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广东省湛江市教育联盟2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题
1．（2025七下·湛江期中）如图，同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是（ ）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合
【答案】A
【知识点】平面中直线位置关系；相交线的相关概念
【解析】【解答】解：由图可得：同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是相交，
故答案为：A．
【分析】利用平面内两直线的位置关系及结合图形分析求解即可.
2．（2025七下·湛江期中）在下列图中，与属于对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：在选项A中，与的两边都不互为反向延长线，B，C选项中，与没有公共点，所以都不是对顶角，是对顶角的只有选项D．
故答案为：D．
【分析】利用对顶角的定义（两条直线相交后形成的两个角，它们有公共的顶点且没有公共边）及特征分析求解即可.
3．（2025七下·湛江期中）实数，，0，，，中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：是有理数；
是开方开不尽的数，是无理数；
0是有理数；
，是有理数；
是无理数；
是有理数；
综上，无理数有2个，
故答案为：B．
【分析】先利用立方根的性质化简，再利用无理数的定义逐项分析判断。
4．（2025七下·湛江期中）下列选项中，左、右两边的图案是通过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：因为只有B选项的图形没有改变图形的形状、大小及方向，符合平移的性质，
所以只有B选项的图形是通过平移得到，
故答案为：B．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
5．（2025七下·湛江期中）在下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、是二元一次方程，故本选项符合题意；
C、不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D、不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用二元一次方程的定义（含有两个未知数（元），并且未知数的指数均是1（次）的方程叫做二元一次方程）逐项分析判断即可.
6．（2025七下·湛江期中）估算的值在（　　）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】先估算出，再求出即可得解.
7．（2025七下·湛江期中）如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：．
【分析】由平行线的性质可得，根据平角的定义可得．
8．（2025七下·湛江期中）已知 是方程 的一个解，那么 的值是（　　）
A．1 B．3 C．-3 D．-1
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】将 代入方程 得 ，解得 ．
故答案为：1.
【分析】本题考查二元一次方程解的逆向应用，已知方程的解求解原方程的未知数，将解代入即可.
9．（2025七下·湛江期中）已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且点N到x轴的距离等于4，且N在第一象限，则点N的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解∶∵点与点在同一条平行于y轴的直线上，
∴，
∵点N到x轴的距离等于4，且N在第一象限，
∴，
∴点N的坐标为．
故答案为：A.
【分析】根据点坐标的定义及点M的坐标求出点A的坐标即可.
10．（2025七下·湛江期中）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，正方形的每个边都相等，每个角都是直角．点的坐标为，点的坐标为，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路线运动，当运动2024秒时，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵正方形，点A的坐标为，点D的坐标为，
∴，，
∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路线运动，
∴走一圈花费时间（秒），
∵，
∴运动2024秒时，点P的坐标与重合，
即此时点P的坐标为，
故答案为：C．
【分析】先求出走一圈花费时间（秒），再结合，可得运动2024秒时，点P的坐标与重合，从而得解.
11．（2025七下·湛江期中）命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果……那么……”句式为　 　．
【答案】如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式为“如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行”．
故答案为：如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行．
【分析】利用定义的定义（ 定义是一种明确的陈述，用于描述一个概念、性质或规则 ）逐项分析判断即可.
12．（2025七下·湛江期中）把点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点向右平移个单位长度，
可得横坐标为：，
再向下平移个单位长度，
可得纵坐标为：，
则得到的点的坐标是，
故答案为：．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
13．（2025七下·湛江期中）已知点在y轴上，点在x轴上，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在轴上，点在轴上，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
【分析】利用x轴和y轴上点坐标的特征可得，，再求出a、b的值，从而可得点C的坐标.
14．（2025七下·湛江期中）如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是　 　．（写出一个答案即可）
【答案】2
【知识点】无理数的估值；求算术平方根
【解析】【解答】解：，，
正方形的边长为，正方形的边长为1，
的边长，
正方形的边长可以是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
【分析】利用正方形的面积公式及算术平方根的计算方法求出A、C的边长，再求解即可.
15．（2025七下·湛江期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为　 　
【答案】
【知识点】解二元一次方程组；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】先求出方程组的解，再将x、y的值代入可得，最后求出k的值即可.
16．（2025七下·湛江期中）如图，其中图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则　 　度．
【答案】155
【知识点】角的运算；直角三角形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解∶如图，延长交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：155.
【分析】延长交于点N，先利用角的运算求出，，再利用平行线的性质可得．
17．（2025七下·湛江期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
.
（2）解；
．
【知识点】有理数的乘方法则；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用算术平方根和立方根的性质化简，再计算即可；
（2）先利用有理数的乘方和算术平方根的性质化简，再计算即可.
