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浙江省名校共同体2025年中考一模数学试卷
1．（2025·浙江模拟）实数，，0，中，最小的是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：，
∴最小的是，
故答案为：D．
【分析】先利用估算无理数大小的方法化简，再利用实数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
2．（2025·浙江模拟）下列各式中，计算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，
∴此选项符合题意；
B、不是同类项，不能合并，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项不符合题意；
D、，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】A、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
B、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知m2和m3不是同类项，所以不能合并；
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解.
3．（2025·浙江模拟）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据主视图和左视图都是矩形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆柱，
故答案为：A．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，其中看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示．由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
4．（2025·浙江模拟）2024年浙江省的常住人口约为65700000人，将数据65700000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得，数据65700000用科学记数法表示为.
故答案为：C．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合题意即可求解.
5．（2025·浙江模拟）如图是甲、乙两位女生次一分钟跳绳成绩的统计图，则（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：由折线图可知：甲的波动比乙小，即甲的成绩比乙的更为稳定，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据"方差越大，成绩波动越大；方差越小，成绩波动越小"并结合折线图可判断求解.
6．（2025·浙江模拟）将一个含角的三角尺和直尺如图放置．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵直尺对边平行，
，
．
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得∠3=∠1，然后再由平角等于180°可求解．
7．（2025·浙江模拟）马拉松赛是全民健身的热门项目，全程的总赛程约为公里，在同一场比赛中选手甲的平均速度是选手乙的倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早分钟，若乙的平均速度为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙的平均速度为，则甲的平均速度为，
由题意得：，
故答案为：．
【分析】设乙的平均速度为，由题中的相等关系“乙所用时间-甲所用时间==”列关于x的分式方程，结合各选项即可判断求解.
8．（2025·浙江模拟）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【解答】解：根据“和美点”的定义可知，“和美点”即为直线上的点，令各函数中，
A、，
解得：，
即点为函数的“和美点”，
∴此选项不符合题意；
B、，
解得：，
即点为函数的“和美点”，
∴此选项不符合题意；
C、，则，
此时无解，
即函数不存在“和美点”，
∴此选项符合题意；
D、，
解得：，，
即点和点为函数的“和美点”，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据根据“和美点”的定义可得关于x的一元一次方程解方程求出x的值即可判断求解；
B、根据根据“和美点”的定义可得关于x的一元一次方程解方程求出x的值即可判断求解；
C、根据根据“和美点”的定义可得关于x的分式方程解方程求出x的值即可判断求解；
D、根据根据“和美点”的定义可得关于x的一元二次方程解方程求出x的值即可判断求解.
9．（2025·浙江模拟）如图，在中，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接交于点E，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】如图，连接，过点作于点，
∵将绕着点按顺时针旋转得到，
是等边三角形，
设，则，
在中，，
∵，，
．
故答案为：D．
【分析】如图，连接，过点作于点，由将绕着点按顺时针旋转得到，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形；设，在直角三角形ADH中，用勾股定理将DH用含a的代数式表示出来，根据三角形的面积公式即可求解．
10．（2025·浙江模拟）已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则可能小于0也可能大于0
C．若，点，在同一象限，则
D．若，点，在不同象限，则
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】A、若，则随的增大而减小，的值不确定，
∴无法判断，
∴此选项不符合题意；
B．若，点，两点可以在同一象限，也可以不在同一象限，
∴可能小于0也可能大于0，
∴此选项符合题意；
C．若，点，在同一象限，则随的增大而减小，
∴，
∴此选项不符合题意；
D．若，点，在不同象限，
∴，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质"当时，反比例函数的图象在每一个象限，y随x的增大而减小；当时，反比例函数的图象在每一个象限，y随x的增大而减小"；判断反比例函数的增减性，确定的取值范围，即可求解；
11．（2025·浙江模拟）因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．（2025·浙江模拟）作为一个悠久历史和灿烂文化的文明古国，中国古代数学家曾写下不少数学著作，现从《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《海岛算经》、《缉古算经》5本著作中随机挑选一本来研读，恰好选择《九章算术》的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从5本著作中随机挑选一本来研读，恰好选择《九章算术》的概率是.
故答案为：.
