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四川省眉山市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·眉山期末）若分式的值为0，则（　　）
A． B． C． D．或2
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
∴x+1=0且x-2≠0，
解得：x=-1且x≠2，
∴x=-1，
故答案为：C.
【分析】根据分式的值为0求出，再解方程求解即可。
2．（2024八下·眉山期末）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：C．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义并结合题意可求解.
3．（2024八下·眉山期末）若点，关于原点对称，则的值为（　　）
A． B．5 C． D．1
【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，关于原点对称，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据关于原点对称点的点的坐标变化特征"横坐标和纵坐标都互为相反数"可求出a和b的值，将a、b的值代入所求代数式计算即可求解．
4．（2024八下·眉山期末）如图，在四边形中，，于点．下列条件中不能使四边形成为菱形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【解答】解：A、当时，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴此选项不符合题意；
B、当时，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴此选项不符合题意；
C、当时，
在Rt△AOD和Rt△COB中
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴此选项不符合题意；
D、无法得到四边形为菱形，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、由平行线的性质“内错角相等，两直线平行”可得AD∥BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可求解；
B、同理可求解；
C、结合已知，用HL定理可得，由全等三角形的对应边相等可得OA=OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可求解；
D、OA=OB不能判断四边形ABCD是菱形.
5．（2024八下·眉山期末）在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组5名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元），，，，，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．30元，24元 B．24元，25元 C．30元，25元 D．30元，15元
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵这组数据中30元出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是30元；
∵把，，，，，从小到大排列为：，，，，，中间数是25，
∴这组数据的中位数是25.
故答案为：．
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数是将一组数据从小到大排列，若个数为奇数，则中间位置的是中位数，若个数是偶数，则中间两个数的平均数是中位数．根据定义并结合题意即可求解.
6．（2024八下·眉山期末）如图，在平行四边形中，，于点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质“等腰三角形的两底角相等”可得，然后根据平行四边形的性质“平行四边形的邻角互补”可得，从而得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解．
7．（2024八下·眉山期末）若一次函数y＝(m﹣1)x﹣m的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＜1 C．0＜m＜1 D．m＞1
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】根据题意可得一次函数的图形过第二、三、四象限
所以可得
所以
故答案为：C.
【分析】先求出，再求m的取值范围即可。
8．（2024八下·眉山期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上．现将矩形沿折叠，点对应的点记为点，点恰好落在边上．若，，则图中的长为（　　）
A．3 B． C．4 D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，，
由折叠的性质可知，，，
由勾股定理得，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
故答案为：A．
【分析】由矩形的性质"矩形的对边相等各角等于90°"可得，，由折叠的性质可知，，，在Rt△BCM中，由勾股定理求得CM的值，由线段的和差DM=CD-CM求得DM的值，设，则，在Rt△DMN中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解.
9．（2024八下·眉山期末）如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵有正数解，
∴，则，
，
去分母，得，，
移项合并，得，，
∵方程的解是正数，
∴，
解得：且，
故选：B．
【分析】由题意，方程两边同时乘以最简公分母（x-1）化分式方程为整式方程，根据原方程的解是正数并结合分式有意义的条件“分母≠0”可得关于m的不等式组，解不等式组即可求解．
10．（2024八下·眉山期末）如图，在中，以点为圆心，3为半径作弧，分别交射线，于点，，再分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线．若，则，两点之间的距离为（　　）
A． B． C． D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，连接，，，设与交于点，
由作图可知，，
即四边形为菱形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，
即，两点之间的距离为，
故答案为：B．
【分析】连接，，，设与交于点，由作图可知，根据四边相等的四边形是菱形可得四边形为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，，在Rt△COF中，由勾股定理求出的值，于是根据CD=2CF可求解．
11．（2024八下·眉山期末）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径匀速运动，速度为，点P到达终点F后停止运动，的面积与点P运动的时间的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息：
①；
②；
③点从点运动到点需要；
④矩形纸板裁剪前后周长均为．
其中正确信息的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①由矩形及点P运动过程可知：
时，点P位于点B处，，
则，，
，
∴此结论符合题意；
②时，点P位于点D处，，
，，
，
，
，
时，点P位于点C处，
，
∴此结论不符合题意；
③由②得，
∴运动时间为10s，
∴此结论符合题意；
④周长，
∴此结论不符合题意；
∴正确的结论有①③，共2个.
