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广东省广州市南沙区2025年一模数学试题
1．（2025·南沙模拟）中华人民共和国第十五届运动会将于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，广州市将承办开幕式．本次竞体比赛设34个大项401个小项，下列给出的运动图片是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
B、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图案是轴对称图形，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义并结合各选项即可判断求解．
2．（2025·南沙模拟）的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：C．
【分析】根据绝对值的意义“正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数”即可求解．
3．（2025·南沙模拟）今年春节档，《哪吒之魔童闹海》燃爆大银幕，目前该片位居全球动画电影票房榜首位，跻身全球影史票房前5，总票房接近160亿，其中160亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：160亿，
故答案为：D．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并简结合各选项即可求解.
4．（2025·南沙模拟）如图所示，该零件由三个圆柱组成，下列说法正确的是（　　）
A．主视图和俯视图相同 B．左视图和俯视图相同
C．左视图和主视图相同 D．三视图都相同
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知：该几何体的俯视图为圆，左视图和主视图相同，均为大长方形中间含有一个小长方形；
故答案为：C．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，其中看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示.结合几何体即可求解．
5．（2025·南沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.≠a6，
∴此选项不符合题意；
B.，
∴此选项符合题意；
C.≠5a4，
∴此选项不符合题意；
D.≠a2，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
B、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解；
C、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.
6．（2025·南沙模拟）分式方程的解为（　　）
A．0 B．6 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
解得，
经检验是分式方程的解，
故答案为：B．
【分析】由题意，在方程两边同时乘以最简公分母（x-2），可将分式方程化为整数方程，解整式方程求出x的值，再检验可求解．
7．（2025·南沙模拟）如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中的值是（　　）
　 y 6
5 x 　
　 7 8
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设第一行第一列上的数字为，第二行第三列上的数字为，
由题意得：，
即，
解得：，
故答案为：B．
【分析】设第一行第一列上的数字为，第二行第三列上的数字为，根据题意“ 每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等”列方程组，解方程组即可求解．
8．（2025·南沙模拟）如图，已知正六边形的半径为1，且点为正六边形的中心，则阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接，作于点，
正六边形的半径为1，且点为正六边形的中心，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】连接，作于点，由正六边形的性质得，根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，用勾股定理求出OG的值，然后根据阴影部分面积的构成并结合扇形面积“S扇形=”计算即可求解.
9．（2025·南沙模拟）如图，平面直角坐标系中，点坐标分别为．点是轴正半轴上的一点，且满足，则的外接圆的半径等于（　　）
A． B． C．8 D．4
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作出的外接圆，以为斜边在x轴上方作等腰，
∵，
∴由圆周角定理得：所对的圆心角必为，
∵，
∴在弦的垂直平分线上，
∵，
∴E必为圆心，即、为半径，
∵，
∴，
∵，
，
故答案为：A．
【分析】作出的外接圆，以为斜边在x轴上方作等腰，E必为圆心，即、为半径，在Rt△ABE中，由勾股定理可求解．
10．（2025·南沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按如下方向依次不断移动，得到、、、、、，那么的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：根据题意得，每移动次，动点向右移动个单位，此时动点回到轴，纵坐标为，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据题意可得规律：每移动次，动点向右移动个单位，此时动点回到轴，用可知点符合规律，即可求解．
11．（2025·南沙模拟）若 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】当x-1≥0时， 有意义
解得x≥1
故答案为x≥1
【分析】根据二次根式被开方数为非负数解答即可.
12．（2025·南沙模拟）因式分解：a3－a=　 　.
【答案】a（a－1）（a + 1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：a3-a，
=a（a2-1），
=a（a+1）（a-1）.
