,说明函数在 上为减函数,其中选项 是二次函数, 是反比例函数, 是指数函数, 图像情况易于判断, B 是对数型的, 从定义域上就可以排除.
【详解】解: 函数满足“对任意的 ,当 时,总有 ”,说明函数在 上为减函数.
对于 是二次函数,其图像是开口向上的抛物线,对称轴方程为 ,
所以函数在 单调递减,在 单调递增,不满足题意, 选项错误;
对于 ,函数 的定义域为 ,
所以函数在 无意义, 选项错误;
对于 ,函数 ,定义域为 ,
设 ,则 ,
因为 ,且 ,则 ,
所以 ,故函数 在 上为减函数, 选项正确;
对于 ,函数 在 上为增函数, 选项错误;
故选: C. 3.
【分析】 单调递减,故需满足 ,解得答案.
【详解】函数 在 上是减函数, ,
故 单调递减,故需满足 ,解得 .
故选:C
4. D
【分析】利用指数型复合函数单调性, 判断列式计算作答.
【详解】函数 在 上单调递增,而函数 在区间(0,1)上单调递减,
则有函数 在区间(0,1)上单调递减,因此 ,解得 ,
所以 的取值范围是 .
故选:D
5.
【分析】先求导,根据题意 在 上恒成立,整理即得 在 上恒成立,再求 的值域即得结果.
【详解】由 知, ,
时, 是增函数, ,
又 在 上恒成立,
而 .
故答案为: .
【点睛】思路点睛:
已知函数单调性求参数取值范围通常有以下思路:函数 在区间 上递增,则 恒成立; 函数 在区间 上
递减,则 恒成立.
6. C
【分析】根据函数 在 内单调递减,则每一段函数是减函数,且左边函数最小值大于等于
紧挨着它的右边函数最大值求解.
【详解】因为函数 在 内单调递减,
所以有 ,
解得 ,
故选: C.
【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用, 还考查了分析求解的能力, 属于基础题.
7.
【详解】由题意得:当 时, 恒成立,即 ；当 时, 恒成立,即 ； 当 时, ,即 . 综上, 的取值范围是 .
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性, 即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么, 然后代入该段的解析式求值. 解决此类问题时, 要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值,
尤其是分段函数结合点处的函数值.
8. B
【详解】根据偶函数的定义 ,
A 选项为奇函数; 选项为偶函数;
选项定义域为 不具有奇偶性;
选项既不是奇函数,也不是偶函数.
故选: B.
9. C
【解析】根据奇函数定义对各选项判断即可.
【详解】 ,所以 为非奇非偶函数,
,所以 为偶函数,
,
,所以 为奇函数, ,所以 为偶函数,
故选 .
【点睛】本题考查函数奇偶性, 考查基本分析判断能力, 属基础题.
10. CD
【分析】根据函数奇偶性的定义逐一判断即可.
【详解】因为函数 的定义域都为 ,
所以各选项中函数的定义域也为 ,关于原点对称,
因为 是奇函数, 是偶函数,
所以 ,
对于 ,因为 ,
所以函数 是奇函数,故 错误;
对于 ,因为 ,
所以函数 是偶函数,故 错误;
对于 ,因为 ,
所以函数 是奇函数,故 正确;
对于 ,因为 ,
所以函数 是偶函数,故 正确.
故选: CD.
11. A
【分析】根据奇函数性质取 1 和 -1 分别代入, 函数值和为 0 , 即可求得.
【详解】 为奇函数, ,得 .
故选: A.
12. C
【分析】根据函数为奇偶性的定义求解.
【详解】当函数 是偶函数时, ,即 ,
即 对任意实数 都成立,所以 ,即 .
当函数 是奇函数时, ,即 ,
即 对任意实数 都成立,所以 ,即 ,
所以 .
故选；C
13. B
【分析】根据函数定义域及奇偶性的性质直接可得解
【详解】由函数 的定义域需满足 ,
即
又函数 为奇函数,
其定义域关于坐标原点对称,即 ,解得 ,
所以 ,定义域为 ,
所以 ,即 ,
经检验,上述 的值满足题意.
故选: B.
14. 1
【详解】试题分析: 由函数 为偶函数 函数 为奇函数,
考点: 函数的奇偶性.
【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想,具有一定的综合性和灵活性,属于较难题型. 首先利用转化思想,将函数 为偶
函数转化为 函数 为奇函数,然后再利用特殊与一般思想,取 .
15. C
【分析】由 是奇函数且 ,则 ,代入已知的 的解析式,求得 的值.
【详解】由 是奇函数且 ,则 ,
则 ,得 得 ,得 .
故选:C.
【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用, 指数对数恒等式的应用, 属于中档题.
16. D
【分析】先把 ,转化为 ,代入可得 ,结合奇偶性可得 .
【详解】 是奇函数, 时, .
当 时, ,得 . 故选 D.
【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式, 渗透了数学抽象和数学运算素养. 采取代换法, 利用转化与化归的思想解题.
17. -2
【分析】发现 ,计算可得结果.
【详解】因为 ,
,且 ,则 .
故答案为-2
【点睛】本题主要考查函数的性质,由函数解析式,计算发现 是关键,属于中档题.
18. 2
【详解】 ,令 ,则 为奇函数,
所以 的最大值和最小值和为 0,又 .
有 ,即 .
答案为: 2 .
19. D
【分析】根据奇偶性的定义可判断出 为奇函数,排除 ; 当 时,利用函数单调性的性质可判断出 单调递增,排除 ; 当 时,利用复合函数单调性可判断出 单调递减,从而得到结果.
【详解】由 得 定义域为 ,关于坐标原点对称,
又 ,
为定义域上的奇函数,可排除 ;
当 时, ,
在 上单调递增, 在 上单调递减,
在 上单调递增,排除 ;
当 时, ,
在 上单调递减, 在定义域内单调递增,
根据复合函数单调性可知: 在 上单调递减, 正确.
故选: D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下,根据 与 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数,根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
20. D
【详解】
当 时, ; 当 时,
当 时, ;
当 时 .
函数 是偶函数
当 时,易得 为增函数
故选 D. 21. C 【解析】由奇函数 在 上是增函数,则 偶函数,且在 单调递增,则 , 则 ,即可求得 【详解】解: 奇函数 在 上是增函数,当 ,且 , ,则 , 在 单调递增,且 偶函数, , 则 , 由 在 单调递增,则 , , 故选: . 【点睛】本题考查函数奇偶性, 考查函数单调性的应用, 考查转化思想, 属于中档题. 22. D 【分析】由题意可知, 为偶函数,再求得 在 上连续且单调递增,由 ,转化得 , 解不等式即可求出解集.
【详解】
为偶函数,
当 时, ,且均为增函数
在 上连续且单调递增,在 上连续且单调递减,
不等式 等价于 ,解得 ,解集为
故选 D.
【点睛】本题考查运用函数的奇偶性和单调性解不等式问题, 考查学生转化思想和运算能力, 有一定难度.
已知函数的单调性和奇偶性,解形如 的不等式的解法如下:
奇偶性 单调性 转化不等式
奇函数 区间上单调递增
区间上单调递减
偶函数 对称区间上左减右增
对称区间上左增右减
简言之一句话, 将函数值不等式问题转化为自变量不等式问题,
23. D
【分析】运用奇函数性质可得及单调性性质求解即可.
【详解】因为 是定义在 的奇函数,且 在 上单调递增,
所以 在 上单调递增,
又 ,
所以 ,
所以 ,解得 ,
故 的范围为 .
故选: D.
24. BC
【分析】令 ,得到 ,推得 为偶函数,得到 的图象关于 对称,再利用导数求得当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,把不等式转化为 恒成立,结合二次函数的性质,即可求解.
【详解】由函数 ,
令 ,则 ,可得 ,
可得 ,
所以 为偶函数,即函数 的图象关于 对称,
又由 ,令 ,
可得 ,所以 为单调递增函数,且 ,
当 时, 单调递增,即 时, 单调递增;
当 时, 单调递减,即 时, 单调递减,
由不等式 ,可得 ,即
所以不等式 恒成立,即 恒成立,
所以 的解集为 ,所以 且 ,
解得 ,结合选项,可得 适合.
故选: BC.
【点睛】关键点睛: 本题的关键是利用换元法设 ,从而得到 ,证明其为偶函数,则得到 的图象关于 对称,再结合其单调性即可得到不等式组,解出即可.
25. C
【分析】构造函数 ,根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可得函数为偶函数且在 单调递增,进而 关于直线 对称,且在 单调递增,结合条件可得 ,解不等式即得.
【详解】因为 的定义域为 ,又 ,故函数 为偶函数,
又 时, 单调递增,故由复合函数单调性可得函数 在 单调递增,函数 在定义域上单调递增,
所以 在 单调递增,
所以 ,
所以 关于直线 对称,且在 单调递增.
所以 ,
两边平方,化简得 ,解得 .
故选: C.
【点睛】关键点点睛: 本题的关键是构造函数 ,然后根据函数的单调性及对称性化简不等式进而
即得.
26.
【分析】设 ,结合 的奇偶性和单调性分析可得 对任意的 恒成立,令 ,利用导数判定原函数的单调性和最值,结合恒成立问题分析求解.
【详解】设 ,可知 的定义域为 ,
则 ,所以 为奇函数,
因为 ,可知 在 上单调递增,
对于不等式 ,即 ,
可得 ,则 ,
可得 ,注意到 ,可得 ,
原题意等价于 对任意的 恒成立,
令 ,则 ,
令 ,解得 ; 令 ,解得 ;
则 在(0, e)上单调递减,在 上单调递增,
当 时, 取到最小值 ,
可得 ,所以实数 的最大值为 .
故答案为: .
【点睛】关键点睛:1. 构建函数 ,将问题转化为函数奇偶性,方便理解分析;
2. 利用参变分离处理恒成立问题, 这是常用处理技巧.
27.
【分析】观察题设条件与所求不等式,构造函数 ,利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶性和单调性,
从而将所求转化为 ,进而得解.
【详解】因为 ,
所以
设 ,显然定义域为 ,
又 ,
所以 为 上的奇函数,
又 ,
所以 在 上单调递增,
又 ,则 ,
所以 ,即 ,
所以 ,解得 ,
则满足 的 的取值范围是 .
故选: C.
28. B
【分析】由偶函数的定义结合导数可得出 ,由已知可得出 ,可求出 的表达式,利用导数分析函数 的单调性,可知函数 在 上为增函数,再由 可得出 ,可得出关于实数 的不等式,解之即可.
【详解】因为 为偶函数,则 ,等式两边求导可得 ,①
因为函数 为偶函数,则 ,②
联立①②可得 ,
令 ,则 ,且 不恒为零,
所以,函数 在 上为增函数,即函数 在 上为增函数,
故当 时, ,所以,函数 在 上为增函数,
由 可得 ,
所以, ,整理可得 ,解得 .
故选: B.
对称性与周期性解析
参考答案:
1. A
【分析】先假设函数 上的点(x, y),由(x, y)关于原点对称的点为(-x, - y)在函数 上代入,即可求解.
【详解】设(x, y)为函数 上的点,则(x, y)关于原点对称的点为(-x, - y)在函数 上,
可得 ,整理得 ,
即函数 的表达式为 .
故选: A.
【点睛】本题主要考查根据函数的对称性求函数的解析式问题,其中解答中设函数 上的点,根据对称性找出关系式解答的关键, 着重考查推理与运算能力.