【分析】根据概率公式直接求解.
13．（2025·浙江模拟）如图，与⊙相切于点，连接与⊙交于点，连接．若，则　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定；切线的性质
【解析】【解答】解：与⊙相切，
，，
，
是等边三角形，，
．
故答案为：．
【分析】根据圆的切线垂直于过切点的半径可得、，因为，则是等边三角形，，然后根据三角形的内角和等于180°即可求解．
14．（2025·浙江模拟）若一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　．
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：1．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于k的方程，解方程即可求解.
15．（2025·浙江模拟）如图，已知，，，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：过作，交延长线于点，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过作，交延长线于点，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得，再由勾股定理求出，然后由即可求解．
16．（2025·浙江模拟）如图，把一张矩形纸片沿折叠，点的对应点为，交于点．若点为的中点，平分，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：延长交于点，
由折叠得，，，，
平分，
，
在和中，
，
，
，
点为的中点，
，
设，，则，
在矩形中，
，，
，
即，
，
即，
，
即，
，
在中，，
在中，，
，
，
即，
化简得，
解得（舍），，
即，
，
即，
故答案为：．
【分析】延长交于点，结合已知，用角边角可得，由全等三角形的对应边相等可得，设，，则，根据平行线分线段成比例得到，由比例式可得，根据勾股定理得，，能够得到，先计算并求算术平方根即可求解．
17．（2025·浙江模拟）计算：．
【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；化简含绝对值有理数；开立方（求立方根）
【解析】【分析】由负整数指数幂的运算性质“一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数”可得（）-2=4，由立方根的定义可得=3，然后根据有理数的加减法法则计算即可求解．
18．（2025·浙江模拟）解不等式：．
【答案】解：去分母，得：．
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
两边都除以，得：．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】根据不等式的解题步骤"去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1"计算即可求解．
19．（2025·浙江模拟）在中，．
（1）尺规作图：在找一点D，使点D到点A、点C的距离相等（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（2）在（1）的前提下，若，求的值．
【答案】（1）解：如下图：点D即为所求，
（2）解：∵，∴设，则．
∴，
∵是的中垂线，
．
，
，
答：tan∠C的值为.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线；求正切值
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线即可．
（2）根据题意设，则，则，根据线段垂线平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，根据勾股定理将用含x的代数式表示出来，再根据正切的定义tan∠C=计算即可求解．
（1）解：如下图：点D即为所求，
（2）解：∵，
∴设，则．
∴，
∵是的中垂线，
．
，
，
20．（2025·浙江模拟）为了增强学生的环保意识，某校组织七年级学生参加“环保知识”竞赛．为了解活动效果，从七年级随机抽取701、702两个班部分学生的比赛成绩，进行了如下统计分析．
收集数据 从两个班中分别随机抽取20名学生的比赛成绩（满分100分，成绩均为整数）．
整理数据 将抽取的两个班学生成绩分别进行整理，分成A，B，C，D，E五组（用x表示成绩分数），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．其中701班20名学生的比赛成绩在E组中的数据是：96，92，93，91，94；702班20名学生的比赛成绩在C组中的数据是：72，75，77，71，74，75．
描述数据 根据统计数据，绘制成如下统计图．
分析数据 701、702两班抽取的学生比赛成绩的各统计量如下表： 　平均数中位数众数方差701班8182868.8702班81n869
根据上述信息，解答下列问题：
（1）请直接写出上述图表中的，______，______．
