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四川省绵阳市2025年毕业生学业水平检测试卷数学
1．（2025·绵阳模拟）的绝对值是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·绵阳模拟）如图，将一个正六棱柱按如图所示的方式截去一个角，则所形成的几何体的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·绵阳模拟）2024年9月25日，注定是一个值得深刻铭记的时刻．继俄罗斯、美国、英国等世界强国在洲际弹道导弹的试射失败之后，中国火箭军从海南岛向太平洋成功发射了一枚射程达12000000米的洲际弹道导弹、其中数据12000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·绵阳模拟）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·绵阳模拟）老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（　　）
A． B．平均数为8
C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6
6．（2025·绵阳模拟）如图，在中，．点E，F，D分别在边，，上，，，则四边形的周长是（　　）
A．10 B．15 C．18 D．20
7．（2025·绵阳模拟）关于的方程（为常数）根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
8．（2025·绵阳模拟）有三张不透明的卡片，正面分别绘制有如图所示的图案．已知这三张卡片反面完全相同，把这三张卡 片反面向上放置在桌面上，从中任意抽取两张，抽到的两张卡片上的图案均是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·绵阳模拟）我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的.若设甲原有x钱，乙原有y钱，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·绵阳模拟）如图，在矩形中，，．以的中点为圆心，长为半径作，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·绵阳模拟）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，按的方向在，边上移动，记，点D到直线的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025·绵阳模拟）如图，已知菱形的边长为8，，将菱形绕点按逆时针方向旋转得到菱形，、分别交直线于、，若是的中点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·绵阳模拟）分解因式：　 　．
14．（2025·绵阳模拟）代数式有意义的条件是　 　．
15．（2025·绵阳模拟）光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线，表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线，为射线延长线上一点．若，，则　 　．
16．（2025·绵阳模拟）越王楼是中国古代名楼之一，始建于唐高宗显庆年间．在一次实践活动中，某数学小组用无人机测量越王楼的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得越王楼顶端的俯角为，则测得越王楼的高度为　 　．（参考数据：）
17．（2025·绵阳模拟）关于的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为　 　．
18．（2025·绵阳模拟）如图，在中，，，．点是边上的一动点，将沿翻折得到，交于．若，则的值为　 　．
19．（2025·绵阳模拟）（1）计算：．
（2）已知，且，求的值．
20．（2025·绵阳模拟）春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破，目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某公司就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）①此次共调查了______人，扇形统计图中类对应的圆心角度数为______；
②请将条形统计图补充完整；
（2）将四个类型的图标依次制成、、、四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
21．（2025·绵阳模拟）某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．计划用元采购种饰品，元采购种饰品，采购的种饰品件数恰好是种饰品件数的倍，种的进价比种的进价每件多元，两种饰品的售价均为每件元；计划采购这两种饰品共件，采购种的件数不低于件，不超过种件数的倍．
（1）求，饰品每件的进价分别为多少元？
（2）因商铺长期与厂家合作，厂家决定对商铺本次采购种饰品按进价折优惠．设购进种饰品件，
①求的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
22．（2025·绵阳模拟）如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点E，F，连接．
（1）求证：
（2）延长交于点G，若平分，试问：与相等吗？并说明理由．
23．（2025·绵阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上．
（1）如图，若直线的解析式为，点，求点的坐标；
（2）如图，以为边作矩形，点、的坐标分别是、，求的值．
24．（2025·绵阳模拟）如图，是的外接圆，点是的中点，连接交于点，点是延长线上一点，，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）如图，延长交于点，点恰好是的内心．
①求证：；
②若，，求的长．
25．（2025·绵阳模拟）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直线与轴交于点，与轴交于点，与抛物线交于两点（点在点的左侧），连接，，求的面积；
（3）在（2）的条件下，为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点作交轴于点，过点作于，试问：是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：A．
【分析】利用绝对值的定义解答即可．
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，看到的图形上部分是一个五边形，下部分是一个三角形，即看到的图形如下：
故答案为：B．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形并结合题意即可求解．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：B.
