资源简介

导数大题之恒成立问题
1.(2016 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(四川卷)设函数 ,其中 .
( I )讨论 的单调性；
(II)确定 的所有可能取值,使得 在区间 内恒成立 .
2. (2023 全国甲卷理数) 已知函数
(1)当 时,讨论 的单调性；
(2)若 恒成立,求 的取值范围.
3. (2024 年高考全国甲卷数学 (理) 真题) 已知函数 .
(1)当 时,求 的极值;
(2)当 时, ,求 的取值范围.
4. (2024 年新课标全国I卷数学真题) 已知函数
(1)若 ,且 ,求 的最小值；
(2)证明:曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ,求 的取值范围.
5. (湖南省长沙市 2023 届高三上学期新高考适应性考试数学试题) 已知函数 ,其中 .
(1) 求 的最大值;
(2)若不等式 对于任意的 恒成立,求实数 的取值范围.
6. (2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(全国II卷)已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ,当 时, ,求 的最大值；
(3)已知 ,估计 的近似值(精确到 0.001)
7. (2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学 (北京卷带解析)) 已知函数 .
(1) 求证: ;
(2)若 对 恒成立,求 的最大值与 的最小值.
8. (浙江省温州市 2023 届高三下学期 5 月第三次适应性考试 (三模) 数学试题) 已知函数 . ( 1 )证明:函数 在 上有且只有一个零点；
(2)当 时,求函数 的最小值;
(3) 设 ,若对任意的 恒成立,且不等式两端等号均能取到,求 的最大值.
9. (2012 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(大纲卷)设函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2) 设 ,求 的取值范围.
10. (2020 年全国统一高考数学试卷 (理科) (新课标I)) 已知函数 .
( 1 )当 时,讨论 的单调性；
(2)当 时, ,求 的取值范围.
11. (2023 年新课标全国II卷数学真题) (1) 证明: 当 时, ;
(2)已知函数 ,若 是 的极大值点,求 的取值范围.
12. (四川省成都市 2023 届高三三诊理科数学试题) 已知函数 ,其中 .
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(2)若 是函数 的极小值点,求 的取值范围.
13. (2018 年全国卷III理数) 已知函数 .
(1)若 ,证明:当 时, ；当 时, ；
(2)若 是 的极大值点,求 .
14.(河南省信阳市新县高级中学 2024 届高三下学期适应性考试(十六)数学试题)已知函数
(1)当 时,求 在区间 内极值点的个数;
(2)若 恒成立,求 的值;
15. (2024 年全国高考名校名师联席命制数学(理)押题卷(六))已知函数 .
(1)当 时,证明: 恒成立;
(2)若对于任意的 ,都有 恒成立,求实数 的取值范围.
16. (山东省济南市 2023 届高三下学期 3 月一模数学试题) 已知函数 .
(1)当 ,求曲线 在点 处的切线方程.
(2)若 在 上单调递增,求 的取值范围;
(3)若 的最小值为 1,求 .
17. (贵州省遵义市 2024 届高三第二次模拟测试数学试题) 函数 有且只有两个零点 . (1)求实数 的取值范围；
(2)已知 为常数,设函数 ,若 ,求 的值.
18.(2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(四川卷)已知函数 ,其中 .
(1)设 是 的导函数,讨论 的单调性；
(2)证明:存在 ,使得 在区间 内恒成立,且 在 内有唯一解. 19. (河北省部分学校联考 2024 届高三下学期 3 月模拟 (二) 数学试题) 已知函数 . (1)若函数 有 3 个不同的零点,求 的取值范围; (2)已知 为函数 的导函数, 在 上有极小值 0,对于某点 在 点的切线方程为 ,若对于 ,都有 ,则称 为好点.
① 求 的值；
②求所有的好点.
20. (湖北省武汉市 2021 届高三下学期 4 月质量检测数学试题) 已知函数 .
(1) 当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(2)若存在正实数 ,使得当 时,有 能成立,求 的值.
21. (湖北省武汉市 2024 届高中毕业班二月调研考试数学试题) 已知函数 .
( 1 )求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明: 是其定义域上的增函数；
(3)若 ,其中 且 ,求实数 的值.
22. (河南省驻马店部分学校 2024 年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题(二) 已知函数 .
(1)讨论 的最值;
(2)若 ,且 ,求 的取值范围.
23. (2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(浙江卷) .
(1)若 为 的极值点,求实数 ；
(2)求实数 的取值范围,使得对任意的 ,恒有 成立.
注: 为自然对数的底数.
24. (湖南省 2024 届高三下学期数学模拟试题) 若函数 及其导函数 均在区间 上有定义,且对于 ,
都有 恒成立,则称函数 在区间 上为 级单增函数.
(1)证明: 在区间(2,3)内为 5 级单增函数;
(2)若 在区间 上为 3 级单增函数,求实数 的取值范围.
25. (重庆市沙坪坝区南开中学校 2024 届高三上学期第四次质量检测 (期中) 数学试题) 已知函数 ,
(1)若曲线 在点 处的切线与曲线 也相切,求实数 的值.
(2)若不等式 对任意的 恒成立,求 的取值范围. ( 为自然对数的底数) 26. (湖南省长沙市麓山国际实验学校 2020-2021 学年高三上学期第一次月考数学试题) 已知函数
(1)若直线 与曲线 相切,求 的值；
(2)若关于 的不等式 恒成立,求 的取值范围.
27. (陕西省安康市高新中学、安康中学高新分校 2023-2024 学年高三阶段性测试(八)理科数学试题)已知函数
(1) 求曲线 与 的公切线的条数;
( 2 )若 ,求 的取值范围.
28. (广东省佛山市 2023 届高三二模数学试题) 已知函数 ,其中 .
(1)若 有两个零点,求 的取值范围;
(2)若 ,求 的取值范围.
29. (2019 年浙江省高考数学试卷) 已知实数 ,设函数 .
(1) 当 时,求函数 的单调区间;
(2)对任意 均有 ,求 的取值范围.
注: 为自然对数的底数.
30. (2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标II)设函数 .
(1)证明: 在 单调递减,在 单调递增；
(2)若对于任意 ,都有 ,求 的取值范围.
31. (福建省厦门第一中学 2023 届高三三模数学试题) 已知函数 .
(1)若 ,设 ,讨论函数 的单调性；
(2) 令 ,若存在 ,使得 ,求 的取值范围.
32. (2021 年天津高考数学试题) 已知 ,函数 .
( I )求曲线 在点 处的切线方程:
(II)证明 存在唯一的极值点
(III)若存在 ,使得 对任意 成立,求实数 的取值范围.
33. (湖南省长沙市雅礼中学 2020 届高三上学期月考试卷 (一) 理科数学试题) 已知函数 .
( 1 )当 时,证明函数 是增函数；
(2)是否存在实数 ,使得只有唯一的正数 ,当 时恒有: ,若这样的实数 存在,试求 、 的值, 若不存在, 请说明理由.
34. (浙江省宁波市九校 2022-2023 学年高三上学期期末联考数学试题) 已知函数 是自然对数的底数.
(1) 求 的单调区间;
( 2 )若不等式 对 恒成立,求实数 的取值范围.
35. (河南省济洛平许 2024 届高三第三次质量检测数学试题) 已知函数 , e 为自然对数的底数.
(1)若此函数的图象与直线 交于点 ,求该曲线在点 处的切线方程；
(2)判断不等式 的整数解的个数；
(3)当 时, ,求实数 的取值范围.
36. (四川省绵阳市 2024 届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题) 已知函数 .
(1)当 时,求 的单调性；
( 2 )若 ,求实数 的取值范围.
37. (四川省绵阳市 2021-2022 学年高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题) 已知函数 ,其图象在点 处的切线斜率为 .
(1)证明:当 时, ；
(2)若函数 在定义域上无极值,求正整数 的最大值.
38. (辽宁省协作校 2024 届高三下学期第一次模拟考试数学试题) 已知函数 (其中 为实数,且 )
(1)当 时, 恒成立,求 ；
(2)当 时,函数 有两个不同的零点,求 的最大整数值. (参考数据: )
39. (福建省福州市 2022 届高三 5 月质量检测数学试题) 设函数 ,曲线 在 处的切线与
轴交于点 ;
(1)求 ；
(2)若当 时, ,记符合条件的 的最大整数值、最小整数值分别为 ,求 . 注:
为自然对数的底数.
40. (广东省佛山市 2024 届高三教学质量检测(一)数学试题)已知 ,其中 .
(1) 求 的单调区间;
(2)若 ,证明: 当 时, .