（2）若此次比赛成绩不低于90分为优秀，请估计全年级800人中优秀的人数．
（3）你认为该校七年级701班、702班中哪个班学生比赛成绩较好？请说明理由．（写一条理由即可）
【答案】（1）30，76
（2）解：（人），
答：估计全年级800人中优秀人数有180人．
（3）解：701班学生比赛成绩较，
理由：因为701、702班学生成绩的平均数相等，但701班成绩的方差小于702班的，
所以701班学生的成绩比较稳定，701班学生比赛成绩较；
【知识点】中位数；方差；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵701班D组人数所占的百分比为，
∴，
∴，
702班成绩的中位数；
故答案为：30，76；
【分析】
（1）根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”求出n的值；根据百分比之和为1可求出m的值；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）根据平均数和方差的意义求解即可．
（1）解：∵701班D组人数所占的百分比为，
∴，
∴，
702班成绩的中位数；
故答案为：30，76；
（2）解：（人），
答：估计全年级800人中优秀人数有180人．
（3）解：701班学生比赛成绩较，
理由：因为701、702班学生成绩的平均数相等，但701班成绩的方差小于702班的，
所以701班学生的成绩比较稳定，701班学生比赛成绩较；
21．（2025·浙江模拟）如图，在中，是的中点，连接交于点，连接，．
（1）求证：是菱形．
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是菱形；
（2）解：是的中点，，
点是的重心，
，
，
是菱形，，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】
（1）连接，由"到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上"可得BO⊥AC，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；
（2）根据是的中点，，得到点是的重心，根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，由等腰三角形的三线合一可得，用勾股定理求出AB=BC的值，然后根据平行四边形的面积=底×高即可求解．
（1）证明：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是菱形；
（2）解：是的中点，，
点是的重心，
，
，
是菱形，，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
22．（2025·浙江模拟）甲、乙两同学在400米的环形跑道上参加1000米跑步训练，时间少于或等于3分40秒为满分．前800米的路程s（米）和时间t（秒）的函数关系如图．
（1）乙同学按照当前的速度继续匀速跑，那么他能否得到满分？请说明理由．
（2）求甲同学跑第2圈时的路程s（米）关于时间t（秒）的函数解析式．
（3）若最后200米甲同学按第1圈的速度冲刺，乙同学保持原速不变，当乙同学跑到终点时，甲同学离终点还有多远？
【答案】（1）解：由乙图象可知s是t的正比例函数，设，将代入可得，
，
解得：，
．
令，
解得：．
∵3分40秒秒，，
∴乙同学能够得到满分．
（2）解：由图象可知s是t的一次函数，设，
将代入可得，
解得：
．

（3）解：由（1）可知乙同学到终点的时间是215秒，
由图象可知甲同学跑前800米的时间是180秒，
∴最后200米，乙跑到终点时，甲同学跑的时间是（秒）．
速度是（米/秒）．
路程是（米）．
∴甲离终点的距离是（米）．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）根据路程=速度×时间并结合图中的信息可求出乙同学路程s（米）关于时间t（秒）的函数解析式，然后令，求出t的值即可求解；
（2）设，根据图中的信息，用待定系数法即可求解；
（3）求出最后200米，乙跑到终点时，甲同学跑的时间是（秒），速度是（米/秒），再用总路程减去甲同学35秒跑的路程可求出甲同学离终点还有多远．
（1）解：由乙图象可知s是t的正比例函数，设，
将代入可得，，
解得：，
．
令，
解得：．
∵3分40秒秒，，
∴乙同学能够得到满分．
（2）解：由图象可知s是t的一次函数，设，
将代入可得，
解得：
．
（3）解：由（1）可知乙同学到终点的时间是215秒，
由图象可知甲同学跑前800米的时间是180秒，
所以最后200米，乙跑到终点时，甲同学跑的时间是（秒）．
速度是（米/秒）．
路程是（米）．
∴甲离终点的距离是（米）．
23．（2025·浙江模拟）已知二次函数（为常数，）的图象经过点．
（1）求常数a和b满足的关系式．
（2）若二次函数图象与x轴只有一个交点，求二次函数的解析式．
（3）当时，函数的最大值是最小值的2倍，求a的值．
【答案】（1）解：将点代入，
可得，．
．（或均可）

（2）解：由（1）得，
∵二次函数图象与x轴只有一个交点，