（1）
；
（2）
．
18．（2025七下·湛江期中）解下列方程组
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
由①，得③
把③代入②，得．
解得：，
把代入③，得，
原方程组的解为.
（2）解：
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
19．（2025七下·湛江期中）如图，在三角形中，，，．
（1）若平移后的坐标的，分别写出下列各点的坐标：______；______．
（2）画出平移后的三角形．
（3）求三角形的面积．
【答案】（1），
（2）解：如图所示，三角形即为所求；
（3）解：三角形的面积．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：∵，平移后的坐标的，
∴平移方式为先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，
∵，
∴，.
故答案为：，.
【分析】（1）利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可；（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；（3）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可.
（1）∵，平移后的坐标的，
∴平移方式为先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，
∵，
∴，；
（2）如图所示，三角形即为所求；
（3）三角形的面积．
20．（2025七下·湛江期中）如图，根据已知条件完成如下证明：
（1）已知，求证：．
（2）直线，求证：．
【答案】（1）证明：，，
，
.
（2）证明：，
，
又，
．
【知识点】对顶角及其性质；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先利用对顶角的性质及等量代换可得∠1=∠3，从而可证出；
（2）先利用平行线的性质可得∠1=∠3，再利用等量代换可得.
（1）证明：，，
，
；
（2）证明：，
，
又，
．
21．（2025七下·湛江期中）将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点分别在上，分别交于点，．
求证：．
证明：因为（已知）
又因为（____________），
所以___________（等量代换）．
所以（ ）
所以（____________）．
又因为（已知），
所以（____________）．
所以__________（ ）．
所以（ ）．
【答案】证明：∵（已知），
又∵（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换）．
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理步骤分析求解即可.
22．（2025七下·湛江期中）如图，表示的是图书馆保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系；
（1）以图书馆为参照点，请用方向角和图中所标的距离分别表示保龙仓、中国银行和餐馆的位置；
（2）火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置.
【答案】解：（1）保龙仓在图书馆西偏南方向上，且距离图书馆；
中国银行在图书馆东偏北方向上，且距离图书馆；
餐馆在图书馆西偏北方向上，且距离图书馆．
（2）如图所示：
【知识点】用坐标表示地理位置；方位角
【解析】【分析】（1）结合方位图及图中的数据直接分析求解即可；
（2）根据“火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等”，直接在图象上表示出来即可.
23．（2025七下·湛江期中）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记．
无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： 即， 的整数部分为2，小数部分为．
根据以上笔记内容，请完成如下任务．
（1）任务一：的整数数部分为_____，小数部分为_______；
（2）任务二：为的小数部分，为的整数部分，请计算的值；
（3）任务三：，其中是整数，且，求的值．
【答案】（1）3，
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，即；
∵，即，
∴的整数部分为4，即；
∴.
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整数，且，
∴，，
∴的相反数．
【知识点】无理数的估值；求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，的小数部分为；
故答案为：3，.
【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出的整数部分和小数部分即可；
（2）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出a、b的值，再将其代入计算即可；
（3）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出x、y的值，再将其代入计算即可.
（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，的小数部分为；
故答案为：3，；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，即；
∵，即，
∴的整数部分为4，即；
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整数，且，
∴，，
∴的相反数．
24．（2025七下·湛江期中）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
（1）当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
（3）【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．
【答案】（1）解：（1）①AB∥CD；
②AB∥CD；
③当∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，
理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD.
（2）解：∠BAE+∠MCD＝90°，
理由如下：过点E作EF∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，
∴∠ECD＝∠MCD，
∴∠BAE+∠MCD＝90°.
（3）∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：①当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
②当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°
∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD.
（3）解：分两种情况分类讨论，
第一种情况如图，当点Q在射线CD上运动时，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，
理由：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二种情况如图，当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
综上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
故答案为：∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
【分析】（1）利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可；
（2）过点E作EF∥AB，先利用平行线的性质可得∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，再利用角平分的定义可得∠ECD＝∠MCD，最后求出∠BAE+∠MCD＝90°即可；
（3）分类讨论：①当点Q在射线CD上运动时，②当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外），再分别画出图形并利用平行线的性质及角的运算求解即可.