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
13．（2025·南沙模拟）如果关于的方程的一个根为，则另一根为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：关于的方程的一个根为，
又，
另一根为，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求解．
14．（2025·南沙模拟）已知一组数据：2，，这组数据的平均数为3，则　 　．
【答案】7
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得，
故答案为：7．
【分析】根据算术平均数的公式“”可列关于m的方程，解方程即可求解．
15．（2025·南沙模拟）如图，在菱形中，，点、分别在边、上，，将沿折叠，点落在延长线上的点处，则的大小是　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形是菱形，，
，
在△ABG和△ADE中
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
故答案为：．
【分析】根据菱形性质，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得∠BAG=∠DAE，由折叠的性质可得，再根据三角形内角和等于180°可求得∠AGB的度数，再根据对顶角相等即可求解．
16．（2025·南沙模拟）如图，矩形中，，点在上，，点在线段边上运动（不与、重合），线段绕着点顺时针旋转得到，连接．
（1）当时，则　 　；
（2）在运动的过程中，的最小值为　 　．
【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：（1）线段绕着点顺时针旋转得到，
，
在矩形中，，
∴，
∴，
，
，
，即，
在中，；
故答案为：．
（2）过点作线段，使且，
，
在△EBF和△GMF中
（SAS），
∴点在垂直于的直线上，
如图，作交于点，则即为的最小值，
作交于点．则：四边形是矩形，
，，
∴，
在中．，
，
；
故的最小值为．
故答案为：．
【分析】
（1）由旋转的性质可得，勾股定理结合锐角三角形函数得到，由角的和差可得，在Rt△GFC中，用勾股定理可求解；
（2）过点作线段，使且，结合题意，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得，于是可得点在垂直于的直线上，作交于点，则即为的最小值，在Rt△PFC中，根据锐角三角函数sin∠PFC=求出CP的值，由线段的和差CH=PH+CP可求解．
17．（2025·南沙模拟）解不等式组：
【答案】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
此不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】由题意，分别求出每一个不等式的解集，根据"同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解"即可求得不等式组的解集．
18．（2025·南沙模拟）如图，在四边形中，，点是线段上一点，连结．已知．求证：．
【答案】证明：
（两直线平行，内错角相等）
在和中
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据平行线性质“两直线平行，内错角相等”可得，结合已知用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据等边对等角即可求解.
19．（2025·南沙模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根．
（1）求的取值范围；
（2）化简，并选择一个适合的正整数代入求值．
【答案】（1）解：由题可知：
解得：；
（2）解：
；
，且为正整数，
将代入．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
（1）根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根可得关于a的不等式，解不等式即可求解；
（2）由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简
；根据分式有意义的条件“分母≠0”可得关于a的不等式，解之求出a的范围，然后将a=3（a的值不唯一，只要使分式有意义即可）代入化简后的代数式计算即可求解．
（1）由题可知：
解得：；
（2）
；
，且为正整数，
将代入．
20．（2025·南沙模拟）为了解学生对“应用意识”在数学学习中的重视程度，老师组织兴趣小组对班级学生进行了问卷调查．学生结合自己的实际情况选择一类（A：非常重要；B：重要；C：一般；D：不重要；E：无所谓），并根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
请根据图中信息，回答下列问题：
（1）_______；D类所在扇形圆心角的度数为___；
（2）学完概率知识后，小明尝试用纸板设计了一款游戏，小球从入口处掉落后每碰到卡口，可能向左弹跳，也可能向右弹跳，且两种可能性均相同，小球经过3次弹跳后最终落入标号为的6个卡槽．图为小球某次掉落情况：小球第1次向左弹跳，第2次向右弹跳，第3次向右弹跳，即“左→右→右”，最后落入卡槽4，请用树状图法求出小球掉落到5号卡槽的概率．
【答案】（1），
（2）解：画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中小球掉落到号卡槽的结果有种，
小球掉落到号卡槽的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）
解：由题意得，调查的人数为 (人)，
，
，
类所在扇形圆心角的度数为．
故答案为：18，．
【分析】
（1）由题意，根据样本容量=频数÷百分比可求得调查的人数，根据频数=样本容量×百分比可求得m的值，根据扇形图的圆心角=百分比×可求得D类所在扇形圆心角的度数；
（2）由题意，画出树状图，根据树状图的信息可得所有等可能的结果数以及小球掉落到5号卡槽的结果数，再根据概率公式计算即可求解.
