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四川省眉山市东坡区东坡区苏辙中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·东坡期末）在代数式 ，，，，中，分式共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：分母中含有字母的代数式有：，，，共3个.
故答案为：B.
【分析】根据分式的定义“一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子A / B 就叫做分式，其中A称为 分子，B称为分母.”并结合题意即可求解.
2．（2024八下·东坡期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C．2 D．
【答案】C
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A．，故不符合题意；
B． ，故不符合题意；
C．2，故符合题意；
D． ，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用合并同类项、分式的乘除法、分式的减法和幂的乘方逐项判断即可。
3．（2024八下·东坡期末）函数中自变量的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据分式有意义可得：，
根据二次根式有意义可得：，解得：，
综合可得：.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件“被开方数大于等于，分母不等于”可列关于x的不等式，解不等式即可求解．
4．（2024八下·东坡期末）若把的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，即分式的值扩大2倍，故本选项不符合题意；
C．，即分式的值不变，故本选项符合题意；
D．，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据分式的基本性质求解。分式的分子和分母都乘以同一个数（或除以同一个不等于0的数），分式的值不变．
5．（2024八下·东坡期末）在平面直角坐标系中，已知点，下列说法不正确的是（ ）
A．点A在第四象限
B．点A关于x轴的对称点的坐标为
C．点A关于y轴的对称点的坐标为
D．点A关于原点的对称点的坐标为
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：A. 点A在第四象限，
∴此选项不符合题意；
B. 点A关于x轴的对称点的坐标为，
∴此选项不符合题意；
C. 点A关于y轴的对称点的坐标为，
∴此选项不符合题意；
D. 点A关于原点的对称点的坐标为，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据点的坐标与象限的关系“第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、第四象限（+，-）”可求解；
B、根据"关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数"可求解；
C、根据"关于y轴对称，横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变"可求解；
D、根据"关于原点对称，横、纵坐标均变为原数的相反数"可求解．
6．（2024八下·东坡期末）将直线沿轴向右平移个单位长度后，所得直线经过点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线沿轴向右平移个单位长度后则直线变为，
∵所得直线经过点
∴，
解得：，
故答案为：C．
【分析】根据直线平移的性质“左减右加、上加下减”可得平移后的直线关系式为：，再把代入，可得关于m的方程，解方程可求解．
7．（2024八下·东坡期末）已知点P(a，b)是反比例函数y＝图象上异于点(－1，－1)的一个动点，则的值为(　　)
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】分式的化简求值；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P（a，b）是反比例函数图象上异于点（﹣1，﹣1）的一个动点，
∴ab=1，
∴
=
=
=
=1．
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征将点（-1，-1）代入反比例函数的解析式可得ab=1；再将所求代数式变形并整体代换即可求解．
8．（2024八下·东坡期末）已知，函数与在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、∵函数的图象经过，
∴此选项不符合题意；
B、∵函数的图象经过，
∴此选项不符合题意；
C、∵一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两结论矛盾，
∴此选项不符合题意；
D、∵一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，
∴此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的图象和性质"当k＞0时，直线经过一、三象限，b＞0时，直线交于y轴正半轴；当k＜0时，直线经过二、四象限，b＜0时，直线交于y轴负半轴"可得m的范围；再根据反比例函数的性质“当k＞0时，双曲线分布在一、三象限；当k＜0时，双曲线分布在二、四象限”可得m的范围，结合各选项即可判断求解.