41. (江西省南昌市 2022 届高三第二次模拟测试卷数学 (理) 试题) 已知函数 是自然对数的底数).
(1)当 时,试判断 在 上极值点的个数;
(2)当 时,求证: 对任意 .
42. (福建省莆田市 2021 届高三高中毕业班 3 月第二次教学质量检测数学试题) 设函数 .
(1)若 在 上存在零点,求实数 的取值范围；
(2)证明:当 时, .
43. (广东省佛山市普通高中 2022 届高三上学期期末数学试题) 已知函数 ,其中 且 .
(1) 设 ,过点 作曲线 的切线 (斜率存在),求切线的斜率;
(2)证明: 当 或 时, .
参考答案:
1. (I) 见解析 (II) .
2. (1)答案见解析.
(2)
3. (1) 极小值为 0 , 无极大值.
(2)
4.
(2)证明见解析
(3)
5. (1)1
(2)
6. (1) 函数 在 上是增函数; (2) 2; (3) 0.693
7. (1) 详见解析; (2) 的最大值为 的最小值为 1.
8. (1)证明过程见详解
(2)
(3)
9. (1)答案见解析
(2)
10. (1) 当 时, 单调递减,当 时, 单调
递增. (2)
11. (1) 证明见详解(2)
12.
(2)
13.(1)见解析
(2)
14. (1)2 个
(2)
15. (1)证明见解析
(2)
16.
(2)
(3)
17. ;
(2) .
18. (1) 当 时, 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减；当 时, 在区间 上单调递增. (2) 详见解析.
19.
(2)① ；②
20. (1) ; (2) 1.
21. (1)
(2)证明过程见解析
(3)
22. (1)答案见解析
(2)
23. (1) 或
(2)
24. (1)证明过程见解析
(2)
25. (1)
(2)
26. (1) .
27. (1)2 条
(2)
28. ;
.
29. (1) 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .
30. (1) 在 单调递减,在 单调递增; (2) .
31. (1) 在(0, b)和 上单调递减
(2)
32. (I) ; (II) 证明见解析; (III)
33. (1) 详见解析; (2) 存在实数 只有唯一值 满足题意.
34. (1) 单调递增区间是(0,1)和 ,单调递减区间是(1, e)
(2)
35. (1)
(2)3
(3)
36. (1) 单调递减区间为 ; 单调递增区间为
(2)
37. (1) 证明见解析; (2) 5.
38. (1)
(2) -1
39. (1)
(2)8
40. (1)答案见解析
(2)证明见解析
41. (1) 在 上只有一个极值点,即唯一极小值点;
(2)证明见解析
42. ,(2)证明见解析
43. (1) ;
(2)证明见解析.详解
1. (I) 见解析 (II) .
【详解】试题分析:本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性,解决恒成立问题,考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力. 第(I)问,对 求导,再对 a 进行讨论,从而判断函数 的单调性；第(II)问,利用导数判断函数的单调性, 从而证明结论.
试题解析: (I) .
当 时, 在 内单调递减.
当 时,由 ,有 .
此时,当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增.
(II) 令 .
则 .
而当 时, ,
所以 在区间 内单调递增.
又由 ,有 ,
从而当 时, .
当 时, .
故当 在区间 内恒成立时,必有 .
当 时, .
由 (I) 有 ,从而 ,
所以此时 在区间 内不恒成立.
当 时,令 ,
当 时, ,
因此, 在区间 单调递增.
又因为 ,所以当 时, ,即 恒成立.
综上, .
【考点】导数的计算, 利用导数求函数的单调性, 解决恒成立问题
【名师点睛】本题考查导数的计算,利用导数求函数的单调性,解决恒成立问题,考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力. 求函数的单调性,基本方法是求 ,解方程 ,再通过 的正负确定 的单调性; 要证明不等式 ,一般证明 的最小值大于 0,为此要研究函数 的单调性. 本题中注意由于函数 的极小值没法确定,因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围. 比较新颖,学生不易想到,有一定的难度.
2. (1)答案见解析.
【分析】(1)求导,然后令 ,讨论导数的符号即可；
(2)构造 ,计算 的最大值,然后与 0 比较大小,得出 的分界点,再对 讨论即可.
【详解】( 1 )
令 ,则
则
当
当 ,即 .
当 ,即 .
所以 在 上单调递增,在 上单调递减
(2) 设
设
所以 .
若
即 在 上单调递减,所以 .
所以当 ,符合题意.
若
当 ,所以 . . 所以 ,使得 ,即 ,使得 .
当 ,即当 单调递增.
所以当 ,不合题意.
综上, 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性 在定义域内是减函数,若 ,当
,对应当 .
3. (1)极小值为 0 , 无极大值.
(2)
【分析】(1)求出函数的导数, 根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
( 2 )求出函数的二阶导数,就 、 、 分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】( 1 )当 时, ,
故 ,
因为 在 上为增函数,
故 在 上为增函数,而 ,
故当 时, ,当 时, ,
故 在 处取极小值且极小值为 ,无极大值.
(2) ,
设 ,
则 ,
当 时, ,故 在 上为增函数,
故 ,即 ,
所以 在 上为增函数,故 .
当 时,当 时, ,
故 在 上为减函数,故在 上 ,
即在 上 即 为减函数,
故在 上 ,不合题意,舍.
当 ,此时 在 上恒成立,
同理可得在 上 恒成立,不合题意,舍;
综上, .
【点睛】思路点睛:导数背景下不等式恒成立问题, 往往需要利用导数判断函数单调性, 有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征, 处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.
4. (1)-2
(2)证明见解析
(3)
【分析】( 1 )求出 后根据 可求 的最小值；
(2)设 为 图象上任意一点,可证 关于(1, a)的对称点为 也在函数的图像上,从而可证对称性;
(3)根据题设可判断 即 ,再根据 在(1,2)上恒成立可求得 .
【详解】( 1 ) 时, ,其中 ,
则 ,
因为 ,当且仅当 时等号成立,
故 ,而 成立,故 即 ,
所以 的最小值为 -2.,
(2) 的定义域为(0,2),
设 为 图象上任意一点,
关于(1, a)的对称点为 ,
因为 在 图象上,故 , 而 ,
所以 也在 图象上,
由 的任意性可得 图象为中心对称图形,且对称中心为(1, a).
(3)因为 当且仅当 ,故 为 的一个解,
所以 即 ,
先考虑 时, 恒成立.
此时 即为 在(1,2)上恒成立,
设 ,则 在(0,1)上恒成立,
设 ,
则 ,
当 ,
故 恒成立,故 在(0,1)上为增函数,
故 即 在(1,2)上恒成立.
当 时, ,
故 恒成立,故 在(0,1)上为增函数,
故 即 在(1,2)上恒成立.
当 ,则当 时,
故在 上 为减函数,故 ,不合题意,舍;
综上, 在(1,2)上恒成立时 .
而当 时,
而 时,由上述过程可得 在(0,1)递增,故 的解为(0,1),
即 的解为(1,2).
综上, .
【点睛】思路点睛: 一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解, 而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点, 另外, 根据函数不等式的解确定参数范围时, 可先由恒成立得到参数的范围, 再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.
5. (1)1
(2)
【分析】(1)求导,得到函数单调性,极值最值情况,求出最大值；
(2)先考虑 时满足题意,再分 与 两种情况,求导后变形,与题干中的 建立联系,分类讨论求出实数 的取值范围. 【详解】( 1 ) ,
令 ,解得: 或 ,
令 ,解得: ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减,
故 在 处取得极大值, ,
令 ,即当 时, 恒成立,
故 在 处取得最大值, ;
(2)设 ,其中 ,
①当 时, ,符合题意,
② 当 时, ,且 ,
由 (1) 知: 在(0,1)单调递增,故 ,
若 ,则 单调递减,有 ,符合题意,
若 ,符合题意,
若 ,即 时, ,则 在(0,1)上单调递减,有 ,符合题意,
若 ,即 时,存在 使得 ,
当 时, ,故 ,则 单调递增,可得 ,不合题意,
因此当 时,满足题意得 ,
③当 时, ,且 ,
由②可知: 只需考虑 ,
若 ,即 时,由 (1) 知 在(1,2)上单调递减,故 ,
存在 ,使得 ,
当 时, ,得 ,则 单调递减,
可得: ,不合题意,
若 ,即 时,由 (1) 可知: 当 时, ,
故 ,则 在 上单调递增,有 ,符合题意,
若 ,符合题意,
若 ,下面证明 符合题意,
当 时, ,故 ,
当 时,设 ,则 ,
可得 在(1,2)上单调递增,在(2, e)上单调递减,
故 ,
从而 ,符合题意,
综上: .