故答案为：C．
【分析】根据图表信息结合面积以及各个运动阶段得到计算数据，依次判断即可求解．
12．（2024八下·眉山期末）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．在下列四个结论中：①；②垂直平分；③的最小值为；④，其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①∵四边形为正方形，
，，
，
，
在△CDF和△ADE中
，
∴，
，
，
，
平分，
，
在△AGD和△AGM中
，
，
∴垂直平分，
∴，
∴此结论正确；
②由①可得：AE垂直平分DM；
∴此结论正确；
③连接与交于点，交于点，连接，如图：
四边形是正方形，
，即，
垂直平分，
，
当点与点重合时，的值最小，
此时，即的最小值是的长，
正方形的边长为4，
，
，
即的最小值为，不是；
∴此结论错误；
④垂直平分，，
又，
≠6，
∴此结论错误.
∴正确的结论有2个.
故答案为：B．
【分析】①根据正方形的性质并结合已知，用边角边可得≌，由全等三角形的对应角相等可得∠CDF=∠DAE，结合已知，用角边角可得 ，由全等三角形的对应边相等可得DG=MG，根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可求解；
②由①可求解；
③连接与交于点，交于点，连接，根据题意可知：当点与点重合时，的值最小，即的最小值是的长，根据正方形的性质求出的长，于是OD=BD可求解；
④由题意，先求出的长，再根据三角形面积公式计算即可判断求解．
13．（2024八下·眉山期末）计算：　 　．
【答案】5
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：原式；
故答案为：5．
【分析】由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得20240=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-2=4，然后根据有理数的加法法则计算即可求解.
14．（2024八下·眉山期末）在2024年眉山市中小学生艺术人才大赛中，某校在甲，乙，丙，丁四名同学中选择一人参加独唱比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是88.5分，方差分别是，，，，则这四名同学独唱成绩最稳定的是　 　．
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，
∴在平均成绩相等的情况下方差越小越稳定，甲的成绩最稳定．
故答案为：甲．
【分析】根据方差越小越稳定并结合题意即可求解．
15．（2024八下·眉山期末）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列分式方程；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：设燃气汽车每千米所需的费用为元，则燃油汽车每千米所需的费用为元，
依题意得，，
故答案为：．
【分析】设燃气汽车每千米所需的费用为元，则燃油汽车每千米所需的费用为元，根据燃油汽车所需费用元时的路程=燃气汽车所需费用元时的路程可列分式方程并结合各选项即可判断求解．
16．（2024八下·眉山期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，．将菱形沿轴向右平移1个单位长度，再沿轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：过点作轴，
∵点的坐标为，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵将菱形沿轴向右平移1个单位长度，再沿轴向下平移1个单位长度，得到菱形，
∴，
即：；
故答案为：．
【分析】过点作轴，根据菱形的性质并结合“30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得DA=AB，由线段的和差OD=OA+AD求出OD的值，结合点B所在的象限可得点B的坐标，再根据平移的点的坐标变化特征“左减右加、上加下减”即可求出的坐标．
17．（2024八下·眉山期末）如图，正方形的边长为4，点在上，且，于点，，交于点，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：，，
，
在正方形中，；；；
，
在和中，
，
，
在中，，，
则，
再由等面积法可得，
即，
在中，，则，
故答案为：．
【分析】由题意判断，由已知，用角角边可得△ABF≌△DAE，根据全等三角形的对应边相等可得，在中，由勾股定理求出AG的值，根据等面积法可得关于BF的方程，解方程求出BF的值，在中，用勾股定理求得FG的值，然后根据线段的和差即可求解．
18．（2024八下·眉山期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点（，，为常数）．若为轴上一点，的面积为3，则点的坐标为　 　．
【答案】或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】如图，过作轴于点，过作轴于点，设，
将点代入得，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
将点代入得，
∴，
∴，
∴，，
∴，，，
则
，
，
∴，
即点的坐标为，
故答案为：或．
【分析】过作轴于点，过作轴于点，设，由题意，把A、B两点的坐标代入反比例函数的解析式可求得k2、m的值，则可得点B的坐标，然后根据三角形面积的构成即可求解．
19．（2024八下·眉山期末）解方程：．
【答案】解：去分母，得：，
∴，
解得：；
经检验，是原方程的解；
∴方程的解为：．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤"去分母将方程转化为整式方程，解整式方程，检验"即可求解．
20．（2024八下·眉山期末）先化简：，再从，0，1，2中取一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】解：
，
∵，，
∴，，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，然后根据分式有意义的条件“分母≠0”可取合适的a的值代入化简后的分式计算可求解.