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
4．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
其解集表示在数轴上为：
故答案为：A．
【分析】根据解不等式的步骤"去分母，移项、合并同类项"解不等式，然后根据"在数轴上表示解集时，“≤”实心向左"并结合各选项即可判断求解．
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：根据题意得：该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，
平均数为：
（11+9+8+6+6）÷5
=40÷5
=8
故A、B选项正确，不符合题意；
添加一个数8后方差为
即添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意；
这组数据，6出现的次数最多，
即这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据方差公式的运算，可直接从方差算式中读出平均数和项数；
根据求方差的公式：，然后与原式对比，即可判断
根据众数的定义：数列中出现次数最多的数，即可众数，据此即可判断
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：，
，
，，
，，
，
，
则四边形的周长是，
故选：A．
【分析】先根据等腰三角形的性质“等边对等角”可得，再根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，再根据四边形的周长等于四边之和可求解．
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：将方程化为：，
，
则有两个不相等实数根．
故答案为：A.
【分析】由题意，先将原方程化为一般形式，再计算b2-4ac的值，由偶次方的非负性可得b2-4ac＞0，然后根据一元二次方程的根的判别式"当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根"即可判断求解.
8．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：将这三张卡片分别记为A，B，C，其中卡片B，C上的图案是中心对称图形，
根据题意，画树状图如下
由树状图可知，共有种等可能的情况，其中抽到的两张卡片上的图案均为中心对称图形的情况有种，
故所求概率为，
故答案为：B ．
【分析】由题意画出树状图，根据树状图的信息可知，共有种等可能的情况，其中抽到的两张卡片上的图案均为中心对称图形的情况有种，然后根据概率公式计算即可求解.
9．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲原有x钱，乙原有y钱，由题意，
得.
故答案为：A.
【分析】设甲原有x钱，乙原有y钱，根据“ 甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍 ”可列方程x-10=2(y+10)，根据“ 乙给甲5钱，则乙的钱是甲的 ”可列方程，联立两方程即可.
10．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；扇形面积的计算；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，设半圆交于点，连接，过点作于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
，
∵，
，
，
同理可得，
，
，
故答案为：A．
【分析】设半圆交于点，连接，过点作于点，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，根据锐角三角函数sin∠FOE=并结合特殊角的三角函数值可得，，得到，然后根据阴影部分面积的构成并结合扇形面积公式即可求解．
11．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；动点问题的函数图象；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意，分两种情况：
（1）当点在上移动时，
点到直线的距离为：
，即点到的距离为的长度，是定值5；
（2）当点在上移动时，
连接，过作于，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，观察各选项，只有选项B中的图形符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据点的位置分两种情况：（1）当点在上移动时，点到直线的距离不变，恒为5；（2）当点在上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出，即可判断出，于是可判断关于的函数大致图象．
12．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点作于，
四边形是菱形，
，
，
，
，
解得，
是直角三角形，
，
，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质“菱形的四条边相等、对边互相平行”可得AB=BC，BC∥AD，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得∠BCD=∠MBA，在Rt△ABH中，根据锐角三角函数sin∠BCD=sin∠MBA=求出AH的值，用勾股定理求出BH的值，由角的构成和等腰三角形的性质可得∠BAM=∠NAD，根据等腰三角形的三线合一可得MH=NH，然后根据线段的和差BN=BH-NH可求解．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵，
故答案为：．
【分析】观察多项式，每一项含有公因式m，于是先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可．
14．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件"被开方数非负"\分式有意义“分母不为0”可得关于x的不等式组，解不等式组即可求解．
15．【答案】
【知识点】邻补角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
则，
，
，
，
故答案为：．
【分析】由邻补角的定义可求得∠4的度数，再根据平行线的性质“两直线平行同旁内角互补”可求解．
16．【答案】98.5
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图，
由题可知，，，
设，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴
∴
∴
故答案为：98.5．
【分析】延长交距水平地面的水平线于点D，根据=可求出DC=AD的值，然后根据线段的和差AB=BD-AD计算即可求解．
17．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式组得，
∵不等式组有解且最多有3个整数解，
∴，
解得：，
解关于的分式方程得，
∵关于的分式方程有整数解，
∴或或，
∵为整数，且，，
∴或或，
当时，，此时，符合题意；
当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，符合题意；
那么符合条件的所有整数的和为，
故答案为：．
【分析】解不等式组可得，结合不等式组有解且最多有3个整数解可得关于m的不等式组，解之可得m的取值范围；解分式方程可得，结合关于的分式方程有整数解可求得m的值，再检验可得符合题意的的值即可求解．
18．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，过点F作于H，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：．
【分析】先由折叠的性质得到，，再导角证明，则可证明是等腰直角三角形，得到，则；根据有两个角相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，则，；如图所示，过点F作于H，用勾股定理求出AB的值，同理可得，同理可得比例式，结合比例式可求得BH、BF的值，由线段的和差求得AH的值，然后根据锐角三角函数即可求解.
