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四川省内江市2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题
1．（2024八下·内江期末）在代数式 ， ， + ， ， 中，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024八下·内江期末）下列运算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·内江期末）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线相互平分的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．一组邻边相等并且一个内角是直角的四边形是矩形
4．（2024八下·内江期末）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·内江期末）一家服装专卖店销售某品牌棒球服，店长统计了一周内不同尺码的棒球服销售量如下表，如果每件棒球服的利润相同，你认为该店主最应该关注的销售数据是下列统计量中的（　　）
尺码 S M X
销售量/件 28 30 45 27
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．以上都不对
6．（2024八下·内江期末）若一个等腰三角形的顶角度数为y，底角度数为x，则它们的函数关系式应是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024八下·内江期末）在菱形中，于点，于点，连结．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·内江期末）函数的自变量的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
9．（2024八下·内江期末）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024八下·内江期末）如图，在中，，，，平分，交于点，，是，上的动点，则的最小值为（　　）
A． B．3 C．4 D．
11．（2024八下·内江期末）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
12．（2024八下·内江期末） 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
13．（2024八下·内江期末）芯片内部有数以亿计的晶体管．某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为　 　．
14．（2024八下·内江期末）若一组数据10，8，9，x，5的平均数是8，则这组数据的方差是　 　．
15．（2024八下·内江期末）已知点，，都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则，，的大小关系为　 　（请用“”连接）．
16．（2024八下·内江期末）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接 PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形 CMPN是菱形；②点P与点A重合时， MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5，其中所有正确结论的序号是　 　．
17．（2024八下·内江期末）
（1）计算：．
（2）先化简，然后从中选取一个合适的整数作为的值代入求值．
18．（2024八下·内江期末）某中学为全面普及消防知识，提高学生消防安全意识，特邀市消防中队在全校开展了消防知识和技能培训活动．培训结束后，在七、八年级开展了一次消防安全知识竞赛，竞赛成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取20名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级 8.7 9 a 1.01
八年级 8.7 b 9 1.175
（1）根据以上信息可以求出：___________，___________，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
（2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；
（3）若该校七年级有800人、八年级有700人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
19．（2024八下·内江期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
20．（2024八下·内江期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，交轴于点，交轴于点．
（1）求一次函数与反比例函数的函数关系式．
（2）连结，求的面积．
（3）根据图象直接写出时，的取值范围．
21．（2024八下·内江期末）为积极落实乡村振兴政策，某市鼓励农民种植人们喜欢的水果--草莓，周末，小东和小明一起去采摘园采摘草莓，小东说：“我用200元采摘的甲种草莓比你用200元采摘的乙种草莓多1kg．”小明说：“甲、乙种草莓的单价之比为4：5．”
（1）根据小东和小明的对话，求出甲、乙两种草莓的单价；
（2）由于草莓的成熟期较短，该草莓采摘园为吸引顾客，推出一种优惠方案：采摘甲种草莓按原价的八折销售；采摘乙种草莓超过4kg，超出部分按原价的六折销售．某公司团建活动准备采摘两种草莓共40kg，已知采摘的乙种草莓不少于10kg且不多于甲种草莓的一半，则如何采摘能使采摘的总费用最低？最低费用为多少元？（两种草莓的采摘量均为正整数）．
22．（2024八下·内江期末）【观察猜想】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为 ___________；
【类比探究】（2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，在中，，D，E在上，，若的面积为12，，请直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解： 分母中不含字母，故不是分式；
分母中含有字母是分式；
+ 分母不含字母，故不是分式；
分母中含有字母是分式；
中π是数字，不是字母，故不是分式．
故选；B．
【分析】依据分式的定义进行判断即可．
2．【答案】C
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法；负整数指数幂
【解析】【解答】解：A，≠；
B，≠；
C，；
D，≠1.