（1）解：由题意得，调查的人数为 (人)，
，
，
类所在扇形圆心角的度数为．
故答案为：18，．
（2）画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中小球掉落到号卡槽的结果有种，
小球掉落到号卡槽的概率为．
21．（2025·南沙模拟）如图1所示是一种简易手机支架，由底座、支撑板和托架组成，将手机放置在托架上，图2是其简易结构图．现测量托架长长，支撑板长，可绕点转动，可绕点转动．
（1）若水平视线与的夹角，，求的度数；
（2）当，时，求点到底座的距离．（结果精确到0.1，参考：）
【答案】（1）解：过作，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作，过点作于，交于，作于，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中．，
，
．
答：点到底座的距离为．

【知识点】平行线的性质；平行线之间的距离；含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）过作，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠FDP=∠MFD，∠PDC=∠C，由角的和差=∠FDP+∠CDP求出∠FDC的度数，然后由平角的构成即可求解；
（2）过点作，过点作于，交于，作于，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，由角的和差可求得∠BDK、∠ADH的度数，在Rt△ADH 中，根据锐角三角函数cos∠ADH=求出HD的值，由线段的和差HK=HD+DK可求解.
（1）解：过作，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作，过点作于，交于，作于，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中．，
，
．
答：点到底座的距离为．
22．（2025·南沙模拟）某款三明治机制作三明治的工作原理如下：
①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成一次函数关系；
②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态；③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如下图所示为某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象回答下列问题：
（1）预热阶段机器温度上升的平均速度是_________，开机3分钟时，温度为____；
（2）当时，求机器温度与时间的函数关系式；
（3）求三明治机工作温度在以上持续时间．
【答案】（1）60、140
（2）解：由图象可知：当时，；
当时，设函数解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴；
综上：；
（3）解：当时，设
将代入得：
当机器温度为，依次代入及中，
分别解得：、
；
答：三明治机工作温度在以上持续12分钟．
【知识点】反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
（1）
解：，
；
故答案为：60、140；
【分析】（1）根据图象，列出算式计算即可求解；
（2）由图象可知，分两种情况：①当时，②当时，用待定系数法可求解析式；
（3）观察图象，用待定系数法可求出反比例函数的解析式，将=，依次代入及中，求出对应的的值，求差即可求解．
（1）解：，
；
故答案为：60、140；
（2）由图象可知：当时，；
当时，设函数解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴；
综上：；
（3）当时，设
将代入得：
当机器温度为，依次代入及中，分别解得、
；
答：三明治机工作温度在以上持续12分钟．
23．（2025·南沙模拟）如图，是的直径，为上的动点，连接，．的切线与的延长线交于点．
（1）尺规作图：作的中点，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：是的切线；
（3）过作，垂足为，交于点，连结．试证明四边形为菱形．
【答案】（1）解：如图所示即为所求．
（2）证明：连接，
为直径，为的切线，
，，
，
在中．为中点，
∴，
，
∵，
∴，
，
为的切线；
（3）证明：∵
在Rt△OAE和Rt△OCE中
∴（HL），
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形．
【知识点】菱形的判定；圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，作的垂线，垂线与的交点即为点，连接即可；
（2）连接，由直径所对的圆周角是直角可得，由圆的切线垂直于经过切点的半径可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=AE=DE=AD，由等边对等角可得，，结合角的和差可得即可求解；
（3）由题意，用HL定理可证，由全等三角形的对应边相等可得，由题意并根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形OAGC是平行四边形，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可求解.