【点睛】数学问题的转化要注意等价性, 也就是充分性与必要性兼备, 有时在探求参数的取值范围时, 为了寻找解题突破口, 从满足题意得自变量范围内选择一个数, 代入求得参数的取值范围, 从而得到使得问题成立的一个必要条件, 这个范围可能恰好就是所求范围, 也可能比所求的范围大, 需要验证其充分性, 这就是所谓的必要性探路和充分性证明,
对于特殊值的选取策略一般是某个常数, 实际上时切线的横坐标, 端点值或极值点等.
6. (1) 函数 在 上是增函数; (2) 2; (3) 0.693
【详解】( 1 )因为 ,当且仅当 时等号成立,所以函数 在 上是增函数；
(2)因为 ,
所以 .
当 时, ,等号仅当 时成立,所以 在 上单调递增,而 ,所以对任意 ;
当 时,若 满足 ,即 时, ,而 ,
因此当 时, ,
综上, 的最大值为 2 .
(3) 由 (2) 知, ,
当 时, ;
当 时, ,
,所以 的近似值为 0.693 .
【易错点】对第(I)问,函数单调性的判断,容易;对第(2)问,考虑不到针对 去讨论; 对第(3)问,
找不到思路.
考点: 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识, 综合性较强, 考查函数与方程、分类讨论等数学思想方法, 考查同学们分析问题、解决问题的能力, 熟练函数与导数的基础知识以及基本题型是解答好本类题目的关键.
7. (1) 详见解析; (2) 的最大值为 的最小值为 1.
【详解】试题分析:(1)求 ,由 ,判断出 ,得出函数 在 上单调递减,从而 ；(2)由于 ,“ ”等价于“ ”,“ ”等价于“ ”,令 ,则 ,对 分 进行讨论,
用导数法判断函数 的单调性,从而确定当 对 恒成立时 的最大值与 的最小值.
(1) 由 得 ,
因为在区间 上 ,所以, 在区间 上单调递减,
从而 .
(2)当 时,“ ”等价于“ ”,“ ”等价于“ ”,
令 ,则 ,
当 时, 对任意 恒成立,
当 时,因为对任意 ,所以 在区间 上单调递减,从而
对任意 恒成立.
当 时,存在唯一的 使得 ,
、 在区间 上的情况如下表:
+ 0 -
↑ ↓
因为 在区间 上是增函数,所以 ,进一步 “ 对任意 恒成立”
,当且仅当 ,即 .
综上所述,当且仅当 时, 对任意 恒成立. 当且仅当 时, 对任意 恒成立.
所以,若 对 恒成立,则 的最大值为 与 的最小值 1 .
考点: 导数法求函数的单调性, 恒成立、分类讨论.
8. (1)证明过程见详解
(2)
(3)
【分析】( 1 )将证明的结论转化为 在 上有且只有一个零点.
然后对函数 求导判断函数的单调性,利用零点存在性定理即可证明;
(2)对函数求导,判断函数的单调性进而求出函数的最小值；
(3)结合(1)(2)的结论和已知条件可知,使 最大,则 ,则 ,且等号取到 与函数 相切, 然后利用导数的几何意义进行求解即可.
【详解】( 1 )令 ,得 ,令 ,
要证函数 在 上有且只有一个零点,
即证 在 上有且只有一个零点.
因为 ,所以函数 在 上单调递减,
由 ,则 ,
由零点存在性定理可知,函数 在 上有且只有一个零点.
故得证.
( 2 )对函数求导可得 ,因为 ,
所以当 时,显然 ,则 ;
当 时,令 ,
因为 ,
(令 ,则 ,所以 在 上单调递增,则 ,
所以 )
所以当 时, 在 上单调递增,
故 ,则 ,
则函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 .
( 3 )由( 1 )知,函数 在 上有且只有一个零点,
由(2)知函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
且当 ,函数趋近于 0,
考虑到 ,则 ,则 ,当 变大时,则 减小.
要使 最大,则 ,则 ,且等号取到 与函数 相切,
设切点坐标为 ,则 ,
则有 ,
即 ,解得 ,
(下面证明唯一性) 可化为,
,令 , ,函数 在 上
单调递减,
则 ,
当 时,因为 时,恒有 ,则 ,
所以 ,
当 时,因为 时,恒有 ,则 ,
所以 ,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
又因为函数 的最小正周期为 ,
所以函数 与 在 上有唯一的交点, 草图如下: 故 ,所以 的最大值为 . 【点睛】利用导数研究函数的最值问题时, 一般需要先对函数求导, 根据导函数的方法研究函数的单调性, 求出极值, 结合题中条件即可求出最值(有时解析式中会含有参数,求解时,要讨论参数的不同取值范围,再判断函数的单调性, 进行求解).
9. (1)答案见解析
(2)
【分析】(1)求出 ,分类讨论 的范围,在定义域内分别令 与 ,从而得解；
(2)先由题意推得 ,从而构造函数 ,利用导数证得 恒成立,从而分类讨论
与 ,证得 恒成立,由此得解.
【详解】( 1 )因为 ,所以 ,
当 时, ,当且仅当 时, ,
在 上是增函数,
当 时, ,当且仅当 或 时, ,
在 上是减函数,
当 时,令 ,则 或 ,
当 是增函数,
当 是减函数,
当 是增函数.
(2)因为 ,
由 得 ,即 ,则 ,
下证当 时, 恒成立,
令 ,则 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
又 ,即 ,
当 时,有 ,
当 时, ,所以 ,
当 时, ,
则 ,
综上, 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛: 导函数中常用的两种常用的转化方法:
一是利用导数研究含参函数的单调性, 常化为不等式恒成立问题. 注意分类讨论与数形结合思想的应用;
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
10. (1) 当 时, 单调递减,当 时, 单调递增. (2)
【分析】(1)由题意首先对函数二次求导,然后确定导函数的符号,最后确定原函数的单调性即可.
(2)方法一:首先讨论 的情况,然后分离参数,构造新函数,结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 的取值范围.
【详解】(1)当 时, ,
由于 ,故 单调递增,注意到 ,故:
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增.
(2)[方法一]【最优解】:分离参数
由 得, ,其中 ,
①. 当 时,不等式为: ,显然成立,符合题意；
②. 当 时,分离参数 得, ,
记 ,
令 ,
则 ,
故 单调递增, ,
故函数 单调递增, ,
由 可得: 恒成立,
故当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减;
因此, ,
综上可得,实数 的取值范围是 .
[方法二]: 特值探路
当 时, 恒成立 .
只需证当 时, 恒成立.
当 时, .
只需证明 ⑤式成立.
⑤式 ,
令 ,
则 ,
所以当 时, 单调递减;
当 单调递增;
当 单调递减.
从而 ,即 ,⑤式成立.
所以当 时, 恒成立.
综上 .
[方法三]: 指数集中
当 时, 恒成立 ,
记 ,
①. 当 即 时, ,则当 时, , 单调递增,又 ,所以当
时, ,不合题意;
②. 若 即 时,则当 时, 单调递减,当 时, , 单调递增,又 ,
所以若满足 ,只需 ,即 ,所以当 时, 成立; ③ 当 即 时, ,又由②可知 时, 成立,所以 时, 恒成立,
所以 时,满足题意.
综上, .
【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具, 而函数是高中数学中重要的知识点, 本题主要考查利用导数解决恒成立问题, 常用方法技巧有:
方法一,分离参数, 优势在于分离后的函数是具体函数, 容易研究;
方法二,特值探路属于小题方法,可以快速缩小范围甚至得到结果,但是解答题需要证明,具有风险性；
方法三,利用指数集中,可以在求导后省去研究指数函数,有利于进行分类讨论,具有一定的技巧性！
11. (1) 证明见详解(2)
【分析】( 1 )分别构建 ,求导,利用导数判断原函数的单调性, 进而可得结果;
(2)根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究 在(0,1)上的单调性,求导,分类讨论 和 ,结合(1) 中的结论放缩, 根据极大值的定义分析求解.
【详解】( 1 )构建 ,则 对 恒成立,
则 在(0,1)上单调递增,可得 ,
所以 ;
构建 ,
则 ,
构建 ,则 对 恒成立,
则 在(0,1)上单调递增,可得 ,
即 对 恒成立,
则 在(0,1)上单调递增,可得 , 所以 ;
综上所述: .
(2)令 ,解得 ,即函数 的定义域为(-1,1),
若 ,则 ,
因为 在定义域内单调递减, 在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
则 在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
故 是 的极小值点,不合题意,所以 .