19．【答案】（1）解：
；
（2）
，
∵，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）根据特殊角的三角函数值可得cos60°=，由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（）0=1，然后根据实数的运算法则计算即可求解；
（3）由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简；将已知的等式变形得xy=2，再整体代换计算可求解.
20．【答案】（1）①；；
②补全条形统计图如图所示：
（2）解：画出树状图如下：
，
由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有，
∴抽取到的两张卡片内容一致的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：①此次共调查了人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为；
②类的人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
故答案为：；；
【分析】
（1）①根据样本容量=频数÷百分比并结合条形图和扇形图的信息可求得调查的总人数；根据扇形图中圆心角的度数=×类所占的比例即可求得圆心角度数；
②根据样本容量=各小组频数之和可求出类的人数，再补全条形统计图即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式计算即可求解．
（1）解：①此次共调查了人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为；
②类的人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
故答案为：；；
（2）解：画出树状图如下：
，
由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有，
∴抽取到的两张卡片内容一致的概率为．
21．【答案】（1）解：设种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元，
由题意，得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解且符合题意，
∴，
答：种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元；
（2）解；①依题意，
得：，
解得：，
购进种饰品件数的取值范围为且为整数；
②设采购种饰品件时的总利润为元，
则，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值是：（元），
即当采购种饰品件，种饰品件时，商铺获利最大，最大利润为元．
【知识点】一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元，利用数量总价单价，根据“用元采购种饰品，元采购种饰品，采购的种饰品件数恰好是种饰品件数的倍”即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可求解；
（2）①根据“计划采购这两种饰品共件，采购种的件数不低于件，不超过种件数的倍”列不等式组，解不等式组可求解；
②设采购种饰品件时的总利润为元，根据“总利润每件种饰品的利润数量每件种饰品的利润数量”可列出关于的函数关系式，再根据一次函数的性质即可求解．
（1）解：设种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解且符合题意，
∴，
答：种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元；
（2）①依题意，得：，
解得：，
购进种饰品件数的取值范围为且为整数；
②设采购种饰品件时的总利润为元，
则，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值是：（元），
即当采购种饰品件，种饰品件时，商铺获利最大，最大利润为元．
22．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△AEB和△CFD中
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：相等，理由如下：
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
（1）由平行四边形的性质并用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得BE=DF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由平行四边形的对边平行可得，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”即可求证；
（2）由角平分线得到，由平行四边形得到，，则，由三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得，结合已知可得∠BFG=∠FBG，然后根据等角对等边即可证明．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：相等，理由如下：
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：∵点在反比例函数的图象上和直线：上，
∴，
∴，
∴，
此时反比例函数的解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
即点的坐标为；
（2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，
∴，，，
∵四边形是矩形，、，
∴，，，
∴线段向左平移个单位，再向上平移个单位得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴①，
又∵、在反比例函数的图象上，
∴，
∴②，
联立方程①、②，得：，
解得：，
∴，
即的值为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由题意，将点代入一次函数的解析式可得关于a的方程，解方程可求出a的值，可得点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式可求得k的值，然后将一次函数和反比例函数的解析式联立解方程组即可求解；
（2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，根据矩形的性质及平移的性质得，，，，，，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式可得关于m、n的方程，即①，再根据函数图象上点的坐标特征得，推出②，将方程①、②联立解方程组求出m、n的值，然后用待定系数法即可求解．