9．（2024八下·东坡期末）已知点 ， ， 都在反比例函数 的图像上，且 ，则 ， ， 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 反比例函数 ，
反比例函数图象在第二、四象限，
观察图像：当 时，
则 ．
故答案为：A．
【分析】首先画出反比例函数 ，利用函数图象的性质得到当 时， ， ， 的大小关系．
10．（2024八下·东坡期末）如果关于的分式方程有正数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
∵关于的分式方程有正数解，
解得：且
解得：且
该不等式组的解集为，
，
，
的范围是：且，
是整数，
，0，1，3
符合条件的所有整数的和为：3
故答案为：B．
【分析】解分式方程得x=，根据分式方程有正数解并结合分式有意义可得关于a的不等式组，解之可得a的范围；再解不等式组，结合不等式组的解集可得a的不等式，解之求出a的范围；然后求出所有整数的和．
11．（2024八下·东坡期末）如图1，点G为BC边的中点，点H在AF上，动点P以每秒1cm的速度沿图1的边运动，运动路径为，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2，若，则下列结论正确的个数有　　
图1中BC长4cm；图1中DE的长是3cm；图2中点M表示4秒时的y值为；图2中的点N表示12秒时y值为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了2cm，
∴CG=2m，BC=4cm，
∴此结论正确；
② 根据函数图象可以知：经过了3秒，P运动了3cm，
∴DE=3cm，
∴此结论正确；
③P在CD段时，底边AB不变，高不变，因而面积不变，由图象可知CD=2cm，
∴面积，
∴此结论正确；
④图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点，
∴S△ABP=，
∴此结论正确；
∴正确的结论有4个.
故答案为：D.
【分析】能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小.
12．（2024八下·东坡期末）如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于、两点，连接、．给出下列结论：
①；
②；
③；
④不等式的解集是或．
其中正确的结论有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：①由图象知，
∴此结论符合题意；
②把代入中得
∴此结论符合题意；
③把代入得
解得：，
∴
∴直线解析式是：
∵已知直线与x轴、y轴相交于P、Q两点，
∴此结论符合题意；
④由图象知不等式的解集是或
∴此结论符合题意；
∴正确的结论有4个.
故答案为：A．
【分析】①根据一次函数的图象经过二三四象限可得k1＜0，反比例函数的图象分布在二四象限可得k2＜0，根据两数相乘的符号法则可求解；
②由题意，把代入中计算可求解；
③由题意，把代入可将k1、b用含m的代数式表示出来，则可将直线AB含m的代数式表示出来，根据直线分别与x、y轴相交于点P、Q可得这两点的坐标， 然后根据三角形的面积公式即可求解；
④根据图象可知不等式的解集就是直线高于双曲线所对应的x的取值范围.
13．（2024八下·东坡期末）杨絮纤维的直径约为0.000 010 5 m，该直径用科学记数法表示为　 　
【答案】1.05×10-5
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000 010 5= 1.05×10-5 ，
故答案为：1.05×10-5
【分析】绝对值小于1的正数可以用科学记数法的表示，一般形式为a×10-n的形式。其中1≤|a|＜10，-n=原数左边第一个不为0的数字前面的0的个数的相反数。
14．（2024八下·东坡期末）重庆、昆明两地相距，渝昆高速公路开通后，在重庆、昆明两地间行驶的长途客车平均速度提高了，而从重庆到昆明的时间缩短了，求长途客车现在的平均速度．设长途客车现在的平均速度为，则根据题意可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设长途客车现在的平均速度为，则以前的平均速度为，
根据题意有：，
故答案为：．
【分析】设长途客车现在的平均速度为，则以前的平均速度为，根据相等关系" 渝昆高速公路开通前所需时间=渝昆高速公路开通后所需时间+3"列关于x的方程即可．
15．（2024八下·东坡期末）已知：，则　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：将方程两边同时除以字母x得：，
故答案为：．
【分析】将已知的方程两边同时除以x可得，将方程两边平方并整理即可求解.
16．（2024八下·东坡期末）如图，已知一次函数（）与正比例函数（）的图像交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数（）与正比例函数（）的图像交于点，
观察图象可得： 当时，直线在下方或相交，
∴的解为，
把代入得：，，
∴时，则，解得：，
∴不等式的解集为：，
故答案为：.
【分析】观察函数图象可知，不等式的解集就是图象中直线y=k1x+b低于直线y=k2x所对应的x的范围，于是根据图象并结合两直线的交点P的横坐标即可求解．
17．（2024八下·东坡期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴，交于、两点，点是的中点且．若点是直线的一点，当时，求点的坐标　 　．
【答案】或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：直线与轴，轴，交于、两点，
，
，
即，
是中点，
，
设直线的解析式：，
，
解得：，
直线的解析式：，
，且是中点，
，，
设，
①当在点右侧，，
，
，
，
，
②当在点左侧，，
，
，
，
，
或．
故答案为：或．
【分析】由题意，用待定系数法求出直线AC的函数关系式；根据等底同高的两个三角形的面积相等可得S△ABM=2S△AOC=S△ABC，设点（x，x+2），由题意，分两种情况：①当在点右侧，，根据S△ABM=S△ABC+S△BCM可得关于x的方程，解方程即可求解；②当在点左侧，，根据S△BCM=S△ABC+S△ABM可得关于x的方程，解方程即可求解．
18．（2024八下·东坡期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交 于两点，过作轴的垂线，交函数的图象于点，连接，则的面积为　 　.