2. D
【解析】设 为所求函数图象上任意一点,求得点 关于点(1.0)的对称点 必在函数 的图象上, 代入可得选项.
【详解】设 为所求函数图象上任意一点,则由已知可得点 关于点(1.0)的对称点 必在函数 的图象上,
所以 ,即 ,
故选:D.
【点睛】本题考查函数关于某点对称的函数,关键在于设所求函数上的点,根据对称,可得所设关于已知点的对称点的坐标, 再代入原函数的解析式中,属于基础题.
3. B
【详解】分析: 确定函数 过定点(1,0)关于 对称点,代入选项验证即可.
详解: 函数 过定点 关于 对称的点还是(1,0),只有 过此点.
故选项 B 正确
点睛: 本题主要考查函数的对称性和函数的图像, 属于中档题.
4. C
【详解】试题分析:设(x, y)是函数 的图像上任意一点,它关于直线 对称为
(-y, - x),由已知(-y, - x)在函数 的图像上, ,
解得 ,即 ,
,解得 ,故选 C.
考点: 函数求解析式及求值
5. D
【详解】试题分析: ,因为 ,所以 为偶函数. 所以 的图象关于 轴对称. 故选 D.
考点: 函数的奇偶性.
6. C
【详解】由题意知, ,所以 的图象关于直线 对称,故 正确, 错误: 又 ,由复合函数的单调性可知 在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以 错误, 故选 C.
【名师点睛】如果函数 ,满足 ,恒有 ,那么函数的图象有对称轴 ; 如果函数 ,满足 ,恒有 ,那么函数 的图象有对称中心 . 7. B
【详解】试题分析:因为 的图像都关于 对称,所以它们图像的交点也关于 对称,当 为偶数时,其和为 ; 当 为奇数时,其和为 ,因此选 B.
【考点】函数图像的对称性
【名师点睛】如果函数 ,满足 ,恒有 ,那么函数的图象有对称轴 ; 如果函数 ,满足 ,恒有 ,那么函数 的图象有对称中心 .
8. B
【详解】[方法一]: 直接法.
由 得 关于(0,1)对称,
而 也关于(0,1)对称,
对于每一组对称点 ,
,故选 B.
[方法二]: 特值法.
由 得
不妨设因为 ,与函数 的交点为
当 时, ,故选 B.
[方法三]: 构造法.
设 ,则 ,故 为奇函数.
设 ,则 ,故 为奇函数.
对于每一组对称点 .
将 代入,即得
,故选 B.
[方法四]:
由题意得,函数 和 的图象都关于(0,1)对称,
所以两函数的交点也关于(0,1)对称,
对于每一组对称点 和 ,都有 .
从而 . 故选 B.
考点: 函数的性质.
【易错点睛】本题主要考查了函数的性质. 本题作为高考选择题的压轴题,考生的易错点是不明确本题要考察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性 (中心对称),确定两个函数的交点也是关于(0,1)对称,最后正确求和得出结论. 本题考查了函数的对称性, 但不是从奇偶性的角度进行考查, 从而提高了考试的难度.
9. B
【分析】根据题意得到 的图象关于(0,1)对称,设关于点(0,1)对称的坐标为 ,则 ,同理可得: ,即可得到答案.
【详解】由 得 的图象关于(0,1)对称,
同时函数 ,则 ,即 的图象也关于(0,1)对称,
则函数 与 图象的交点关于(0,1)对称,
则不妨设关于点(0,1)对称的坐标为 ,则 ,
则 ,
同理可得: ,
即 .
故选: B.
10. C
【分析】由 可得 ,令 ,分析可知,函数 的图象都关于点(2,0)对称,数形结合可得出结果.
【详解】由 可得 ,
令 ,
则函数 的定义域为 ,其最小正周期为 ,
所以,函数 的图象关于点(2,0)对称,
函数 的定义域为 ,
对任意的 ,
所以,函数 的图象也关于点(2,0)对称,
因为函数 在 上均为增函数,
则函数 在 上也为增函数,如下图所示:
由图可知,函数 、 的图象共有六个交点,其中这六个点满足三对点关于点(2,0)对称,
因此,直线 与 的图象的所有交点的横坐标之和为 .
故选: C.
【点睛】关键点点睛: 本题函数图象交点横坐标之和, 解题的关键在于利用函数的对称性, 利用数形结合思想结合对称性求解.
11. B
【详解】由题可得存在 满足
,
令 ,
因为函数 和 在定义域内都是单调递增的,
所以函数 在定义域内是单调递增的,
又因为 趋近于 时,函数 且 在 上有解(即函数 有零点),
所以 ,
故选: B.
考点: 指对数函数 方程 单调性
12. D
【分析】将函数 与 的图象上存在关于直线 对称的点转化为函数 与函数 的图象存在交点,然后结合图象求 的范围即可. 【详解】设 上一点 的坐标为 ,关于直线 对称的点 坐标为 , 函数 与 的图象上存在关于直线 对称的点,则存在 使得 ,即 成立,
即函数 与函数 的图象存在交点,
由图可知,当 经过点 时恰好没有交点,此时 ,将 的图象向左平移函数 与函数 的图象会存在交点,所以 .
故选: D.
【点睛】方法点睛: 函数图象的交点问题:
(1)根据图象讨论交点情况；
(2)转化为函数零点问题讨论；
( 3 )转化为方程的根的问题讨论.
13. 16
【分析】由 可得 或 ,即(2,0)和(-2,0)是函数的零点,然后结合方程的根与系数关系可求 与 ,然后结合导数即可求解最大值.
【详解】由 可得 或 ,
即 是函数的零点,
的图象关于直线 对称,
故 关于 对称的点(0,0)和(4,0)也是函数的零点,
故0,4是 的根,
故由韦达定理可得 ,
所以 ,
所以 ,
令 可得 或 或 ,
当 或 ,此时函数单调递减,
当 或 时, ,此时函数单调递增,
故函数最大值为 .
故答案为: 16 .
【点睛】关键点点睛: 根据函数的零点的对称点求出参数, 从而借助导数进一步求解.
14. C
【详解】因为 ,设 ,则
,因为 ,所以函数 为偶函数,若函数 有唯一零点,则函数 有唯一零点,根据偶函数的性质可知,只有当 时, 才满足题意,即 是函数 的唯一零点,所以 , 解得 . 故选: C.
【点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法:
(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题,从而构建不等式求解.
15. D
【详解】 数列 是公差为 的等差数列,且
,即
得
[点评]本题难度较大, 综合性很强. 突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用, 需考生加强知识系统、网络化学习. 另外, ,隐蔽性较强,需要考生具备一定的观察能力.
16. AB
【分析】 A: 求导以后判断导函数的正负即可判断 A 选项;
B: ,则 ,配凑法结合均值不等式即可判断 选项;
C: 判断极值点的个数等价于判断 的根的个数,从而可判断 选项;
D: 结合函数的对称性,以及函数图象的变换即可判断 D 选项;
【详解】A: 当 时, ,则 ,所以 是 上的减函数,故 正确；
B: 当 时, ,令 ,则
,当且仅当 时,取得最大
值,所以 的最大值为 ,故 正确;
C: ,令 ,即 ,所以 ,令 , 则 ,所以 在 上单调递增,而 时, 时, ,所以 时, 有一个根,故 有 1 个极值点, 时, 无解,故 无极值点,故 不可能有 2 个极值点,故 错误;
D: 若 ,则 ,
所以 ,
所以函数 的图象关于点 中心对称,
若存在实数 ,使得 为奇函数,则只需 ,故 错误.
故选: AB.
【点睛】(1)可导函数 在点 处取得极值的充要条件是 ,且在 左侧与右侧 的符号不同.
(2)若 在(a, b)内有极值,那么 在(a, b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值.
17. -1
【分析】根据函数 为周期函数,得 ,代入函数 即可得解.
【详解】解: 因为函数 是周期为 1 的周期函数,
所以 ,
又当 时, ,
所以 ,
故答案为: -1.
18.
【分析】首先利用周期性及解析式求出 的值,进而得到 的值.
【详解】 是定义在 上的周期为 2 的函数,结合函数 区间解析式,
.
故答案为: .
19. D
【分析】根据函数的周期性、奇偶性可得 ,再结合已知条件求参数 ,最后由周期性、奇偶性有 ,
即可求值.
【详解】由题意知: 且 ,故 .
,可得 ,
.
故选: D.
20.
【详解】: 且 ,
故选 C
【点评】:此题重点考察递推关系下的函数求值；
【突破】:此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值, 或者得到函数的周期性求解;
21.
【详解】解: 由 得 ,所以 ,则
22. B
【详解】:易知
所以
.【考点定位】本题考查抽象函数的性质,周期性是高考的重点. 题目结合分段函数进行考查,即注重基础性,又关注数形结合思想的运用,突出了数学思想的考查
23. B
【分析】本题为选择压轴题,考查函数平移伸缩,恒成立问题,需准确求出函数每一段解析式,分析出临界点位置,精准运算得到解决.
【详解】 时, ,即 右移 1 个单位,图像变为原来的 2 倍. 如图所示: 当 时, ,令 ,整理得: , (舍), 时, 成立,即 ,故选 B.
【点睛】易错警示:图像解析式求解过程容易求反,画错示意图,画成向左侧扩大到 2 倍,导致题目出错,需加深对抽
象函数表达式的理解, 平时应加强这方面练习, 提高抽象概括、数学建模能力.
24.
【分析】先利用导数法求得 在 上的最小值,根据 ,且 单调性一致,得到 在 上最小值和 ,进而得到 是等比数列,求得 ,代入 ,对 恒成立,转化为 ,对 恒成立求解.
【详解】当 时, .
所以 ,
当 时, ,当 时, ,
所以当 时 在 上取得最小值 0,
又因为 ,且 单调性一致,
所以 在 上最小值为 ,且 ,
即 ,
所以 是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列,
所以 ,即 ,
因为 ,对 恒成立,
所以 ,对 恒成立,
令 ,则 ,
当 时, ,当 时, ,
又 ,
所以 ,
所以 ,
所以 最小值为 ,
故答案为:
抽象函数解析
1. B
【分析】推导出函数 是以 4 为周期的周期函数,由已知条件得出 ,结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数 为偶函数,则 ,可得 ,
因为函数 为奇函数,则 ,所以, ,
所以, ,即 ,
故函数 是以 4 为周期的周期函数,
因为函数 为奇函数,则 ,
故 ,其它三个选项未知.
故选: B.
2. D
【分析】通过 是奇函数和 是偶函数条件,可以确定出函数解析式 ,进而利用定义或周期性结论, 即可得到答案.
【详解】[方法一]:
因为 是奇函数,所以 ①;
因为 是偶函数,所以 ②.
令 ,由①得: ,由②得: ,
因为 ,所以 ,
令 ,由①得: ,所以 .
思路一: 从定义入手.
所以 .
[方法二]:
因为 是奇函数,所以 ①;
因为 是偶函数,所以 ②.
令 ,由①得: ,由②得: ,
因为 ,所以 ,
令 ,由①得: ,所以 .
思路二: 从周期性入手
由两个对称性可知,函数 的周期 .
所以 .
故选: D.
【点睛】在解决函数性质类问题的时候, 我们通常可以借助一些二级结论, 求出其周期性进而达到简便计算的效果.
3. ACD
【分析】根据 为奇函数, 为偶函数,推出函数 的一个周期为 8 、 的图象关于点(-1,0)对称、关于直线 对称,再根据这些性质可判断 正确, 正确, 错误; 作出 与 的大致图象,结合图像可判断 D 正确.