（1）解：∵点在反比例函数的图象上和直线：上，
∴，
∴，
∴，
此时反比例函数的解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
即点的坐标为；
（2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，
∴，，，
∵四边形是矩形，、，
∴，，，
∴线段向左平移个单位，再向上平移个单位得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴①，
又∵、在反比例函数的图象上，
∴，
∴②，
联立方程①、②，得：，
解得：，
∴，
即的值为．
24．【答案】（1）证明：∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵所对的圆心角为，圆周角为，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）①证明：∵点是的内心，
∴平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
②)解：∵，，，，
∴，
∴，即，
设，则，，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴或（负值不符合题意，舍去），
∴．
【知识点】圆的综合题；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由等边对等角得，由三角形内角和定理可得，再根据圆周角定理得，即，结合角的和差可得∠OBF=90°，根据圆的切线的判定即可得证；
（2）①根据三角形内心的定义可得，由角的和差和三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得，然后根据等角对等边即可得证；
②)由题意，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，把比例式化为乘积式可得，设，则，，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，在中，，则，，则，同理可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，把比例式化为乘积式得，将已知条件代入乘积式计算即可求解．
（1）证明：∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵所对的圆心角为，圆周角为，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）①证明：∵点是的内心，
∴平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
②)解：∵，，，，
∴，
∴，即，
设，则，，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴或（负值不符合题意，舍去），
∴．
25．【答案】（1）解：将代入得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式：；
（2）解：当函数值为0时，
即，
解得：，
∴，
∵直线与轴交于点，
∴，
由可假设，
，
解得或（舍去），
，
将代入得：
，
解得，
∴，
当直线函数值为0时，即，
解得，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
假设，，
由勾股定理得：，
∴
即
整理得：
解得：或（舍去）
∴，，，
抛物线对称轴为直线，
设，因为在抛物线上，所以，
过作轴于，则，，，
①当时，以点为顶点的三角形与相似，
此时，
当点在轴下方时，，解得或（舍去）
∴；
当点在轴上方时，，解得或（舍去）
∴；
②当时，以点为顶点的三角形与相似，
此时，
当点在轴下方时，，解得或（舍去）
∴；
当点在轴上方时，，解得（舍去）或（舍去）
综上，、或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）由题意，令二次函数的解析式中y=0可得关于x的一元二次方程，解这个方程可得B、D两点的坐标，由可假设，，根据可得关于a的方程，解方程求出a的值，即可得点F的坐标，把点F的坐标代入直线y=kx+1可求得k的值，令直线解析式中y=0可得关于x的一元一次方程，解方程可求得N的坐标，然后用三角形面积公式即可求解；
（3）假设，利用勾股定理求得，，，由题意分两种情况：①当∠KAP=∠NBM，结合已知根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△KAP∽△NBM，由相似三角形的对应边成比例可得比例式，结合已知和比例式可得关于m的方程，解方程可求解；
②当∠KAP=∠BNM，同理可得比例式求解．
（1）解：将代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式；
（2）解：当函数值为0时，
即，
解得，
∴，
∵直线与轴交于点，
∴，
由可假设，
，
解得或（舍去），
，
将代入得：
，
解得，
∴，
当直线函数值为0时，即，
解得，
，
；
（3）解：存在，理由如下
假设，，
由勾股定理得，
∴
即
整理得
解得或（舍去）
∴，，，
抛物线对称轴为直线，
设，因为在抛物线上，所以，
过作轴于，则，，，
①当时，以点为顶点的三角形与相似，
此时，
当点在轴下方时，，解得或（舍去）
∴；
当点在轴上方时，，解得或（舍去）
∴；
②当时，以点为顶点的三角形与相似，
此时，
当点在轴下方时，，解得或（舍去）
∴；
当点在轴上方时，，解得（舍去）或（舍去）
综上，、或．
1 / 1四川省绵阳市2025年毕业生学业水平检测试卷数学
1．（2025·绵阳模拟）的绝对值是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：A．
【分析】利用绝对值的定义解答即可．
2．（2025·绵阳模拟）如图，将一个正六棱柱按如图所示的方式截去一个角，则所形成的几何体的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，看到的图形上部分是一个五边形，下部分是一个三角形，即看到的图形如下：
故答案为：B．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形并结合题意即可求解．
3．（2025·绵阳模拟）2024年9月25日，注定是一个值得深刻铭记的时刻．继俄罗斯、美国、英国等世界强国在洲际弹道导弹的试射失败之后，中国火箭军从海南岛向太平洋成功发射了一枚射程达12000000米的洲际弹道导弹、其中数据12000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：B.
