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旺苍县2025年春九年级第三次诊断性测试数学试卷
说 明： 1.全卷满分150分，考试时间120分钟。
2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共三个大题26个小题。
第Ⅰ卷 选择题(共30分)
一、选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意.每小题3分，共30分)
的倒数是 ( )
A. C.4 D. -4
2.下列计算正确的是 ( )
3.在平面直角坐标系中，点M的坐标为(-3，2)，则点 M关于原点对称的点的坐标为 ( )
A.(-2,-3) B.(2,3)
C.(2,-3) D.(3,-2)
4.某校合唱团共有50名成员，她们的年龄分布如下表：
年龄/岁 12 13 14 15
人数 5 24
由于表格污损，14岁、15岁的人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是 ( )
A.平均数、众数 B.众数、中位数
C.平均数、中位数 D.中位数、方差
5.如图,在等边三角形ABC中,BD⊥AC,垂足为点 D,AB的垂直平分线交AB 于点 E,交BD于点F,若BC=6,则EF的长为 ( )
A.3 B. C.2 D.1.5
6.若将如图所示的平面图形围成正方体，则这个正方体可以是 ( )
7.如图,⊙O是四边形ABCD 的外接圆,过点 B作BE∥AD,交CD于点 E.若∠ABC=140°,则∠BEC的度数是 ( )
A.40° B.50° C.60° D.140°
8.在反比例函数 (m为常数)的图象上有 A(x ,y )和B(x ,y )两点,若. 则y ,y ,0的大小关系为 ( )
9.若关于x，y的二元一次方程组 的解满足8x+5y>-3y-10,则a的取值范围是
( )
A. a>-9 B. a<9 C. a<-9 D. a>9
10.如图，已知抛物线 与x轴的一个交点为(3，0)，对称轴为直线x=1.给出下列结论：
②2a+b=0;
③3a+2b+c<0;
④关于x的方程 一定有两个不相等的实数根；
其中结论正确的有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
第Ⅱ卷 非选择题(共120分)
二、填空题(每小题4分，共24分)
11.要使分式 有意义，则x应满足的条件是 .
12.唐家河国家级自然保护区是以大熊猫及其栖息地为主要保护对象的自然保护区，总面积4万公顷，2021年9月30日经国务院批复成立大熊猫国家公园.已知1公顷=10000平方米，则该自然保护区的总面积用科学记数法表示为 平方米.
13.如图,在△ABC中,在边AB,BC,CA上分别取点C ,A ,B ,使得 点A 是边BC上任意一点，连接三点得到△A B C .重复上面过程，在△A B C 的边 上分别取点 C ,A ,B ,使得 点 A 是边 B C 上任意一点，连接三点得到△A B C ,按此方式继续重复操作,直到得到△A B C .设△ABC的面积为1,则 的面积为 .
14.已知二次函数 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线C,点 M(-3,y ),N(2,y )在抛物线C上,则 y y (填“>”“<”或“=”).
15.如图,在 Rt△ABC中, 点 P 为边 AC上的动点,连接BP,过点 A作, 交 BP 的延长线于点 M.当点 P 从点 A 运动到点 C时，线段 BM的中点 N 运动的路径长为 .
16.如图，在正方形纸片ABCD中，点E是边AB 的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点 B落在点P 处，延长CP交AD 于点Q,连接AP并延长,交CD于点F.给出以下结论:①AQ=PQ;②点F为CD的中点;③CF =PC·PQ;④cos∠DCQ= 其中结论正确的是 (填序号).
三、解答题(要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分)
17.(6分)
计算：
18.(8分)
先化简，再求值：若 求代数式 的值.
19.(8分)
如图，在矩形ABCD中，
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作线段BD的垂直平分线.
(要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)
(2)在(1)的条件下，线段BD的垂直平分线分别交CD，AB于M，N两点，求MN的长.
20.(9分)
为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对“昭化肥肠、太守麻花、宫保鸡丁、火锅鱼”四种美食的喜好情况(每人限选一种)，并将调查结果绘制成不完整的统计图，如图所示.根据图中信息，解答下列问题.
(1)本次抽取游客 人，扇形统计图中m的值为 .
(2)请补全条形统计图.
(3)该旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述四种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“昭化肥肠和火锅鱼”的概率.