【详解】因为 为偶函数,所以 ,
所以 ,即 ,
因为 为奇函数,所以 ,
所以 ,即 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,所以 ,即函数 的一个周期为 8 .
在 中,令 ,得 ,
在 中,令 ,得 ,
又 ,所以 ,故 正确;
因为 在区间(-1,0)上是增函数,且 的一个周期为 8,
所以 在(7,8)上单调递增,在(6,8)上不为减函数. 故 错误;
因为 ,所以 ,
所以 ,从而 为奇函数,故 正确;
因为 为奇函数,所以 的图象关于点(-1,0)对称,
因为 为偶函数,所以 的图象关于直线 对称,
又当 时, ,
作出 与 的大致图象,如图所示.
其中 单调递减且 ,所以两函数图象有 6 个交点,
故方程 仅有 6 个实数解,故 正确.
故选: ACD.
4. ACD
【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性、零点等知识对选项进行分析, 从而确定正确答案.
【详解】 是奇函数,图象关于(0,0)对称,所以 关于(-2,0)对称;
是偶函数,图象关于直线 对称,所以 关于直线 对称;
(-2,0)关于直线 的对称点为原点(0,0),
则 关于原点对称,所以 是奇函数,
直线 关于原点的对称直线为 ,所以 关于直线 对称,则 选项错误.
所以 ,
所以 是周期为 4 的周期函数, 选项正确.
选项正确.
当 , , , ,
,解得 ,
所以 ,
令 得 ,
画出 和 的图象如下图所示,
由图可知,两个函数图象有 8 个交点,所以 有 8 个零点,所以 选项正确.
故选: ACD
5. A
【分析】法一:根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 6,求出函数一个周期中的 的值,即可解出.
【详解】[方法一]: 赋值加性质
因为 ,令 可得, ,所以 ,令 可得, ,即 ,所以函数 为偶函数,令 得, , 即有 ,从而可知 ,故 ,即 ,所以函数 的一个周期为 6 . 因为 , ,所以
一个周期内的 . 由于 22 除以 6 余 4,
所以 . 故选: A.
[方法二]:【最优解】构造特殊函数
由 ,联想到余弦函数和差化积公式 ,可设 ,则由方法一中 知 ,解得
,取 ,
所以 ,则
(f) ( ),所以 符合条件,
因此 的周期 ,且 ,所以
由于 22 除以 6 余 4 ,
所以 . 故选: A.
【整体点评】法一:利用赋值法求出函数的周期,即可解出,是该题的通性通法；
法二: 作为选择题, 利用熟悉的函数使抽象问题具体化, 简化推理过程, 直接使用具体函数的性质解题, 简单明了, 是该题的最优解.
6. ABD
【分析】令 判断 ,令 判断 ,令 ,求出 ,判断 ,令 ,得 ,利用错位相减法判断 .
【详解】对于 ,令 时,则 ,又 ,所以 ,故 正确;
对于 ,令 时,则 ,又 ,所以 ,故 正确;
对于 ,当 时,则 ,又 ,
所以 ,所以函数 不为奇函数,故 错误;
对于 ,当 时,则 ,又 ,
所以 ,即 ,
所以当 时, ,
即 ,即 ,
当 时,代入上式, ,所以 ,
设 ,
则 ①
②
①-②得,
,
所以 ,故 ,故 正确,
故选: ABD.
【点睛】关键点点睛: 赋值法的直观应用,对于 选项,构造数列,利用错位相减法求解.
7. ACD
【分析】令 求出 ,再令 即可得到 ,即可判断 ,再利用特殊值判断 ,根据 判断 C,最后根据奇函数的性质及单调性的定义判断 D. 【详解】解: 因为 ,令 ,可得 ,解得 , 再令 ,所以 ,即 ,所以 ,所以 为奇函数, 故 A 正确;
令 ,
则 ,
满足 ,故 的解析式不唯一,即 错误;
若 是周期为 的函数,则 ,所以 ,又 ,
所以 ,故 正确;
因为当 时, ,所以当 时 ,则 ,
设任意的 ,且 ,则 ,
所以 ,因为 ,且 ,
所以 ,
所以 ,即 ,
所以 在 上单调递增,则 在 上单调递增,又 ,
且当 时, ,当 时,则 ,
所以 是 上的增函数,故 正确;
故选: ACD
8. BCD
【分析】A 选项,赋值法得到 ,进而得到 为奇函数, 错误; 选项,由 为偶函数得到 关于 对称,所以 ; 选项,由 结合函数为奇函数,得到 正确; 选项,推导出 的一个周期为 6,利用关系式得到
,结合函数周期得到 .
【详解】对于 ,因为 的定义域为 ,关于原点对称,
令 ,则 ,故 ,则 ,
令 ,则 ,又 不恒为 0,故 ,
所以 为奇函数,故 错误;
对于 ,因为 为偶函数,所以 ,
所以 关于 对称,所以 ,故 正确;
对于 ,因为 为偶函数,所以 ,
令 ,则 ,故 ,
令 ,则 ,故 ,又 为奇函数,故 ,
所以 ,即 ,故 正确;
对于 ,由选项 可知 ,所以 ,
故 的一个周期为 6,因为 ,所以 , 对于 ,令 ,得 ,则 ,
令 ,得 ,则 ,令 ,得 ,
令 ,得 ,令 ,得 ,
所以 ,
又 ,所以由 的周期性可得:
,故 D 正确.
故选: BCD.
【点睛】设函数 .
(1)若 ,则函数 的周期为 ；
(2)若 ,则函数 的周期为 ；
(3)若 ,则函数 的周期为 ；
(4)若 ,则函数 的周期为 ；
(5)若 ,则函数 的周期为 ；
(6)若函数 的图象关于直线 与 对称,则函数 的周期为 ；
(7)若函数 的图象既关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数 的周期为 ；
(8)若函数 的图象既关于直线 对称,又关于点(b,0)对称,则函数 的周期为 ；
(9)若函数 是偶函数,且其图象关于直线 对称,则 的周期为 ；
(10)若函数 是奇函数,且其图象关于直线 对称,则 的周期为 .
9. BCD
【分析】借助赋值法令 ,可得 ,令 可得 为奇函数,结合 为偶函数,可得
,亦可得其周期,即可得 .
【详解】令 ,则有 ,故 ,即 ,
令 则 ,
即 恒成立,故 ,
又函数 的定义域为 ,故 为奇函数,故 正确;
则 ,又 为偶函数,
故 ,则 ,故 错误; ,故 正确;
,则 ,故函数 的周期为 4 ,
,则 ,故 正确.
故选: BCD.
【点睛】结论点睛:解决抽象函数的求值、性质判断等问题的结论:
(1)关于对称:若函数 关于直线 轴对称,则 ,若函数 关于点(a, b)中心对称,则 ,反之也成立;
(2)关于周期:若 ,或 ,或 ,可知函数 的周期为 .
10. D
【分析】根据对称性和已知条件得到 ,从而得到 ,
,然后根据条件得到 的值,再由题意得到 从而得到 的值即可求解.
【详解】因为 的图像关于直线 对称,
所以 ,
因为 ,所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,
代入得 ,即 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,即 ,所以 .
因为 ,所以 ,又因为 ,
联立得, ,
所以 的图像关于点(3,6)中心对称,因为函数 的定义域为 ,
所以
因为 ,所以 .
所以 .
故选:D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽, 考生需要根据已知条件进行恰当的转化, 然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
11. -1
【分析】由 的对称性及 得 ,再由 为奇函数得 ,从而得 ,即 是周期为 8 的周期函数,再利用周期可得答案.
【详解】由 为奇函数,得 ,即 ,
由 ,得 ,又 ,
于是 ,即 ,从而 ,
即 ,因此 ,函数 的周期为 8 的周期函数,
显然 ,又 ,
所以 .
故答案为:-1
【点睛】结论点睛: 函数 关于直线 对称,则有 ; 函数 关于(a, b)中心对称,则有 ; 函数 的周期为 ,则有 .
12. BCD
【分析】根据函数的对称性、周期性、函数值等知识确定正确答案.
【详解】A 选项, 是偶函数,图象关于 对称,
的图象,横坐标放大为原来的两倍,得到 的图象,
则 是偶函数,图象关于 对称;
的图象,向左平移 1 个单位,得到 的图象,
则 的图象关于 对称, 选项错误.
B 选项,由 ,以 替换 得 ,
由 得 ,
令 得 ,
由于 的图象关于 对称,所以 选项正确.
C 选项,由 ,以 替换 得 ,
由 得 ,
令 得 ,所以 的图象关于点(1,2)对称, 选项正确.
D 选项, 的图象关于 对称,所以 ,
由 ,得 ,
以 替换 得 ,
所以 的周期为 4,
又 ,
所以
,
D 选项正确.
故选: BCD
【点睛】本题主要由函数的奇偶性研究函数的对称性, 包括对抽象函数对称性、奇偶性的研究. 主要解题方法有两点, 一点是函数图象变换, 另一点是赋值法.求解和年份有关的函数求值问题, 首先是找到题目中蕴含的规律, 再由此进行求值.
13. ACD
【分析】由赋值法, 函数奇偶性, 对称性对选项一一判断即可得出答案.
【详解】令 ,则 ,注意到 不恒为 0,
故 ,故 正确;
因为 的图象关于点(2,0)对称,所以 ,
令 ,得 ,
故 ,故 错误;
令 ,得 ,
令 ,得 ,故 ,
从而 ,故 ,
令 ,得 ,化简得 ,故 正确;
令 ,得 ,而 ,故 正确.
故选: ACD.
【点睛】方法点睛: 抽象函数的对称性常有以下结论
(1) 关于 轴对称,
(2) 关于 中心对称,
14. BC
【分析】对于 ,在 中,令 得 为单调函数,所以 ; 对于 B,由 ,得 ,对于 ,设 ,则由 ,可得 ,对于 ,由 ,得 为等差数列,且 , 所以 .
【详解】在 中,令 得 ,
所以 ,又 为单调函数,
所以 ,即 ,所以 ,
所以 ,所以 错误;
由 ,得 ,所以 正确;
设 ,则由 ,
可得 ,所以 ,
所以 ,即 为周期函数,所以 正确;
由 ,得 ,即 ,
所以 为等差数列,且 ,即 ,
所以 ,所以 ,
所以 D 错误.
故选: BC.
【点睛】关键点点睛: 本题关键在于 D 选项,由 ,得 为等差数列, 且 ,所以 . 15. BC 【分析】方法一:转化题设条件为函数的对称性,结合原函数与导函数图象的关系,根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]: 对称性和周期性的关系研究
对于 ,因为 为偶函数,所以 即 ①,所以 ,所以 关于 对称,则 ,故 正确;
对于 ,因为 为偶函数, ,所以 关于 对称,由①求导,和 , 得 ,所以 ,所以 关于 对称,因为其定义域为 ,所以 ,结合 关于 对称,从而周期 ,所以 ,故 正确, 错误； 若函数 满足题设条件,则函数 ( 为常数) 也满足题设条件,所以无法确定 的函数值,故 错误. 故选: BC. [方法二]:【最优解】特殊值, 构造函数法.
由方法一知 周期为 2,关于 对称,故可设 ,则 ,显然 错误,选 . 故选: BC.