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
4．（2025·绵阳模拟）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
其解集表示在数轴上为：
故答案为：A．
【分析】根据解不等式的步骤"去分母，移项、合并同类项"解不等式，然后根据"在数轴上表示解集时，“≤”实心向左"并结合各选项即可判断求解．
5．（2025·绵阳模拟）老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（　　）
A． B．平均数为8
C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：根据题意得：该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，
平均数为：
（11+9+8+6+6）÷5
=40÷5
=8
故A、B选项正确，不符合题意；
添加一个数8后方差为
即添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意；
这组数据，6出现的次数最多，
即这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据方差公式的运算，可直接从方差算式中读出平均数和项数；
根据求方差的公式：，然后与原式对比，即可判断
根据众数的定义：数列中出现次数最多的数，即可众数，据此即可判断
6．（2025·绵阳模拟）如图，在中，．点E，F，D分别在边，，上，，，则四边形的周长是（　　）
A．10 B．15 C．18 D．20
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：，
，
，，
，，
，
，
则四边形的周长是，
故选：A．
【分析】先根据等腰三角形的性质“等边对等角”可得，再根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，再根据四边形的周长等于四边之和可求解．
7．（2025·绵阳模拟）关于的方程（为常数）根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：将方程化为：，
，
则有两个不相等实数根．
故答案为：A.
【分析】由题意，先将原方程化为一般形式，再计算b2-4ac的值，由偶次方的非负性可得b2-4ac＞0，然后根据一元二次方程的根的判别式"当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根"即可判断求解.
8．（2025·绵阳模拟）有三张不透明的卡片，正面分别绘制有如图所示的图案．已知这三张卡片反面完全相同，把这三张卡 片反面向上放置在桌面上，从中任意抽取两张，抽到的两张卡片上的图案均是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：将这三张卡片分别记为A，B，C，其中卡片B，C上的图案是中心对称图形，
根据题意，画树状图如下
由树状图可知，共有种等可能的情况，其中抽到的两张卡片上的图案均为中心对称图形的情况有种，
故所求概率为，
故答案为：B ．
【分析】由题意画出树状图，根据树状图的信息可知，共有种等可能的情况，其中抽到的两张卡片上的图案均为中心对称图形的情况有种，然后根据概率公式计算即可求解.
9．（2025·绵阳模拟）我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的.若设甲原有x钱，乙原有y钱，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲原有x钱，乙原有y钱，由题意，
得.
故答案为：A.
【分析】设甲原有x钱，乙原有y钱，根据“ 甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍 ”可列方程x-10=2(y+10)，根据“ 乙给甲5钱，则乙的钱是甲的 ”可列方程，联立两方程即可.