故答案为：C．
【分析】A、根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可求解；
B、根据同分母的分式加减法法则“分母不变，分子相加”可求解；
C、将分子提出一个负号放到分式的前面即可判断；
D、根据将分式乘除混合运算统一成乘法运算即可判断．
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题是假命题，不符合题意，A错误；
B、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故原命题是真命题，符合题意，B正确；
C、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故原命题是假命题，不符合题意，C错误；
D、一组邻边相等并且一个内角是直角的四边形可能是直角梯形，故原命题是假命题，不符合题意，D错误；
故答案为：B．
【分析】本题考查命题真假的判定，行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定方法．直接利用菱形的判定方法进行判断可判断A选项；直接利用平行四边形的判定方法进行判断可判断B选项和C选项；直接利用矩形的判定方法进行判断可判断D选项.
4．【答案】C
【知识点】分式的值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，∴.
故答案为：C.
【分析】根据分式的基本性质变形可得，然后代入求值即可解答.
5．【答案】A
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：∵众数是数据中出现次数最多的数，
∴影响该店主决策、引起店主最关注的统计量是众数．
故答案为：A．
【分析】众数反映这组数据的集中趋势，结合众数的意义并结合题意可求解.
6．【答案】A
【知识点】函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵三角形内角和是，且等腰三角形两底角相等，
∴顶角度数y与底角度数x之间的函数关系式为：；
其中x的取值范围是：
故答案为：A.
【分析】根据三角形内角和是并结合等腰三角形的两底角相等可求解.
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵于点E，于点F，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】由菱形的性质“菱形的四边都相等，对角相等”可得，结合已知用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，由等边对等角可得，根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求得∠B的度数，由四边形的内角和等于360°可求得的度数，在等腰三角形AEF中，用三角形内角和定理可求解.
8．【答案】D
【知识点】零指数幂；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
【分析】由题意，根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”和0指数幂有意义的条件“底数≠0”可得关于x的不等式，解之即可求解．
9．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：A、一次函数图象经过一、二、四象限，则，，反比例函数图象在第一、三象限，则，相矛盾，
∴此选项不符合题意；
B、一次函数图象经过一、二、三象限，则，，相矛盾，
∴此选项不符合题意；
C、一次函数图象经过一、三、四象限，则，，反比例函数图象在第一、三象限，则，
∴此选项符合题意；
D、一次函数图象经过二、三、四象限，则，，相矛盾，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的图象和性质"当k＞0时，直线经过一、三象限，b＞0时，直线交于y轴正半轴；当k＜0时，直线经过二、四象限，b＜0时，直线交于y轴负半轴"可得m的范围；再根据反比例函数的性质“当k＞0时，双曲线分布在一、三象限；当k＜0时，双曲线分布在二、四象限”可得m的范围，结合各选项即可判断求解.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，
∵，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，
∵，
∴，
即的最小值为，
故答案为：D．
【分析】过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，由题意，用边角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，然后用面积法可得关于CH的方程，解方程即可求解．
11．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：延长交轴于点，
∵轴，
∴轴，
∵点在函数的图象上，
∴，
∵轴于点，轴，点在函数的图象上，
∴，
∴四边形的面积等于，
故答案为：B．
【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可求解．
12．【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：，
整理得：，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即时，方程无解，
∴；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入，得：
解得：得m=4．
②当x=6时，代入，得：，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或，分式方程无解；
解不等式，
得：
根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为 8， 6， 4，
∴ 4∴0综上所述当m=2或时符合题目中所有要求，
∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．
故答案为：B．
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，据此求解。
13．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义并结合题意可求解.
14．【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：因为一组数据10，8，9，，5的平均数是8，
所以
所以．
于是这组数据为10，8，9，8，5．
方差．
故答案为：2.8.
【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.根据平均数的定义可得关于x的方程，解方程求出的值，再求该组数据的方差即可．
15．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；偶次方的非负性
【解析】【解答】
解：∵，
∴反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内随的增大而增大，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
则，，的大小关系为，
故答案为：．
【分析】由偶次方的非负性可得，然后根据反比例函数的图象与性质“反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内随的增大而增大”进行判断即可求解.