【答案】6
【知识点】反比例函数图象的对称性；正比例函数的性质
【解析】【解答】
解：∵正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，
∴设A点坐标为(x， )，则B点坐标为( x，)，C( 2x， )，
∴S =×( 2x x) ( )=×( 3x) ( )=6.
故答案为：6.
【分析】根据正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，可得A、B两点的横纵坐标互为相反数，根据垂直于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A、C两点的横坐标相同，于是可设A点坐标为（x，- ），表示出B、C两点的坐标，再根据三角形ABC的面积公式计算即可求解．
19．（2024八下·东坡期末）计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；开立方（求立方根）
【解析】【分析】实数的混合运算，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的；另外应对一些特殊运算如零指数幂，负整数指数幂，算术平方根、立方根及绝对值等熟练掌握。
20．（2024八下·东坡期末）先化简，再求值：其中．
【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先通分计算括号里算式，再分解因式约分，然后将x的值代入化简后的代数式计算即可求解.
21．（2024八下·东坡期末）已知关于的分式方程．
（1）若，求分式方程的解；
（2）若分式方程无解，求的值．
【答案】（1）解：去分母得，
解得，
经检验：是方程的解；
（2）解：去分母得，
即，
当时，即时，整式方程无解，符合题意；
当时，则
∴或，
∴或，
综上可得，或或.
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】
（1）将代入分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，解这个整式方程并检验即可求解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到，由分式方程无解，得到或或，解之即可求解．
22．（2024八下·东坡期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）在轴上取一点，使为等腰三角形，请求出点的坐标．
【答案】（1）解：把代入得，
0=-4k+2，
解得：，
∴ 一次函数的表达式为：
把代入得，
n=×2+2，
解得：，
∴
把代入 得，
m=2×3=6 ，
∴ 反比例函数的表达式为：；
（2）解：∵为等腰三角形
∴分三种情况讨论：
①当时，；
②当时，
∵，
∴
∴或
③当时，
在中，设，
由得，
解得，
∴
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】
（1）把代入可得关于k的方程，解方程求出k的值，可得一次函数的表达式；把点A的坐标代入一次函数的表达式求出n的值可得点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数的解析式计算可求解；
（2）分三种情况，①当时，② 当时，③当时，用勾股定理可求解．
23．（2024八下·东坡期末）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台元，空调的销售价为每台元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多元，商场用元购进电冰箱的数量与用元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商场准备一次性购进两种家电共台，设购进电冰箱台，这台家电的销售总利润为元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的倍，且购进电冰箱不多于台，请确定获利最大的方案以及最大的利润．
【答案】（1）解：设每台空调的进价为元，每台电冰箱的进价为元．
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
则，
答：每台空调进价为1600元，电冰箱进价为2000元；
（2）解：设购进电冰箱台，则进购空调台，
，
购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，
，
解得，
为正整数，，，
随的增大而减小，
当时，的值最大，即最大利润为（元），
答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设每台空调的进价为元，每台电冰箱的进价为元；根据题中的相等关系“用元购进电冰箱的数量=用元购进空调的数量”可列关于x的分式方程，解方程并检验即可求解；
（2）根据总利润y=x台冰箱的利润+（100-x）台空调的利润可以写出与的函数关系式，根据“购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍”可列关于x的不等式，解不等式求出x的范围，然后根据一次函数的性质即可求解．
24．（2024八下·东坡期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：；
解决下列问题：
（1）分式是 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式化为带分式；
（3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】（1）真分式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
若上式是数，则，
即或，
又，0，1
.
