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九年级第三次模拟考试数学
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．-6的倒数是（　　）
A．-6 B. C.6 D.
2．目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.000015米，数据0.000015用科学记数法表示为（　　）
A.0.1 B.1.5 C.1.5 D.1
3．如图所示的几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（　　）
A. B.
C. D.
4．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（　　）
A． B.
C.且 D.且
5．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为（0，3），点、均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为（　　）
A． B. C. D.
6．如图，是的切线，切点分别为，点在上，若，则的度数是（　　）
A.54° B. C. D.78°
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．计算：___________．
8．已知点在第四象限，则的取值范围是___________．
9．如图，小华同学的家在点处，他想尽快到达公路边乘车到学校，他选择沿线段去公路边，他的这一选择用到的数学知识是___________．
10．如图，在中，点是边的中点，点在边上，且平分，已知，则的长为___________．
11．如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为___________（结果保留）．
三、解答题（本大题共11小题，共87分）
12．先化简，再求值：，其中．
13．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）小刚从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是绿球的概率为___________；
（2）小刚从袋子中随机摸出一个球记下颜色后放回并摇匀，再从中随机摸出一个球．请用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率．
14．某景区纪念品商店计划购进甲、乙两种纪念品．若购进甲种纪念品3件，乙种纪念品2件，需花费205元；若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品4件，需花费270元．求甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元．
15．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的阿格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹．
（1）在图①中画出边上的中线；
（2）在图②中画出边上的高线；
（3）在图③中的边上找到一点，使．
16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数经过点，过点作轴交反比例函数的图象于点，点与点关于原点对称．
（1）求的函数解析式；
（2）若的面积为8，求的值．
17．周末，某数学兴趣小组进行实践活动．如图，小明在点处利用测倾器测得古城墙的顶端的仰角，王强站在矩形平台上，在点处利用测倾器测得古城墙顶端的仰角．已知，点在上，点在同一直线上，所有点均在同一平面内，．请利用以上数据，求出该古城墙的高度（结果精确到，参考数据：，tan）．
18．随着技术的发展，越来越多的人借助软件协助办公和学习，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间（分钟）进行统计调查，记：A组“”， B组“”，C组“”，D组“” ，绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的人数是___________人，本次抽查的每天学习和使用AI软件时间的中位数落在___________组；
（2）B组所在扇形的圆心角大小是___________度；
（3）该公司共有800人，估计该公司平均每天学习和使用AI软件不少于90分钟的人数是多少？
19．放学后小明和小亮兄弟两人都从学校（同一学校）回家，已知学校到家的距离为3000米，由于小亮要值日，因此在小明先出发1000米后，小亮才出发．小明在回家途中速度保持不变，小亮在出发5分钟后加快自己的速度，如图是小明、小亮两人离学校的距离（米）与小亮出发的时间（分）之间的函数图象．
（1）小明的速度是___________米/分；
（2）求段的函数解析式；
（3）当小亮回到家时，直接写出小明与家的距离．
20．【问题探究】（1）如图①，已知是的中线，延长至点，使得，连接，求证：四边形是平行四边形；
【拓展提升】（2）如图②，在的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作，连接、，求证：四边形是平行四边形；
【灵活应用】（3）如图③，在中，，点是的中点，点是直线上的动点，且，当取得最小值时，直接写出线段的长度．
21．（10分）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）求与之间的函数关系式．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的顶点的坐标为（2，-5），点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，将此抛物线上两点之间的部分（包括两点）记为图象．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点、到轴的距离相等时，求的值；
（3）当顶点在图象上时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式；
（4）矩形的顶点分别为、、，若矩形的边与抛物线恰好有三个交点时，直接写出的值．
九年级第三次模拟考试
参考答案
一、1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．B
二、7．-3 8．-6三、12．解：原式，当时，原式．
13．解：（1）．
（2）列表如下：
红 绿 绿
红 （红，红） （绿，红） （绿，红）
绿 （红，绿） （绿，绿） （绿，绿）
绿 （红，绿） （绿，绿） （绿，绿）
共有9种等可能的结果数，其中提出的两个球颜色相同的概率为．
14．解：设每件甲种纪念品的进价是元，每件乙种纪念品的进价是元，根据题意，得
答：每件甲种纪念品的进价是35元，每件乙种纪念品的进价是50元．
15．解：（1）如图①，线段即为所求．
（2）如图②，线段即为所求．
（3）如图③，点即为所求．
16．解：（1）．
（2）．
17．解：由题意，得，设，则．
，在Rt中，，即，则，解得该古城墙的高度约为．
18．解：（1）200；．
（2）126．
（3）（人）．
答：估计该公司平均每天学习和使用AI软件不少于90分钟的人数是340人．
19．解：（1）80．
（2）设段的函数解析式为，将点、代入，得解得．
（3）当小亮回到家时，小明距离家还有800米．
20．（1）证明：是的中线，四边形是平行四边形．
（2）证明：延长到点，使，连接．∵是的中线，，在和中，，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形．
（3）解：．
21．解：（1）由题意，得，解得．
（2）当时，，解得；当时，，解得．
（3）当时，；
当时，；
当时，．
22．解：（1）．
（2）或或．
（3）顶点在图象上，图象的最低点的纵坐标为-5，当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧时，此时且，即；当点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧时，此时且，即．
（4）或．

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