16．【答案】①③
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①如下图，
∵ ，
∴ ，
∵折叠，∴ ，NC=NP
∴ ，
∴ ，
∴PM=CN，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 为菱形，
∴此结论正确，符合题意；
②当点P与A重合时，如图2所示
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵四边形 为菱形，
∴ ，且 ，
∴
∴ ，
∴此结论错误，不符合题意；
③当 过点D时，如图3所示：
此时， 最短，四边形 的面积最小，则S最小为 ，
当P点与A点重合时， 最长，四边形 的面积最大，则S最大为 ，
∴ ，
∴此结论正确，符合题意.
故答案为：①③.
【分析】①由题意，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形CMPN是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形CMPN是菱形；
②当点P与点A重台时，设BN=x，表示出AN=NC=8-x，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，在Rt△CQN中，用勾股定理求出QN的值，然后根据MN=2QN可求解；
③当MN过D点时，求出四边形CMPN面积的最小值，当P与A重台时，求出四边形面积的最大值，即可求解．
17．【答案】（1）；（2），，原式．
（1）解：
；
（2）解：
∵当和时，会使分式分母，原式没有意义，
当时，会使原式的除式，原式无意义，
∴从中选取一个整数，只能选，则原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；开立方（求立方根）；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值．
（1）先根据乘方、开方、绝对值、负整数指数幂的意义计算，再算加减即可；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的x的值代入计算即可求出值．
18．【答案】（1），；
补充统计图如下：
（2）解：七年级更好，
理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，说明七年级一半以上人不低于9分，
七年级方差小于八年级方差，说明七年级的波动较小，
所以七年级成绩更好．
（3）解：（人），
答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有830人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：由七年级竞赛成绩统计图可得，
七年级C组的人数为：（人），
∴七年级B组的人数最多，
∴七年级的众数为；
由八年级竞赛成绩统计图可得，
将20名学生的竞赛成绩从大到小排列，第10个数据在B组，第11个数据在C组，
∴中位数，
补充统计图如下：
故答案为：，；
【分析】
（1）根据众数的定义"众数是指一组数据中出现次数最多的数"并结合题意可求得a的值；根据中位数的定义“中位数是将一组数据按大小顺序排列后，当数据个数为奇数时，中位数就是中间的数据；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数”并结合题意可求得b的值；根据样本容量等于各小组频数之和可求得C组的频数，再补全统计图即可；
（2）分别从平均数，中位数与方差的角度出发分析即可判断求解；
（3）用样本估计总体可求解．
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD
∴∠DAE＝∠AEB
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE＝∠DAE
∴∠BAE＝∠AEB
∴BE＝AB
∴BE=CD
（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE
∴AF＝EF
在△ADF和△ECF中
∴△ADF≌△ECF（ASA）
∴DF＝CF
又∵AF＝EF
∴四边形ACED是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”可得AB＝CD，AD∥BC，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠DAE＝∠AEB，由AE平分∠BAD可得∠BAE＝∠AEB，由等角对等边可得BE=AB，于是结论可求解；
（2）用题意，用角边角可证△ADF≌△ECF，由全等三角形的对应边相等可得DF＝CF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可求解．
20．【答案】（1）解：把代入代入，得：，
，
把代入得：，
，
把、的坐标代入得：
，
解得：，，
，
反比例函数的表达式是，一次函数的表达式是；
（2）把代入得：，
，，
，
即的面积是；
（3）根据图象和、的坐标得出，
当或时，的值大于反比例函数的值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】（1）把的坐标代入反比例函数的解析式求出，把的坐标代入反比例函数解析式求出，把、的坐标代入一次函数的解析式得关于k、b的方程组，解方程组即可求解；
（2）求出一次函数与轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式计算即可求解；
（3）根据题意，结合图象和、的坐标即可求解．
21．【答案】（1）解：∵甲、乙种草莓的单价之比为4：5，
∴设甲、乙两种草莓的单价分别为元，元，
由题意得，解得．
经检验，是方程的解，且符合题意，
，，
答：甲、乙两种草莓的单价分别为40元，50元；
（2）解：设采摘乙种草莓，则采摘甲种草莓，总费用为W元．
由题意知，，
解得，，且m为正整数，
∴总费用．
∵，
∴W随m的增大而减小，
又∵，且m是整数，
∴当时，．