当 时,令
因为 ,
且 ,
所以函数 在定义域内为偶函数,
由题意可得: ,
(i) 当 时,取 ,则 ,
由 (1) 可得 ,
且 ,
所以 ,
即当 时, ,则 在(0, m)上单调递增,
结合偶函数的对称性可知: 在(-m,0)上单调递减,
所以 是 的极小值点,不合题意;
(ii) 当 时,取 ,则 ,
由 (1) 可得 ,
构建 ,
则 ,
且 ,则 对 恒成立,
可知 在 上单调递增,且 ,
所以 在 内存在唯一的零点 ,
当 时,则 ,且 ,
则 ,
即当 时, ,则 在(0, n)上单调递减,
结合偶函数的对称性可知: 在(-n,0)上单调递增,
所以 是 的极大值点,符合题意;
综上所述: ,即 ,解得 或 ,
故 的取值范围为 .
【点睛】关键点睛:
1. 当 时,利用 ,换元放缩;
2. 当 时,利用 ,换元放缩.
12.
【分析】(1)根据题意,求导得 ,即可得到切线方程；
(2)根据题意,设 ,分 与 讨论函数 的单调性,结合 是函数 的极小值点,即可得到结果.
【详解】( 1 )当 时,函数 .
.
曲线 在点 处的切线方程为 .
( 2 )由题知 ,不妨设 .
. (i) 当 时,不妨设 . 在 上恒成立.
在 上单调递增.
又 ,
当 时, ; 当 时, .
.
当 时, ,即 在 上单调递减;
当 时, ,即 在 上单调递增.
是函数 的极小值点.
(ii) 当 时,不妨设 .
,使得 ,且 .
在 上单调递减.
当 时, .
当 时, .
在 上单调递减.
不是函数 的极小值点.
综上所述,当 是函数 的极小值点时, 的取值范围为 .
13.(1)见解析
(2)
【详解】分析:(1)求导,利用函数单调性证明即可.
( 2 )分类讨论 和 ,构造函数 ,讨论 的性质即可得到 的范围.
详解: (1) 当 时, .
设函数 ,则 .
当 时, ; 当 时, . 故当 时, ,且仅当 时, ,从而
,且仅当 时, .
所以 在 单调递增.
又 ,故当 时, ; 当 时, .
(2)(i)若 ,由(1)知,当 时, ,这与 是 的极大值点矛盾.
(ii) 若 ,设函数 .
由于当 时, ,故 与 符号相同.
又 ,故 是 的极大值点当且仅当 是 的极大值点.
如果 ,则当 ,且 时, ,故 不是 的极大值点.
如果 ,则 存在根 ,故当 ,且 时, ,所以 不是 的极大值点.
如果 ,则 . 则当 时, ; 当 时, . 所以 是 的极大值点,从而 是 的极大值点
综上, .
点睛: 本题考查函数与导数的综合应用,利用函数的单调性求出最值证明不等式,第二问分类讨论 和 ,当 时构造函数 时关键,讨论函数 的性质,本题难度较大.
14. (1)2 个
(2)
【分析】(1)求导,根据函数在 上的单调性和导函数的单调性可求；
(2)根据题意求出极大值点,进而求出 的值,然后利用导数证明不等式恒成立即可.
【详解】( 1 ) 时, ,因 在 和 上都单调递增,
而 在 单调递增,故 在 和 上都单调递增.
下面来探讨函数 在 上的单调性.
①由 ,当 时, 是减函数,又 ,由零点存在定
理: ,使得 .
当 时, ,即 在 上单调递增;
当 时, ,即 在 上单调递减;
② 设 ,则 ,当 时, 单调递增,
又 , ,故 ,使得 .
当 时, ,即 在 上单调递减;
当 时, ,即 在 上单调递增;
又 ,故 ,使得 .
当 时, ,即 在 上单调递减;
当 时, ,即 在 上单调递增.
综上,函数 在区间 上递增,在 上递减,在 上递增,
故函数 在 上共有 2 个极值点.
(2)因 ,而 恒成立,故 是 的极大值点,
因 ,则 ,解得 .
下面只需证: 当 时, 在 上恒成立即可.
因 ,不妨设 ,则 ,
①若 时,因 ,故 ,即 在(-1,0)上单调递减；
则 在(-1,0)上单调递增, ,符合题意;
②若 时,因 ,则 恒成立,
在 上单调递减,故 ,符合题意.
综上, 符合题意.
【点睛】方法点睛: 导函数解决问题时两种常用的转化方法:
(1)是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题. 注意分类讨论与数形结合思想的应用；
(2)是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
15. (1)证明见解析
(2)
【分析】(1) 已知条件,令 ,得 ,并判断函数的单调性,因为 ,所以 , 由 可得;
( 2 )令 ,得令 ,令 ,令 . 然后分 三种情况讨论,根据单调性求解即可
【详解】( 1 )当 时, .
令 ,则 .
当 时, ,函数 单调递减;
当 时, ,函数 单调递增,
,
,
即当 时, 在 上恒成立.
(2)令 ,
若对于任意的 恒成立,则 .
令 ,
令 ,
令 .
①当 时,由(1)可知, 在 上恒成立且 不恒为零,则 在 上为增函数.
当 时, ,此时函数 单调递减;
当 时, ,此时函数 单调递增, ,符合题意. ② 当 时, .
当 时, ,所以 ;
当 时, ,所以 ;
当 时, ,所以 ,
函数 在 上单调递增.
,
存在 ,使得 ,
当 时, ,则函数 在 上单调递减,
,则函数 在 上单调递减,
,则函数 在 上单调递减,
故当 时, ,不符合题意.
③当 时, ,若 ,由②知 在 上单调递增,则存在 ,使得 ,
且当 时, ;
若 ,由②知 在 上单调递增, 当 时, .
当 时,函数 在 上单调递增,
当 时, 函数 在 上单调递减,
函数 在 上单调递增,
故当 时, ,不符合题意.
综上所述,存在 ,使得对于任意的 ,都有 恒成立,
实数 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛:不等式恒成立问题常见方法:
①分离参数 恒成立(即 可)或 恒成立 (即 可);
②数形结合 图像在 上方即可)；
③ 讨论最值 或 恒成立.
16.
(2)
(3)
【分析】(1)求导,利用导函数的几何意义求出切线方程；
(2)参变分离,构造 ,求导,得到其最小值,求出 的取值范围；
(3)注意到 ,多次求导得到 ,从而分 与 ,结合函数单调性,极值和最值情况, 求出答案
【详解】( 1 ) ,
所以曲线 在点 处的切线方程 ,
即 .
( 2 )因为 在区间 上恒成立,
所以 ,
令 ,则 ,
令 ,则 ,
当 时, 单调递增, ,
所以 ,所以 在 上单调递增,
故 ,
所以 .
(3) ,
令 ,则 ,
令 ,则 ,
当 时, ,
则 ,
当 时, 在 上单调递减,
当 时, 在 上单调递增,
在 上单调递增,且 ,
所以,当 时, 在 上单调递减,
当 时, 在 上单调递增,
所以 .
所以 适合,
当 时,当 时, ,
在 上单调递减, ,
在 上单调递减,
因为 ,所以 在 上单调递减,
此时 ,舍去.
当 时,当 时, ,
在 上单调递减, ,
在 上单调递增, ,舍去;
当 时,当 时, 在 上单调递增,
在 上单调递减,
在 上单调递增,
此时, ,舍去.
综上, .
【点睛】方法点睛: 对于求不等式成立时的参数范围问题, 一般有三个方法:
一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子, 另一端是一个区间上具体的函数, 通过对具体函数的研究确定含参
式子满足的条件;
二是讨论分析法, 根据参数取值情况分类讨论;
三是数形结合法, 将不等式转化为两个函数, 通过两个函数图像确定条件.
17. ;
(2) .
【分析】(1)求出函数 的导数,利用导数结合零点存在性定理求解即得.
(2)利用零点的意义建立方程 ,并令 ,用 表示 ,再利用最小值建立不等式,并等价转化建立函数, 利用导数探讨最大值即可得解. 【详解】( 1 )函数 定义域为 ,求导得 , 当 时, 在 上单调递增,此时至多一个零点,不合题意; 当 时,由 ,得 ; 由 ,得 , 则函数 在(0, a)上单调递减,在 上单调递增, , 当 趋近于 0 时, 趋近于正无穷大,当 趋近于正无穷大时, 趋近于正无穷大, 则只需 ,即 ,此时 在(0, a)上有唯一零点 ,在 上有唯一零点 ,符合题意,
所以 的取值范围是 .