21．（2024八下·眉山期末）某射击队为从甲，乙两名运动员中选拔一人参加比然，对他们进行了8次射击测试，所得成绩如下表（单位：环）：
甲成绩 9 10 8 10 7 6 7 7
乙成绩 6 9 8 8 10 9 8
为了比较甲，乙两运动员的成绩，制作了如下统计表：
　 平均数 中位数 众数 方差
甲 2
乙 8 8 8
（1）根据以上表格直接填空：_____，_____，_____，_____；
（2）求乙运动员的方差．并分析指出哪个射击运动员的稳定性好？
【答案】（1）
（2）解：∵乙的平均数是；
∴
；
，
乙射击运动员的稳定性好．
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】
（1）
解：由题意可知，，
解得：；
甲的平均数；
将甲的成绩按照由小到大的顺序排列：，则中位数；众数；
故答案为：；
【分析】
（1）由统计表中的信息，根据平均数的定义“平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”可得关于a的方程，解方程求出a的值；根据平均数的定义“平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”可求出b的值；根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”求出m的值；根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”求出n的值；
（2）由（1）可得乙的平均数，再由方差计算公式代值求解即可并结合“方差越大，稳定性越差”可判断求解．
22．（2024八下·眉山期末）如图，已知，是一次函数与反比例函数图象的两个交点，轴于点轴于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）是线段上的一点，连接，，若和面积相等，求点坐标．
【答案】（1）解：∵，是一次函数与反比例函数图象的两个交点，
∴，
∴，
∴，
；
∴，
∴，
∴；
（2）解：设点，
∵，，轴于点轴于点，
∴，
∴，
∵和面积相等，
∴，
∴，
∴．

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】
（1）用待定系数法可求解；
（2）轴于点轴于点，设点（m，m+3），根据三角形的面积公式并结合和面积相等可得关于m的方程，解方程可求解．
23．（2024八下·眉山期末）如图，在平行四边形中，于点，于点，连结，．
（1）求证：；
（2）若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）解：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵于点，于点，
∴，
在△AEB和△CFD中
∴（AAS），
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴，
设，则：，
由勾股定理，得：，
∴，
解得：，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形的面积．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
（1）由题意，用角角边可得△AEB≌△CFD，由全等三角形的对应边相等可得BE=DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的对角相等可求解；
（2）设，则：，在Rt△ABE中，用勾股定理可得关于x的方程没接非常求出的值，然后可求出的长，再根据S四边形BEDF=2S△BEF可求解．
24．（2024八下·眉山期末）五一节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲，乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：
水果单价 甲 乙
进价（元/千克）
售价（元/千克） 20 25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
（1）求的值；
（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意，得：，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意；
∴．

（2）解：由（1）知：甲种水果的进价为12元，乙种水果的进价为元，设购进甲种水果千克，则：购进乙种水果千克，
由题意，得：，
解得：，
设总利润为元，由题意，得：，
∴随着的增大而减小，
∴当时，有最大值为，
∴购进甲种水果75千克，购进乙种水果25千克，利润最大为850元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据用1200元购进甲种水果的重量=用1500元购进乙种水果的重量可列关于x的方程，解方程并检验即可求解；
（2）设购进甲种水果千克，根据甲种水果的重量≥乙种水果重量×3可列关于m的不等式，解不等式求出的取值范围，设总利润为，列出ω与m之间的一次函数关系式，根据一次函数的性质即可求解．
25．（2024八下·眉山期末）如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接．
求证：矩形是正方形；
若正方形的边长为，，求正方形的边长．
【答案】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①证明：如图，作于，于，则四边形为矩形，
∴，
∵点是正方形对角线上的点，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴矩形是正方形；
②解：正方形和正方形中，，，
，
∴，
在△ABE和△CBG中
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
连接，
∴，
∴，
即正方形的边长为．
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）由题意，根据边角边可得，然后根据全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）①作于，于，得矩形，用角边角可得，根据全等三角形的对应边相等可得，再根据一组邻边相等的矩形是正方形即可求解；
②由题意，用边角边可得，根据全等三角形的对应边（角）相等可得，，由，得到，则，由得到，连接，由勾股定理求得EG的值，则可求解．
26．（2024八下·眉山期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，点在轴上，，，点是的中点．将沿翻折．点的对应点是点，延长交于点．
（1）求的面积；
（2）求直线的解析式；
（3）点在轴上，在直线上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵矩形，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，，