[方法三]:
因为 均为偶函数,
所以 即 ,
所以 ,则 ,故 正确;
函数 的图象分别关于直线 对称,
又 ,且函数 可导,
所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,故 正确, 错误;
若函数 满足题设条件,则函数 ( 为常数) 也满足题设条件,所以无法确定 的函数值,故 错误. 故选: BC.
【点评】方法一:根据题意赋值变换得到函数的性质,即可判断各选项的真假,转化难度较高,是该题的通性通法； 方法二:根据题意得出的性质构造特殊函数, 再验证选项, 简单明了, 是该题的最优解. 16. ABD
【分析】对于 ,对条件 ,求导可得; 对于 ,对条件 ,两边同时除以 可得; 对于 ,反证法,假设 正确,求导,结合条件 ,可得 与 矛盾,可判断 ; 对于 ,求出 , ,所以有 ,得出数列 是以 0 为首项,-1 为公差的等差数列, 利用等差数列求和公式即可判断.
【详解】因为 ,
所以 ,即 ,
令 ,得 ,故 正确;
因为 ,
当 时, ,
所以 的图象关于点(0,1)对称,故 正确;
对于 ,假设 成立,
求导得 ,
即 ,又 ,
所以 ,所以 与 矛盾,故 错误;
对于 ,因为 ,
所以 ,
所以有 ,
所以数列 的奇数项是以 0 为首项,-2 为公差的等差数列,
数列 的偶数项是以 -1 为首项,-2 为公差的等差数列,
又 ,
所以数列 是以 0 为首项,-1 为公差的等差数列,
所以 ,
所以 ,故 正确.
故选: ABD.
【点睛】关键点点睛: 本题解答的关键是 的应用, 选项关键是推出 是以 0 为首项, -1 为公差的等差数列.
17. BCD
【分析】结合函数与导数的关系, 函数的奇偶性、对称性与周期性的定义, 借助赋值法与函数性质逐项判断即可得.
【详解】对 : 由 ,故 为奇函数,
若 为偶函数,则 ,与条件不符,故 错误;
对 : 由 ,则 ,
又 ,即 ,
即 ,又 定义在 上,
故 为奇函数,故 正确;
对 : 由 ,
所以 ,则 ,
所以 ,
所以 ,所以 ,
则函数 是周期函数 4 的周期函数,函数 是周期函数 4 的周期函数,故 正确;
对 : 由 是周期函数 4 的周期函数,
由 ,令 ,则 ,即 ,
令 ,则 ,即 ,
由 ,
则 ,则 关于(1,0)对称,则 关于 对称,
又 为奇函数,即 关于(2,0)中心对称,
故 关于 对称,则 ,
则 ,故 正确.
故选: BCD.
【点睛】结论点睛:解决抽象函数的求值、性质判断等问题, 常见结论:
(1)关于对称:若函数 关于直线 轴对称,则 ,若函数 关于点(a, b)中心对称,则 ,反之也成立;
(2)关于周期:若 ,或 ,或 ,可知函数 的周期为 .
18. AC
【分析】根据 为奇函数推出对称中心(2,0),根据 逆向思维得到 ,代入 推出 的对称轴 ,进一步得出周期 周期也为 4,算出 时的函数值以及
一个周期内的值即可求解.
【详解】因为 ,则 ,
因为 ,所以 ,
用 去替 ,所以有 ,所以有 ,
取 代入得到 则 ,
故 ,用 换 ,可得 ,函数 的图象关于 对称,故 正确;
在 上为奇函数,则 过(0,0),图像向右移动两个单位得到 过(2,0),故 图像关于(2,0)对称,
,而 ,所以有 ,则 的周期 ;
又因为 图像关于(2,0)对称, ; 函数 的图象关于 对称,,故
,故 正确.
,是由 的图像移动变化而来,故 周期也为 4,
因为 ,
所以 ,
所以 ,故 错误；
周期为 4, ,
故 ,
由于 的值未知, 不一定为 0,所以无法判断 的值为 -4046,
故 D 错误;
故选: AC.
【点睛】本题考查了导数的综合运用, 以及抽象函数的奇偶性, 周期性和对称性的性质的灵活转换运用, 难度较大.
19. B
【分析】根据所给三个条件可知函数周期, 对称轴, 单调性, 利用性质即可比较大小.
【详解】因为对任意的 ,都有 恒成立,所以函数在 上是增函数,由
可得 ,即周期 ,
因为 是偶函数,所以 ,即函数对称轴为
所以 ,
根据函数在 上是增函数可知 ,故选 B.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性, 周期性, 对称性, 属于中档题.
20. .
【分析】转化条件为函数 在 上单调递减,结合指数函数、对数函数的性质可得
,即可得解.
【详解】因为 ,
所以 ,
所以函数 在 上单调递减,
因为函数 满足 ,所以
因为 即 ,所以 ,
又 ,
所以 ,
所以 即 .
故答案为: .
【点睛】关键点点睛: 解决本题的关键是利用函数单调性及对称性, 将函数值的大小比较转化为自变量的大小比较.
比大小详解
参考答案:
1. C
【分析】对数函数的单调性可比较 、 与 的大小关系,由此可得出结论.
【详解】 ,即 .
故选: C.
2.
【详解】分析: 求出 ,得到 的范围,进而可得结果.
详解:
,即
又
即
故选: B.
3. A
【分析】由题意可得 、 、 ,利用作商法以及基本不等式可得出 、 的大小关系,由 , 结合 可得出 ,由 得 ,结合 ,可得出 ,综合可得出 的大小关系.
【详解】由题意可知 令, ; 由 ,得 ,由 ,得 ,可得 ; 由 ,得 ,由 ,得 ,可得 . 综上所述, . 故选: A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较, 涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用, 考查推理
能力, 属于中等题.
4. B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对 的大小作出判定,对于 与 与 的大小关系,将 0.01 换成 ,分别构造函数 ,利用导数分析其在 0 的右侧包括 0.01 的较小
范围内的单调性,结合 即可得出 与 与 的大小关系.
【详解】[方法一]:
所以 ;
下面比较 与 的大小关系.
记 ,则 ,
由于
所以当 时, ,即 ,
所以 在 上单调递增,
所以 ,即 ,即 ;
令 ,则 ,
由于 ,在 时, ,
所以 ,即函数 在 上单调递减,所以 ,即 ,即 ;
综上, ,
故选: B.
[方法二]:
令
,即函数 在 上单调递减
令
,即函数 在(1,3)上单调递增
综上, ,
故选: B.
【点睛】本题考查比较大小问题, 难度较大, 关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换, 构造函数, 利用导数研究相应函数的单调性, 进而比较大小, 这样的问题, 凭借近似估计计算往往是无法解决的.
5. A
【分析】由 结合三角函数的性质可得 ；构造函数 ,利用导数可得 ,即可得解.
【详解】[方法一]:构造函数
因为当
故 ,故 ,所以 ;
设 ,
,所以 在 单调递增,
故 ,所以 ,
所以 ,所以 ,故选
[方法二]: 不等式放缩
因为当 ,
取 得: ,故
,其中 ,且
当 时, ,及
此时
故 ,故
所以 ,所以 ,故选
[方法三]: 泰勒展开
设 ,则 ,
,计算得 ,故选 A.
[方法四]: 构造函数
因为 ,因为当 ,所以 ,即 ,所以 ; 设 , ,所以 在 单调递增,则 ,所以 ,所以 ,所以 , 故选: A.
[方法五]:【最优解】不等式放缩
因为 ,因为当 ,所以 ,即 ,所以 ; 因为当 ,取 得 ,故 ,所以 . 故选: A. 【整体点评】方法 4: 利用函数的单调性比较大小, 是常见思路, 难点在于构造合适的函数, 属于通性通法; 方法 5: 利用二倍角公式以及不等式 放缩,即可得出大小关系,属于最优解.
6. C
【分析】构造函数 ,导数判断其单调性,由此确定 的大小.
【详解】方法一: 构造法
设 ,因为 ,
当 时, ,当 时 ,
所以函数 在 单调递减,在(-1,0)上单调递增,
所以 ,所以 ,故 ,即 ,
所以 ,所以 ,故 ,所以 ,
故 ,
设 ,则 ,
令 ,
当 时, ,函数 单调递减,
当 时, ,函数 单调递增,
又 ,
所以当 时, ,
所以当 时, ,函数 单调递增,
所以 ,即 ,所以
故选:C.
方法二: 比较法
解: ,
① ,
令 ,
则 ,
故 在 上单调递减,
可得 ,即 ,所以 ;
② ,
令 ,
则 ,
令 ,所以 ,
所以 在 上单调递增,可得 ,即 ,
所以 在 上单调递增,可得 ,即 ,所以 .
故 .
7. A
【分析】将不等式变为 ,根据 的单调性知 ,以此去判断各个选项中真数与 1 的大小关系, 进而得到结果.
【详解】由 得: ,
令 ,
为 上的增函数, 为 上的减函数, 为 上的增函数,
,
,则 正确, 错误;
与 1 的大小不确定,故 CD 无法确定.
故选: A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题,解题关键是能够通过构造函数的方式,利用函数的单调性得到 的大小关系,考查了转化与化归的数学思想.
8. D
【详解】令 ,则
,则 ,
,则 ,故选 D.
点睛:对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的 ,通过作差或作商进行比较大小. 对数运算要记住对数运算中常见的运算法则, 尤其是换底公式以及 0 与 1 的对数表示.
9. A
【分析】法一:根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ,再利用基本不等式,换底公式可得 , ,然后由指数函数的单调性即可解出.
【详解】[方法一]: (指对数函数性质)
由 可得 ,而 ,所以 ,即 , 所以 .
又 ,所以 ,即 ,
所以 . 综上, .
[方法二]:【最优解】(构造函数)
由 ,可得 .
根据 的形式构造函数 ,则 ,
令 ,解得 ,由 知 .
在 上单调递增,所以 ,即 ,
又因为 ,所以 .
故选: A.
【点评】法一:通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较,方法直接常用,属于通性通法；
法二: 利用 的形式构造函数 ,根据函数的单调性得出大小关系,简单明了,是该题的最优解.
10. C
【分析】结合对数函数单调性比较 与 的大小,然后结合对数运算性质及基本不等式比较 的大小,即可求解.
【详解】由题意得 ,
因为 ,即 ,
,即 ,
因为 ,所以 ,
故 .
故选: C.
11. D
【解析】令 ,利用导数研究其单调性后可得 的大小.
【详解】因为 ,故 ,同理 ,
令 ,则 ,
当 时, ,当 时, ,
故 在(0,1)为减函数,在 为增函数,
因为 ,故 ,即 ,而 ,
故 ,同理
因为 ,故 ,
所以 .
故选: D.
【点睛】思路点睛: 导数背景下的大小比较问题, 应根据代数式的特征合理构建函数, 再利用导数讨论其单调性, 此类问题, 代数式变形很关键. 12. A
【分析】先通过简单的放缩比较 和 的大小,再通过构造函数比较 和 的大小.
【详解】解:
设 ,
当 时,
与 相交于点 和原点
时,
,即
故选: A.
【点睛】思路点睛:当数值相差比较小时, 可以通过构造函数来比较大小.
13. D
【分析】构造函数 ,然后根据函数的单调性判断 的大小,构造函数 ,判断 的大小,从而判断出大小;
设 ,
在(0,1)上单调递减.
又 ,
;
又 ,
设 ,
时, ,
在 单调递减.
,
;
综上, ,
故选: D.
14. B
【分析】构建 ,利用导数判断单调性可得 ,构建 ,利用导数判断单调性可证 ,进而可得 ,即可得结果.