答：采摘甲种草莓27kg，乙种草莓13kg时费用最低，最低费用为1334元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）由题意，设甲、乙两种草莓的单价分别为元，元，然后根据题中的相等关系“用200元采摘的甲种草莓= 用200元采摘的乙种草莓+1”可列关于x的分式方程，解分式方程并检验即可求解；
（2）设采摘乙种草莓，则采摘甲种草莓，总费用为W元．根据题意可列不等式，解之可求得m的范围，且m为正整数，根据总费用W=（40-m）千克甲种草莓的费用+4千克乙种草莓的费用+(m-4)千克乙种草莓的费用可得W与m之间的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可求解．
22．【答案】解：（1）∵四边形为正方形，
∴，，
在Rt△ADF和Rt△ABG中
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
如图2，在上截取，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
在Rt△ADF和Rt△ABG中
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图3，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时与重合，
∴，，，
∵，
∴，
在Rt△ADF和Rt△ABG中
∴，
∴，
在中，，
∴，
由旋转得，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，的面积为12，
∴．
【知识点】正方形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由题意，用边角边可得，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，结合，根据正方形的性质易得，同理可得，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据线段的和差可求解；
（2）在上截取，连接．用边角边可得，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，结合已知，根据正方形的性质求得，再根据边角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据线段的和差即可求解；
（3）如图3，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时与重合，，，，结合已知，根据余角定义可得，用边角边可得，则得，由，可得是直角三角形，由可得，根据三角形面积的构成即可求解．
1 / 1四川省内江市2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题
1．（2024八下·内江期末）在代数式 ， ， + ， ， 中，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解： 分母中不含字母，故不是分式；
分母中含有字母是分式；
+ 分母不含字母，故不是分式；
分母中含有字母是分式；
中π是数字，不是字母，故不是分式．
故选；B．
【分析】依据分式的定义进行判断即可．
2．（2024八下·内江期末）下列运算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法；负整数指数幂
【解析】【解答】解：A，≠；
B，≠；
C，；
D，≠1.
故答案为：C．
【分析】A、根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可求解；
B、根据同分母的分式加减法法则“分母不变，分子相加”可求解；
C、将分子提出一个负号放到分式的前面即可判断；
D、根据将分式乘除混合运算统一成乘法运算即可判断．
3．（2024八下·内江期末）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线相互平分的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．一组邻边相等并且一个内角是直角的四边形是矩形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题是假命题，不符合题意，A错误；
B、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故原命题是真命题，符合题意，B正确；
C、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故原命题是假命题，不符合题意，C错误；
D、一组邻边相等并且一个内角是直角的四边形可能是直角梯形，故原命题是假命题，不符合题意，D错误；
故答案为：B．
【分析】本题考查命题真假的判定，行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定方法．直接利用菱形的判定方法进行判断可判断A选项；直接利用平行四边形的判定方法进行判断可判断B选项和C选项；直接利用矩形的判定方法进行判断可判断D选项.
4．（2024八下·内江期末）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，∴.
故答案为：C.
【分析】根据分式的基本性质变形可得，然后代入求值即可解答.
5．（2024八下·内江期末）一家服装专卖店销售某品牌棒球服，店长统计了一周内不同尺码的棒球服销售量如下表，如果每件棒球服的利润相同，你认为该店主最应该关注的销售数据是下列统计量中的（　　）
尺码 S M X
销售量/件 28 30 45 27
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．以上都不对
【答案】A
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：∵众数是数据中出现次数最多的数，
∴影响该店主决策、引起店主最关注的统计量是众数．
故答案为：A．
【分析】众数反映这组数据的集中趋势，结合众数的意义并结合题意可求解.