在Rt△COP和Rt△PMQ中
∴（HL），
∴，
设，则：，
再中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴的面积；
（2）由（1）可知：，，
∵为的中点，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴；
（3）解：设点，
①当点为直角顶点时，过点作轴，如图：
则：，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在△COP和△PMQ中
∴（AAS），
∴，
∴，
∴，
∵点在直线上，
∴，解得：，
∴；
②当点为直角顶点时，过点作，如图，
同法可得：，
∴，
即点的横坐标为9，
∴；
③当点为直角顶点时，过点作，交于点，交于点，则四边形为矩形，
∴，
同法可得：，
∴，
设，则：，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
综上：或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；四边形的综合
【解析】【分析】（1）由题意，用HL可得，根据全等三角形的对应边相等可得，设，在中，用勾股定理求出的值，于是可求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可求解；
（2）由题意，求出的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）设点，由题意分三种情况：①当点为直角顶点时，过点作轴，②当点为直角顶点时，过点作，③当点为直角顶点时，过点作，交于点，交于点，进行讨论即可求解．
1 / 1四川省眉山市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·眉山期末）若分式的值为0，则（　　）
A． B． C． D．或2
2．（2024八下·眉山期末）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·眉山期末）若点，关于原点对称，则的值为（　　）
A． B．5 C． D．1
4．（2024八下·眉山期末）如图，在四边形中，，于点．下列条件中不能使四边形成为菱形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·眉山期末）在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组5名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元），，，，，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．30元，24元 B．24元，25元 C．30元，25元 D．30元，15元
6．（2024八下·眉山期末）如图，在平行四边形中，，于点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·眉山期末）若一次函数y＝(m﹣1)x﹣m的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＜1 C．0＜m＜1 D．m＞1
8．（2024八下·眉山期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上．现将矩形沿折叠，点对应的点记为点，点恰好落在边上．若，，则图中的长为（　　）
A．3 B． C．4 D．5
9．（2024八下·眉山期末）如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
10．（2024八下·眉山期末）如图，在中，以点为圆心，3为半径作弧，分别交射线，于点，，再分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线．若，则，两点之间的距离为（　　）
A． B． C． D．5
11．（2024八下·眉山期末）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径匀速运动，速度为，点P到达终点F后停止运动，的面积与点P运动的时间的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息：
①；
②；
③点从点运动到点需要；
④矩形纸板裁剪前后周长均为．
其中正确信息的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．（2024八下·眉山期末）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．在下列四个结论中：①；②垂直平分；③的最小值为；④，其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2024八下·眉山期末）计算：　 　．
14．（2024八下·眉山期末）在2024年眉山市中小学生艺术人才大赛中，某校在甲，乙，丙，丁四名同学中选择一人参加独唱比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是88.5分，方差分别是，，，，则这四名同学独唱成绩最稳定的是　 　．
15．（2024八下·眉山期末）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为　 　．
16．（2024八下·眉山期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，．将菱形沿轴向右平移1个单位长度，再沿轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为　 　．
17．（2024八下·眉山期末）如图，正方形的边长为4，点在上，且，于点，，交于点，则的长为　 　．
18．（2024八下·眉山期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点（，，为常数）．若为轴上一点，的面积为3，则点的坐标为　 　．
19．（2024八下·眉山期末）解方程：．
20．（2024八下·眉山期末）先化简：，再从，0，1，2中取一个合适的数作为的值代入求值．
21．（2024八下·眉山期末）某射击队为从甲，乙两名运动员中选拔一人参加比然，对他们进行了8次射击测试，所得成绩如下表（单位：环）：
甲成绩 9 10 8 10 7 6 7 7
乙成绩 6 9 8 8 10 9 8
为了比较甲，乙两运动员的成绩，制作了如下统计表：
　 平均数 中位数 众数 方差
甲 2
乙 8 8 8
（1）根据以上表格直接填空：_____，_____，_____，_____；
（2）求乙运动员的方差．并分析指出哪个射击运动员的稳定性好？
22．（2024八下·眉山期末）如图，已知，是一次函数与反比例函数图象的两个交点，轴于点轴于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）是线段上的一点，连接，，若和面积相等，求点坐标．