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，是真分式；
故答案为：真分式；
【分析】
（1）根据题意，可以判断分式是真分式还是假分式；
（2）根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式；
（3）根据分式的除法和减法可以将式子化简，然后化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数．
25．（2024八下·东坡期末）已知非负实数，，满足．设的最大值为，最小值为．求的值．
【答案】解：设，
∴，，，
∵，，，
∴，
解不等式组得，
∵，
∴，
∵，即，
∴的最大值为，最小值为，
∴.
【知识点】解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】设，则，，，根据x，y，z为非负实数可得关于k的的不等式组，解不等式组可求得k的取值范围，结合S的最大值为m，可求得m，n的值，将m、n的值代入所求代数式计算可求解．
26．（2024八下·东坡期末）如图，直线：与过点的直线交于点，与轴交于点．
（1）求直线的表达式；
（2）点在直线上，轴，交直线于点，若，求点的坐标；
（3）在线段上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把代入得，
∴，
设直线的解析式为把，代入得：
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图：
在中，令，得，
∴，
∴，
设，由轴，得，
，
∵，
∴，
解得或，
∴或；
（3）解：以点为直角顶点构造等腰直角，使得，过点作垂直于轴，过点作垂直于线段，连接，直线与直线的交于点.
∵，，垂直于轴，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
∵
∴，
设直线的解析式为把，代入得：
∴，
解得，
∴直线的表达式为，
∵点是直线与直线的交点，且点在线段上，
∴
解得，，
∴.
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；等腰三角形的判定与性质；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】
（1）由题意，把点C的坐标代入直线y=x+3可求出点C的坐标，然后用待定系数法即可求出直线的表达式；
（2）由题意，令y=0可求出直线y=x+3与x轴的交点B的坐标，于是看得，设，由轴，得，则，得到，解方程即可求解；
（3）以点为直角顶点构造等腰直角，使得，过点作垂直于轴，过点作垂直于线段，连接，直线与直线的交于点.求出，，结合题意，用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，，则可得点D的坐标，然后用待定系数法即可求出直线的表达式，由点是直线与直线的交点，且点在线段上，联立函数解析式解方程组即可求解．
1 / 1四川省眉山市东坡区东坡区苏辙中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·东坡期末）在代数式 ，，，，中，分式共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2024八下·东坡期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C．2 D．
3．（2024八下·东坡期末）函数中自变量的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．
4．（2024八下·东坡期末）若把的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·东坡期末）在平面直角坐标系中，已知点，下列说法不正确的是（ ）
A．点A在第四象限
B．点A关于x轴的对称点的坐标为
C．点A关于y轴的对称点的坐标为
D．点A关于原点的对称点的坐标为
6．（2024八下·东坡期末）将直线沿轴向右平移个单位长度后，所得直线经过点，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·东坡期末）已知点P(a，b)是反比例函数y＝图象上异于点(－1，－1)的一个动点，则的值为(　　)
A．2 B．1 C． D．
8．（2024八下·东坡期末）已知，函数与在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·东坡期末）已知点 ， ， 都在反比例函数 的图像上，且 ，则 ， ， 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·东坡期末）如果关于的分式方程有正数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·东坡期末）如图1，点G为BC边的中点，点H在AF上，动点P以每秒1cm的速度沿图1的边运动，运动路径为，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2，若，则下列结论正确的个数有　　
图1中BC长4cm；图1中DE的长是3cm；图2中点M表示4秒时的y值为；图2中的点N表示12秒时y值为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2024八下·东坡期末）如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于、两点，连接、．给出下列结论：
①；
②；
③；
④不等式的解集是或．
其中正确的结论有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
13．（2024八下·东坡期末）杨絮纤维的直径约为0.000 010 5 m，该直径用科学记数法表示为　 　
14．（2024八下·东坡期末）重庆、昆明两地相距，渝昆高速公路开通后，在重庆、昆明两地间行驶的长途客车平均速度提高了，而从重庆到昆明的时间缩短了，求长途客车现在的平均速度．设长途客车现在的平均速度为，则根据题意可列方程为　 　．
15．（2024八下·东坡期末）已知：，则　 　．
16．（2024八下·东坡期末）如图，已知一次函数（）与正比例函数（）的图像交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
17．（2024八下·东坡期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴，交于、两点，点是的中点且．若点是直线的一点，当时，求点的坐标　 　．
18．（2024八下·东坡期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交 于两点，过作轴的垂线，交函数的图象于点，连接，则的面积为　 　.