．
（舍去），．
．
（3）解：由（1）得，
抛物线的对称轴为直线，
当，
时，函数取最小值为，
时，函数取最大值为，
．
．
当，
时，函数取最大值为，
时，函数取最小值为，
．
，
或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】
（1）)将点代入二次函数整理即可求解；
（2）由二次函数图象与x轴只有一个交点，得关于a的方程，解方程即可求出抛物线的表达式；
（3）由题意分，两种情况，探究函数的最大值是最小值的2倍时的取值，列出方程即可求解．
（1）解：将点代入，
可得，．
．（或均可）
（2）解：由（1）得，
∵二次函数图象与x轴只有一个交点，
．
（舍去），．
．
（3）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，
当，
时，函数取最小值为，
时，函数取最大值为，
．
．
当，
时，函数取最大值为，
时，函数取最小值为，
．
，
或．
24．（2025·浙江模拟）如图，是的外接圆，点D位于外一点，连接，，．交于点E，连接．已知．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，经过圆心O，．
①求的值；
②若，求的半径．
【答案】（1）证明：∵在中，
．
，
，
．
（2）解：①如图2，连接，，
，
．
，
，
．
，
．
，
．
，
．
．
．
，
，
，
∵经过圆心O，
∴是的直径．
．
；
②如图4，延长交于点F，
，
．
．
∵O为的中点，
．
由（2）①可得，
∴在中，．
∴在，．
．
∴（负根舍去）．
．
【知识点】圆的综合题；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得，由等边对等角可得，再根据等量代换可求证；
（2）①连接，，由题意易得，，然后可得，，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，根据相似三角形的对应边的比相等得比例式并结合已知可得BE=4EC，由直径所对的圆周角是直角可得∠BCE=90°，然后根据锐角三角函数cos∠BAC=cos∠BEC=可求解；
②延长交于点F，由题意易得，根据三角形的中位线等于第三边的一半可得，在Rt△BFO和Rt△BFA中，用勾股定理可分别将BF2用含CE2表示出来，于是可得关于CE2的方程，解方程求出CE的值，于是AO=2CE可求解．
（1）证明：∵在中，
．
，
，
．
（2）解：①如图2，连接，，
，
．
，
，
．
，
．
，
．
，
．
．
．
，
，
，
∵经过圆心O，
∴是的直径．
．
；
②如图4，延长交于点F，
，
．
．
∵O为的中点，
．
由（2）①可得，
∴在中，．
∴在，．
．
∴（负根舍去）．
．
1 / 1浙江省名校共同体2025年中考一模数学试卷
1．（2025·浙江模拟）实数，，0，中，最小的是（　　）
A． B． C．0 D．
2．（2025·浙江模拟）下列各式中，计算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江模拟）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球
4．（2025·浙江模拟）2024年浙江省的常住人口约为65700000人，将数据65700000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江模拟）如图是甲、乙两位女生次一分钟跳绳成绩的统计图，则（　　）
A． B． C． D．无法确定
6．（2025·浙江模拟）将一个含角的三角尺和直尺如图放置．若，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·浙江模拟）马拉松赛是全民健身的热门项目，全程的总赛程约为公里，在同一场比赛中选手甲的平均速度是选手乙的倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早分钟，若乙的平均速度为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·浙江模拟）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·浙江模拟）如图，在中，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接交于点E，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·浙江模拟）已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则可能小于0也可能大于0
C．若，点，在同一象限，则
D．若，点，在不同象限，则
11．（2025·浙江模拟）因式分解： 　 　.
12．（2025·浙江模拟）作为一个悠久历史和灿烂文化的文明古国，中国古代数学家曾写下不少数学著作，现从《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《海岛算经》、《缉古算经》5本著作中随机挑选一本来研读，恰好选择《九章算术》的概率是　 　.