（1）解：如图所示即为所求．
（2）证明：连接，
为直径，为的切线，
，，
，
在中．为中点，
∴，
，
∵，
∴，
，
为的切线．
（3）∵，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形．
24．（2025·南沙模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，点在点的左侧．
（1）当时，求点和点的坐标；
（2）已知点的坐标是，过点作轴的垂线，垂足为点，若二次函数的图象与线段只有一个交点，求的取值范围；
（3）直线与二次函数的图象交于两点，点的坐标是，点是轴上方的抛物线上的一个动点，过点作轴，交轴于点，交直线于点，过点作于点，直线交轴于点，若，设点的横坐标是，求的最大值．
【答案】（1）解：把代入中得：，
令，
则，
解得：或，
点在点的左侧，
∴，；
（2）解：二次函数，
当时，，
解得：或，
当又∵，
∴，
∴二次函数的图象经过定点，
∵，
∴，
当时，，
由图象可知，若抛物线与线段有且只有一个交点时，
①当且时，不等式组无解，舍去；
②当且时，解得，
又∵，所以；
③当且时，符合．
综上，；
（3）解：直线与二次函数的图象交于．
把代入，
解得．
抛物线的解析式为，，，
将、代入，
得：，
解得．
直线的解析式为，
设直线与轴交于点．则，
∴，
∵，
∴，
点是轴上方的抛物线上一个动点，设点的横坐标为点，
，，，
，，
，轴，
，
，
∴，即，
∴，
，
，
当时，有最大值为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由题意，将代入二次函数的解析式，令y=0可得关于x的一元二次方程，解方程求出x的值即可求解；
（2）令二次函数的解析式中的y=0可得关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，由，可得的范围，观察图象，分三种情况：①当4a-8＞-3，②当4a-8＜-3，③当4a-8=-3，即可求解；
（3）先求出直线的解析式为，可得，设点P的横坐标为点t，用含t的代数式将PE、QE表示出来，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据比例式可得EH和PE之间的关系，然后由线段的和差L=2EH+4EQ=PE+4EQ可得L与t之间的函数关系式，将关系式配成顶点式并结合二次函数的性质即可求解．
（1）解：把代入中得：，
令，则，
解得或，
点在点的左侧，
∴，；
（2）解：二次函数，
当时，，
解得或，
当又∵，
∴，
∴二次函数的图象经过定点，
∵，
∴，
当时，，
由图象可知，若抛物线与线段有且只有一个交点时，
①当且时，不等式组无解，舍去；
②当且时，解得，
又∵，所以；
③当且时，符合．
综上，；
（3）解：直线与二次函数的图象交于．
把代入，
解得．
抛物线的解析式为，，，
将、代入，
得：，
解得．
直线的解析式为，
设直线与轴交于点．则，
∴，
∵，
∴，
点是轴上方的抛物线上一个动点，设点的横坐标为点，
，，，
，，
，轴，
，
，
∴，即，
∴，
，
，
当时，有最大值为．
25．（2025·南沙模拟）在中，，为边上的一点，连接．
（1）如图1，，为上的中点，过作交于点，交于点，过作交于点，求的值．
（2）如图2，，，在上且，连接，交于点．已知，求点到的距离．
（3）如图3，，为上的中点，在上，，连接交于点．连接，当最小时，求的面积．
【答案】（1）解：为上的中点，
；
∵，
，
∵，，
，
，
，
，
设，则．
，
，
，
解得，
．
（2）解：，
是等边三角形，
，
在△ABE和△BCM中
(SAS)，
，
，，
；
，即，
解得，
；
过作交于点，
到的距离为；
（3）解：由（2）可得，
，
过三点作圆，连接，
∴当三点共线时，最小．
是等边三角形，为弦，取中点，在优弧上取一点，连接，
，
，
是等边三角形，是的中点，
，
，
；
过作交于点，交于点，
，
四边形是矩形，
，
，
．
．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的综合；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数可得∠BAE的正切值，由同角的余角相等并结合锐角三角函数可设，则，根据等腰直角三角形的性质，得到，根据可得关于x的方程，解方程求出的值，然后根据锐角三角函数sin∠ACB=可求解；
（2）由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，将已知条件代入比例式可求得BM、BN的值，由线段的和差MN=BM-BN求出的值，过作交于点，根据锐角三角函数sin∠MNT=可求解；
（3）先求出，定弦定角，得到三点共圆，进而得到当三点共线时，最小，取中点，在优弧上取一点，连接，求出圆心角的度数，等边对等角，求出的度数，垂径定理求出长，求出，进而求出的长，过作交于点，交于点，求出的长，再根据面积公式S△BDN=BD·NF即可求解．
（1）为上的中点，
；
∵，
，
∵，，
，
，
，
，
设，则．
，
，
，
解得，
．
（2），
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
；
，即，
解得，
；
过作交于点，
到的距离为；
（3）由（2）可得，
，
过三点作圆，连接，
∴当三点共线时，最小．
是等边三角形，为弦，取中点，在优弧上取一点，连接，
，
，
是等边三角形，是的中点，
，
，
；
过作交于点，交于点，
，
四边形是矩形，
，
，
．
．
1 / 1广东省广州市南沙区2025年一模数学试题
1．（2025·南沙模拟）中华人民共和国第十五届运动会将于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，广州市将承办开幕式．本次竞体比赛设34个大项401个小项，下列给出的运动图片是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·南沙模拟）的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·南沙模拟）今年春节档，《哪吒之魔童闹海》燃爆大银幕，目前该片位居全球动画电影票房榜首位，跻身全球影史票房前5，总票房接近160亿，其中160亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·南沙模拟）如图所示，该零件由三个圆柱组成，下列说法正确的是（　　）