【详解】构建 ,则 在 内恒成立,
可知 在 内单调递增,
因为 ,
可知 ,即 ;
构建 ,则 在 内恒成立,
可知 在 内单调递增,则 ,即 ,
可得 ,且 ,则 ,即 ;
综上所述: .
故选: B.
15. D
【分析】根据题意可得 ,构建函数 ,利用导数分析可知 在 上单调递增,进而结合对数函数单调性分析判断.
【详解】因为 ,
两边取对数得: ,
令 ,
则 ,
令 ,则 ,
可知 在 上单调递增,
因为 ,则 ,可知 恒成立,
则 ,即 ,可得 ,
则 在 上单调递增,可得 ,
可得 ,即 ,
又因为 在 上单调递增,所以 .
故选: D.
【点睛】关键点睛: 对题中式子整理观察形式,构建函数 ,利用导数判断其单调性.
16. AD
【分析】先由题意可知 ,由 ,得 ,构造函数 ,得 ,再对四个选项逐一分析即可.
【详解】由题意可得 ,
则由 ,得 .
对于 : 设 ,
则在区间 上, 为增函数,
所以由题意可得 ,所以 ,故 正确;
对于 : 由 ,得 ,故 错误;
对于 : 由 可知 在区间 上为增函数,
且 ,则 ,即 ,
则 ,
由 ,得 ,
令 ,则 ,
所以 在 上单调递增,
所以 ,
所以 ,故 错误;
对于 : 又 ,
令 ,
则 ,
所以 在 上单调递增,所以 ,
所以 ,
又 ,且 ,
令 ,
根据对勾函数的性质可得 在 上单调递减,在 上单调递增,且 ,
所以 ,
综上可得 ,故 正确;
故选:AD.
【点睛】关键点睛:
本题关键点在于构造函数 ,利用导数求其单调性,从而可得 .
17. AD
【分析】由对数函数的单调性即可判断 ,由对数的运算即可判断 ,分 同号与异号即可判断 ,由幂函数的单
调性即可判断 D.
【详解】对于选项 A: 因为 ,又因为 在 上单调递增,所以 ,故 正确;
对于选项 : 因为 ,即 ,解得 或 ,所以 或 , 故 B 错误;
对于选项 : 因为 ,且 ,可得 同号,则有若 同正,可得 ,则 ,可得 ；若 同负,可得 ,则 ,可得 . 综上所述, ,又因为 在定义域内单调递增,所以 ,故 错误;
对于选项 D: 因为 ,则 ,可得 在 上单调递增,可得 ,且 , 所以 ,故 正确.
故选: AD.
18. B
【分析】由 可得出 ,构造函数 可得出 ,可得出 ,由 可得出 ,构造函数 可得出 ,然后构造函数 可得出 ,再对所得等式进行变形后可得出合适的选项.
【详解】由 可得 ,由题意可知 ,
构造函数 ,其中 ,则 ,
所以,函数 在 上单调递增,由 可得 ,
所以, ,由 可得 ,则 ,且 ,①
由 可得 ,则 ,由题意可知 ,
构造函数 ,其中 ,则 ,
所以,函数 在 上单调递增,
由 ,即 ,可得 ,所以, ,
由 可得 ,且 ,则 ,②
令 ,其中 ,则 ,所以,函数 在 上为增函数,
由①②可得 ,所以, ,可得 ,
由 可得 ,则 ,
因为 ,则 ,
故选: B.
【点睛】关键点点睛:本题考查指对同构问题,需要对等式进行变形,根据等式的结构构造合适的函数,并利用函数的单调性得出相应的等式, 进而求解. 19. D
【分析】利用特殊值法当 时, ,排除选项 ; 再证明选项 成立.
【详解】已知 均为正实数, ,
当 时, ,满足 成立,
对于 ,故 错误;
对于 ,故 错误;
对于 ,故 错误,
对于 ,由已知 ,则, .
由 则 ,
所以 ,即 ,得 ,即 .
下面证明 .
设 ,所以 在区间 上单调递增,
所以 ,即 .
所以 ,故 正确,
故选: D.
20. ABD
【分析】证明 ,放缩 可判断 ,由 ,放缩 可判断 ,先证出 ,再放缩 ,根据 再放缩即可判断 ,可得 ,令 ,转化为 ,构造 ,利用导数判断单调性求函数最小值即可判断 .
【详解】由 ,可得 ,
,
令 ,则 ,当 时, 单调递增,
当 时, 单调递减,所以 ,即 ,
由 知 , A 正确;
由 可得 ,可得 ( 时取等号),
因为 ,所以 正确;
时, ,则 ,
错误;
,
令 ,则 ,
在 单调递增, ,故 正确.
故选: ABD
【点睛】关键点点睛: 比较式子的的大小,要善于对已知条件变形,恰当变形可结合 , 放缩后判断 选项,变形 ,再令 ,变形 ,是判断 选项的关键,变形到此处, 求导得最小值即可.
21. C
【分析】通过构造函数, 利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析.
【详解】因为 ,所以 ,
令 ,所以 ,对函数 求导:
,由 有: ,
由 有: ,所以 在 单调递增,在
单调递减,因为 ,由 有: ,
故 A 错误;
因为 ,所以 ,由 有: ,
故 D 错误;
因为 ,所以
因为 ,所以 ,所以 ,故 正确;
令 有:
,当 恒成立. 所以
在 单调递增,当 时, ,
即 ,又 ,所以 ,
因为 ,所以 ,因为 在
内单调递减,所以 ,即 ,故 错误.
故选: C.
22.
【分析】分别求出 的大致范围,即可比较 的大小.
【详解】由题意得, ,故 ;
因 ,根据对勾函数得 ,因此 ;
由勾股数可知 ,又因 且 ,故 ;
因此 .
故选:C.
【点睛】指数式、对数式的大小比较, 常利用函数的单调性或中间值进行比较, 要根据具体式子的特点, 选择恰当的函数, 有时还需要借助幂函数比较. 对于比较的式子, 要先化简转化, 再比较大小.
1. D
【详解】试题分析:由题意得 ,当 时,即 ,则 ,解得 (舍去); 当 时,即 ,则 ,解得 ,故选 D. 考点: 分段函数的应用.
2. .
【详解】 ,
若 ,当且仅当 时,等号成立;
若 ,当且仅当 时,等号成立,故可知 .
考点: 1. 分段函数; 2. 函数最值.
3.
【详解】由图可知,当直线 在直线 与 轴 (不含它们) 之间时, 与 的图像有两个不同交点,即方程有两个不相同的实根.
4. C
【详解】分析: 首先根据 存在 2 个零点,得到方程 有两个解,将其转化为 有两个解, 即直线 与曲线 有两个交点,根据题中所给的函数解析式,画出函数 的图像 (将 去掉), 再画出直线 ,并将其上下移动,从图中可以发现,当 时,满足 与曲线 有两个交点,从而求得结果.
详解: 画出函数 的图像, 在 轴右侧的去掉,
再画出直线 ,之后上下移动,
可以发现当直线过点 时,直线与函数图像有两个交点,
并且向下可以无限移动, 都可以保证直线与函数的图像有两个交点,
即方程 有两个解,
也就是函数 有两个零点,
此时满足 ,即 ,故选 C.
点睛: 该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题, 在求解的过程中, 解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题, 将式子移项变形, 转化为两条曲线交点的问题, 画出函数的图像以及相应的直线, 在直线移动的过程中, 利用数形结合思想, 求得相应的结果.
5. D
【分析】先根据题得到 时, 产生一个根, 时, ,产生两个根,利用韦达定理及对勾函数的性质可得取值范围.
【详解】要函数 有三个不同的零点,
则当 时, ,必有一个根,且为 ,同时 ,
当 时, ,必有两不等非负根,整理得 ,
所以 ,解得 ,
所以 ,
根据对勾函数的图像和性质可得函数 在(0,1)上单调递减,
故 ,
即 的取值范围是 .
故选: D.
6. (1)-1,(2) 或 .
【详解】① 时, ,函数 在 上为增函数且 ,函数 在 为减函数,在 为增函数,当 时, 取得最小值为 -1 ;
(2)①若函数 在 时与 轴有一个交点,则 ,则 ,函数 与 轴有一个交点,所以 且 ;
②若函数 与 轴有无交点,则函数 与 轴有两个交点,当 时 与 轴有无交点, 在 与 轴有无交点,不合题意；当当 时 与 轴有无交点, 与 轴有两个交点, 和 ,由于 ,两交点横坐标均满足 ; 综上所述 的取值范围 或 .
考点: 本题考点为函数的有关性质, 涉及函数图象、函数的最值, 函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性, 求出函数的最值, 涉计参数问题, 针对参数进行分类讨论. 7. D
【分析】由 ,结合已知,将问题转化为 与 有 3 个不同交点,分 三种情况, 数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到 ,所以要使 恰有 4 个零点,只需方程 恰有 3 个实根
即可,
令 ,即 与 的图象有 3 个不同交点.
因为 ,
当 时,此时 ,如图 1, 与 有 1 个不同交点,不满足题意;
当 时,如图 2,此时 与 恒有 3 个不同交点,满足题意;
当 时,如图 3,当 与 相切时,联立方程得 ,
令 得 ,解得 (负值舍去),所以 .
综上, 的取值范围为 .
故选: D.
图 1
图2
图3
【点晴】本题主要考查函数与方程的应用, 考查数形结合思想, 转化与化归思想, 是一道中档题.
8. A
【详解】满足题意时 的图象恒不在函数 下方,
当 时,函数图象如图所示,排除 选项;
当 时,函数图象如图所示,排除 选项,
本题选择 A 选项.
9. D
【分析】作出函数 的图像,和函数 的图像,结合图像可知直线 介于 与 轴之间,利用导数求出直线 的斜率,数形结合即可求解.
【详解】由题意可作出函数 的图像,和函数 的图像. 由图像可知: 函数 的图像是过原点的直线, 当直线介于 与 轴之间符合题意, 直线 为曲线的切线,且此时函数 在第二象限的部分的解析式为 求其导数可得 ,因为 ,故 , 故直线 的斜率为 -2 , 故只需直线 的斜率 . 故选:D 【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围, 考查了数形结合的思想, 属于中档题. 10. (1,4) 【详解】分析:根据分段函数, 转化为两个不等式组, 分别求解, 最后求并集. 先讨论一次函数零点的取法, 再对应确定二次函数零点的取法,即得参数 的取值范围.
详解: 由题意得 或 ,所以 或 ,即 ,不等式 的解集是(1,4),
当 时, ,此时 ,即在 上有两个零点; 当 时,
,由 在 上只能有一个零点得 . 综上, 的取值范围为 .
点睛: 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决；
(3) 数形结合法: 先对解析式变形, 在同一平面直角坐标系中, 画出函数的图象, 然后数形结合求解.
11. 0 (答案不唯一) 1
【分析】根据分段函数中的函数 的单调性进行分类讨论,可知, 符合条件, 不符合条件, 时函数 没有最小值,故 的最小值只能取 的最小值,根据定义域讨论可知 或 解得 【详解】解: 若 时, ; 若 时,当 时, 单调递增,当 时, ,故 没有最小值,不符合题目要求; 若 时,
当 时, 单调递减, ,
当 时,
或 ,
解得 ,
综上可得 ;
故答案为:0 (答案不唯一),1
12.