13．（2025·浙江模拟）如图，与⊙相切于点，连接与⊙交于点，连接．若，则　 　．
14．（2025·浙江模拟）若一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　．
15．（2025·浙江模拟）如图，已知，，，，则　 　．
16．（2025·浙江模拟）如图，把一张矩形纸片沿折叠，点的对应点为，交于点．若点为的中点，平分，则　 　．
17．（2025·浙江模拟）计算：．
18．（2025·浙江模拟）解不等式：．
19．（2025·浙江模拟）在中，．
（1）尺规作图：在找一点D，使点D到点A、点C的距离相等（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（2）在（1）的前提下，若，求的值．
20．（2025·浙江模拟）为了增强学生的环保意识，某校组织七年级学生参加“环保知识”竞赛．为了解活动效果，从七年级随机抽取701、702两个班部分学生的比赛成绩，进行了如下统计分析．
收集数据 从两个班中分别随机抽取20名学生的比赛成绩（满分100分，成绩均为整数）．
整理数据 将抽取的两个班学生成绩分别进行整理，分成A，B，C，D，E五组（用x表示成绩分数），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．其中701班20名学生的比赛成绩在E组中的数据是：96，92，93，91，94；702班20名学生的比赛成绩在C组中的数据是：72，75，77，71，74，75．
描述数据 根据统计数据，绘制成如下统计图．
分析数据 701、702两班抽取的学生比赛成绩的各统计量如下表： 　平均数中位数众数方差701班8182868.8702班81n869
根据上述信息，解答下列问题：
（1）请直接写出上述图表中的，______，______．
（2）若此次比赛成绩不低于90分为优秀，请估计全年级800人中优秀的人数．
（3）你认为该校七年级701班、702班中哪个班学生比赛成绩较好？请说明理由．（写一条理由即可）
21．（2025·浙江模拟）如图，在中，是的中点，连接交于点，连接，．
（1）求证：是菱形．
（2）若，求的面积．
22．（2025·浙江模拟）甲、乙两同学在400米的环形跑道上参加1000米跑步训练，时间少于或等于3分40秒为满分．前800米的路程s（米）和时间t（秒）的函数关系如图．
（1）乙同学按照当前的速度继续匀速跑，那么他能否得到满分？请说明理由．
（2）求甲同学跑第2圈时的路程s（米）关于时间t（秒）的函数解析式．
（3）若最后200米甲同学按第1圈的速度冲刺，乙同学保持原速不变，当乙同学跑到终点时，甲同学离终点还有多远？
23．（2025·浙江模拟）已知二次函数（为常数，）的图象经过点．
（1）求常数a和b满足的关系式．
（2）若二次函数图象与x轴只有一个交点，求二次函数的解析式．
（3）当时，函数的最大值是最小值的2倍，求a的值．
24．（2025·浙江模拟）如图，是的外接圆，点D位于外一点，连接，，．交于点E，连接．已知．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，经过圆心O，．
①求的值；
②若，求的半径．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：，
∴最小的是，
故答案为：D．
【分析】先利用估算无理数大小的方法化简，再利用实数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，
∴此选项符合题意；
B、不是同类项，不能合并，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项不符合题意；
D、，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】A、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
B、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知m2和m3不是同类项，所以不能合并；
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解.
3．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据主视图和左视图都是矩形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆柱，
故答案为：A．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，其中看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示．由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得，数据65700000用科学记数法表示为.
故答案为：C．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合题意即可求解.
5．【答案】B
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：由折线图可知：甲的波动比乙小，即甲的成绩比乙的更为稳定，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据"方差越大，成绩波动越大；方差越小，成绩波动越小"并结合折线图可判断求解.
6．【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵直尺对边平行，
，
．
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得∠3=∠1，然后再由平角等于180°可求解．
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙的平均速度为，则甲的平均速度为，
由题意得：，
故答案为：．
【分析】设乙的平均速度为，由题中的相等关系“乙所用时间-甲所用时间==”列关于x的分式方程，结合各选项即可判断求解.
8．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【解答】解：根据“和美点”的定义可知，“和美点”即为直线上的点，令各函数中，
A、，
解得：，
即点为函数的“和美点”，
∴此选项不符合题意；
B、，
解得：，
即点为函数的“和美点”，
∴此选项不符合题意；
C、，则，
此时无解，
即函数不存在“和美点”，
∴此选项符合题意；
D、，
解得：，，
即点和点为函数的“和美点”，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据根据“和美点”的定义可得关于x的一元一次方程解方程求出x的值即可判断求解；
B、根据根据“和美点”的定义可得关于x的一元一次方程解方程求出x的值即可判断求解；
C、根据根据“和美点”的定义可得关于x的分式方程解方程求出x的值即可判断求解；
D、根据根据“和美点”的定义可得关于x的一元二次方程解方程求出x的值即可判断求解.