23．（2024八下·眉山期末）如图，在平行四边形中，于点，于点，连结，．
（1）求证：；
（2）若，，，求四边形的面积．
24．（2024八下·眉山期末）五一节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲，乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：
水果单价 甲 乙
进价（元/千克）
售价（元/千克） 20 25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
（1）求的值；
（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
25．（2024八下·眉山期末）如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接．
求证：矩形是正方形；
若正方形的边长为，，求正方形的边长．
26．（2024八下·眉山期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，点在轴上，，，点是的中点．将沿翻折．点的对应点是点，延长交于点．
（1）求的面积；
（2）求直线的解析式；
（3）点在轴上，在直线上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
∴x+1=0且x-2≠0，
解得：x=-1且x≠2，
∴x=-1，
故答案为：C.
【分析】根据分式的值为0求出，再解方程求解即可。
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：C．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义并结合题意可求解.
3．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，关于原点对称，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据关于原点对称点的点的坐标变化特征"横坐标和纵坐标都互为相反数"可求出a和b的值，将a、b的值代入所求代数式计算即可求解．
4．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【解答】解：A、当时，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴此选项不符合题意；
B、当时，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴此选项不符合题意；
C、当时，
在Rt△AOD和Rt△COB中
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴此选项不符合题意；
D、无法得到四边形为菱形，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、由平行线的性质“内错角相等，两直线平行”可得AD∥BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可求解；
B、同理可求解；
C、结合已知，用HL定理可得，由全等三角形的对应边相等可得OA=OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可求解；
D、OA=OB不能判断四边形ABCD是菱形.
5．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵这组数据中30元出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是30元；
∵把，，，，，从小到大排列为：，，，，，中间数是25，
∴这组数据的中位数是25.
故答案为：．
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数是将一组数据从小到大排列，若个数为奇数，则中间位置的是中位数，若个数是偶数，则中间两个数的平均数是中位数．根据定义并结合题意即可求解.
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质“等腰三角形的两底角相等”可得，然后根据平行四边形的性质“平行四边形的邻角互补”可得，从而得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解．
7．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】根据题意可得一次函数的图形过第二、三、四象限
所以可得
所以
故答案为：C.
【分析】先求出，再求m的取值范围即可。
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，，
由折叠的性质可知，，，
由勾股定理得，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
故答案为：A．
【分析】由矩形的性质"矩形的对边相等各角等于90°"可得，，由折叠的性质可知，，，在Rt△BCM中，由勾股定理求得CM的值，由线段的和差DM=CD-CM求得DM的值，设，则，在Rt△DMN中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解.
9．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵有正数解，
∴，则，
，
去分母，得，，
移项合并，得，，
∵方程的解是正数，
∴，
解得：且，
故选：B．
【分析】由题意，方程两边同时乘以最简公分母（x-1）化分式方程为整式方程，根据原方程的解是正数并结合分式有意义的条件“分母≠0”可得关于m的不等式组，解不等式组即可求解．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，连接，，，设与交于点，
由作图可知，，
即四边形为菱形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，
即，两点之间的距离为，
故答案为：B．
【分析】连接，，，设与交于点，由作图可知，根据四边相等的四边形是菱形可得四边形为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，，在Rt△COF中，由勾股定理求出的值，于是根据CD=2CF可求解．
11．【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①由矩形及点P运动过程可知：
时，点P位于点B处，，
则，，
，
∴此结论符合题意；
②时，点P位于点D处，，
，，
，
，
，
时，点P位于点C处，
，
∴此结论不符合题意；
③由②得，
∴运动时间为10s，
∴此结论符合题意；
④周长，
∴此结论不符合题意；
∴正确的结论有①③，共2个.