6．（2024八下·内江期末）若一个等腰三角形的顶角度数为y，底角度数为x，则它们的函数关系式应是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵三角形内角和是，且等腰三角形两底角相等，
∴顶角度数y与底角度数x之间的函数关系式为：；
其中x的取值范围是：
故答案为：A.
【分析】根据三角形内角和是并结合等腰三角形的两底角相等可求解.
7．（2024八下·内江期末）在菱形中，于点，于点，连结．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵于点E，于点F，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】由菱形的性质“菱形的四边都相等，对角相等”可得，结合已知用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，由等边对等角可得，根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求得∠B的度数，由四边形的内角和等于360°可求得的度数，在等腰三角形AEF中，用三角形内角和定理可求解.
8．（2024八下·内江期末）函数的自变量的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【知识点】零指数幂；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
【分析】由题意，根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”和0指数幂有意义的条件“底数≠0”可得关于x的不等式，解之即可求解．
9．（2024八下·内江期末）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：A、一次函数图象经过一、二、四象限，则，，反比例函数图象在第一、三象限，则，相矛盾，
∴此选项不符合题意；
B、一次函数图象经过一、二、三象限，则，，相矛盾，
∴此选项不符合题意；
C、一次函数图象经过一、三、四象限，则，，反比例函数图象在第一、三象限，则，
∴此选项符合题意；
D、一次函数图象经过二、三、四象限，则，，相矛盾，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的图象和性质"当k＞0时，直线经过一、三象限，b＞0时，直线交于y轴正半轴；当k＜0时，直线经过二、四象限，b＜0时，直线交于y轴负半轴"可得m的范围；再根据反比例函数的性质“当k＞0时，双曲线分布在一、三象限；当k＜0时，双曲线分布在二、四象限”可得m的范围，结合各选项即可判断求解.
10．（2024八下·内江期末）如图，在中，，，，平分，交于点，，是，上的动点，则的最小值为（　　）
A． B．3 C．4 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，
∵，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，
∵，
∴，
即的最小值为，
故答案为：D．
【分析】过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，由题意，用边角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，然后用面积法可得关于CH的方程，解方程即可求解．
11．（2024八下·内江期末）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：延长交轴于点，
∵轴，
∴轴，
∵点在函数的图象上，
∴，
∵轴于点，轴，点在函数的图象上，
∴，
∴四边形的面积等于，
故答案为：B．
【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可求解．
12．（2024八下·内江期末） 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：，
整理得：，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即时，方程无解，
∴；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入，得：
解得：得m=4．
②当x=6时，代入，得：，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或，分式方程无解；
解不等式，
得：
根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为 8， 6， 4，
∴ 4∴0综上所述当m=2或时符合题目中所有要求，
∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．
故答案为：B．
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，据此求解。
13．（2024八下·内江期末）芯片内部有数以亿计的晶体管．某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义并结合题意可求解.
14．（2024八下·内江期末）若一组数据10，8，9，x，5的平均数是8，则这组数据的方差是　 　．
【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：因为一组数据10，8，9，，5的平均数是8，
所以
所以．
于是这组数据为10，8，9，8，5．
方差．
故答案为：2.8.
【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.根据平均数的定义可得关于x的方程，解方程求出的值，再求该组数据的方差即可．
15．（2024八下·内江期末）已知点，，都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则，，的大小关系为　 　（请用“”连接）．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；偶次方的非负性
【解析】【解答】
解：∵，
∴反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内随的增大而增大，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
则，，的大小关系为，
故答案为：．
【分析】由偶次方的非负性可得，然后根据反比例函数的图象与性质“反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内随的增大而增大”进行判断即可求解.
