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浙江省丽水市莲都区2025年中考二模数学试题
1．（2025·莲都模拟）物资仓库某天运进物资5吨，运出物资3吨，若记运进物资为“”，运出物资为“”，则该仓库当天物资变化的结果可表示为（　　）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
2．（2025·莲都模拟）2025年2月，中国初创公司在人工智能领域掀起了一场风暴．据AI分析平台发布的报告显示，2月的网站访问量达到了525000000次，数据525000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·莲都模拟）下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·莲都模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·莲都模拟）如图是丽水市区某周周一到周五的气温变化情况统计图，下列说法正确的是（　　）
A．这周周一到周五，温差最大的是周四
B．这五天中，主要以多云为主
C．从周一到周五，气温在不断下降
D．这五天中，最高气温大于25度的有四天
6．（2025·莲都模拟）已知是方程的一个根，则代数式的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
7．（2025·莲都模拟）如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·莲都模拟）平面直角坐标系中，线段经过平移得到线段，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·莲都模拟）已知点与点都在反比例函数的图像上，则下列说法中一定正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025·莲都模拟）如图，在中，点是BC延长线上一点，．设，，当为定值时，无论的值如何变化，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·莲都模拟）因式分解： 　 　.
12．（2025·莲都模拟）动车组列车的普通坐席位置通常用五个字母表示，其中代表靠窗坐席，小莲随机购买了一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位置的概率为　 　．
13．（2025·莲都模拟）如图，中，，以为直径作，与边相切于点，与相交于点，则图中的长是　 　．
14．（2025·莲都模拟）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文是：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为天，则根据题意可列方程为　 　．
15．（2025·莲都模拟）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为　 　．
16．（2025·莲都模拟）如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线 交于点，交于点，把四边形沿着翻折得到四边形．若，且，则与的面积比为　 　．
17．（2025·莲都模拟）计算：．
18．（2025·莲都模拟）解不等式组
19．（2025·莲都模拟）如图，已知中，，过点作，交于点．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
20．（2025·莲都模拟）清明节是中国的传统节日，民间有吃清明果的习俗．今年清明节前，某校七、八年级开展了一次“包清明果”的实践活动，每个班级选送成品参加评比，按10分制进行评分．七年级所有班级的评分数据分别为7.5，7.5，8，8，8，8，8.5，9，9，9，9.5，10；八年级所有班级的评分数据如条形统计图（图1）所示，两个年级的评分数据经计算后整理成统计表（图2）。
平均分（分） 众数（分） 中位数（分） 方差（分2）
七年级 8 8.25 7
八年级 8.5 8.5 4
（1）求出统计表中的值；
（2）根据表中数据，你认为哪个年级的活动效果更好？请说明理由．
21．（2025·莲都模拟）共享电动车作为绿色便捷的交通工具，为短程出行带来很大的便利．如图反映了两种品牌共享电动车的收费元)与骑行时间（分）之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）当时，求关于的函数关系式；
（2）小莲每天早上需骑共享电动车到单位上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300米／分，小莲家到单位的路程为4500米，问小莲选择这两种品牌共享电动车中的哪种骑行去单位会更省钱？省多少？
22．（2025·莲都模拟）如图，中，分别以为圆心，大于线段一半的长为半径画弧，相交于两点，过作直线交于点，连接．点是的中点，连接并延长至点，使，连接，已知．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的周长．
23．（2025·莲都模拟）已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差；
（3）已知点在该二次函数的图象上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围．
24．（2025·莲都模拟）如图，四边形内接于是直径，平分，与相交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的值；
（3）过点A作的垂线，交的延长线于点，过点分别作，交点为，延长交于点，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
所以该仓库当天物资变化的结果可表示为吨，
故答案为：C．
【分析】由题意，根据有理数加法法则“异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”计算，根据计算结果并结合题意“运进物资为“”，运出物资为“””即可判断求解．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图、俯视图都是正方形，故A不符合题意；
