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2025年永州市第十六中学中考模拟预测试卷
数学
注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间120分钟。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．在，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．如图，，，若，则的大小为（ ）
A．66° B．64° C．62° D．60°
3．据报道，2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四成．将17500000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．六线谱是世界上通用的一种专为吉他设计的记谱方法，它是由六根间隔相等的粗线组成的．如图是一个六线谱，，，三点在同一直线上．若，则长为（ ）
A．3.2cm B． C． D．
5．若点，，在反比例函数的图象上，则，，大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，矩形的对角线，相交于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．宋代程颢的《秋月》有四句古诗如下：
①空水澄鲜一色秋；②白云红叶两悠悠；③清溪流过碧山头；④隔断红尘三十里
这四句古诗的顺序被打乱了，敏敏想把这四句古诗调整为正确位置，则她第一次就调整正确的可能性是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，点的横坐标为1，点的横坐标为－2，当时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
9．如图，是半圆的直径，，点，在半圆上，，，点是上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
10．我们知道，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，如图，矩形的顶点和分别在轴和轴上．向下按压矩形，得到如图所示的平行四边形，其中，则平行四边形的对角线的交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．要使分式有意义，的取值应满足_____．
12．分解因式：_____．
13．已知一元二次方程的一个根为1，则另一个根为_____．
14．已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是_____．
15．二次函数）的一次项系数是_____．
16．如图，直线、相交于点，，平分，射线，则_____．
17．如图，、两点把线段分成了三部分，且，为的中点，若，则长为_____．
18．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在轴和轴上，，点在边上，且，将沿直线折叠后得到．若反比例函数的图象经过点，则的值为_____．
三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）
19．计算：．
20．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若的面积等于2，求的面积．
21．如图，直线与双曲线相交于点，．
（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；
（2）将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积．
22．某校开展了亚运知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从全校1200名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分为100分，得分均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第；合格，一般，良好，优秀，制作了如下统计图（部分信息未给出）
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩为一般的学生人数，并补全频数直方图．
（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）若全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有多少人
23．“中国开封菊花文化节”始于1983年，是开封市实现文化大发展、提升城市文化软实力、建设国际文化旅游名城的重要名片之一，每年的10－11月都为八方来客奉上一场既有时代气息又具开封特色的菊花文化盛宴，市民们也常在当季购买菊花观赏．某菊花供应商有一种菊花，进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，菊花节期间平均每天可以售出20盆．菊花节落幕后决定降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价4元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价元．
（1）降价后每盆的利润是_____元；每天卖出_____盆；（用含的代数式表示）
（2）菊花供应商想要达到每天700元的盈利，同时想让市民得到实惠，求每盆应降价多少元？
24．某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上，两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．
（2）如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点，分别测得气球的仰角为，为，地面上点，，在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，，）
25．如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）当，时，求线段的长．
26．已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．A
【分析】根据负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：，，最小的数是－2；
故选A．
【点睛】本题考查比较实数的大小，熟练掌握负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，是解题的关键．
2．C
【分析】本题平行线的性质，垂直的定义．根据平行线的性质得，再根据垂直定义得，即可由求解．
【详解】解：
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做“科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过作点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
【详解】解：如图，过作点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，则，
，，即，解得：，
故选：D．
5．D
【分析】根据可知增减性：在每一象限内，随的增大而增大，根据横坐标的大小关系可作判断，也可将的值代入求出值作比较得出答案．