16．（2024八下·内江期末）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接 PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形 CMPN是菱形；②点P与点A重合时， MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5，其中所有正确结论的序号是　 　．
【答案】①③
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①如下图，
∵ ，
∴ ，
∵折叠，∴ ，NC=NP
∴ ，
∴ ，
∴PM=CN，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 为菱形，
∴此结论正确，符合题意；
②当点P与A重合时，如图2所示
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵四边形 为菱形，
∴ ，且 ，
∴
∴ ，
∴此结论错误，不符合题意；
③当 过点D时，如图3所示：
此时， 最短，四边形 的面积最小，则S最小为 ，
当P点与A点重合时， 最长，四边形 的面积最大，则S最大为 ，
∴ ，
∴此结论正确，符合题意.
故答案为：①③.
【分析】①由题意，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形CMPN是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形CMPN是菱形；
②当点P与点A重台时，设BN=x，表示出AN=NC=8-x，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，在Rt△CQN中，用勾股定理求出QN的值，然后根据MN=2QN可求解；
③当MN过D点时，求出四边形CMPN面积的最小值，当P与A重台时，求出四边形面积的最大值，即可求解．
17．（2024八下·内江期末）
（1）计算：．
（2）先化简，然后从中选取一个合适的整数作为的值代入求值．
【答案】（1）；（2），，原式．
（1）解：
；
（2）解：
∵当和时，会使分式分母，原式没有意义，
当时，会使原式的除式，原式无意义，
∴从中选取一个整数，只能选，则原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；开立方（求立方根）；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值．
（1）先根据乘方、开方、绝对值、负整数指数幂的意义计算，再算加减即可；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的x的值代入计算即可求出值．
18．（2024八下·内江期末）某中学为全面普及消防知识，提高学生消防安全意识，特邀市消防中队在全校开展了消防知识和技能培训活动．培训结束后，在七、八年级开展了一次消防安全知识竞赛，竞赛成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取20名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级 8.7 9 a 1.01
八年级 8.7 b 9 1.175
（1）根据以上信息可以求出：___________，___________，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
（2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；
（3）若该校七年级有800人、八年级有700人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
【答案】（1），；
补充统计图如下：
（2）解：七年级更好，
理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，说明七年级一半以上人不低于9分，
七年级方差小于八年级方差，说明七年级的波动较小，
所以七年级成绩更好．
（3）解：（人），
答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有830人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：由七年级竞赛成绩统计图可得，
七年级C组的人数为：（人），
∴七年级B组的人数最多，
∴七年级的众数为；
由八年级竞赛成绩统计图可得，
将20名学生的竞赛成绩从大到小排列，第10个数据在B组，第11个数据在C组，
∴中位数，
补充统计图如下：
故答案为：，；
【分析】
（1）根据众数的定义"众数是指一组数据中出现次数最多的数"并结合题意可求得a的值；根据中位数的定义“中位数是将一组数据按大小顺序排列后，当数据个数为奇数时，中位数就是中间的数据；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数”并结合题意可求得b的值；根据样本容量等于各小组频数之和可求得C组的频数，再补全统计图即可；
（2）分别从平均数，中位数与方差的角度出发分析即可判断求解；
（3）用样本估计总体可求解．
19．（2024八下·内江期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD
∴∠DAE＝∠AEB
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE＝∠DAE
∴∠BAE＝∠AEB
∴BE＝AB
∴BE=CD
（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE
∴AF＝EF
在△ADF和△ECF中
∴△ADF≌△ECF（ASA）
∴DF＝CF
又∵AF＝EF