（1）解：当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°
∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠BAE+∠MCD＝90°，理由如下：
过点E作EF∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，
∴∠ECD＝∠MCD，
∴∠BAE+∠MCD＝90°；
（3）解：分两种情况分类讨论，
第一种情况如图，当点Q在射线CD上运动时，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，
理由：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二种情况如图，当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
综上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
1 / 1广东省湛江市教育联盟2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题
1．（2025七下·湛江期中）如图，同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是（ ）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合
2．（2025七下·湛江期中）在下列图中，与属于对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·湛江期中）实数，，0，，，中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025七下·湛江期中）下列选项中，左、右两边的图案是通过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·湛江期中）在下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·湛江期中）估算的值在（　　）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
7．（2025七下·湛江期中）如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·湛江期中）已知 是方程 的一个解，那么 的值是（　　）
A．1 B．3 C．-3 D．-1
9．（2025七下·湛江期中）已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且点N到x轴的距离等于4，且N在第一象限，则点N的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·湛江期中）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，正方形的每个边都相等，每个角都是直角．点的坐标为，点的坐标为，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路线运动，当运动2024秒时，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025七下·湛江期中）命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果……那么……”句式为　 　．
12．（2025七下·湛江期中）把点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的点的坐标是　 　．
13．（2025七下·湛江期中）已知点在y轴上，点在x轴上，则点的坐标为　 　．
14．（2025七下·湛江期中）如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是　 　．（写出一个答案即可）
15．（2025七下·湛江期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为　 　
16．（2025七下·湛江期中）如图，其中图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则　 　度．
17．（2025七下·湛江期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025七下·湛江期中）解下列方程组
（1）
（2）
19．（2025七下·湛江期中）如图，在三角形中，，，．
（1）若平移后的坐标的，分别写出下列各点的坐标：______；______．
（2）画出平移后的三角形．
（3）求三角形的面积．
20．（2025七下·湛江期中）如图，根据已知条件完成如下证明：
（1）已知，求证：．
（2）直线，求证：．
21．（2025七下·湛江期中）将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点分别在上，分别交于点，．
求证：．
证明：因为（已知）
又因为（____________），
所以___________（等量代换）．
所以（ ）
所以（____________）．
又因为（已知），
所以（____________）．
所以__________（ ）．
所以（ ）．
22．（2025七下·湛江期中）如图，表示的是图书馆保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系；
（1）以图书馆为参照点，请用方向角和图中所标的距离分别表示保龙仓、中国银行和餐馆的位置；
（2）火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置.
23．（2025七下·湛江期中）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记．
无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： 即， 的整数部分为2，小数部分为．
根据以上笔记内容，请完成如下任务．
（1）任务一：的整数数部分为_____，小数部分为_______；
（2）任务二：为的小数部分，为的整数部分，请计算的值；
（3）任务三：，其中是整数，且，求的值．
24．（2025七下·湛江期中）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
（1）当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
（3）【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面中直线位置关系；相交线的相关概念
【解析】【解答】解：由图可得：同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是相交，
故答案为：A．
【分析】利用平面内两直线的位置关系及结合图形分析求解即可.
2．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：在选项A中，与的两边都不互为反向延长线，B，C选项中，与没有公共点，所以都不是对顶角，是对顶角的只有选项D．
故答案为：D．
【分析】利用对顶角的定义（两条直线相交后形成的两个角，它们有公共的顶点且没有公共边）及特征分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：是有理数；
是开方开不尽的数，是无理数；
0是有理数；
，是有理数；
是无理数；
是有理数；
综上，无理数有2个，
故答案为：B．
【分析】先利用立方根的性质化简，再利用无理数的定义逐项分析判断。
4．【答案】B
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：因为只有B选项的图形没有改变图形的形状、大小及方向，符合平移的性质，
所以只有B选项的图形是通过平移得到，
故答案为：B．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
5．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、是二元一次方程，故本选项符合题意；
C、不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D、不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用二元一次方程的定义（含有两个未知数（元），并且未知数的指数均是1（次）的方程叫做二元一次方程）逐项分析判断即可.
6．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】先估算出，再求出即可得解.
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：．
【分析】由平行线的性质可得，根据平角的定义可得．
8．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】将 代入方程 得 ，解得 ．
故答案为：1.
【分析】本题考查二元一次方程解的逆向应用，已知方程的解求解原方程的未知数，将解代入即可.
9．【答案】A
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解∶∵点与点在同一条平行于y轴的直线上，
∴，
∵点N到x轴的距离等于4，且N在第一象限，
∴，
∴点N的坐标为．
故答案为：A.
【分析】根据点坐标的定义及点M的坐标求出点A的坐标即可.
10．【答案】C
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵正方形，点A的坐标为，点D的坐标为，
∴，，
∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路线运动，
∴走一圈花费时间（秒），
∵，
∴运动2024秒时，点P的坐标与重合，
即此时点P的坐标为，
故答案为：C．
【分析】先求出走一圈花费时间（秒），再结合，可得运动2024秒时，点P的坐标与重合，从而得解.