B、主视图、俯视图都是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形、俯视图是圆形，故C符合题意；
D、主视图、俯视图都是圆，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，并结合各选项可判断求解．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项的概念；幂的乘方运算
【解析】【解答】A．与不是同类项，不能合并，
∴此选项不符合题意；
B．，
∴此选项不符合题意；
C．，
∴此选项不符合题意；
D．，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知a2和a不是同类项，所以不能合并；
B、根据同底数幂的除法法则"同底数幂相除，底数不变，指数相减"可求解；
c 、根据幂的乘方法则"幂的乘方，底数不变，指数相乘"可求解；
D、根据同底数幂的乘法法则"同底数幂相乘，底数不变，指数相加"可求解．
5．【答案】C
【知识点】统计表
【解析】【解答】解：A、周一温差为，周二温差为，周三温差为，周四温差为，周五温差为，
∴这周周一到周五，温差最大的是周一，
∴此选项不符合题意；
B、这五天中，小雨有三天，多云有两天，则主要以小雨为主，
∴此选项不符合题意；
C、从周一到周五，气温在不断下降，
∴此选项符合题意；
D、这五天中，最高气温大于25度的有周一、二、三，共3天，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】从统计图中获取信息，依次分析即可判断求解．
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由题意，把x=a代入原方程可得，将所求代数式变形得：，然后整体代换即可求解．
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据题意可得五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，由正五边形内角和可求得，再由三角形内角和定理求得，然后根据三角形内角和等于180度可求解.
8．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点的对应点的坐标为，
∴点B的对应点的坐标是．
故答案为：A．
【分析】根据点A平移后的坐标可知：横坐标加上2，纵坐标减去3，结合点A的平移特点即可求解．
9．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴反比例函数图象在第一、三象限，，
∴点A、B在第一象限，
∴，
∴解不等式组得，
∴此选项不符合题意；
B、∵，
∴反比例函数图象在第一、三象限，，，
∴点A、B在第三象限，
∴，
∴解不等式组得，
∴此选项不符合题意；
C、∵，
∴反比例函数图象在第二、四象限，，，
∴点均在第四象限，
∴，
解得：，
∴此选项不符合题意；
D、∵，
∴反比例函数图象在第二、四象限，，，
∴点在第二象限，点在第四象限，
∴，
解得，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征并结合反比例函数的性质可列不等式组，解不等式组即可判断求解．
10．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；平行四边形的性质；数形结合
【解析】【解答】解：过作于，
设，，则为定值，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
整理得，
∴为定值，
故答案为：B．
【分析】过作于，设，，则为定值，由平行四边形的对边相等可得，由等腰三角形的三线合一可得，由线段的和差可得，再由勾股定理可得，代入计算即可求解．
11．【答案】（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】观察此多项式的特点：含有；两项，都能写成平方形式，两项的符号相反，由此利用平方差公式分解因式。
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中坐席是靠窗位置的结果有2种，
∴随机购买一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位置的概率为．
故答案为：．
【分析】由题意知，共有5种等可能的结果，其中坐席是靠窗位置的结果有2种，然后用概率公式计算可求解．
13．【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，如图，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴的长，
故答案为：．
【分析】连接，由园的切线垂直于经过切点的半径可得，根据得，由圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”可得，然后根据弧长公式“”计算即可求解．
14．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，，
故答案为：．
【分析】根据题意可得：慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度-慢马的速度×2即可列出关于x的方程．
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长交于点G，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的平分线交于点F，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则．
故选：．
【分析】延长交于点G，可证，得，得出，由题意，根据"平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似"可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知求出EG的值，然后根据线段的和差=DG-DE=EG即可求解．
16．【答案】
【知识点】解直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G，设交于T，
∵，
∴可设，
∵矩形的对角线相交于点，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，，