A．主视图和俯视图相同 B．左视图和俯视图相同
C．左视图和主视图相同 D．三视图都相同
5．（2025·南沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·南沙模拟）分式方程的解为（　　）
A．0 B．6 C．2 D．4
7．（2025·南沙模拟）如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中的值是（　　）
　 y 6
5 x 　
　 7 8
A． B． C． D．
8．（2025·南沙模拟）如图，已知正六边形的半径为1，且点为正六边形的中心，则阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·南沙模拟）如图，平面直角坐标系中，点坐标分别为．点是轴正半轴上的一点，且满足，则的外接圆的半径等于（　　）
A． B． C．8 D．4
10．（2025·南沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按如下方向依次不断移动，得到、、、、、，那么的坐标为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·南沙模拟）若 有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2025·南沙模拟）因式分解：a3－a=　 　.
13．（2025·南沙模拟）如果关于的方程的一个根为，则另一根为　 　．
14．（2025·南沙模拟）已知一组数据：2，，这组数据的平均数为3，则　 　．
15．（2025·南沙模拟）如图，在菱形中，，点、分别在边、上，，将沿折叠，点落在延长线上的点处，则的大小是　 　．
16．（2025·南沙模拟）如图，矩形中，，点在上，，点在线段边上运动（不与、重合），线段绕着点顺时针旋转得到，连接．
（1）当时，则　 　；
（2）在运动的过程中，的最小值为　 　．
17．（2025·南沙模拟）解不等式组：
18．（2025·南沙模拟）如图，在四边形中，，点是线段上一点，连结．已知．求证：．
19．（2025·南沙模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根．
（1）求的取值范围；
（2）化简，并选择一个适合的正整数代入求值．
20．（2025·南沙模拟）为了解学生对“应用意识”在数学学习中的重视程度，老师组织兴趣小组对班级学生进行了问卷调查．学生结合自己的实际情况选择一类（A：非常重要；B：重要；C：一般；D：不重要；E：无所谓），并根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
请根据图中信息，回答下列问题：
（1）_______；D类所在扇形圆心角的度数为___；
（2）学完概率知识后，小明尝试用纸板设计了一款游戏，小球从入口处掉落后每碰到卡口，可能向左弹跳，也可能向右弹跳，且两种可能性均相同，小球经过3次弹跳后最终落入标号为的6个卡槽．图为小球某次掉落情况：小球第1次向左弹跳，第2次向右弹跳，第3次向右弹跳，即“左→右→右”，最后落入卡槽4，请用树状图法求出小球掉落到5号卡槽的概率．
21．（2025·南沙模拟）如图1所示是一种简易手机支架，由底座、支撑板和托架组成，将手机放置在托架上，图2是其简易结构图．现测量托架长长，支撑板长，可绕点转动，可绕点转动．
（1）若水平视线与的夹角，，求的度数；
（2）当，时，求点到底座的距离．（结果精确到0.1，参考：）
22．（2025·南沙模拟）某款三明治机制作三明治的工作原理如下：
①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成一次函数关系；
②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态；③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如下图所示为某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象回答下列问题：
（1）预热阶段机器温度上升的平均速度是_________，开机3分钟时，温度为____；
（2）当时，求机器温度与时间的函数关系式；
（3）求三明治机工作温度在以上持续时间．
23．（2025·南沙模拟）如图，是的直径，为上的动点，连接，．的切线与的延长线交于点．
（1）尺规作图：作的中点，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：是的切线；
（3）过作，垂足为，交于点，连结．试证明四边形为菱形．
24．（2025·南沙模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，点在点的左侧．
（1）当时，求点和点的坐标；
（2）已知点的坐标是，过点作轴的垂线，垂足为点，若二次函数的图象与线段只有一个交点，求的取值范围；
（3）直线与二次函数的图象交于两点，点的坐标是，点是轴上方的抛物线上的一个动点，过点作轴，交轴于点，交直线于点，过点作于点，直线交轴于点，若，设点的横坐标是，求的最大值．
25．（2025·南沙模拟）在中，，为边上的一点，连接．
（1）如图1，，为上的中点，过作交于点，交于点，过作交于点，求的值．
（2）如图2，，，在上且，连接，交于点．已知，求点到的距离．
（3）如图3，，为上的中点，在上，，连接交于点．连接，当最小时，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
B、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图案是轴对称图形，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：C．
【分析】根据绝对值的意义“正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数”即可求解．
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：160亿，
故答案为：D．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并简结合各选项即可求解.