10．（2025·绵阳模拟）如图，在矩形中，，．以的中点为圆心，长为半径作，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；扇形面积的计算；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，设半圆交于点，连接，过点作于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
，
∵，
，
，
同理可得，
，
，
故答案为：A．
【分析】设半圆交于点，连接，过点作于点，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，根据锐角三角函数sin∠FOE=并结合特殊角的三角函数值可得，，得到，然后根据阴影部分面积的构成并结合扇形面积公式即可求解．
11．（2025·绵阳模拟）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，按的方向在，边上移动，记，点D到直线的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；动点问题的函数图象；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意，分两种情况：
（1）当点在上移动时，
点到直线的距离为：
，即点到的距离为的长度，是定值5；
（2）当点在上移动时，
连接，过作于，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，观察各选项，只有选项B中的图形符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据点的位置分两种情况：（1）当点在上移动时，点到直线的距离不变，恒为5；（2）当点在上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出，即可判断出，于是可判断关于的函数大致图象．
12．（2025·绵阳模拟）如图，已知菱形的边长为8，，将菱形绕点按逆时针方向旋转得到菱形，、分别交直线于、，若是的中点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点作于，
四边形是菱形，
，
，
，
，
解得，
是直角三角形，
，
，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质“菱形的四条边相等、对边互相平行”可得AB=BC，BC∥AD，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得∠BCD=∠MBA，在Rt△ABH中，根据锐角三角函数sin∠BCD=sin∠MBA=求出AH的值，用勾股定理求出BH的值，由角的构成和等腰三角形的性质可得∠BAM=∠NAD，根据等腰三角形的三线合一可得MH=NH，然后根据线段的和差BN=BH-NH可求解．
13．（2025·绵阳模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵，
故答案为：．
【分析】观察多项式，每一项含有公因式m，于是先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可．
14．（2025·绵阳模拟）代数式有意义的条件是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件"被开方数非负"\分式有意义“分母不为0”可得关于x的不等式组，解不等式组即可求解．
15．（2025·绵阳模拟）光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线，表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线，为射线延长线上一点．若，，则　 　．
【答案】
【知识点】邻补角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
则，
，
，
，
故答案为：．
【分析】由邻补角的定义可求得∠4的度数，再根据平行线的性质“两直线平行同旁内角互补”可求解．
16．（2025·绵阳模拟）越王楼是中国古代名楼之一，始建于唐高宗显庆年间．在一次实践活动中，某数学小组用无人机测量越王楼的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得越王楼顶端的俯角为，则测得越王楼的高度为　 　．（参考数据：）
【答案】98.5
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图，
由题可知，，，
设，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴
∴
∴
故答案为：98.5．
【分析】延长交距水平地面的水平线于点D，根据=可求出DC=AD的值，然后根据线段的和差AB=BD-AD计算即可求解．
17．（2025·绵阳模拟）关于的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式组得，
∵不等式组有解且最多有3个整数解，
∴，
解得：，
解关于的分式方程得，
∵关于的分式方程有整数解，
∴或或，
∵为整数，且，，
∴或或，
当时，，此时，符合题意；
当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，符合题意；
那么符合条件的所有整数的和为，
故答案为：．
【分析】解不等式组可得，结合不等式组有解且最多有3个整数解可得关于m的不等式组，解之可得m的取值范围；解分式方程可得，结合关于的分式方程有整数解可求得m的值，再检验可得符合题意的的值即可求解．
18．（2025·绵阳模拟）如图，在中，，，．点是边上的一动点，将沿翻折得到，交于．若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，过点F作于H，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：．
【分析】先由折叠的性质得到，，再导角证明，则可证明是等腰直角三角形，得到，则；根据有两个角相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，则，；如图所示，过点F作于H，用勾股定理求出AB的值，同理可得，同理可得比例式，结合比例式可求得BH、BF的值，由线段的和差求得AH的值，然后根据锐角三角函数即可求解.
19．（2025·绵阳模拟）（1）计算：．
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）解：
；
（2）
，
∵，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）根据特殊角的三角函数值可得cos60°=，由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（）0=1，然后根据实数的运算法则计算即可求解；
（3）由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简；将已知的等式变形得xy=2，再整体代换计算可求解.