21.(9分)
如图，点A 是“某纪念碑”顶部一点，AB的长表示点A 到水平地面的距离.某测量小组在纪念碑前水平地面的点 M 处架起测量仪，将测量仪镜头调到距离地面1米的点C 处时，测得点 A 的仰角 然后将测量仪镜头再升高0.47米到点E 处，测得点 A 的仰角. 已知图中各点均在同一竖直平面内，请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A 到地面的距离AB 的长.
(结果精确到1米.参考数据：si ,
22.(10分)
某民宿有A，B两种客房，其中A种客房12间，B种客房10间.若全部入住，一天的营业额为3600元；若A，B两种客房均有5间入住，一天的营业额为1600元.
(1)A，B两种客房每间的定价分别是多少元
(2)该民宿对一段时间内B种客房的入住情况进行调研后发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每间客房的定价每增加20元，就会有一间客房空闲.当B种客房每间的定价为多少元时，B种客房一天的营业额W 最大 最大营业额为多少元
23.(10分)
如图，一次函数.y=ax+b的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，其中点 A 的坐标为(--2,m),点 B的坐标为(3,-2).
(1)求这两个函数的解析式.
(2)根据图象，直接写出关于x的不等式 的解集.
(3)在x轴上作一点 P，使AP-PB的值最大，并求出点 P 的坐标.
24.(10分)
如图，点A 在 的边CD上,以AB为直径的⊙O交 BC于点E,交BD于点F,连接AE,AF,EF,∠BAF=∠CDB.
(1)求证:直线CD是⊙O的切线.
(2)若⊙O的半径 求EF的长.
25.(12分)
(1)已知 和 都是等腰直角三角形，
①如图1，当点 D在线段BC 上时，连接CE，请探究 CE和BD 之间的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点 D在线段BC的延长线上时，连接CE，请再次探究CE和BD 之间的数量关系，并说明理由.
(2)如图3，在等腰直角三角形ABC中， 点 P 在线段AC 上, 点 D 是BC 延长线上的动点，连接DP，以DP为腰在DP的右侧作等腰直角三角形DPF， 连接CF.当 时,求 BD的长.
26.(14分)
如图，二次函数 的图象的顶点坐标为( 与y轴交于点C(0,3),与x轴分别交于点A 和点B(点A 在点B 左侧)，P，Q为抛物线上的两点.
(1)求该二次函数的解析式和A，B两点的坐标.
(2)以AB为直径作圆，圆心为( 求点C与 上的点的最短距离.
(3)设点 P 的横坐标为m，点Q的横坐标为 的面积S 是否存在最小值 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分)
题号 1 2 3 4 5
答案 C D D B B
题号 6 7 8 9 10
答案 B A D A C
二、填空题(每小题4分，共24分)
11. x≠-1 12.4×10 13.2- (或 ) 14.> 15.π/
16.①②③
三、解答题(共96分)
17.解:
·· ………… …… 2分
…… 4 分
=3. 6分
18.解:
2分
m … … 4分
6分
∴原式=2. 8分
19.解:(1)如图,直线EF 即为所求, 3分
(2)如图,连接DN,设MN与BD 交于点O.
∵在矩形ABCD中
5分
根据作图过程可知，MN是BD的垂直平分线，
∴DN=BN,OB=OD=2
∴AN=AB--BN=AB--DN=8-DN.
在 Rt△ADN中，根据勾股定理，得
解得 DN=5. 6分
在 Rt△DON中，根据勾股定理，得
∵CD∥AB,
∴∠MDO=∠NBO,∠DMO=∠BNO.
又OD=OB,
∴△DMO≌△BNO(AAS).
8分
20.解:(1)240 35 2分
(2)喜好火锅鱼的人数为240-48-72-84=36,补全条形统计图如下：
5分
(3)把四种美食分别记为A：昭化肥肠，B：太守麻花，C：宫保鸡丁，D：火锅鱼.画树状图如下：
共有12种等可能出现的结果，其中选到“A和D”的结果有2种，
∴选到“昭化肥肠和火锅鱼”的概率为 ……9分
21.解:如图,延长CD交AB于点H,延长EF交AB 于点 N.易得四边形 CENH 为矩形,∴EN=CH.
设点 A 到地面的距离AB的长为h，
参考答案第1页
由题意，得△ACH 和△AEN 均为直角三角形.在Rt△ACH中,∠AHC=90°,∠ACH=37.5°,
4分同理可得，
6分∵CH=EN,
解得h≈19.
答：纪念碑顶部点 A 到地面的距离AB 的长约为19米.