故答案为：C．
【分析】根据图表信息结合面积以及各个运动阶段得到计算数据，依次判断即可求解．
12．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①∵四边形为正方形，
，，
，
，
在△CDF和△ADE中
，
∴，
，
，
，
平分，
，
在△AGD和△AGM中
，
，
∴垂直平分，
∴，
∴此结论正确；
②由①可得：AE垂直平分DM；
∴此结论正确；
③连接与交于点，交于点，连接，如图：
四边形是正方形，
，即，
垂直平分，
，
当点与点重合时，的值最小，
此时，即的最小值是的长，
正方形的边长为4，
，
，
即的最小值为，不是；
∴此结论错误；
④垂直平分，，
又，
≠6，
∴此结论错误.
∴正确的结论有2个.
故答案为：B．
【分析】①根据正方形的性质并结合已知，用边角边可得≌，由全等三角形的对应角相等可得∠CDF=∠DAE，结合已知，用角边角可得 ，由全等三角形的对应边相等可得DG=MG，根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可求解；
②由①可求解；
③连接与交于点，交于点，连接，根据题意可知：当点与点重合时，的值最小，即的最小值是的长，根据正方形的性质求出的长，于是OD=BD可求解；
④由题意，先求出的长，再根据三角形面积公式计算即可判断求解．
13．【答案】5
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：原式；
故答案为：5．
【分析】由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得20240=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-2=4，然后根据有理数的加法法则计算即可求解.
14．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，
∴在平均成绩相等的情况下方差越小越稳定，甲的成绩最稳定．
故答案为：甲．
【分析】根据方差越小越稳定并结合题意即可求解．
15．【答案】
【知识点】列分式方程；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：设燃气汽车每千米所需的费用为元，则燃油汽车每千米所需的费用为元，
依题意得，，
故答案为：．
【分析】设燃气汽车每千米所需的费用为元，则燃油汽车每千米所需的费用为元，根据燃油汽车所需费用元时的路程=燃气汽车所需费用元时的路程可列分式方程并结合各选项即可判断求解．
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：过点作轴，
∵点的坐标为，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵将菱形沿轴向右平移1个单位长度，再沿轴向下平移1个单位长度，得到菱形，
∴，
即：；
故答案为：．
【分析】过点作轴，根据菱形的性质并结合“30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得DA=AB，由线段的和差OD=OA+AD求出OD的值，结合点B所在的象限可得点B的坐标，再根据平移的点的坐标变化特征“左减右加、上加下减”即可求出的坐标．
17．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：，，
，
在正方形中，；；；
，
在和中，
，
，
在中，，，
则，
再由等面积法可得，
即，
在中，，则，
故答案为：．
【分析】由题意判断，由已知，用角角边可得△ABF≌△DAE，根据全等三角形的对应边相等可得，在中，由勾股定理求出AG的值，根据等面积法可得关于BF的方程，解方程求出BF的值，在中，用勾股定理求得FG的值，然后根据线段的和差即可求解．
18．【答案】或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】如图，过作轴于点，过作轴于点，设，
将点代入得，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
将点代入得，
∴，
∴，
∴，，
∴，，，
则
，
，
∴，
即点的坐标为，
故答案为：或．
【分析】过作轴于点，过作轴于点，设，由题意，把A、B两点的坐标代入反比例函数的解析式可求得k2、m的值，则可得点B的坐标，然后根据三角形面积的构成即可求解．
19．【答案】解：去分母，得：，
∴，
解得：；
经检验，是原方程的解；
∴方程的解为：．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤"去分母将方程转化为整式方程，解整式方程，检验"即可求解．
20．【答案】解：
，
∵，，
∴，，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，然后根据分式有意义的条件“分母≠0”可取合适的a的值代入化简后的分式计算可求解.