20．（2025·绵阳模拟）春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破，目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某公司就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）①此次共调查了______人，扇形统计图中类对应的圆心角度数为______；
②请将条形统计图补充完整；
（2）将四个类型的图标依次制成、、、四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
【答案】（1）①；；
②补全条形统计图如图所示：
（2）解：画出树状图如下：
，
由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有，
∴抽取到的两张卡片内容一致的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：①此次共调查了人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为；
②类的人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
故答案为：；；
【分析】
（1）①根据样本容量=频数÷百分比并结合条形图和扇形图的信息可求得调查的总人数；根据扇形图中圆心角的度数=×类所占的比例即可求得圆心角度数；
②根据样本容量=各小组频数之和可求出类的人数，再补全条形统计图即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式计算即可求解．
（1）解：①此次共调查了人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为；
②类的人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
故答案为：；；
（2）解：画出树状图如下：
，
由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有，
∴抽取到的两张卡片内容一致的概率为．
21．（2025·绵阳模拟）某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．计划用元采购种饰品，元采购种饰品，采购的种饰品件数恰好是种饰品件数的倍，种的进价比种的进价每件多元，两种饰品的售价均为每件元；计划采购这两种饰品共件，采购种的件数不低于件，不超过种件数的倍．
（1）求，饰品每件的进价分别为多少元？
（2）因商铺长期与厂家合作，厂家决定对商铺本次采购种饰品按进价折优惠．设购进种饰品件，
①求的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
【答案】（1）解：设种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元，
由题意，得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解且符合题意，
∴，
答：种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元；
（2）解；①依题意，
得：，
解得：，
购进种饰品件数的取值范围为且为整数；
②设采购种饰品件时的总利润为元，
则，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值是：（元），
即当采购种饰品件，种饰品件时，商铺获利最大，最大利润为元．
【知识点】一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元，利用数量总价单价，根据“用元采购种饰品，元采购种饰品，采购的种饰品件数恰好是种饰品件数的倍”即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可求解；
（2）①根据“计划采购这两种饰品共件，采购种的件数不低于件，不超过种件数的倍”列不等式组，解不等式组可求解；
②设采购种饰品件时的总利润为元，根据“总利润每件种饰品的利润数量每件种饰品的利润数量”可列出关于的函数关系式，再根据一次函数的性质即可求解．
（1）解：设种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解且符合题意，
∴，
答：种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元；
（2）①依题意，得：，
解得：，
购进种饰品件数的取值范围为且为整数；
②设采购种饰品件时的总利润为元，
则，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值是：（元），
即当采购种饰品件，种饰品件时，商铺获利最大，最大利润为元．
22．（2025·绵阳模拟）如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点E，F，连接．
（1）求证：
（2）延长交于点G，若平分，试问：与相等吗？并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△AEB和△CFD中
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：相等，理由如下：
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
（1）由平行四边形的性质并用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得BE=DF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由平行四边形的对边平行可得，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”即可求证；
（2）由角平分线得到，由平行四边形得到，，则，由三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得，结合已知可得∠BFG=∠FBG，然后根据等角对等边即可证明．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：相等，理由如下：
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
23．（2025·绵阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上．
（1）如图，若直线的解析式为，点，求点的坐标；
（2）如图，以为边作矩形，点、的坐标分别是、，求的值．
【答案】（1）解：∵点在反比例函数的图象上和直线：上，
∴，
∴，
∴，
此时反比例函数的解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
即点的坐标为；
（2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，
∴，，，
∵四边形是矩形，、，
∴，，，
∴线段向左平移个单位，再向上平移个单位得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴①，
又∵、在反比例函数的图象上，
∴，