( 2 )由( 1 )知 ,得 ,令 ,则 ,
,
,记 ,
,令 ,则 ,
令 ,求导得 ,当 时, ,当 时, ,
则函数 在 上单调递增,在 上单调递减,而 ,
则 ,当 时, 时,当 时, ,
于是函数 在 上单调递增,在 上单调递减,又 ,
当 时, ,当 时, ,
则函数 在(1, e)上单调递增,在 上单调递减, ,
因此 ,显然当 时, ,而 ,所以 .
【点睛】思路点睛: 已知函数的零点或方程的根的情况, 求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题, 求解此类问题的一般步骤:
(1)转化,即通过构造函数,把问题转化成所构造函数的零点问题；
(2)列式,即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
( 3 )得解,即由列出的式子求出参数的取值范围.
18. (1) 当 时, 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减；当 时, 在区间 上单调递增. (2) 详见解析.
【详解】(1)由已知,函数 的定义域为 ,
所以 .
当 时, 在区间 上单调递增,
在区间 上单调递减;
当 时, 在区间 上单调递增.
( 2 )由 ,解得 .
令 .
则 ,.
故存在 ,使得 .
令 ,.
由 知,函数 在区间 上单调递增.
所以 .
即 .
当 时,有 ,.
由( 1 )知,函数 在区间 上单调递增.
故当 时,有 ,从而 ;
当 时,有 ,从而 ;
所以,当 时, .
综上所述,存在 ,使得 在区间 内恒成立,且 在 内有唯一解.
考点: 本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、
创新意识, 考查函数与方程、数形结合、分类与整合, 化归与转化等数学思想.
19.
(2)① ；②
【分析】(1) 首先讨论当 时,有 1 个零点,当 时,参变分离为 存在两个根,再利用导数分析函数 的图象,即可求解 的取值范围； (2)①利用二次导数求函数 的极小值,根据极小值为 0,即可求解 的值；
②首先求函数在点 处的切线方程,再根据好点的定义,讨论 和 两种情况,求好点.
【详解】(1)当 单调递增,
且 ,当 时, ,因此 在区间 上存在唯一零点,
当 时,只要 存在两个根即可,即 存在两个根,
设 ,则 ,
当 时, ,函数 单调递减,
当 时, ,函数 单调递增,
由 ,当 时, ,当 时, ,
所以当 时,在区间 有 2 个零点,
因此 得到取值范围是 ;
(2)① ,
令 ,则 ,
令 ,得 ,
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增, 故 ,得 ,
② 设 为好点,对于任意 ,都有 ,
当 时, 成立,
当 时,即为当 时, ,
当 时, 成立,
因为 在 点的切线方程为 ,
所以 ,
设 ,即 ,
又因为 在 上单调递减, 上单调递增,故分情况讨论,
(1)当 时,因为 为好点,所以 恒成立,
若 在 上单调递增, ,
所以 在 时单调递增, ,满足条件,故 时成立;
若 在 上单调递减,在 上单调递增,
当 时, ,
所以 在 时单调递减, ,矛盾,不满足条件；
(2)当 时,因为 为好点,所以 恒成立,
若 在 上单调递减, ,
所以 在 时单调递增, ,满足条件,故 时成立;
若 在 上单调递减,在 上单调递增,
当 时, ,
所以 在 时单调递减, ,矛盾,不满足条件；
综上可知,由 (1) (2) 可得, 且 ,即 ,所以只有一个好点 .
【点睛】关键点点睛: 本题的难点是最后一问, 需理解好点的定义, 并根据定义, 分情况进行讨论. 20. (1) ; (2) 1. 【分析】(1)直接求出斜率,写出切线方程；
(2)利用导数研究函数的单调性,分类讨论,求出 的值.
【详解】解: (1) 时, .
切线方程为: .
整理得: .
(2) .
令 ,得 .
令 .
(i) 当 时, 为(-1,1)上的减函数, .
时, 递增.
又此时 ,故 时, 递减.
时, 递增.
时, 递增.
由 . 故 时, .
时, .
此时,存在 使 时, ,满足条件.
(ii) 当 时, 递增.
此时, .
故存在 使得 . 当 时 递增.
时, 递减.
即 时, ,不存在 ,使 时, .
(iii) 当 时, ,令 ,得 .
时, 递减, 递减.
即 时, ,不存在 ,使 时, .
(iv) 当 时, 在 递减. 递减.
故 时, ,不存在 ,使 时, .
综上所述: .
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具, 而函数是高中数学中重要的知识点, 对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:
(1)导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.
(2)利用导数求函数的单调区间, 判断单调性; 已知单调性, 求参数.
( 3 )利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.
(4)考查数形结合思想的应用.
21. (1)
(2)证明过程见解析
(3)
【分析】(1)首先代入 到函数表达式得切点坐标,求出切点处的导数值得切线斜率,由此即可得解.
(2)对 求导后,令 ,对 继续求导发现,对于任意的 有 ,故只需要证明 时, 时, 即可.
(3)由(2)得 ,进一步令 , ,结合题意知 时, , 时, , 对 分类讨论即可求解.
【详解】( 1 )由题意 ,即切点为 ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,即 ;
( 2 )由 ,设 ,则 ,
所以当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,
又 ,所以对于任意的 有 ,即 ,
因此 在 单调递增,在 单调递增,
即 ,则 ,
所以 时, 单调递减,所以 ,即 ,即 ,
时, 单调递增,所以 ,即 ,即 ,
所以 是其定义域上的增函数.
(3)由(2)可知, 时, ,所以 ,故 ,
令 ,
由题意 时, 时, ,
若 ,则当 时, ,不满足条件,
所以 ,
而 ,
令 ,则 ,
令 ,得 ,
在 单调递减,在 单调递增,
若 ,则当 时, 单调递减,此时 ,不满足题意;
若 ,则当 时, 单调递减,此时 ,不满足题意;
若 ,则当 时, 单调递增,此时 ,
且当 时, 单调递增,此时 ,满足题意,
所以 ,解得 ,
综上所述, .
【点睛】关键点睛: 第二问的关键是在得到 在 单调递增,在 单调递增,之后还要继续说明“左边的函数值”小于“右边的函数值”,由此即可顺利得解.
22. (1)答案见解析
(2)
【分析】(1)利用导数分类讨论分析函数的单调性, 求解最值即可;
( 2 )当 时, 恒成立,分离参数 ,构造函数 ,利用导数分析函数的单调性求出最
大值, 即可得解.
【详解】(1)由题意得 的定义域为 ,
当 时, ,
所以 在区间 内单调递减,无最大值,无最小值;
当 时,令 ,得 ,
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增.
故当 时, 取得最小值,且最小值为 ,无最大值.
综上,当 时, 无最大值,无最小值;
当 时, 的最小值为 ,无最大值.
(2)当 时,由 ,
得 ,
整理得 ,
即 .
令 ,
则
由 (1) 知,当 时, 的最
小值为 ,
即 恒成立,
所以当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减.
故当 时, 取得最大值 ,即 ,
故 的取值范围为 .
23. (1) 或
(2)
【分析】(1)求出函数的导数,利用极值点可得 ,故可求 或 .
(2)由特值法可得 ,再就 和 分类讨论,后者可就 和 分类讨论后可求参数的取值范围.
【详解】( 1 ) ,
由题设可得 ,
故 或 .
当 时,
令 ,则 ,
故 为 上的增函数,而 ,
故 在 上仅有一个零点 且 ,
故当 时, ,当 时, ,
当 时, ,故 为 的极值小点,
同理可得 时, 为 的极值大点,
故 或 .
(2)由题设有 ,
取 ,则 ,故 .
当 ,有 ,符合;
当 ,由 (1) 可得 ,
若 ,则当 时, ,则 , 故 ,故 在 上为增函数,故 ,
故 ,而 ,故 .
若 ,则
令 ,则 ,
故 在 上为增函数,而 ,
,故 在 上存在一个零点 ,
故当 时, ,当 时, ,
当 时, ,
故 在 上为增函数,在 上为减函数,在(a,3e)上为增函数,
故 在 上的最大值为 ,
故 ,而 即
故 ,即 ,
但 在 为增函数,且 时,有 ,
故 ,故 ,又 ,故 ,
综上, .
24. (1) 证明过程见解析
(2)
【分析】(1)求导得到 ,从而证明出结论；
(2)由题意得 在 上恒成立,参变分离得到 ,构造函数 ,求导,结合隐零点得到单调性和极值最值情况,得到答案.