【详解】试题分析:由题意画出函数图象如下图所示,要满足存在实数 ,使得关于 的方程 有三个不同的根, 则 ,解得 ,故 的取值范围是 .
【考点】分段函数, 函数图象
【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念. 解答本题,关键在于能利用数形结合思想, 通过对函数图象的分析, 转化得到代数不等式. 本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.
13. C
【分析】不妨设 ,作出 的图像,根据图像可得 的范围,根据 可得 ,进而可求得答案.
【详解】不妨设 ,作出 的图像,如图所示:
由图像可知 ,
由 得 ,即 ,则 ,
,
的取值范围是(10,12).
故选:C.
14. BC
【分析】作出函数 的图象,结合图象可得 ,由 得 ,从而得 ,再根据 可求出结果.
【详解】作出函数 的图象,如图所示,
设 ,
由图可知,当 时,直线 与函数 的图象有四个交点,
交点的横坐标分别为 ,且 ,
当 时,令 ,解得 或 .
由图可知, ,
由 ,可得 ,所以 ,
则有 ,所以 .
令 ,
易知 在 上为减函数,且 ,
故 ,且 .
故选: BC
【点睛】关键点点睛: 作出函数 的图象,利用对称性得 ,利用 得 ,将所求式子化为关于 的函数,利用 的范围求解是解题关键.
15. B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组, 解出即可.
【详解】因为 在 上单调递增,且 时, 单调递增,
则需满足 ,解得 ,
即 的范围是 .
故选: B.
16.
【分析】分析函数 的单调性,作出函数 的图象,根据 可得出关于 的不等式组,解之即可.
【详解】因为 ,则函数 在 上为增函数,
且函数 在 上连续,作出函数 的图象如下图所示:
因为 ,则 ,解得 .
因此,满足不等式 的 的范围是 .
故答案为: .
17. D
【解析】由已知得出函数的单调性, 利用其单调性建立不等式组, 可得选项.
【详解】 函数 在 上单调递减,在 上为常数 1,
所以由 得 ,解得 .
故选: D.
【点睛】本题考查分段函数的不等式求解问题, 关键在于得出分段函数的单调性, 属于中档题.
18. A
【分析】由 ,得到 ,再研究函数 的单调性,得到 ,将 表示出来,然后利用换元法转化为二次函数求最值即可.
【详解】 ,
,
当 时, ,
由 得 ,由 得 ,所以 在 上递增,在(0,2)上递减,
在 处取得最小值 ,
,
令 ,则 ,
当 时, 取得最小值 ,当 时, 取得最大值 0,
所以 的取值范围是 .
故选:A
【点睛】方法点睛:对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略:
1、通常要构造新函数, 利用导数研究函数的单调性, 求出最值, 从而求出参数的取值范围;
2、利用可分离变量, 构造新函数, 直接把问题转化为函数的最值问题.
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时, 一般涉及分离参数法, 但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况, 进行求解, 若参变分离不易求解问题, 就要考虑利用分类讨论法和放缩法, 注意恒成立与存在性问题的区别.
19.(0,2)
【分析】作出函数 的图形,求出过点过原点且与函数 的图象相切的直线的方程,以及函数
的渐近线方程,结合两角差的正切公式,数形结合可得出 的取值范围.
【详解】当 时, ,则 ,
所以,函数 在 上为增函数;
当 时,由 可得 ,即 ,
作出函数 的图象如下图所示:
设过原点且与函数 的图象相切的直线的方程为 ,设切点为 ,
所以,切线方程为 ,
将原点坐标代入切线方程可得 ,即 ,
构造函数 ,其中 ,则 ,
所以,函数 在 上单调递增,且 ,
由 ,解得 ,所以, ,
而函数 的渐近线方程为 ,
设直线 与 的夹角为 ,设直线 的倾斜角为 ,
则 ,
结合图形可知, .
故答案为:(0,2).
【点睛】关键点点睛: 解本题的关键在于求出设过原点且与函数 的图象相切的直线的方程以及函数 的渐近线方程,再利用两角差的正切公式以及数形结合思想求解.
复合函数零点解析
1. A
【详解】试题分析:求导得 ,显然 是方程 的二不等实根,不妨设 , 于是关于 的方程 的解就是 或 ,根据题意画图:
所以 有两个不等实根, 只有一个不等实根,故答案选 A.
考点: 导数、零点、函数的图象
2. AB
【分析】分 和 两种情况,利用导数判断原函数单调性和极值,结合图象分析 的零点分布,进而可得结果,
【详解】由题意可知 为二次函数,且 为 的零点,
由 得 或 ,
当 时,令 ,解得 或 ; 令 ,解得 ;
可知: 在 内单调递增,在 内单调递减,
则 为极大值点, 为极小值点,
若 ,则 ,
因为 ,即 ,两者相矛盾,故 ,
则 有 2 个根, 有 1 个根,可知 ,
若 ,可知 ;
若 ,可知 ;
若 ,可知 ;
故 A 正确;
当 时,令 ,解得 ; 令 ,解得 或 ;
可知: 在 内单调递增,在内 单调递减,
则 为极大值点, 为极小值点,
若 ,则 ,
因为 ,即 ,两者相矛盾,故 ,
若 ,即 ,可知 ;
若 ,即 ,可知 ;
若 ,即 ,可知 ;
此时 ,故 正确;
综上所述: 的取值集合为 的取值集合为 ,
故 CD 错误;
故选: AB.
【点睛】方法点睛:对于函数零点的个数的相关问题,利用导数和数形结合的数学思想来求解. 这类问题求解的通法是:
(1)构造函数, 这是解决此类题的关键点和难点, 并求其定义域;
(2)求导数,得单调区间和极值点；
(3)数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与 轴的交点情况进而求解.
3.
【分析】变形得到 ,设 ,讨论得到方程有唯一根或无解时
不成立,有两解时,直线 与 的交点恰有三个,计算得到答案.
【详解】令 ,变形得: ,
令 ,得 ,故 ,
当 在(0, e)上单调递增;
当 在 上单调递减,
且 ,故 在 时有最大值 .
当 有唯一根或无解时,原方程最多两解,不符题意;
当 有两根时, 或 ,规定 ,要使原方程有三个解,则直线 与 的
交点恰有三个,
即转化为 的两根 ,
则 ,解得 .
故答案为: .
【点睛】本题考查了函数的零点问题, 意在考查学生的计算能力和转化能力, 综合应用能力.
4. A
【分析】先根据问题的形式对方程 变形,然后换元化简,转化为一元二次方程,再利用韦达定理计算.
【详解】化简 ,可得 ,
令 ,原式可化为 ,
作出函数 的图像,
由题 ,
所以方程 有两不等实根 ,且
由韦达定理可得 ,
,
,
两式相乘可得 ,
即 的值为 1,
故选: A.
5. D
【分析】利用换元法,令 ,将问题进行转化,利用分段函数的性质进行分段分析,结合函数图像分析即可解决问题.
【详解】令 ,则 即为 ,
当 时, ,故 无解,
当 时, 即为 ,
在同一平面直角坐标系下画出 和 的大致图像如图, 由图可得当且仅当 时, , 综上所述, 的解为 ,又 , 所以 , 当 时, , 故 ,解得: ,所以 , 当 时, , 故 ,解得: ,所以 , 综上所述,不等式 的解集是 . 故选: D. 6. CD 【分析】令 ,则 零点的个数,就是方程 的根的个数,最后转化为 的零点的个数问题,画出 的图象,由图象逐项分析即可.
【详解】令 ,则 ,作 的图象如图所示:
所对应的方程为 ,
当 时,则 ,故方程为 ,解为 ,此时关于 的函数 有2个零点, 故 A 错误;
当 时,方程 有两个不相等的实根为: 或 ,
若关于 的函数 恰好有 3 个零点,
则 只有一个零点,由图可知实数 的取值范围为 ,故 错误;
若关于 的函数 恰好有 4 个零点,
则 有 2 个零点,由图可知实数 的取值范围为 ,故 正确;
若关于 的函数 恰好有 5 个零点,
则 有 3 个零点,由图可知实数 的取值范围为 ,故 正确;
故选: CD.
【点睛】方法点睛:已知函数有零点 (方程有根) 求参数值 (取值范围) 常用的方法:
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.
7. ② ③ ④
【分析】令 ,因 ,则 .
对于①, ,则函数 有零点相当于函数 的图像与直线 有交点,做出相关图像可得答案;
对于②, 由图可得答案;
对于③,由图可得 时, 的图像与直线 有 2 个点,即 有两个根 , 得 . 方程 在 上均有两个根,设为 . 即可得答案;
对于④,由③可知, ,设数列公差为 ,则 , 说明方程 在 上有唯一解即可.
【详解】令 ,因 ,则 . 对于①, ,
则函数 有零点相当于函数 的图像与直线 有交点,
做出 的图像,
由图可得若函数 有零点,则 的范围是 ,故①错误;
对于②,由图,当 时, 的图像与直线 无交点,得 有 0 个零点;
当 或 ,得 或 ,解得 ,
即此时 有 3 个零点;
当 ,由图可得,此时 的图像与直线 有 2 个交点,
即方程 有 2 个解,设为 ,
又方程 各有两个解,即此时 有 4 个零点;
当 ,得 或 ,
即此时 有 2 个零点. 综上函数 的零点个数可能为0,2,3,4,故②正确.
对于③,当 ,由图可得,此时 的图像与直线 有 2 个交点,即方程 有 2 个解,设为 ,
又方程 各有两个解,即此时 有 4 个零点. 设方程 两根为 ,方程 两根为
因 ,
则 ,故③正确;
对于④,由③分析知 有 2 个解,设为 ,则由韦达定理有 .
又 ,
则 .
又 ,则 .
设数列公差为 ,则 ,又 ,
可得 ,因 ,则 .
代入 ,得 ,
令 ,
则 ,因 ,则 ,
得 在 上单调递增,又
则存在唯一实数 ,使得 . 得 为常数,为方程 在 上的唯一解. 故 ④正确.
故答案为:②③④.
【点睛】关键点点睛:本题考查利用图像和导数研究函数的零点, 难度较大.
判断①②③时,利用图像可较为简介地解决问题；对于④,常规思路为求出 的值,但因难以求出,故建立与 有关的方程, 说明其解的唯一性并确定范围.
8. ACD
【分析】利用函数零点的定义分离参数,构造函数并求出函数值域确定 的范围,再逐项分析并结合等差数列的意义判断作答.
【详解】由 ,得 ,
令 ,显然函数 是偶函数,是周期为 的周期函数,
而 ,则当 时, ,当 时, ,因此 ,
当 时, ,于是函数 的所有零点从小到大排成一列构成公差为 的等差数列, 正确;
当 时, ,显然此方程在余弦函数 的周期长的区间内只有两个根,
取 ,则方程 在 内有 4 个根 ,
显然有 ,于是 ,
,即有 ,则 不成等差数列,
由周期性知,当 时,函数 不存在连接 4 个零点依次构成等差数列, 错误;
当 时, 或 ,取函数 的 4 个连续零点为 ,显然 成等差数列, 正确;
当 时, 或 ,令 ,则函数 在 内有 4 个零点 ,
并满足 ,且 ,
显然 ,
显然 ,因此 ,所以 成等差数列, 正确.
故选: ACD
【点睛】关键点睛: 涉及给值求角问题, 关键是变角, 把所求角用含已知角的式子表示, 由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角, 有时要压缩角的取值范围.
9.