19．（2024八下·东坡期末）计算：
20．（2024八下·东坡期末）先化简，再求值：其中．
21．（2024八下·东坡期末）已知关于的分式方程．
（1）若，求分式方程的解；
（2）若分式方程无解，求的值．
22．（2024八下·东坡期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）在轴上取一点，使为等腰三角形，请求出点的坐标．
23．（2024八下·东坡期末）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台元，空调的销售价为每台元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多元，商场用元购进电冰箱的数量与用元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商场准备一次性购进两种家电共台，设购进电冰箱台，这台家电的销售总利润为元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的倍，且购进电冰箱不多于台，请确定获利最大的方案以及最大的利润．
24．（2024八下·东坡期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：；
解决下列问题：
（1）分式是 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式化为带分式；
（3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
25．（2024八下·东坡期末）已知非负实数，，满足．设的最大值为，最小值为．求的值．
26．（2024八下·东坡期末）如图，直线：与过点的直线交于点，与轴交于点．
（1）求直线的表达式；
（2）点在直线上，轴，交直线于点，若，求点的坐标；
（3）在线段上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：分母中含有字母的代数式有：，，，共3个.
故答案为：B.
【分析】根据分式的定义“一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子A / B 就叫做分式，其中A称为 分子，B称为分母.”并结合题意即可求解.
2．【答案】C
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A．，故不符合题意；
B． ，故不符合题意；
C．2，故符合题意；
D． ，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用合并同类项、分式的乘除法、分式的减法和幂的乘方逐项判断即可。
3．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据分式有意义可得：，
根据二次根式有意义可得：，解得：，
综合可得：.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件“被开方数大于等于，分母不等于”可列关于x的不等式，解不等式即可求解．
4．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，即分式的值扩大2倍，故本选项不符合题意；
C．，即分式的值不变，故本选项符合题意；
D．，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据分式的基本性质求解。分式的分子和分母都乘以同一个数（或除以同一个不等于0的数），分式的值不变．
5．【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：A. 点A在第四象限，
∴此选项不符合题意；
B. 点A关于x轴的对称点的坐标为，
∴此选项不符合题意；
C. 点A关于y轴的对称点的坐标为，
∴此选项不符合题意；
D. 点A关于原点的对称点的坐标为，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据点的坐标与象限的关系“第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、第四象限（+，-）”可求解；
B、根据"关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数"可求解；
C、根据"关于y轴对称，横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变"可求解；
D、根据"关于原点对称，横、纵坐标均变为原数的相反数"可求解．
6．【答案】C
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线沿轴向右平移个单位长度后则直线变为，
∵所得直线经过点
∴，
解得：，
故答案为：C．
【分析】根据直线平移的性质“左减右加、上加下减”可得平移后的直线关系式为：，再把代入，可得关于m的方程，解方程可求解．
7．【答案】B
【知识点】分式的化简求值；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P（a，b）是反比例函数图象上异于点（﹣1，﹣1）的一个动点，
∴ab=1，
∴
=
=
=
=1．
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征将点（-1，-1）代入反比例函数的解析式可得ab=1；再将所求代数式变形并整体代换即可求解．
8．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、∵函数的图象经过，
∴此选项不符合题意；
B、∵函数的图象经过，
∴此选项不符合题意；
C、∵一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两结论矛盾，
∴此选项不符合题意；
D、∵一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，
∴此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的图象和性质"当k＞0时，直线经过一、三象限，b＞0时，直线交于y轴正半轴；当k＜0时，直线经过二、四象限，b＜0时，直线交于y轴负半轴"可得m的范围；再根据反比例函数的性质“当k＞0时，双曲线分布在一、三象限；当k＜0时，双曲线分布在二、四象限”可得m的范围，结合各选项即可判断求解.