【详解】( 1 ) ,
,由于 在 上单调递增, 故 ,所以 在区间(2,3)内为 5 级单增函数;
(2) ,
由题意得 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,
故 ,
令 ,
则 ,
令 ,则 ,
当 时, ,当 时, ,
故 在(0,1)上单调递减,在 上单调递增,
又 ,
故存在 ,使得 ,
当 时, ,当 时, ,
故 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
故 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 在 和 处取得极小值,
又 ,故 ,
故 ,
同理 ,
故 .
【点睛】思路点睛: 对于求不等式成立时的参数范围问题, 一般有三个方法, 一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子, 另一端是一个区间上具体的函数, 通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件. 二是讨论分析法, 根据参数取值情况分类讨论, 三是数形结合法, 将不等式转化为两个函数, 通过两个函数图像确定条件.
25. (1)
(2)
【分析】(1)求出 的导数,求得切线的斜率和切点,可得切线方程,再设与 相切的切点为 ,求得 的导数,列出方程,即可解得实数 的值.
( 2 )问题转化为 对任意的 恒成立,通过构造函数利用导数求最值的方法解决恒成立问题.
【详解】( 1 )函数 ,
故曲线 在点 处的切线方程为 ,即 .
设切线与曲线 切于点 ,则 ,
解得 .
(2)法一:函数 ,定义域为 ,
故 等价于 ,
记 ,
令 ,
解得 ,解得 ,
故 在(0,1)上单调递减,在 上单调递增,所以当 时, .
所以 解得 解得 ,
故 在(0,2)单调递减,在 单调递增,有 ,
所以 的取值范围为 .
法二: 取 ,由 ,得 .
下证: 当 时, 恒成立.
记 ,
因 ,函数 在 单调递减,
所以 ,
记 ,
记
,解得 ,解得 ,
故 在 单调递减,在 单调递增,
故 ,
故 单调递增,即 单调递增,又 ,
在(0,2)上恒成立,所以 在(0,2)单调递减,在 单调递增,
所以 ,得证.
综上知, 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛:
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具, 构造一个适当的函数, 利用它的单调性进行解题, 是一种常用技巧. 许多问题, 如果运用这种思想去解决, 往往能获得简洁明快的思路, 有着非凡的功效.
26. (1) .
【分析】( 1 )求出导函数 ,可得 ,令 , 利用导数可得 ,进而求出 .
(2)令 ,原命题等价于 恒成立,利用导数只需最小值大于等于 0 即可.
【详解】( 1 ) ,
则有: ,
令 ,
则 在(0,1)上单调递增,在 上单调递减,
又因为 ,所以 ;
( 2 )令 ,则原命题等价于 恒成立,
又 ,设 ,
则 在 上单减,在 上单增,
故只需 ,
令 ,
所以 在(0,1)上单调递增,在 上单调递减,又 ,
,即 .
【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求参数值、利用导数研究不等式恒成立, 此题综合性比较强, 属于难题.
27. (1)2 条
(2)
【分析】(1) 设切点,求导,分别求解 的切线方程,根据公切线可得 ,即可求解 或 ,从而得解,
(2)将问题转化为 对于 恒成立,根据 可得 ,进而构造函数 ,证明 ,即可先求解 ,构造函数 ,求导,结合分类讨论即可求解.
【详解】( 1 )设 的切点分别为 ,
则 ,
故 在切点处的切线方程分别为 ,
则需满足;
,故 ,
解得 或 , 因此曲线 与 有两条不同的公切线, ( 2 )由 可得 , 即 对于 恒成立,
,结合 ,解得
设 ,
则当 时 单调递减,当 时, 单调递增,
故当 ,故 ,
因此 ,
令 ,则 ,
令 ,得 ,
当 时,此时 ,故 在 上单调递减,
所以 ,
所以 ,由于 进而 ,满足题意,
当 时,此时 ,
令 ,解得 单调递增,
令 ,解得 单调递减,
故 ,
令 ,则 ,
由于 ,所以 ,
故 在 单调递减,故 ,即可 ,
因此
所以 ,由于 进而 ,满足题意,
综上可得
【点睛】方法点睛: 对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略:
1、通常要构造新函数, 利用导数研究函数的单调性, 求出最值, 从而求出参数的取值范围;
2、利用可分离变量, 构造新函数, 直接把问题转化为函数的最值问题.
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时, 一般涉及分离参数法, 但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况, 进行求解, 若参变分离不易求解问题,
28. (1) ;
.
【分析】(1)由题可得方程 有两个解,然后构造函数利用导数研究函数的性质进而即得；
( 2 )由题知 恒成立,进而转化为证明当 时 ,然后利用二次函数的性质结合条件可得只需证明 即可,再构造函数利用导数证明不等式即得.
【详解】( 1 )由 有两个零点,得方程 有两个解,
设 ,则 ,
由 ,可得 单调递增,由 ,可得 单调递减,
所以 的最大值为 ,当 时 ,当 时, ,
所以可得函数 的大致图象,
所以 ,解得 ,
所以, 有两个零点时, 的取值范围是 ;
(2)设 ,即 ,则 恒成立,
由 ,可得 ,
下面证明当 时, ,即证 ,
令 ,则证 ,
令 为开口向上的二次函数,对称轴为 ,
由 (1) 可知 ,故 在 时单调递增,
则 ,
下面只需证明 即可,即证 ,
令 ,则 ,
令 ,则 ,
所以函数 单调递减,且 ,
所以当 时, ,当 时, ,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
故 ,即 ,从而不等式 (*) 得证,
综上, 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛: 利用导数证明不等式问题, 方法如下:
(1)直接构造函数法:证明不等式 (或 )转化为证明 (或 ), 进而构造辅助函数 ;
(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.
29. (1) 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .
【分析】(1)首先求得导函数的解析式,然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.
(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到 的取值范围,然后证明所得的范围满足题意即可.
【详解】(1)当 时, ,函数的定义域为 ,且:
因此函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是(0,3).
(2) 由 ,得 ,
当 时, ,等价于 ,
令 ,则 ,
设 ,
则 ,
(i) 当 时, ,
则 ,
记 ,
则
列表讨论:
1
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
(ii) 当 时, ,
令 ,
则 ,
故 在 上单调递增, ,
由(i)得 ,
,
由 (i) (ii) 知对任意 ,
即对任意 ,均有 , 综上所述,所求的 的取值范围是 .
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具, 而函数是高中数学中重要的知识点, 对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性；已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.
30. (1) 在 单调递减,在 单调递增; (2) .
【详解】(I) .
若 ,则当 时, ; 当 时, .
若 ,则当 时, ; 当 时, .
所以, 在 单调递减,在 单调递增.
(II) 由 (I) 知,对任意的 在 单调递减,在 单调递增,故 在 处取得最小值. 所以对于任意 的充要条件是: 即 ①,设函数 , 则 . 当 时, ; 当 时, . 故 在 单调递减,在 单调递增. 又 , ,故当 时, . 当 时, ,即①式成立. 当 时, 由 的单调性, ,即 ; 当 时, ,即 . 综上, 的取值范围是 . 考点: 导数的综合应用.
31. (1) 在(0, b)和 上单调递减
(2)
【分析】( 1 )先写出 ,求 ,二次求导判断 的单调性,得出 ,从而得出 在(0, b)和 上单调递减,需注意单调性在各个区间上分开描述；
(2)先写出 ,求 ,讨论 在 上的最小值 ,使 ,解出 的取值范围,最后取并集即可.
【详解】( 1 ) .
. 令 ,
则 ,
令 ,解得 ,
令 ,解得 ,
在(0, b)上单调递增,在 上单调递减.
,即
在(0, b)和 上单调递减.
( 2 )函数 的定义域为 , ,
.
①当 时,则 ,则当 时, 函数 在 单调递增,
存在 ,使得 的充要条件是 ,即 ,
解得 ；
②当 时,则 ,则当 时, ,函数 在 上单调递减;
当 时, ,函数 在 上单调递增.
存在 ,使得 的充要条件是 ,
而 ,不符合题意,应舍去.
③若 时, ,成立.
综上可得: 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛: 导函数中常用的两种常用的转化方法:
一是利用导数研究含参函数的单调性, 常化为不等式恒成立问题. 注意分类讨论与数形结合思想的应用;
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
32. (I) ; (II) 证明见解析; (III)
【分析】(I)求出 在 处的导数,即切线斜率,求出 ,即可求出切线方程；
(II) 令 ,可得 ,则可化为证明 与 仅有一个交点,利用导数求出 的变化情况,
数形结合即可求解; (III) 令 ,题目等价于存在 ,使得 ,即 ,利用导数即可求出 的最小值.