∴②，
联立方程①、②，得：，
解得：，
∴，
即的值为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由题意，将点代入一次函数的解析式可得关于a的方程，解方程可求出a的值，可得点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式可求得k的值，然后将一次函数和反比例函数的解析式联立解方程组即可求解；
（2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，根据矩形的性质及平移的性质得，，，，，，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式可得关于m、n的方程，即①，再根据函数图象上点的坐标特征得，推出②，将方程①、②联立解方程组求出m、n的值，然后用待定系数法即可求解．
（1）解：∵点在反比例函数的图象上和直线：上，
∴，
∴，
∴，
此时反比例函数的解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
即点的坐标为；
（2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，
∴，，，
∵四边形是矩形，、，
∴，，，
∴线段向左平移个单位，再向上平移个单位得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴①，
又∵、在反比例函数的图象上，
∴，
∴②，
联立方程①、②，得：，
解得：，
∴，
即的值为．
24．（2025·绵阳模拟）如图，是的外接圆，点是的中点，连接交于点，点是延长线上一点，，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）如图，延长交于点，点恰好是的内心．
①求证：；
②若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵所对的圆心角为，圆周角为，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）①证明：∵点是的内心，
∴平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
②)解：∵，，，，
∴，
∴，即，
设，则，，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴或（负值不符合题意，舍去），
∴．
【知识点】圆的综合题；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由等边对等角得，由三角形内角和定理可得，再根据圆周角定理得，即，结合角的和差可得∠OBF=90°，根据圆的切线的判定即可得证；
（2）①根据三角形内心的定义可得，由角的和差和三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得，然后根据等角对等边即可得证；
②)由题意，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，把比例式化为乘积式可得，设，则，，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，在中，，则，，则，同理可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，把比例式化为乘积式得，将已知条件代入乘积式计算即可求解．
（1）证明：∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵所对的圆心角为，圆周角为，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）①证明：∵点是的内心，
∴平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
②)解：∵，，，，
∴，
∴，即，
设，则，，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴或（负值不符合题意，舍去），
∴．
25．（2025·绵阳模拟）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直线与轴交于点，与轴交于点，与抛物线交于两点（点在点的左侧），连接，，求的面积；
（3）在（2）的条件下，为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点作交轴于点，过点作于，试问：是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：将代入得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式：；
（2）解：当函数值为0时，
即，
解得：，
∴，
∵直线与轴交于点，
∴，
由可假设，
，
解得或（舍去），
，
将代入得：
，
解得，
∴，
当直线函数值为0时，即，
解得，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
假设，，
由勾股定理得：，
∴
即
整理得：
解得：或（舍去）
∴，，，
抛物线对称轴为直线，
设，因为在抛物线上，所以，
过作轴于，则，，，
①当时，以点为顶点的三角形与相似，
此时，
当点在轴下方时，，解得或（舍去）
∴；
当点在轴上方时，，解得或（舍去）
∴；
②当时，以点为顶点的三角形与相似，
此时，
当点在轴下方时，，解得或（舍去）
∴；
当点在轴上方时，，解得（舍去）或（舍去）
综上，、或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）由题意，令二次函数的解析式中y=0可得关于x的一元二次方程，解这个方程可得B、D两点的坐标，由可假设，，根据可得关于a的方程，解方程求出a的值，即可得点F的坐标，把点F的坐标代入直线y=kx+1可求得k的值，令直线解析式中y=0可得关于x的一元一次方程，解方程可求得N的坐标，然后用三角形面积公式即可求解；
（3）假设，利用勾股定理求得，，，由题意分两种情况：①当∠KAP=∠NBM，结合已知根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△KAP∽△NBM，由相似三角形的对应边成比例可得比例式，结合已知和比例式可得关于m的方程，解方程可求解；
②当∠KAP=∠BNM，同理可得比例式求解．
（1）解：将代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式；
（2）解：当函数值为0时，
即，
解得，
∴，
∵直线与轴交于点，
∴，
由可假设，
，
解得或（舍去），
，
将代入得：
，
解得，
∴，
当直线函数值为0时，即，
解得，
，
；
（3）解：存在，理由如下
假设，，
由勾股定理得，
∴
即
整理得
解得或（舍去）
∴，，，
抛物线对称轴为直线，
设，因为在抛物线上，所以，
过作轴于，则，，，
①当时，以点为顶点的三角形与相似，
此时，
当点在轴下方时，，解得或（舍去）
∴；
当点在轴上方时，，解得或（舍去）
∴；
②当时，以点为顶点的三角形与相似，
此时，
当点在轴下方时，，解得或（舍去）
∴；
当点在轴上方时，，解得（舍去）或（舍去）
综上，、或．
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