11．【答案】如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式为“如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行”．
故答案为：如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行．
【分析】利用定义的定义（ 定义是一种明确的陈述，用于描述一个概念、性质或规则 ）逐项分析判断即可.
12．【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点向右平移个单位长度，
可得横坐标为：，
再向下平移个单位长度，
可得纵坐标为：，
则得到的点的坐标是，
故答案为：．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
13．【答案】
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在轴上，点在轴上，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
【分析】利用x轴和y轴上点坐标的特征可得，，再求出a、b的值，从而可得点C的坐标.
14．【答案】2
【知识点】无理数的估值；求算术平方根
【解析】【解答】解：，，
正方形的边长为，正方形的边长为1，
的边长，
正方形的边长可以是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
【分析】利用正方形的面积公式及算术平方根的计算方法求出A、C的边长，再求解即可.
15．【答案】
【知识点】解二元一次方程组；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】先求出方程组的解，再将x、y的值代入可得，最后求出k的值即可.
16．【答案】155
【知识点】角的运算；直角三角形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解∶如图，延长交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：155.
【分析】延长交于点N，先利用角的运算求出，，再利用平行线的性质可得．
17．【答案】（1）解：
.
（2）解；
．
【知识点】有理数的乘方法则；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用算术平方根和立方根的性质化简，再计算即可；
（2）先利用有理数的乘方和算术平方根的性质化简，再计算即可.
（1）
；
（2）
．
18．【答案】（1）解：，
由①，得③
把③代入②，得．
解得：，
把代入③，得，
原方程组的解为.
（2）解：
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
19．【答案】（1），
（2）解：如图所示，三角形即为所求；
（3）解：三角形的面积．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：∵，平移后的坐标的，
∴平移方式为先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，
∵，
∴，.
故答案为：，.
【分析】（1）利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可；（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；（3）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可.
（1）∵，平移后的坐标的，
∴平移方式为先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，
∵，
∴，；
（2）如图所示，三角形即为所求；
（3）三角形的面积．
20．【答案】（1）证明：，，
，
.
（2）证明：，
，
又，
．
【知识点】对顶角及其性质；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先利用对顶角的性质及等量代换可得∠1=∠3，从而可证出；
（2）先利用平行线的性质可得∠1=∠3，再利用等量代换可得.
（1）证明：，，
，
；
（2）证明：，
，
又，
．
21．【答案】证明：∵（已知），
又∵（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换）．
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理步骤分析求解即可.
22．【答案】解：（1）保龙仓在图书馆西偏南方向上，且距离图书馆；
中国银行在图书馆东偏北方向上，且距离图书馆；
餐馆在图书馆西偏北方向上，且距离图书馆．
（2）如图所示：
【知识点】用坐标表示地理位置；方位角
【解析】【分析】（1）结合方位图及图中的数据直接分析求解即可；
（2）根据“火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等”，直接在图象上表示出来即可.
23．【答案】（1）3，
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，即；
∵，即，
∴的整数部分为4，即；
∴.
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整数，且，
∴，，
∴的相反数．
【知识点】无理数的估值；求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，的小数部分为；
故答案为：3，.
【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出的整数部分和小数部分即可；
（2）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出a、b的值，再将其代入计算即可；
（3）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出x、y的值，再将其代入计算即可.
（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，的小数部分为；
故答案为：3，；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，即；
∵，即，
∴的整数部分为4，即；
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整数，且，
∴，，
∴的相反数．
24．【答案】（1）解：（1）①AB∥CD；
②AB∥CD；
③当∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，
理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD.
（2）解：∠BAE+∠MCD＝90°，
理由如下：过点E作EF∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，
∴∠ECD＝∠MCD，
∴∠BAE+∠MCD＝90°.
（3）∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：①当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
②当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°
∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD.
（3）解：分两种情况分类讨论，
第一种情况如图，当点Q在射线CD上运动时，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，
理由：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二种情况如图，当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
综上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
故答案为：∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
【分析】（1）利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可；
（2）过点E作EF∥AB，先利用平行线的性质可得∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，再利用角平分的定义可得∠ECD＝∠MCD，最后求出∠BAE+∠MCD＝90°即可；
（3）分类讨论：①当点Q在射线CD上运动时，②当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外），再分别画出图形并利用平行线的性质及角的运算求解即可.
（1）解：当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°
∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠BAE+∠MCD＝90°，理由如下：
过点E作EF∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，
∴∠ECD＝∠MCD，
∴∠BAE+∠MCD＝90°；
（3）解：分两种情况分类讨论，
第一种情况如图，当点Q在射线CD上运动时，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，
理由：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二种情况如图，当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
综上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
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