21．【答案】（1）
（2）解：∵乙的平均数是；
∴
；
，
乙射击运动员的稳定性好．
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】
（1）
解：由题意可知，，
解得：；
甲的平均数；
将甲的成绩按照由小到大的顺序排列：，则中位数；众数；
故答案为：；
【分析】
（1）由统计表中的信息，根据平均数的定义“平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”可得关于a的方程，解方程求出a的值；根据平均数的定义“平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”可求出b的值；根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”求出m的值；根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”求出n的值；
（2）由（1）可得乙的平均数，再由方差计算公式代值求解即可并结合“方差越大，稳定性越差”可判断求解．
22．【答案】（1）解：∵，是一次函数与反比例函数图象的两个交点，
∴，
∴，
∴，
；
∴，
∴，
∴；
（2）解：设点，
∵，，轴于点轴于点，
∴，
∴，
∵和面积相等，
∴，
∴，
∴．

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】
（1）用待定系数法可求解；
（2）轴于点轴于点，设点（m，m+3），根据三角形的面积公式并结合和面积相等可得关于m的方程，解方程可求解．
23．【答案】（1）解：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵于点，于点，
∴，
在△AEB和△CFD中
∴（AAS），
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴，
设，则：，
由勾股定理，得：，
∴，
解得：，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形的面积．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
（1）由题意，用角角边可得△AEB≌△CFD，由全等三角形的对应边相等可得BE=DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的对角相等可求解；
（2）设，则：，在Rt△ABE中，用勾股定理可得关于x的方程没接非常求出的值，然后可求出的长，再根据S四边形BEDF=2S△BEF可求解．
24．【答案】（1）解：由题意，得：，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意；
∴．

（2）解：由（1）知：甲种水果的进价为12元，乙种水果的进价为元，设购进甲种水果千克，则：购进乙种水果千克，
由题意，得：，
解得：，
设总利润为元，由题意，得：，
∴随着的增大而减小，
∴当时，有最大值为，
∴购进甲种水果75千克，购进乙种水果25千克，利润最大为850元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据用1200元购进甲种水果的重量=用1500元购进乙种水果的重量可列关于x的方程，解方程并检验即可求解；
（2）设购进甲种水果千克，根据甲种水果的重量≥乙种水果重量×3可列关于m的不等式，解不等式求出的取值范围，设总利润为，列出ω与m之间的一次函数关系式，根据一次函数的性质即可求解．
25．【答案】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①证明：如图，作于，于，则四边形为矩形，
∴，
∵点是正方形对角线上的点，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴矩形是正方形；
②解：正方形和正方形中，，，
，
∴，
在△ABE和△CBG中
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
连接，
∴，
∴，
即正方形的边长为．
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）由题意，根据边角边可得，然后根据全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）①作于，于，得矩形，用角边角可得，根据全等三角形的对应边相等可得，再根据一组邻边相等的矩形是正方形即可求解；
②由题意，用边角边可得，根据全等三角形的对应边（角）相等可得，，由，得到，则，由得到，连接，由勾股定理求得EG的值，则可求解．
26．【答案】（1）解：∵矩形，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，，
在Rt△COP和Rt△PMQ中
∴（HL），
∴，
设，则：，
再中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴的面积；
（2）由（1）可知：，，
∵为的中点，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴；
（3）解：设点，
①当点为直角顶点时，过点作轴，如图：
则：，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在△COP和△PMQ中
∴（AAS），
∴，
∴，
∴，
∵点在直线上，
∴，解得：，
∴；
②当点为直角顶点时，过点作，如图，
同法可得：，
∴，
即点的横坐标为9，
∴；
③当点为直角顶点时，过点作，交于点，交于点，则四边形为矩形，
∴，
同法可得：，
∴，
设，则：，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
综上：或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；四边形的综合
【解析】【分析】（1）由题意，用HL可得，根据全等三角形的对应边相等可得，设，在中，用勾股定理求出的值，于是可求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可求解；
（2）由题意，求出的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）设点，由题意分三种情况：①当点为直角顶点时，过点作轴，②当点为直角顶点时，过点作，③当点为直角顶点时，过点作，交于点，交于点，进行讨论即可求解．
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