9．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】如图，连接，过点作于点，
∵将绕着点按顺时针旋转得到，
是等边三角形，
设，则，
在中，，
∵，，
．
故答案为：D．
【分析】如图，连接，过点作于点，由将绕着点按顺时针旋转得到，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形；设，在直角三角形ADH中，用勾股定理将DH用含a的代数式表示出来，根据三角形的面积公式即可求解．
10．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】A、若，则随的增大而减小，的值不确定，
∴无法判断，
∴此选项不符合题意；
B．若，点，两点可以在同一象限，也可以不在同一象限，
∴可能小于0也可能大于0，
∴此选项符合题意；
C．若，点，在同一象限，则随的增大而减小，
∴，
∴此选项不符合题意；
D．若，点，在不同象限，
∴，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质"当时，反比例函数的图象在每一个象限，y随x的增大而减小；当时，反比例函数的图象在每一个象限，y随x的增大而减小"；判断反比例函数的增减性，确定的取值范围，即可求解；
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从5本著作中随机挑选一本来研读，恰好选择《九章算术》的概率是.
故答案为：.
【分析】根据概率公式直接求解.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定；切线的性质
【解析】【解答】解：与⊙相切，
，，
，
是等边三角形，，
．
故答案为：．
【分析】根据圆的切线垂直于过切点的半径可得、，因为，则是等边三角形，，然后根据三角形的内角和等于180°即可求解．
14．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：1．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于k的方程，解方程即可求解.
15．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：过作，交延长线于点，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过作，交延长线于点，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得，再由勾股定理求出，然后由即可求解．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：延长交于点，
由折叠得，，，，
平分，
，
在和中，
，
，
，
点为的中点，
，
设，，则，
在矩形中，
，，
，
即，
，
即，
，
即，
，
在中，，
在中，，
，
，
即，
化简得，
解得（舍），，
即，
，
即，
故答案为：．
【分析】延长交于点，结合已知，用角边角可得，由全等三角形的对应边相等可得，设，，则，根据平行线分线段成比例得到，由比例式可得，根据勾股定理得，，能够得到，先计算并求算术平方根即可求解．
17．【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；化简含绝对值有理数；开立方（求立方根）
【解析】【分析】由负整数指数幂的运算性质“一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数”可得（）-2=4，由立方根的定义可得=3，然后根据有理数的加减法法则计算即可求解．
18．【答案】解：去分母，得：．
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
两边都除以，得：．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】根据不等式的解题步骤"去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1"计算即可求解．
19．【答案】（1）解：如下图：点D即为所求，
（2）解：∵，∴设，则．
∴，
∵是的中垂线，
．
，
，
答：tan∠C的值为.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线；求正切值
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线即可．
（2）根据题意设，则，则，根据线段垂线平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，根据勾股定理将用含x的代数式表示出来，再根据正切的定义tan∠C=计算即可求解．
（1）解：如下图：点D即为所求，
（2）解：∵，
∴设，则．
∴，
∵是的中垂线，
．
，
，
20．【答案】（1）30，76
（2）解：（人），
答：估计全年级800人中优秀人数有180人．
（3）解：701班学生比赛成绩较，
理由：因为701、702班学生成绩的平均数相等，但701班成绩的方差小于702班的，
所以701班学生的成绩比较稳定，701班学生比赛成绩较；
【知识点】中位数；方差；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵701班D组人数所占的百分比为，
∴，
∴，
702班成绩的中位数；
故答案为：30，76；
【分析】
（1）根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”求出n的值；根据百分比之和为1可求出m的值；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）根据平均数和方差的意义求解即可．