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 反比例函数 ，
反比例函数图象在第二、四象限，
观察图像：当 时，
则 ．
故答案为：A．
【分析】首先画出反比例函数 ，利用函数图象的性质得到当 时， ， ， 的大小关系．
10．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
∵关于的分式方程有正数解，
解得：且
解得：且
该不等式组的解集为，
，
，
的范围是：且，
是整数，
，0，1，3
符合条件的所有整数的和为：3
故答案为：B．
【分析】解分式方程得x=，根据分式方程有正数解并结合分式有意义可得关于a的不等式组，解之可得a的范围；再解不等式组，结合不等式组的解集可得a的不等式，解之求出a的范围；然后求出所有整数的和．
11．【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了2cm，
∴CG=2m，BC=4cm，
∴此结论正确；
② 根据函数图象可以知：经过了3秒，P运动了3cm，
∴DE=3cm，
∴此结论正确；
③P在CD段时，底边AB不变，高不变，因而面积不变，由图象可知CD=2cm，
∴面积，
∴此结论正确；
④图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点，
∴S△ABP=，
∴此结论正确；
∴正确的结论有4个.
故答案为：D.
【分析】能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小.
12．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：①由图象知，
∴此结论符合题意；
②把代入中得
∴此结论符合题意；
③把代入得
解得：，
∴
∴直线解析式是：
∵已知直线与x轴、y轴相交于P、Q两点，
∴此结论符合题意；
④由图象知不等式的解集是或
∴此结论符合题意；
∴正确的结论有4个.
故答案为：A．
【分析】①根据一次函数的图象经过二三四象限可得k1＜0，反比例函数的图象分布在二四象限可得k2＜0，根据两数相乘的符号法则可求解；
②由题意，把代入中计算可求解；
③由题意，把代入可将k1、b用含m的代数式表示出来，则可将直线AB含m的代数式表示出来，根据直线分别与x、y轴相交于点P、Q可得这两点的坐标， 然后根据三角形的面积公式即可求解；
④根据图象可知不等式的解集就是直线高于双曲线所对应的x的取值范围.
13．【答案】1.05×10-5
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000 010 5= 1.05×10-5 ，
故答案为：1.05×10-5
【分析】绝对值小于1的正数可以用科学记数法的表示，一般形式为a×10-n的形式。其中1≤|a|＜10，-n=原数左边第一个不为0的数字前面的0的个数的相反数。
14．【答案】
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设长途客车现在的平均速度为，则以前的平均速度为，
根据题意有：，
故答案为：．
【分析】设长途客车现在的平均速度为，则以前的平均速度为，根据相等关系" 渝昆高速公路开通前所需时间=渝昆高速公路开通后所需时间+3"列关于x的方程即可．
15．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：将方程两边同时除以字母x得：，
故答案为：．
【分析】将已知的方程两边同时除以x可得，将方程两边平方并整理即可求解.
16．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数（）与正比例函数（）的图像交于点，
观察图象可得： 当时，直线在下方或相交，
∴的解为，
把代入得：，，
∴时，则，解得：，
∴不等式的解集为：，
故答案为：.
【分析】观察函数图象可知，不等式的解集就是图象中直线y=k1x+b低于直线y=k2x所对应的x的范围，于是根据图象并结合两直线的交点P的横坐标即可求解．
17．【答案】或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：直线与轴，轴，交于、两点，
，
，
即，
是中点，
，
设直线的解析式：，
，
解得：，
直线的解析式：，
，且是中点，
，，
设，
①当在点右侧，，
，
，
，
，
②当在点左侧，，
，
，
，
，
或．
故答案为：或．
【分析】由题意，用待定系数法求出直线AC的函数关系式；根据等底同高的两个三角形的面积相等可得S△ABM=2S△AOC=S△ABC，设点（x，x+2），由题意，分两种情况：①当在点右侧，，根据S△ABM=S△ABC+S△BCM可得关于x的方程，解方程即可求解；②当在点左侧，，根据S△BCM=S△ABC+S△ABM可得关于x的方程，解方程即可求解．
18．【答案】6
【知识点】反比例函数图象的对称性；正比例函数的性质
【解析】【解答】
解：∵正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，
∴设A点坐标为(x， )，则B点坐标为( x，)，C( 2x， )，
∴S =×( 2x x) ( )=×( 3x) ( )=6.
故答案为：6.