【详解】(I) ,则 ,
又 ,则切线方程为 ;
(II)令 ,则 ,
令 ,则 ,
当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增,
当 时, ,当 时, ,画出 大致图像如下:
所以当 时, 与 仅有一个交点,令 ,则 ,且 ,
当 时, ,则 单调递增,
当 时, ,则 单调递减,
为 的极大值点,故 存在唯一的极值点;
(III) 由 (II) 知 ,此时 ,
所以 ,
令 ,
若存在 ,使得 对任意 成立,等价于存在 ,使得 ,即 ,
当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,
所以 ,故 ,
所以实数 的取值范围 .
【点睛】关键点睛: 第二问解题的关键是转化为证明 与 仅有一个交点; 第三问解题的关键是转化为存在 ,使得 ,即 .
33. (1) 详见解析; (2) 存在实数 只有唯一值 满足题意.
【分析】( 1 )求出函数 的导数 ,构造函数 ,利用导数证明出 ,可得出 ,从而证明出函数 是增函数;
(2) 取 得出 ,由 可得出 ,构造函数 ,由 得出 ,然后分 和 两种情况讨论,结合 结合已知条件得出 和 的值.
【详解】( 1 ) .
令 ,则 ,
因此,函数 为增函数, ,
故 ,因此,函数 是增函数;
(2)取 ,可知 .
令 ,
由于 .
① 当 时,
时, ,函数 在区间 上为减函数,
时, ,函数 在区间 上为增函数,
令 ,因此存在唯一的正数 ,使得 ,
故只能 .
时, ,函数 在区间 上为减函数,
时, ,函数 在区间 上为增函数,
,此时 只有唯一值 .
②当 时, ,则函数 为增函数,
,解得 ,故 .
(i) 给定时,满足 的 不唯一;
(ii) 时,满足 的 只能 .
但 时满足 且 ,因此 时, 值也不唯一.
综上,存在实数 只有唯一值 ,当 时,恒有: .
【点睛】本题考查函数的导数应用, 函数的单调性以及分类讨论思想的应用, 在利用导数求解不等式恒成立问题时, 要利用导数对函数的单调性进行分析, 并围绕函数的最值来求解, 考查逻辑推理能力与运算求解能力, 属于难题.
34. (1) 单调递增区间是(0,1)和 ,单调递减区间是(1, e)
(2)
【分析】(1)求出 ,利用函数的单调性与导数的关系可求得函数 的增区间和减区间；
( 2 )将原不等式变形为 ,构造函数 ,利用导数分析函数 的单调性, 分析可知 ,分 两种情况讨论,在第一种情况下,利用函数 的单调性以及参变量分离法可得出 ,结合导数法可得出实数 的取值范围；在第二种情况下,直接验证即可,综合可得出实数 的取值范围
【详解】( 1 )解: 函数 的定义域为 ,
因为 ,
由 可得 ,由 可得 或 .
所以 的单调递增区间是(0,1)和 ,单调递减区间是(1, e).
(2)解: 设 ,则 ,
所以 在区间 上单调递增.
不等式 对 恒成立,
等价于 对 恒成立,
即 恒成立.
(i) 当 时,有 恒成立,
若 ,则 对任意的 恒成立,
但 ,与题意矛盾,所以, ,
则 恒成立等价于 恒成立,即 .
设 ,则 .
当 时, ; 当 时, ,
所以 在(1, e)上单调递增,在 上单调递减,
故 ,此时 .
(ii) 当 时,对 显然成立.
综合 (i) (ii) 知 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛: 解本题第二问的关键在于将不等式变形为 ,通过构造函数 ,分析出函数 的单调性,最终结合函数 的单调性以及参变量分离法求解. 35. (1)
(2)3
(3)
【分析】(1)根据导数的几何意义可求得直线的斜率,继而可解；
(2)利用导数考查函数 的单调性,确定零点所在区间即可求解；
(3)变形不等式,参变分离后,利用换元法变形不等式,利用导数考查函数的单调性即可求解.
【详解】( 1 ) ,所以 ,又
所以该曲线在点 处的切线方程为: ,即
(2) 的定义域为 ,
当 时, 单调递增; 当 单调递减.
又 ,
所以,不等式 的整数解的个数为 3 .
(3)不等式
可整理为 ,
令 ,
所以当 单调递增,
当 , , 单调递减,
所以 ,又 ,
所以令 ,则
令 ,
则
令 ,
则
令 ,
则 ,
所以 单调递减, ,
所以 单调递减, ,
所以 ,
所以
所以 单调递减,
所以 .
【点睛】方法点睛: 导函数中常用的两种常用的转化方法: 一是利用导数研究含参函数的单调性, 常化为不等式恒成立问题. 注意分类讨论与数形结合思想的应用; 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
36. (1) 单调递减区间为 ; 单调递增区间为
(2)
【分析】(1)利用导数直接求单调区间即可；
(2)先将不等式由分式化整式,再用指对互化构造同构,换元后再分参处理恒成立问题即可解决.
【详解】( 1 )当 时, ,
令 得: ;
令 得: 或 ,
所以 的单调递减区间为: ;
单调递增区间为: .
( 2 )因为 在 上恒成立,
所以 (*) 在 上恒成立,
令 ,则 ,
则 在(0,1)上递减,在 上递增.
所以 的最小值为 ,即 ,
则 (*) 式化为: ,
当 时,显然成立.
当 时, 恒成立,
令 ,则 ,
当 时, 在 上递增.
所以 即 ,可得 ,
所以 即
可得 ,
当 时, ,
当 时, ,
所以 在(1,2)上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,
所以实数 的取值范围为: .
【点睛】方法点睛: 指对同式时的不等式问题, 可用指对同构法来处理, 即用指对互化来实现同构.
37. (1) 证明见解析; (2) 5.
【分析】( 1 )求 ,由 可得 的值,将所证明的不等式化简为 ,令 ,利用导数判断单调性以及最值即可求证; ( 2 )由题意可知 恒成立或 恒成立,讨论 可得 ,设 利用导数判断单调性求最值可求 的范围,同理 时求 的范围,即可求解.
【详解】( 1 )由 可得: .
因为函数 的图象在点 处的切线的斜率为 ,
所以 ,解得: ,
当 时, 等价于 ,即 .
令 ,则 ,
所以函数 在区间 上单调递增,
所以 ,
所以当 时, ;
( 2 )由题得 ,
若 无极值,则 恒成立或 恒成立,
(i) 当 恒成立时, ,
即 恒成立,所以 ,
令 .
所以 ,
令 ,则 ,
即 在 上单调递增, ,
所以存在 ,使得 ,
当 时, ,即 ,
当 时, ,即 ,
所以函数 在区间 单调递减,函数 在区间 单调递增,
所以函数 的最小值为
又因为 ,即 ,
所以 .
又因为 ,则 ,
所以 ,可得 ,所以正整数 的最大值是 5 ;
(ii) 当 恒成立时, ,
即 恒成立,所以 ,
又由 (i) 知,函数 在区间 上单调递增,
所以函数 不存在最大值,
综上所述: 正整数 的最大值是 5 .
【点睛】由不等式恒成立 (或能成立) 求参数时,
①可对不等式变形,分离参数,根据分离参数后的结果,构造函数,由导数的方法求出函数的最值,进而可求出结果；
②可根据不等式,直接构成函数,根据导数的方法,利用分类讨论求函数的最值,即可得出结果.
38. (1)
(2) -1
【分析】( 1 )设 ,利用导数分类讨论 的最大值；
(2)分离常数转化为关于 的方程 有两个不同的解,设 ,利用导数求函数 的
极大值 ,则 , 当 时,设 ,验证有两解即可. 【详解】( 1 )设 ,则其定义域为 ,
当 时, ,
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减,
所以 ,对于 恒成立,
即 恒成立,所以 合理.
当 时,令 ,即 ,
解得 (舍),
当 时, 单调递增;
又有 ,所以当 时, ,不合题意.
当 时,令 ,即 ,
解得 (舍),
当 时, 单调递减;
又有 ,所以当 时, ,不合题意.
综上所述, .
( 2 )由题意,方程 有两个不同的解,
即关于 的方程 有两个不同的解,
设 ,则 ,
设 ,由 可知 ,
所以 在 上单调递减,
又 ,
所以存在 使得 ,即 ,所以 ,
所以当 时, ,即 ,进而函数 单调递增;
当 时, ,即 ,进而函数 单调递减,
所以函数 的极大值为
要使得关于 的方程 有两个不同的解,则 ,
当 时,设 ,
则 ,可知 在 上单调递增,在 上单调递减,
又 ,
所以 有两个不同的零点,符合题意,
所以 的最大整数值为 -1 .