（1）解：∵701班D组人数所占的百分比为，
∴，
∴，
702班成绩的中位数；
故答案为：30，76；
（2）解：（人），
答：估计全年级800人中优秀人数有180人．
（3）解：701班学生比赛成绩较，
理由：因为701、702班学生成绩的平均数相等，但701班成绩的方差小于702班的，
所以701班学生的成绩比较稳定，701班学生比赛成绩较；
21．【答案】（1）证明：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是菱形；
（2）解：是的中点，，
点是的重心，
，
，
是菱形，，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】
（1）连接，由"到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上"可得BO⊥AC，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；
（2）根据是的中点，，得到点是的重心，根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，由等腰三角形的三线合一可得，用勾股定理求出AB=BC的值，然后根据平行四边形的面积=底×高即可求解．
（1）证明：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是菱形；
（2）解：是的中点，，
点是的重心，
，
，
是菱形，，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
22．【答案】（1）解：由乙图象可知s是t的正比例函数，设，将代入可得，
，
解得：，
．
令，
解得：．
∵3分40秒秒，，
∴乙同学能够得到满分．
（2）解：由图象可知s是t的一次函数，设，
将代入可得，
解得：
．

（3）解：由（1）可知乙同学到终点的时间是215秒，
由图象可知甲同学跑前800米的时间是180秒，
∴最后200米，乙跑到终点时，甲同学跑的时间是（秒）．
速度是（米/秒）．
路程是（米）．
∴甲离终点的距离是（米）．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）根据路程=速度×时间并结合图中的信息可求出乙同学路程s（米）关于时间t（秒）的函数解析式，然后令，求出t的值即可求解；
（2）设，根据图中的信息，用待定系数法即可求解；
（3）求出最后200米，乙跑到终点时，甲同学跑的时间是（秒），速度是（米/秒），再用总路程减去甲同学35秒跑的路程可求出甲同学离终点还有多远．
（1）解：由乙图象可知s是t的正比例函数，设，
将代入可得，，
解得：，
．
令，
解得：．
∵3分40秒秒，，
∴乙同学能够得到满分．
（2）解：由图象可知s是t的一次函数，设，
将代入可得，
解得：
．
（3）解：由（1）可知乙同学到终点的时间是215秒，
由图象可知甲同学跑前800米的时间是180秒，
所以最后200米，乙跑到终点时，甲同学跑的时间是（秒）．
速度是（米/秒）．
路程是（米）．
∴甲离终点的距离是（米）．
23．【答案】（1）解：将点代入，
可得，．
．（或均可）

（2）解：由（1）得，
∵二次函数图象与x轴只有一个交点，
．
（舍去），．
．
（3）解：由（1）得，
抛物线的对称轴为直线，
当，
时，函数取最小值为，
时，函数取最大值为，
．
．
当，
时，函数取最大值为，
时，函数取最小值为，
．
，
或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】
（1）)将点代入二次函数整理即可求解；
（2）由二次函数图象与x轴只有一个交点，得关于a的方程，解方程即可求出抛物线的表达式；
（3）由题意分，两种情况，探究函数的最大值是最小值的2倍时的取值，列出方程即可求解．
（1）解：将点代入，
可得，．
．（或均可）
（2）解：由（1）得，
∵二次函数图象与x轴只有一个交点，
．
（舍去），．
．
（3）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，
当，
时，函数取最小值为，
时，函数取最大值为，
．
．
当，
时，函数取最大值为，
时，函数取最小值为，
．
，
或．
24．【答案】（1）证明：∵在中，
．
，
，
．
（2）解：①如图2，连接，，
，
．
，
，
．
，
．
，
．
，
．
．
．
，
，
，
∵经过圆心O，
∴是的直径．
．
；
②如图4，延长交于点F，
，
．
．
∵O为的中点，
．
由（2）①可得，
∴在中，．
∴在，．
．
∴（负根舍去）．
．
【知识点】圆的综合题；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得，由等边对等角可得，再根据等量代换可求证；
（2）①连接，，由题意易得，，然后可得，，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，根据相似三角形的对应边的比相等得比例式并结合已知可得BE=4EC，由直径所对的圆周角是直角可得∠BCE=90°，然后根据锐角三角函数cos∠BAC=cos∠BEC=可求解；
②延长交于点F，由题意易得，根据三角形的中位线等于第三边的一半可得，在Rt△BFO和Rt△BFA中，用勾股定理可分别将BF2用含CE2表示出来，于是可得关于CE2的方程，解方程求出CE的值，于是AO=2CE可求解．
（1）证明：∵在中，
．
，
，
．
（2）解：①如图2，连接，，
，
．
，
，
．
，
．
，
．
，
．
．
．
，
，
，
∵经过圆心O，
∴是的直径．
．
；
②如图4，延长交于点F，
，
．
．
∵O为的中点，
．
由（2）①可得，
∴在中，．
∴在，．
．
∴（负根舍去）．
．
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