9分
22.解：(1)设A 种客房每间的定价是 x元，B种客房每间的定价是y元，
由题意，得 3 分解得
答：A，B两种客房每间的定价分别是200 元、120 元.5分
(2)设B种客房每间的定价为 a 元，则
8分
∴当a=160时,W 取最大值,最大值为1280.
答：当B种客房每间的定价为160元时，B种客房一天的营业额W 最大，最大营业额为1280元. 10分
23.解:(1)∵一次函数y= ax+b的图象与反比例函数 y=kx的图象相交于A，B 两点，其中点A 的坐标为(-2， m),点B的坐标为(3,-2),
∴k=-2×m=3×(-2).
∴k=-6,m=3.
∴反比例函数的解析式为 3分∵A(-2,3),B(3,-2)在一次函数 y= ax+b的图象上, 解得
∴一次函数的解析式为y=-x+1. 5分
(2)由图象可知，关于x的不等式 的解集为-23. 7分
(3)如图，作点 B关于x轴的对称点B'，连接AB'并延长交x轴于点 P，点P 即为所求.
∵B(3,-2),∴B'(3,2). 8分
易得直线 AB'的函数解析式为
令y=0,∴x=13.
∴点 P 的坐标为(13,0). 10分
24.(1)证明:∵AB 是⊙O的直径,
∴∠AFB=90°.
∴∠BAF+∠ABD=90°.
∵∠BAF=∠CDB,∴∠CDB+∠ABD=90°.
∴∠BAD=90°,即AB⊥CD.
又AB是⊙O的直径，
∴直线 CD是⊙O的切线. 4分
(2)解:在 Rt△ABD中,
∵AB=2r=8,AD=6,
5分
在 Rt△ABC中,
∵AB=8,AC=8,
6分
∵AB是⊙O的直径,∴AE⊥BC.
7分
∵∠BEF=∠BAF,∠BAF=∠CDB,
∴∠BEF=∠CDB.
又∠EBF=∠DBC,∴△BEF∽△BDC.
即
解得 即EF的长为 10分
25.解:(1)①如图1,过点E作EH⊥BC,交 BC的延长线于点H,由已知可得,∠ABD=∠DHE,AD=DE,
易证∠ADB=∠DEH,
∴△ABD≌△DHE(AAS).
∴BD=EH,AB=DH.
……… …………… 2分
∵AB=BC,
∴BC=DH.
∴BC-CD=DH-CD. 3分
∴BD=CH.
∴CH=EH.
∴△CEH 为等腰直角三角形.
4分
②如图2,过点 E 作EG⊥BC,交 BC的延长线于点G,
由已知可得,∠ABD=∠DGE,AD=DE,
易证∠ADB=∠DEG,
∴△ABD≌△DGE(AAS).
∴BD=EG,AB=DG. 5分
∵AB=BC,
∴BC=DG.
∴BC+CD=DG+CD. 6分
∴BD=CG.
∴CG=EG.
∴△CEG 为等腰直角三角形.
8分
(2)如图3,过点 P 作PM⊥BC于点M,过点 F 作FN⊥BC,交 BC的延长线于点 N,
易证△PMC为等腰直角三角形.
∴PM=MC=4. 9分
由(1)易知△PMD≌△DNF,
∴MD=FN,MP=DN.
∵MP=MC,
∴MC=DN.
∴MC+CD=DN+CD.
∴MD=CN.
∴CN=FN.
∴△CFN是等腰直角三角形.
∴∠FCN=45°.
又∠PCM=45°,
∴∠PCF=90°.
∴△PCF 为直角三角形. 11分
设CD=x,则
MD=4+x.
易得
又∠PFC=30°,
12分
26.解:(1)由题意,得 ,将C(0,3)代入,得a+4=3,∴a=-1.
∴该二次函数的解析式为 … … 2分把y=0代入，得 解得 ∴A(-3,0),B(1,0). 4分
(2)如图1,连接CO ,
∵AB为⊙O 的直径,A(-3,0),B(1,0),
∴O (-1,0),AB=4.
∴⊙O 的直径为4,半径为2. 6分
由勾股定理，得 7分
∴点 C 与⊙O 上的点的最短距离为 …… 9分
(3)存在. 10分
易得点 点 当直线 PQ∥x轴时,
易得
当直线 PQ与x轴不平行时， 如图2，设直线PQ交x轴于点 H,
由点 P，Q的坐标，得直线 PQ 的函数解析式为 y=
令y=0,则
∴点 H 的坐标为
∴△OPQ的面积 12分
综上所述，△OPQ的面积S 存在最小值，

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