4．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知：该几何体的俯视图为圆，左视图和主视图相同，均为大长方形中间含有一个小长方形；
故答案为：C．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，其中看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示.结合几何体即可求解．
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.≠a6，
∴此选项不符合题意；
B.，
∴此选项符合题意；
C.≠5a4，
∴此选项不符合题意；
D.≠a2，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
B、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解；
C、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.
6．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
解得，
经检验是分式方程的解，
故答案为：B．
【分析】由题意，在方程两边同时乘以最简公分母（x-2），可将分式方程化为整数方程，解整式方程求出x的值，再检验可求解．
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设第一行第一列上的数字为，第二行第三列上的数字为，
由题意得：，
即，
解得：，
故答案为：B．
【分析】设第一行第一列上的数字为，第二行第三列上的数字为，根据题意“ 每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等”列方程组，解方程组即可求解．
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接，作于点，
正六边形的半径为1，且点为正六边形的中心，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】连接，作于点，由正六边形的性质得，根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，用勾股定理求出OG的值，然后根据阴影部分面积的构成并结合扇形面积“S扇形=”计算即可求解.
9．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作出的外接圆，以为斜边在x轴上方作等腰，
∵，
∴由圆周角定理得：所对的圆心角必为，
∵，
∴在弦的垂直平分线上，
∵，
∴E必为圆心，即、为半径，
∵，
∴，
∵，
，
故答案为：A．
【分析】作出的外接圆，以为斜边在x轴上方作等腰，E必为圆心，即、为半径，在Rt△ABE中，由勾股定理可求解．
10．【答案】D
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：根据题意得，每移动次，动点向右移动个单位，此时动点回到轴，纵坐标为，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据题意可得规律：每移动次，动点向右移动个单位，此时动点回到轴，用可知点符合规律，即可求解．
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】当x-1≥0时， 有意义
解得x≥1
故答案为x≥1
【分析】根据二次根式被开方数为非负数解答即可.
12．【答案】a（a－1）（a + 1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：a3-a，
=a（a2-1），
=a（a+1）（a-1）.
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：关于的方程的一个根为，
又，
另一根为，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求解．
14．【答案】7
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得，
故答案为：7．
【分析】根据算术平均数的公式“”可列关于m的方程，解方程即可求解．
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形是菱形，，
，
在△ABG和△ADE中
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
故答案为：．
【分析】根据菱形性质，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得∠BAG=∠DAE，由折叠的性质可得，再根据三角形内角和等于180°可求得∠AGB的度数，再根据对顶角相等即可求解．
16．【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：（1）线段绕着点顺时针旋转得到，
，
在矩形中，，
∴，
∴，
，
，
，即，
在中，；
故答案为：．
（2）过点作线段，使且，
，
在△EBF和△GMF中
（SAS），
∴点在垂直于的直线上，
如图，作交于点，则即为的最小值，
作交于点．则：四边形是矩形，
，，
∴，
在中．，
，
；
故的最小值为．
故答案为：．
【分析】
（1）由旋转的性质可得，勾股定理结合锐角三角形函数得到，由角的和差可得，在Rt△GFC中，用勾股定理可求解；
（2）过点作线段，使且，结合题意，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得，于是可得点在垂直于的直线上，作交于点，则即为的最小值，在Rt△PFC中，根据锐角三角函数sin∠PFC=求出CP的值，由线段的和差CH=PH+CP可求解．
17．【答案】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
此不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】由题意，分别求出每一个不等式的解集，根据"同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解"即可求得不等式组的解集．
18．【答案】证明：
（两直线平行，内错角相等）
在和中
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据平行线性质“两直线平行，内错角相等”可得，结合已知用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据等边对等角即可求解.