∴四边形ACED是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”可得AB＝CD，AD∥BC，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠DAE＝∠AEB，由AE平分∠BAD可得∠BAE＝∠AEB，由等角对等边可得BE=AB，于是结论可求解；
（2）用题意，用角边角可证△ADF≌△ECF，由全等三角形的对应边相等可得DF＝CF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可求解．
20．（2024八下·内江期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，交轴于点，交轴于点．
（1）求一次函数与反比例函数的函数关系式．
（2）连结，求的面积．
（3）根据图象直接写出时，的取值范围．
【答案】（1）解：把代入代入，得：，
，
把代入得：，
，
把、的坐标代入得：
，
解得：，，
，
反比例函数的表达式是，一次函数的表达式是；
（2）把代入得：，
，，
，
即的面积是；
（3）根据图象和、的坐标得出，
当或时，的值大于反比例函数的值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】（1）把的坐标代入反比例函数的解析式求出，把的坐标代入反比例函数解析式求出，把、的坐标代入一次函数的解析式得关于k、b的方程组，解方程组即可求解；
（2）求出一次函数与轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式计算即可求解；
（3）根据题意，结合图象和、的坐标即可求解．
21．（2024八下·内江期末）为积极落实乡村振兴政策，某市鼓励农民种植人们喜欢的水果--草莓，周末，小东和小明一起去采摘园采摘草莓，小东说：“我用200元采摘的甲种草莓比你用200元采摘的乙种草莓多1kg．”小明说：“甲、乙种草莓的单价之比为4：5．”
（1）根据小东和小明的对话，求出甲、乙两种草莓的单价；
（2）由于草莓的成熟期较短，该草莓采摘园为吸引顾客，推出一种优惠方案：采摘甲种草莓按原价的八折销售；采摘乙种草莓超过4kg，超出部分按原价的六折销售．某公司团建活动准备采摘两种草莓共40kg，已知采摘的乙种草莓不少于10kg且不多于甲种草莓的一半，则如何采摘能使采摘的总费用最低？最低费用为多少元？（两种草莓的采摘量均为正整数）．
【答案】（1）解：∵甲、乙种草莓的单价之比为4：5，
∴设甲、乙两种草莓的单价分别为元，元，
由题意得，解得．
经检验，是方程的解，且符合题意，
，，
答：甲、乙两种草莓的单价分别为40元，50元；
（2）解：设采摘乙种草莓，则采摘甲种草莓，总费用为W元．
由题意知，，
解得，，且m为正整数，
∴总费用．
∵，
∴W随m的增大而减小，
又∵，且m是整数，
∴当时，．
答：采摘甲种草莓27kg，乙种草莓13kg时费用最低，最低费用为1334元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）由题意，设甲、乙两种草莓的单价分别为元，元，然后根据题中的相等关系“用200元采摘的甲种草莓= 用200元采摘的乙种草莓+1”可列关于x的分式方程，解分式方程并检验即可求解；
（2）设采摘乙种草莓，则采摘甲种草莓，总费用为W元．根据题意可列不等式，解之可求得m的范围，且m为正整数，根据总费用W=（40-m）千克甲种草莓的费用+4千克乙种草莓的费用+(m-4)千克乙种草莓的费用可得W与m之间的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可求解．
22．（2024八下·内江期末）【观察猜想】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为 ___________；
【类比探究】（2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，在中，，D，E在上，，若的面积为12，，请直接写出的面积．
【答案】解：（1）∵四边形为正方形，
∴，，
在Rt△ADF和Rt△ABG中
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
如图2，在上截取，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
在Rt△ADF和Rt△ABG中
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图3，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时与重合，
∴，，，
∵，
∴，
在Rt△ADF和Rt△ABG中
∴，
∴，
在中，，
∴，
由旋转得，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，的面积为12，
∴．
【知识点】正方形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由题意，用边角边可得，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，结合，根据正方形的性质易得，同理可得，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据线段的和差可求解；
（2）在上截取，连接．用边角边可得，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，结合已知，根据正方形的性质求得，再根据边角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据线段的和差即可求解；
（3）如图3，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时与重合，，，，结合已知，根据余角定义可得，用边角边可得，则得，由，可得是直角三角形，由可得，根据三角形面积的构成即可求解．
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