【分析】根据给定分段函数,求出函数 的解析式,确定给定方程有两个不等实根的 的取值范围,再将目标函数用 表示出即可求解作答.
【详解】函数 在 上单调递增, ,在 上单调递增, ,
当 ,即 时, ,且 ,
当 ,即 时, ,且 ,
当 ,即 时, ,且 ,
因此 ,在坐标系内作出函数 的图象,如图,
再作出直线 ,则方程 有两个不等实根,当且仅当直线 与函数 的图象有两个不同交点, 观察图象知方程 有两个不等实根 ,当且仅当 ,
此时 ,且 ,即 ,且 ,则有 ,
令 ,求导得 ,令 ,
当 时, ,即函数 在 上单调递增,
当 时, ,即 ,因此函数 在 上单调递增,
,而 ,于是当 时, ,有 ,
所以 的取值范围是 .
故答案为:
【点睛】思路点睛:涉及给定函数零点个数求参数范围问题, 可以通过分离参数, 等价转化为直线与函数图象交点个数, 数形结合推理作答.
类型七解析
1. B
【分析】在同一坐标系内画出三个函数 的图象,以此作出函数 图象,观察最大值的位置, 通过求函数值, 解出最大值.
【详解】 是减函数, 是增函数, 是增函数,
令 ,此时, ,如图:
与 交点是 、 与 的交点为 ,
由上图可知 的图象如下:
C 为最高点,而 ,所以最大值为 6 .
故选:B
【点睛】关键点点睛:画出函数 的图象,利用数形结合的方法求解是解答本题的关键. 2.
【分析】利用换元法可得 ,进而根据不等式的性质,分情况讨论求解.
【详解】令 ,其中 ,
所以 ,
若 ,则 ,故 ,
令 ,
因此 ,故 ,则 ,
若 ,则 ,即 ,
则 ,故 ,则 ,
当且仅当 且 时等号成立,
如取 时可满足等号成立,
综上可知 的最小值为 ,
故答案为:
【点睛】关键点睛: 本题的关键是利用换元法,在 和 前提下进行合理分类讨论,根据题意得到相对应的不等式组, 注意题目的条件关键词是“或”.
3. A
【分析】设 ,则 ,构造函数 ,利用导数求出函数 的最小值进而得 ,化简即可求解.
【详解】设 ,则 ,
得 ,
设 ,则 ,
令 ,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
故 ,即 ,
得 ,
所以 ,
得 ,即 .
故选: A
【点睛】关键点点睛: 本题考查导数在函数中的综合应用,本题解题的关键是由 构造函数 ,利用导数求得 即为题意所求.
4. B
【详解】试题分析: 设 ,由 得 ,此时 ; 由 得 或 ,此时 ；由 得 ,此时 ；综上可知 时 ,当 时 ,当 时 , 所以
考点: 1. 二次函数值域; 2. 分情况讨论
5.
【分析】根据绝对值的意义,去掉绝对值,求出零点,再根据根存在的条件即可判断 的取值范围.
【详解】( 1 )当 时, ,
即 ,
若 时, ,此时 成立;
若 时, 或 ,
若方程有一根为 ,则 ,即 且 ;
若方程有一根为 ,则 ,解得: 且 ;
若 时, ,此时 成立.
( 2 )当 时, ,
即 ,
若 时, ,显然 不成立;
若 时, 或 ,
若方程有一根为 ,则 ,即 ;
若方程有一根为 ,则 ,解得: ;
若 时, ,显然 不成立;
综上,
当 时,零点为 ;
当 时,零点为 ;
当 时,只有一个零点 -1 ;
当 时,零点为 ;
当 时,只有一个零点 -1 ;
当 时,零点为 ;
当 时,零点为 .
所以,当函数有两个零点时, 且 .
故答案为: .
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值, 求出方程的根, 再根据根存在的条件求出对应的范围, 然后根据范围讨论根 (或零点) 的个数, 从而解出.
6.
【分析】先由绝对值、余弦函数的有界性以及 求出 ,分类讨论求出 ,即可求解.
【详解】因为 , 所以当且仅当 且 时 ,
所以 ,
又 ,所以
所以 ,易知 在 上单调递减,在 单调递增,
所以当 时, ,不满足题意;
当 时,因为 ,所以 ,
注意到 ,且 在 单调递增,
所以 ,所以
故答案为: .
【点睛】利用三角函数求值的关键:
(1)角的范围的判断；
(2)根据条件选择合适的公式进行化简计算；
(3)合理地利用函数图像和性质.
7. B
【分析】由题意有 ,通过分析得到 是满足题意的唯一解,注意检验.
【详解】由题意若不等式 在 上恒成立,
则必须满足 ,即 ,
由 ,两式相加得 ,
再由 ,两式相加得 ,
结合 (4),(5) 两式可知 ,代入不等式组得
解得 , 经检验,当 时, , 有 , ,满足 在 上恒成立,
综上所述: 满足要求的有序数对(a, b)为:(-6,7),共一个.
故选: B.
【点睛】关键点点睛: 解题的关键是首先得到 ,进一步由不等式的性质通过分析即可求解.
8. -3
【分析】可以取特殊值 时, 恒成立,从而求出 和 .
【详解】当 时, 恒成立,则 对任意 恒成立,
则 时, 恒成立
①
②
③
④
①+②
③+④
,
代入①:
代入③:
,
,
.
证明 满足题意:
,则 , 由表可知, 在 上恒成立满足题意. 故答案为:-3 . 【点睛】本题考查恒成立问题,根据函数和区间的特殊性,可取特殊值得到关于 和 的不等式组,求出 和 的范围, 从而确定 和 的取值. 9. C 【分析】由已知 的最大值为 ,得到 都不大于 ,利用三角不等式得到所求.
-1 1
+ - +
-1 ↗ 极大值: 1 ↘ 极小值:-1 ↗ 1
【详解】解: 因为函数 定义域为 ,记 的最大值为 ,
所以 都不大于 ,
即 ,
所以
所以 ,
即 的最小值为: 2 ;
故选 .
【点睛】本题考查了三次函数的性质以及绝对值三角不等式的运用求最值, 属于中档题.
10. B
【详解】由题意知函数 与 互为反函数,其图象关于直线 对称,两曲线上点之间的最小距离就是 与 上点的最小距离的 2 倍. 设 上点 处的切线与直线 平行. 则 ,
点 到 的距离为 ,
则 的最小值为 .
11.
【分析】依题意求出 的反函数,将 “镜像距离” 转化成一对反函数图象上两点之间的距离,利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果.
【详解】由函数 可得 ,即 ;
所以 的反函数为 ;
由点 在曲线 上可知点 在其反函数 上,
所以 相当于 上的点 到曲线 上点 的距离,
即 ,
利用反函数性质可得 与 关于 对称,
所以可得当 与 垂直时, 取得最小值为 2,
因此 两点到 的距离都为 1,
过点 的切线平行于直线 ,斜率为 1,即 ,
可得 ,即 ；
A 点到 的距离 ,解得 ;
当 时, 与 相交,不合题意;
因此 .
故答案为:
【点睛】关键点点睛:本题关键在于利用反函数性质将 “镜像距离” 问题转化为两函数图象上两点距离的最值问题,再由切线方程可解得参数值.
12.
【分析】利用同构思想构造 ,得到其单调性,得到 ,再构造 , 求导得到其单调性及其最小值,设设 ,利用基本不等式得到 ,求出答案.
【详解】 ,令 ,
则
当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,
故 在 处取得极小值,也是最小值,故 ,
故 ,当且仅当 时,等号成立,
令 ,
则 ,
令 ,
则 在 上恒成立,
故 在 上单调递增,
又 ,故当 时, ,当 时, ,
故 时, 单调递减,当 时, 单调递增,
故 在 处取得极小值,也时最小值,最小值为 ,
设 ,
由基本不等式得,
当且仅当 时,等号成立,
故 ,则 .
故答案为:
【点睛】导函数求解取值范围时,当函数中同时出现 与 ,通常使用同构来进行求解,本题 变形得到 ,从而构造 进行求解. 13. ABD
【分析】根据 , 分别代入 , 即可判断 ,根据 , 关于直线 的对称,因此可知 对称, 对称,即可根据对称性判断 .
【详解】由题意可知 是方程 的一个根,则 ,将 代入得 ,所以 也是方程 的一个根,所以 ,故 ,故 正确,
由题意可知 是方程 的一个根,则 ,则 ,所以 也是方程 的一个根,所以 ,故 ,故 正确,
设点 在函数 上,则满足 ,即 点 关于直线 的对称点为 ,将 代入 得 ,即可 ,因此可知 在函数 上,即 关于直线 的对称,又 关于直线 的对称,因此可知 对称, 对称,
故 ,
所以 ,故 正确,
由于 ,故 错误,
故选: ABD
14.
【分析】根据给定条件,利用反函数性质求出 ,再计算判断即得.
【详解】由 ,得 ,由 ,得 ,
依题意,直线 与函数 图象交点的横坐标分别为 ,
而函数 互为反函数,它们的图象关于直线 对称,又直线 垂直于直线 ,
因此直线 与函数 图象的交点关于直线 对称,即点(p, q)在直线 上,
则 ,于是 ,
,而 ,
所以 ,即 .
故答案为:
【点睛】结论点睛: 同底的指数函数与对数函数互为反函数,它们的图象关于直线 对称.
15. ABD
【分析】把函数的零点转化两个函数图像交点的横坐标,再结合反函数图像的特点得到点 和 关于点 对称,根据 可判断 、 选项; 结合反函数的性质可以判断 选项; 利用特殊值的思路得到 的范围即可判断 选项.
【详解】因为 分别是函数 的零点,所以 ,那么 可以看做函数 和 与函数 图像交点的横坐标,
如图所示,点 分别为函数 的图像与函数 图像的交点,所以 ,因为函数 和 互为反函数,所以函数图像关于 的图像对称, 的图像也关于 的图像对称,所以点
和 关于点 对称, ,故 正确；
由反函数的性质可得 ,因为 单调递增, ,
所以 ,所以 ,故 错；
当 时,函数 对应的函数值为 ,函数 对应的函数值为 ,因为
,所以 ,
所以 的范围为 ,那么 ,而 ,所以 ,故 正确.
故选: ABD.
函数图像与科普解析
1. A
【分析】根据函数的定义域以及奇偶性即可求得答案.
【详解】因为函数 的定义域为 ,排除 ,
又 ,即 为偶函数,图象关于 轴对称,排除 .
故选: A.
2. A
【分析】根据题意,由函数的奇偶性可排除 ,计算 即可排除 .
【详解】因为 ,所以 为偶函数,
故 C, D 项错误;
又 ,故 项错误.
故选: A.
3. A
【分析】根据函数的奇偶性判断即可.
【详解】设 ,则 ,
所以 为奇函数,
设 ,可知 为偶函数,
所以 为奇函数,则 错误,
易知 ,所以 正确, 错误.
故选: A.
4. A
【分析】根据函数奇偶性以及 时函数值的正负,通过排除法得答案.
【详解】函数 的定义域为 ,
即函数 为偶函数,排除 ;
当 时, ,排除 .
故选: A.
5. D
【分析】根据 排除 ,根据定义域排除 ,根据奇偶性排除 ,进而可得答案.
【详解】对于 在 处无意义,故 错误;
对于 的定义域为 ,故 错误;
对于 的定义域为 ,
且 ,则 为偶函数,故 错误;
对于 满足图中要求,故 正确.
故选: D.
6. ABC
【分析】分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可.