【详解】解：点，，在反比例函数的图象上，
，，，
又，．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数性质（增减性），解决本题的方法比较多，可以利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值然后进行比较，也可以根据题意画出草图，根据三个点的相对位置比较三个点的纵坐标的大小．
6．D
【分析】根据矩形性质得出，，，推出则有等边三角形，即，然后运用余切函数即可解答．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，
，是等边三角形，
，，
，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出是解答本题的关键．
7．C
【分析】本题是排序古诗相当于简单随机事件中的“不放回”事件，求出总的可能为24，第一次调整可能占其中一种，第一次就调整正确的可能性大小是．
【详解】解：这首诗四句随机排列的顺序共有24种情况：①②③④，①②④③，①③②④，①④②③，①④③②，②①③④，②①④③，②③①④，②③④①，②④①③，②④③①，①②③④，④②①③，③①②④，③①④②，③②①④，③②④①，③④①②，③④②①，④①②③，④①③②，④②①③，④②③①，④③①②，④③②①因为这24种情况出现的可能性大小相等，正确的顺序只有一种④②①③，
故第一次就调整正确的可能性大小是．
故答案选：C
【点睛】本题是考查等可能概型的概率计算公式计算概率，熟练掌握简单随机事件概率的计算方法进行求解是解决本题的关键．当出现可能结果多种时，用树状图辅助列出所有可能出现的结果．
8．B
【分析】根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．
【详解】解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，点的横坐标为1，点的横坐标为－2，当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，即当时，的取值范围是或，故选：B．
【点睛】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．
9．A
【分析】连接与相交于点，连接，，则由垂直平分线的性质，得到，则的最小值为的长度，由圆周角定理得到，即可求出的长度．
【详解】解：连接与相交于点，连接，，如图：
，点是的中点，
垂直平分，，
的最小值为的长度；
为直径，则，
，，，
是等边三角形，，
；
的最小值为；
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂直平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出的长度．
10．D
【分析】本题考查坐标与图形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是由以上知识点求出，的长．作轴于，轴于，由的坐标是，的坐标是（6，0），得到，，由直角三角形的性质求出，，再证明，由相似三角形的性质即可得到的坐标．
【详解】解：作轴于轴于，
的坐标是的坐标是（6，0），
，．
由题意知，
，，
，，，
四边形是平行四边形，，
轴，轴，，
，
，，
，
的坐标为．
故选：D
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，从而得到，求解即可得到答案．
【详解】解：要使分式有意义，的取值应满足，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件：分母不为零是解决问题的关键．
12．
【分析】直接用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：（1）；
故答案是：
【点睛】考查了十字相乘法分解因式的方法，解本题的关键是分解因数．
13．2
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据根与系数的关系，可知两根之和，从而求得另一个根．
【详解】解：由题意可知，，
那么有
即方程的另一个根为2．
故答案为：2．
14．平方厘米
【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：这个圆锥的侧面积是；
故答案为：．
15．－2
【分析】先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般式即可．
【详解】解：，
，
二次项系数是－2，
故答案为：－2．
【点睛】此题考查了二次函数的一般形式，解题的关键是掌握化成一般形式，确定二次项系数，一次项系数和常数项．
16．15
【分析】本题考查了角平分线的定义、垂线的定义、几何图中角度的计算、邻补角的定义，先求出，再由角平分线的定义得出，由垂线的定义得出，即可得解．
【详解】解：由邻补角定义得，
平分，，
，，
，
17．由条件可知，
，
为的中点，，
，
故答案为：．
18．如图所示，过作于，交于，
由折叠性质以及正方形性质可得：
，则四边形是矩形，
，
，，
，，
三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）
19．
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用特殊锐角三角函数值，绝对值，负整数指数幂，二次根式的性质计算即可．
【详解】解：原式
．
20．答案略
21．（1），
（2）10
【分析】（1）将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）由平行求出直线的解析式为，过点作交于，设直线与轴的交点为，与轴的交点为，可推导出，再由，求出，则的面积；
（3）数形结合求出的范围即可．
【详解】（1）将代入双曲线，，
双曲线的解析式为，
将点代入，，，
将代入，
解得，
直线解析式为；
（2）直线向下平移至，，
设直线的解析式为，
将点代入，
解得
直线的解析式为
过点作交于，
设直线与轴的交点为，与轴的交点为，
，，
，，
，
，，，，
，，
，的面积
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质、熟练
（2）
（3）或或或
【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当，，三点共线时，，进而求出点坐标．即可得解；
（3）求出点坐标为（0，2），进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，
解得：，；
（2），当时，，
，抛物线的对称轴为直线
的周长等于，为定长，
当的值最小时，的周长最小，
，关于对称轴对称，
，当，，三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
，
当时，，，
，，
，，
；
（3）解：存在，
为的中点，，，
，，
在中，，
，
，
①当点在点上方时：
过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2，
设点横坐标为，则：，
解得：，或；
②当点在点下方时：设与轴交于点，
则：，
设，
则：，，
，解得：，，
设的解析式为：，
则：，解得：，
，
联立，解得：或，
或；
综上：或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题．

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