19．【答案】（1）解：由题可知：
解得：；
（2）解：
；
，且为正整数，
将代入．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
（1）根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根可得关于a的不等式，解不等式即可求解；
（2）由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简
；根据分式有意义的条件“分母≠0”可得关于a的不等式，解之求出a的范围，然后将a=3（a的值不唯一，只要使分式有意义即可）代入化简后的代数式计算即可求解．
（1）由题可知：
解得：；
（2）
；
，且为正整数，
将代入．
20．【答案】（1），
（2）解：画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中小球掉落到号卡槽的结果有种，
小球掉落到号卡槽的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）
解：由题意得，调查的人数为 (人)，
，
，
类所在扇形圆心角的度数为．
故答案为：18，．
【分析】
（1）由题意，根据样本容量=频数÷百分比可求得调查的人数，根据频数=样本容量×百分比可求得m的值，根据扇形图的圆心角=百分比×可求得D类所在扇形圆心角的度数；
（2）由题意，画出树状图，根据树状图的信息可得所有等可能的结果数以及小球掉落到5号卡槽的结果数，再根据概率公式计算即可求解.
（1）解：由题意得，调查的人数为 (人)，
，
，
类所在扇形圆心角的度数为．
故答案为：18，．
（2）画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中小球掉落到号卡槽的结果有种，
小球掉落到号卡槽的概率为．
21．【答案】（1）解：过作，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作，过点作于，交于，作于，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中．，
，
．
答：点到底座的距离为．

【知识点】平行线的性质；平行线之间的距离；含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）过作，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠FDP=∠MFD，∠PDC=∠C，由角的和差=∠FDP+∠CDP求出∠FDC的度数，然后由平角的构成即可求解；
（2）过点作，过点作于，交于，作于，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，由角的和差可求得∠BDK、∠ADH的度数，在Rt△ADH 中，根据锐角三角函数cos∠ADH=求出HD的值，由线段的和差HK=HD+DK可求解.
（1）解：过作，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作，过点作于，交于，作于，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中．，
，
．
答：点到底座的距离为．
22．【答案】（1）60、140
（2）解：由图象可知：当时，；
当时，设函数解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴；
综上：；
（3）解：当时，设
将代入得：
当机器温度为，依次代入及中，
分别解得：、
；
答：三明治机工作温度在以上持续12分钟．
【知识点】反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
（1）
解：，
；
故答案为：60、140；
【分析】（1）根据图象，列出算式计算即可求解；
（2）由图象可知，分两种情况：①当时，②当时，用待定系数法可求解析式；
（3）观察图象，用待定系数法可求出反比例函数的解析式，将=，依次代入及中，求出对应的的值，求差即可求解．
（1）解：，
；
故答案为：60、140；
（2）由图象可知：当时，；
当时，设函数解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴；
综上：；
（3）当时，设
将代入得：
当机器温度为，依次代入及中，分别解得、
；
答：三明治机工作温度在以上持续12分钟．
23．【答案】（1）解：如图所示即为所求．
（2）证明：连接，
为直径，为的切线，
，，
，
在中．为中点，
∴，
，
∵，
∴，
，
为的切线；
（3）证明：∵
在Rt△OAE和Rt△OCE中
∴（HL），
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形．
【知识点】菱形的判定；圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，作的垂线，垂线与的交点即为点，连接即可；
（2）连接，由直径所对的圆周角是直角可得，由圆的切线垂直于经过切点的半径可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=AE=DE=AD，由等边对等角可得，，结合角的和差可得即可求解；
（3）由题意，用HL定理可证，由全等三角形的对应边相等可得，由题意并根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形OAGC是平行四边形，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可求解.