【详解】 ,
当 时, , A 选项正确;
时, 有两个根 ,且 时
,根据极值点判断,故 选项正确, 选项错误;
当 时, 有两个根 ,且 ,此时
,故 选项正确.
故选: ABC.
7. D
【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断 选项错误,对 代入 判断 错误,则可得到 正确.
【详解】根据函数 的图象,知 ,而对 选项 排除 ;
对 选项 ,因为 ,则 ,
则 ,但图象中函数值可以大于 1,排除 ;
根据 选项的解析式, ,而根据函数 的图象,知 ,排除 .
故选: D.
8. C
【详解】试题分析: 函数在 处无意义,由图像看 在 轴右侧,所以 ,由 ,即 ,即函数的零点 ,故选 C. 考点: 函数的图像
9. ABC
【分析】利用指数函数的单调性,求解出 的取值范围,从而求解出各个选项不等式的正确与否.
【详解】根据函数 的图象,
知函数 是单调递增函数,所以 .
又 时, ,所以 ,解得 ,
所以 是增函数, , A 正确.
由 ,得 正确.
由 ,得 正确.
由 是单调递减函数,得 错误.
故选: ABC.
10. C
【分析】根据题意将 代入 中,然后利用对数的运算性质计算可求出 的值.
【详解】由 时,
得 ,
所以 ,
因为 ,
所以
故选: C.
11. B
【分析】根据题意可得 ,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 天,根据 ,解得 即可得结果.
【详解】因为 ,所以 ,所以 ,
设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 天,
则 ,所以 ,所以 ,
所以 天.
故选: B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用, 考查了指数式化对数式, 属于基础题.
12. B
【分析】根据题意,得到 ,结合对数的运算法则,即可求解.
【详解】由题意, 某地地震波的最大振幅为 5000 , 且这次地震的标准地震振幅为 0.002 ,
可得 .
故选: B.
13. A
【分析】根据题意,利用给定的函数关系式,分别求得 ,结合对数的运算性质,求得 的值,即可求解.
【详解】由火箭的最大速度 和燃料的质量 、火箭的质量 的函数关系是 ,当 时,有 ,所以 ;
当 时,有 ,所以 ,
可得 .
故选: A.
14. B
【分析】由已知有 ,可得 ,当 时,解得 ,可求还需的时间.
【详解】由题意知, 时, ,可得 .
设 ,则 ,解得 ,
因此,污染物消除至最初的 51.2 %还需要 .
故选: B.
15. A
【分析】由 ,得到 ,分别代入 ,得到 和 的值,进而得到 ,求解即可.
【详解】由 ,得到 ,
当 时, ；
当 时, .
依题意,明年 的产量将是今年的 倍,得: ,
,即 ,解得 .
.
故选: A.
切线问题解析
参考答案:
1. A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点(0,1)处的切线方程,即可得其与坐标轴的交点坐标,即可得其面积.
【详解】 ,
则 ,
即该切线方程为 ,即 ,
令 ,则 ,令 ,则 ,
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积 .
故选: A.
2.
【分析】
确定曲线 在点(0,1)处的切线的斜率,求出函数的导数,根据导数的几何意义,即可求得答案.
【详解】
因为曲线 在点(0,1)处的切线与直线 平行,
故曲线 在点(0,1)处的切线的斜率为 2,
因为 ,所以 ,
所以 ,
故选:C.
3. D
【分析】解法一:根据导数几何意义求得切线方程, 再构造函数, 利用导数研究函数图象, 结合图形确定结果; 解法二: 画出曲线 的图象,根据直观即可判定点(a, b)在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线 上任取一点 ,对函数 求导得 ,
所以,曲线 在点 处的切线方程为 ,即 ,
由题意可知,点(a, b)在直线 上,可得 ,
令 ,则 .
当 时, ,此时函数 单调递增,
当 时, ,此时函数 单调递减,
所以, ,
由题意可知,直线 与曲线 的图象有两个交点,则 ,
当 时, ,当 时, ,作出函数 的图象如下图所示:
由图可知,当 时,直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选: D.
解法二: 画出函数曲线 的图象如图所示,根据直观即可判定点(a, b)在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线. 由此可知 .
故选: D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法, 其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计,
解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上, 直观解决问题的有效方法.
4. A
【分析】设切点坐标为 ,由切点坐标求出切线方程,代入坐标(a, b),关于 的方程有两个不同的实数解,变形后转化为直线与函数图象有两个交点, 构造新函数由导数确定函数的图象后可得.
【详解】设切点坐标为 ,由于 ,因此切线方程为 ,
又切线过点(a, b),则 ,
设 ,函数定义域是 ,
则直线 与曲线 有两个不同的交点, ,
当 时, 恒成立, 在定义域内单调递增,不合题意;
当 时, 时, 单调递减,
时, 单调递增,所以 ,
结合图象可知 ,即 .
故选: A.
5. AD 【分析】设切点为 ,则有 ,所以将问题转化为方程 恰有两个解,令 ,然后利用导数求解其零点即可.
【详解】由 ,得 ,
设切点为 ,则切线的斜率为 ,
所以有 ,
整理得 ,
由题意可知此方程有且恰有两个解,
令 ,
令 ,则 ,
所以 在 上递增,
因为 ,
所以当 时, ,当 时, ,
①当 ,即 时,
当 时, ,则 递增,当 时, ,则 递减,当 时, ,则 递增,
所以只要 或 ,
即 或 ；
②当 ,即 时,当 时, ,则 递减,当 时, ,则 递增,
所以只要 ,即 ,而 ;
③当 ,即 时,当 时, ,则 递增,当 时, ,则 递减,当 时,
,则 递增,
当 时, ,
所以只要 或 ,由 ,得 ,由 得 ;
④当 时, ,所以 在 上递增,所以函数至多有一个零点,不合题意；
综上: 时, 时, 或 ;
时, 或 ,故 正确, 错误, 错误, 正确.
故选: AD.
【点睛】关键点点睛: 此题考查导数的综合应用, 考查导数的几何意义, 考查利用导数解决函数零点问题, 解题的关键是根据题意将问题转化为方程 恰有两个解,构造函数
,再次将问题转化为此函数有两个零点,然后利用导数通过分析其单调性可求得结果, 考查数学转化思想, 属于难题.
6. C
【分析】根据切点和斜率列方程,利用构造函数法结合导数来求得 的取值范围.
【详解】设切点为 ,因为 ,所以 .
又因为切点 在直线 上,
所以 ,解得 ,所以 .
令 ,则 ,
所以 在区间(0,1)上 单调递减,
在区间 上 单调递增,
所以 ,故 的取值范围为 .
故选:C
7.
【分析】设切点为 ,由导数的几何意义可表示出 ,由切点在直线 上可得到 ,从而利用 表示出 ,构造函数 ,利用导数可求得 ,代入可求得结果.
【详解】由 得: ,
设直线 与曲线 相切与点 ,
则 ,又 ,则 ,
,
令 ,
,
,
当 时, ; 当 时, ;
在 上单调递增,在 上单调递减,
,即 的最大值为 .
故答案为: .
【点睛】关键点点睛: 本题考查导数在研究函数中的应用,解题关键是能够根据导数的几何意义,利用切点横坐标 表示出所求式子,从而将所求最值转化为关于 的函数最值的求解,通过构造函数的方式,利用导数求得最值.
8. C
【分析】设出点 的坐标,求出原分段函数的导函数,得到直线 与 的斜率,由两直线垂直求得 的横坐标的乘积为 1,再分别写出两直线的点斜式方程,求得 两点的纵坐标,得到 ,联立两直线方程求得 的横坐标,然后代入三角形面积公式,利用对勾函数单调性求得 的面积的取值范围.
【详解】设 ,
当 时, ,当 时, ,
的斜率 的斜率 ,
与 垂直, ,
如图,
,即 .
直线 .
取 分别得到 ,
.
联立两直线方程可得交点 的横坐标为 ,
.
函数 在(0,1)上为减函数,且 ,
,则 ,
.
的面积的取值范围是(0,1).
故选: C.
9.(0,1)
【分析】结合导数的几何意义可得 ,结合直线方程及两点间距离公式可得 , ,化简即可得解.
【详解】由题意, ,则 ,
所以点 和点 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
同理 ,
所以 .
故答案为:(0,1)
【点睛】关键点点睛:
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件 ,消去一个变量后,运算即可得解.
10. ACD
【分析】对于 ,构造函数 ,计算即可判断; 对于 ,写出 点处的切线程联立并化简得 , 而 ,计算即可判断；对于 ,根据斜率相等可得 为两切线的交点代入化简得 ,再计算可得 ；对于 ,根据 ,计算即可判断.
【详解】令 ,则 ,
故 时, 递增; 时, 递减,
所以 的极大值 ,且 ,
因为直线 与曲线 相交于 两点,
所以 与 图像有 2 个交点,
所以 ,故 正确;
设 ,且 ,可得 ,
在 点处的切线程为 ,
因为 ,所以 ,即 ,故 错误;
因为 ,所以 ,
因为 为两切线的交点,
所以 ,
即 ,所以 ,
所以 ,故 正确;
因为 ,所以 ,所以 ,
同理得 ,得 ,即 ,
因为 ,所以 ,故 正确.
故选: ACD. 【点睛】方法点睛: 判断 ,关键在于根据切线方程联立求得 ,而 两点得斜率即为直线得斜率得 ,化简可得；判断 ,根据斜率相等得 ,根据 在切线上,代入化简计算可得 ,计算得 后即可判断 ,关键在于利用不等式 进行计算化简即可判断.
11. AD
【分析】根据导数求出两直线斜率可判断选项 、 ; 根据斜率与倾斜角的关系及和差角公式求出 ,判断选项 ; 利用导数的几何意义求出斜率判断选项
【详解】由题意得 ,由 ,
得 ,如图,可知 与 交点是(1,1)
可得 ,
由 ,得 ,所以直线 的斜率为 ,
由 ,得 ,所以直线 的斜率为 ,
即直线 的斜率等于直线 的斜率,所以 ,故 对;
因为 ,
所以不存在 ,使得 ,故 错；
如图,设 的倾斜角分别为 ,
因为三角形 为等边三角形,所以 ,
又 ,
所以当 ,
整理得 ,所以 (负值舍去);
当 ,
整理得 ,所以 (负值舍去);
所以 ,
又由题意可得 关于直线 对称, 为等边三角形,故 错误;
若 与曲线 相切,切点为 ,则 ,
即 ,又 在 上,所以 ,所以 ,即 ,故 对;
故选: AD
【点睛】关键点点睛:根据导数的几何意义求出直线斜率,结合两直线平行和垂直的斜率关系进行判断各项.
12. AB
【分析】先利用导数几何意义求出切线方程, 利用切线斜率和截距相等建立方程, 然后利用指对互化判断 A、B,由数
量积坐标运算化简 ,判断函数值符号即可判断 ,构造函数,利用导数法研究函数的单调性,判断 D
【详解】因为 ,所以 ,又 ,所以 ,
切线: ,即 ,
因为 ,所以 ,又 ,所以 ,
切线: ,即 ,
由题意切线重合,所以 ,所以 ,即 正确;
当 时,两切线不重合,不合题意,
所以 ,
所以 正确;
当 时, ,则 ,当 时, ,
则 ,所以 错误;
设 ,则 ,
所以函数 在 上单调递增,所以 ,所以 ,
所以 ,
记 ,则 ,
所以函数 在 上单调递增

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