【点睛】方法点睛: 对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略:
(1)通常要构造新函数, 利用导数研究函数的单调性, 求出最值, 从而求出参数的取值范围;
(2)利用可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时,一般涉及分离参数法,但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况, 进行求解, 若参变分离不易求解问题, 就要考虑利用分类讨论法和放缩法, 注意恒成立与存在性问题的区别.
39. (1)
(2)8
【分析】(1) 求出函数的导数,根据导数的几何意义求出 在 处的切线方程,根据切线与 轴交于点 , 即可求得 ；
(2)法一:由(1)知 ,则不等式可化为 ,构造函数 ,利用导数并讨论导数的正负,从而求得存在 ,分离参数,表示出 ,构造新函数,结合导数求得 ,进而求得答案;
法二: 讨论 的取值范围,从而分离出参数 ,在 的情况下,分别构造函数,利用导数判断单调性求的最值,最后确定 ,由此可得答案;
法三: 令 ,由 可解得 ,从而取 ,证明证当 时,不等式 在
时恒成立,令 ,由 ,解得 ,故取 ,再证当 时,不等式 在
时恒成立, 由此求得答案.
【详解】( 1 )依题意得: ,
所以 .
又因为 ,
所以 在 处的切线方程为 ,
因为曲线 在 处的切线与 轴交于点 ,
所以 ,
解得 .
(2)解法一:由(1)知 ,则不等式可化为 ,
设 ,
则 ,
设 ,则 ,
因为 ,所以 ,
所以 在 单调递增,即 在 单调递增,
所以 ,
① 若 ,则 ,
所以 在 单调递增,
所以 ,
解得 ,
所以 ;
② 若 ,则 ,
因为 在 单调递增, 当 时, , 则存在 使得 ,
当 时,取 ,则 ,
所以存在 ,使得 ,
综上,当 时,存在 ,使得 ,即 ,
故当 时, ,
则 在 单调递减,
当 时, ,
则 在 单调递增,
所以 ,(*)
由 ,得 ,
代入 (*) 得 ,
设 ,
则 ,
因为 ,所以由 得 ,
当 时, ,
所以 在(-2,1)上单调递增,
当 时, ,
所以 在 单调递减,
又因为 ,
所以当 时, ,
所以满足 的 的取值范围是 ,
又因为 ,
设 ,则 , 所以 在 单调递增, 所以 ,
综上所述 ,
又因为
所以 ,所以 .
解法二:
由 (1) 知: ,则 ,
①当 时,左边等于 恒成立,此时 ;
②当 时,原不等式可化为 对任意 恒成立.
设 ,则 .
设 ,则 .
因为 ,所以 ,
所以 在 上单调递增.
又因为 ,
所以 是 在 上的唯一零点,
所以当 时, 在(1,2)上单调递减,
当 时, 在 上单调递增,
所以 ,
所以 .
③当 时,原不等式可化为 ,
此时对于②中函数 的导函数, ,
可知当 时, ,
所以 在 单调递减,且 ,
所以当 时, ,
所以当 时, , 所以 在 上单调递减,
所以 ,
所以 ,
综上所述 ,
又因为
所以 ,所以 .
解法三:
令 ,由 得 ,
解得 ,
取 ,下证当 时,不等式 在 时恒成立,
设 ,则 ,由 可得 ,
当 时, ,
所以 单调递减,
当 时, ,
所以 单调递增,
所以 ,所以 符合题意;
令 ,由 得 ,
解得 ,
取 ,下证当 时,不等式 在 时恒成立,
设 ,则 ,
令 ,则 ,
所以当 时, ,
则 在(-2,1)上单调递减,
当 时, ,
则 在 上单调递增,
所以 ,
所以当 时, 恒成立.
当 时, ,
所以 ,
所以 ,
设 ,则 ,
设 ,则 ,
所以 在 单调递增,且 ,
所以当 时, ,
则 在(1,2)单调递减,
当 时, ,
则 在 单调递增,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
综上当 时,不等式 在 时恒成立,
所以 .
【点睛】本小题主要考查函数的单调性、导数、导数的几何意义及其应用、不等式等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等,考查分类与整合思想、数形结合思想、一般与特殊思想,涉及的核心素养有直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理等,体现综合性与创新性.
40. (1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)根据题意求导后分类讨论即可求得答案；
(2)先求得 ,再将原式转化为证明 ,通过二次求导判断函数单调性进而即可得证. 【详解】( 1 )由 ,得 , 当 时, 在 单调递增;
当 时,令 ,得 ,此时 单调递增,
令 ,得 ,此时 单调递减.
综上所述,当 时, 增区间为 ,无减区间
当 时, 增区间为 ,减区间为
(2)因为 ,所以 ,
要证 ,即证 ,
即证 ,即证 ,
设 ,
则 ,
令 ,
则 对 恒成立,
所以 在 单调递增,所以 时, ,
所以 对 恒成立,所以 在 单调递增,
所以 时, ,
即 成立,故原式得证
【点睛】方法点睛: 本题考查利用导数证明函数不等式恒成立问题, 常见方法如下:
(1)构造函数法:通过构造函数,利用导数研究函数单调性,转化为求函数最值问题；
(2)放缩法:一是利用题目中已知条件进行放缩,二是利用常见的二级结论进行放缩；
(3)同构法:指数和对数同时出现,往往将不等式形式进行变形,通过同构化简不等式进而证明即可.
41. (1) 在 上只有一个极值点,即唯一极小值点;
【分析】(1)求出函数的导数,判断其正负,结合零点存在定理,判断函数的单调性,求得答案；
(2)求出函数的导数,构造函数 ,判断其正负情况,确定函数单调性,进而确定函数的最小值 ,故可将原问题转化为对任意 ,再构造函数,利用其单调
性即可证明结论.
【详解】( 1 )当 时, ,
则 ,
设 ,则 在 上是增函数,
当 时, ,
所以存在 ,使得 ,
当 时, ,则 ,即 在 上单调递减,
当 时, ,则 ,即 在 上单调递增,
所以 在 上只有一个极值点,即唯一极小值点;
(2)证明:由 ,
设 ,则 在 上是增函数,
当 时, ,因为 ,所以 ,
所以存在 ,使得 ,
当 时, ,则 ,即 在 上单调递减,
当 时, ,则 ,即 在 上单调递增,
故 是函数 的极小值点,也是最小值点,
则 ,
又因为 ,所以 ,
即证: 对任意 ,
即证: 对任意 ,
设 ,则 在 上单调递减,
因为 ,所以 ,
故 ,
故对任意 .
【点睛】本题考查了利用导数判断函数的极值点的个数以及证明不等式成立的问题, 综合性较强, 要能熟练求导, 利用导数判断函数的单调性以及求函数最值, 解答的关键是根据函数或导数的特点, 构造函数, 进而结合零点存在定理判断
导数正负, 求得函数的最值, 利用函数最值进而证明不等式成立.
42. ,(2) 证明见解析
【分析】( 1 )设 ,根据函数的单调性得到关于 的不等式,解出即可；
(2)设 ,求出函数的导数,根据函数的单调性证明结论成立即可
【详解】( 1 )解:设 ,因为当 时, 为增函数,
当 时, ,
所以 在 上恒大于零,所以 在 上不存在零点,
当 时, 在 上为增函数,根据增函数的和为增函数,
所以 在 上为单调函数,
所以 在 上若有零点,则仅有 1 个,
所以 ,即 ,解得 ,
所以实数 的取值范围
(2)证明:设 ,则
,则 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 在 上递增, 在 上恒成立,
所以 在 上递增,而 ,
因为 ,所以 ,所以 恒成立,
所以当 时,
43. (1) ;
(2)证明见解析.
【分析】(1)设出切点坐标,对函数 求导,再借助导数的几何意义列式计算作答.
(2)当 时,不等式等价转化为证 ,当 时,转化证明 ,作差构造函数即可
推理作答.
【详解】( 1 ) , ,而 ,即点 不在曲线 上,
设切点 ,则切线 的斜率为 ,又 ,
于是得 ,即 ,
整理得: ,即 ,有 ,
而 ,因此, ,
所以切线的斜率为 .
( 2 )当 时, , ,
令 ,求导得 ,当 时, ,当 时, ,
即函数 在 上单调递减,在 上单调递增, ,即 ,
因此当 时, ,当且仅当 时取“=”,
则 ,
于是得当 且 时, .
当 时, ,
令 ,
由 得 ,则 ,即 在 上单调递增,
又 ,即当 时, ,
于是得当 时, ,而 ,因此, ,
从而得当 时 ,
所以当 或 时, .
【点睛】思路点睛: 解决过某点的函数 的切线问题,先设出切点坐标 ,求导并求出切线
方程 ,然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.

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