（1）解：如图所示即为所求．
（2）证明：连接，
为直径，为的切线，
，，
，
在中．为中点，
∴，
，
∵，
∴，
，
为的切线．
（3）∵，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形．
24．【答案】（1）解：把代入中得：，
令，
则，
解得：或，
点在点的左侧，
∴，；
（2）解：二次函数，
当时，，
解得：或，
当又∵，
∴，
∴二次函数的图象经过定点，
∵，
∴，
当时，，
由图象可知，若抛物线与线段有且只有一个交点时，
①当且时，不等式组无解，舍去；
②当且时，解得，
又∵，所以；
③当且时，符合．
综上，；
（3）解：直线与二次函数的图象交于．
把代入，
解得．
抛物线的解析式为，，，
将、代入，
得：，
解得．
直线的解析式为，
设直线与轴交于点．则，
∴，
∵，
∴，
点是轴上方的抛物线上一个动点，设点的横坐标为点，
，，，
，，
，轴，
，
，
∴，即，
∴，
，
，
当时，有最大值为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由题意，将代入二次函数的解析式，令y=0可得关于x的一元二次方程，解方程求出x的值即可求解；
（2）令二次函数的解析式中的y=0可得关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，由，可得的范围，观察图象，分三种情况：①当4a-8＞-3，②当4a-8＜-3，③当4a-8=-3，即可求解；
（3）先求出直线的解析式为，可得，设点P的横坐标为点t，用含t的代数式将PE、QE表示出来，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据比例式可得EH和PE之间的关系，然后由线段的和差L=2EH+4EQ=PE+4EQ可得L与t之间的函数关系式，将关系式配成顶点式并结合二次函数的性质即可求解．
（1）解：把代入中得：，
令，则，
解得或，
点在点的左侧，
∴，；
（2）解：二次函数，
当时，，
解得或，
当又∵，
∴，
∴二次函数的图象经过定点，
∵，
∴，
当时，，
由图象可知，若抛物线与线段有且只有一个交点时，
①当且时，不等式组无解，舍去；
②当且时，解得，
又∵，所以；
③当且时，符合．
综上，；
（3）解：直线与二次函数的图象交于．
把代入，
解得．
抛物线的解析式为，，，
将、代入，
得：，
解得．
直线的解析式为，
设直线与轴交于点．则，
∴，
∵，
∴，
点是轴上方的抛物线上一个动点，设点的横坐标为点，
，，，
，，
，轴，
，
，
∴，即，
∴，
，
，
当时，有最大值为．
25．【答案】（1）解：为上的中点，
；
∵，
，
∵，，
，
，
，
，
设，则．
，
，
，
解得，
．
（2）解：，
是等边三角形，
，
在△ABE和△BCM中
(SAS)，
，
，，
；
，即，
解得，
；
过作交于点，
到的距离为；
（3）解：由（2）可得，
，
过三点作圆，连接，
∴当三点共线时，最小．
是等边三角形，为弦，取中点，在优弧上取一点，连接，
，
，
是等边三角形，是的中点，
，
，
；
过作交于点，交于点，
，
四边形是矩形，
，
，
．
．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的综合；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数可得∠BAE的正切值，由同角的余角相等并结合锐角三角函数可设，则，根据等腰直角三角形的性质，得到，根据可得关于x的方程，解方程求出的值，然后根据锐角三角函数sin∠ACB=可求解；
（2）由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，将已知条件代入比例式可求得BM、BN的值，由线段的和差MN=BM-BN求出的值，过作交于点，根据锐角三角函数sin∠MNT=可求解；
（3）先求出，定弦定角，得到三点共圆，进而得到当三点共线时，最小，取中点，在优弧上取一点，连接，求出圆心角的度数，等边对等角，求出的度数，垂径定理求出长，求出，进而求出的长，过作交于点，交于点，求出的长，再根据面积公式S△BDN=BD·NF即可求解．
（1）为上的中点，
；
∵，
，
∵，，
，
，
，
，
设，则．
，
，
，
解得，
．
（2），
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
；
，即，
解得，
；
过作交于点，
到的距离为；
（3）由（2）可得，
，
过三点作圆，连接，
∴当三点共线时，最小．
是等边三角形，为弦，取中点，在优弧上取一点，连接，
，
，
是等边三角形，是的中点，
，
，
；
过作交于点，交于点，
，
四边形是矩形，
，
，
．
．
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