【分析】根据正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，可得A、B两点的横纵坐标互为相反数，根据垂直于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A、C两点的横坐标相同，于是可设A点坐标为（x，- ），表示出B、C两点的坐标，再根据三角形ABC的面积公式计算即可求解．
19．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；开立方（求立方根）
【解析】【分析】实数的混合运算，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的；另外应对一些特殊运算如零指数幂，负整数指数幂，算术平方根、立方根及绝对值等熟练掌握。
20．【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先通分计算括号里算式，再分解因式约分，然后将x的值代入化简后的代数式计算即可求解.
21．【答案】（1）解：去分母得，
解得，
经检验：是方程的解；
（2）解：去分母得，
即，
当时，即时，整式方程无解，符合题意；
当时，则
∴或，
∴或，
综上可得，或或.
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】
（1）将代入分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，解这个整式方程并检验即可求解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到，由分式方程无解，得到或或，解之即可求解．
22．【答案】（1）解：把代入得，
0=-4k+2，
解得：，
∴ 一次函数的表达式为：
把代入得，
n=×2+2，
解得：，
∴
把代入 得，
m=2×3=6 ，
∴ 反比例函数的表达式为：；
（2）解：∵为等腰三角形
∴分三种情况讨论：
①当时，；
②当时，
∵，
∴
∴或
③当时，
在中，设，
由得，
解得，
∴
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】
（1）把代入可得关于k的方程，解方程求出k的值，可得一次函数的表达式；把点A的坐标代入一次函数的表达式求出n的值可得点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数的解析式计算可求解；
（2）分三种情况，①当时，② 当时，③当时，用勾股定理可求解．
23．【答案】（1）解：设每台空调的进价为元，每台电冰箱的进价为元．
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
则，
答：每台空调进价为1600元，电冰箱进价为2000元；
（2）解：设购进电冰箱台，则进购空调台，
，
购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，
，
解得，
为正整数，，，
随的增大而减小，
当时，的值最大，即最大利润为（元），
答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设每台空调的进价为元，每台电冰箱的进价为元；根据题中的相等关系“用元购进电冰箱的数量=用元购进空调的数量”可列关于x的分式方程，解方程并检验即可求解；
（2）根据总利润y=x台冰箱的利润+（100-x）台空调的利润可以写出与的函数关系式，根据“购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍”可列关于x的不等式，解不等式求出x的范围，然后根据一次函数的性质即可求解．
24．【答案】（1）真分式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
若上式是数，则，
即或，
又，0，1
.
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，是真分式；
故答案为：真分式；
【分析】
（1）根据题意，可以判断分式是真分式还是假分式；
（2）根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式；
（3）根据分式的除法和减法可以将式子化简，然后化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数．
25．【答案】解：设，
∴，，，
∵，，，
∴，
解不等式组得，
∵，
∴，
∵，即，
∴的最大值为，最小值为，
∴.
【知识点】解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】设，则，，，根据x，y，z为非负实数可得关于k的的不等式组，解不等式组可求得k的取值范围，结合S的最大值为m，可求得m，n的值，将m、n的值代入所求代数式计算可求解．
26．【答案】（1）解：把代入得，
∴，
设直线的解析式为把，代入得：
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图：
在中，令，得，
∴，
∴，
设，由轴，得，
，
∵，
∴，
解得或，
∴或；
（3）解：以点为直角顶点构造等腰直角，使得，过点作垂直于轴，过点作垂直于线段，连接，直线与直线的交于点.
∵，，垂直于轴，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
∵
∴，
设直线的解析式为把，代入得：
∴，
解得，
∴直线的表达式为，
∵点是直线与直线的交点，且点在线段上，
∴
解得，，
∴.
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；等腰三角形的判定与性质；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】
（1）由题意，把点C的坐标代入直线y=x+3可求出点C的坐标，然后用待定系数法即可求出直线的表达式；
（2）由题意，令y=0可求出直线y=x+3与x轴的交点B的坐标，于是看得，设，由轴，得，则，得到，解方程即可求解；
（3）以点为直角顶点构造等腰直角，使得，过点作垂直于轴，过点作垂直于线段，连接，直线与直线的交于点.求出，，结合题意，用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，，则可得点D的坐标，然后用待定系数法即可求出直线的表达式，由点是直线与直线的交点，且点在线段上，联立函数解析式解方程组即可求解．
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