∴；
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
设，则，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在△OAE和△OCF中
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G，设交于T，设，由勾股定理可将AC用含a的代数式表示出来，解直角三角形可得，在R据△HOV中，根据sin∠OCH=可将OH用含a的代数式表示出来；由折叠的性质可得，再根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的对边相等可得；设，则，则，解得到，则，整理可将b用含a的代数式表示出来，；结合已知，用角角边可得，于是，再根据三角形的面积公式计算即可求解．
17．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得，由算术平方根的意义可得，由特殊角的三角函数值可得，然后再根据有理数的加减法则计算即可求解．
18．【答案】解：，
由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解是：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】由题意，先分别求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”即可求解．
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
设CD为，则为，
∵，
∴，
解得，
∴．
（2）解：作，垂足为点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】
（1）由锐角三角函数sin∠B=可设CD为，则为，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解；
（2）作，垂足为点，由锐角三角函数sin∠B=求出的值，根据线段的和差=AD+DH求出AH的值，然后根据正切的定义tan∠A=即可求解．
（1）解：∵，
∴，
设CD为，则为，
∵，
∴，
解得，
∴．
（2）作，垂足为点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：
12个数据中按大小顺序排列，最中间的两个是第6，7个，即8.5，8.5，
∴．
（2）解：从平均数看，七、八年级成绩相当；从众数与中位数看，八年级更好；
从方差看，八年级方差小，各班级差距更小，
综合可得：八年级的活动效果更好．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【分析】
（1）根据加权平均数的计算公式和中位数的意义并结合题意即可求解；
（2）根据平均数或中位数或众数的意义并结合表格中的信息分析即可判断求解．
（1）解：
12个数据中按大小顺序排列，最中间的两个是第6，7个，即8.5，8.5，
∴．
（2）解：从平均数看，七、八年级成绩相当；从众数与中位数看，八年级更好；从方差看，八年级方差小，各班级差距更小，综合来说八年级的活动效果更好．
21．【答案】（1）解：当时，设，
由条件可知，解得，
所以；
（2）解：设，由条件可知，
解得，所以．
因为，
所以（元），
（元），
（元），
∴小莲选择A品牌共享电动车骑行更省钱，省1元．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）根据小莲家到单位的距离和共享单车的速度可以求出小莲家到单位需要的时间，再根据两种共享单车的收费标准分别计算出两种共享单车所需要的费用，再求出两种费用之差即可判断求解．
（1）解：当时，设，
由条件可知，解得，
所以；
（2）解：设，由条件可知，
解得，所以．
因为，
所以（元），
（元），
（元），
所以小莲选择A品牌共享电动车骑行更省钱，省1元．
22．【答案】（1）解：由作图可知，
∵点是的中点，
∴，且，
又∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：由（1）得四边形是菱形，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴tan∠DAE==，
∴，
∴，
∴菱形的周长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定；三角形的中位线定理；已知正弦值求边长
【解析】【分析】
（1）由作图可知，则由三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，且，于是，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，然后再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形是菱形；
（2）由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求出，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，由等边三角形的各边都相等可得，则，可证明，则，根据tan∠DAE=可求得DE的值，由求出EF的值，再由菱形的周长等于各边之和可求解．
（1）解：由作图可知，
∵点是的中点，
∴，且，
又∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：由（1）得四边形是菱形，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的周长为．
23．【答案】（1）解：∵对称轴为直线，
∴设，
∵图象经过点，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为：；
（2）解：∵点到轴的距离不大于2，
∴，
∵该函数二次项系数为1大于0，
∴当时，有最小值1；
∵横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1，
∴当时，取得最大值为，
∵，
∴的最大值与最小值之差为9；
（3）解：二次函数图象的对称轴为直线，
①若点在轴的左侧，点在轴的右侧，
∴，
解得：，
∵恒成立，
∴，
解得：，
∴．
②若点在轴的右侧，点在轴的左侧，
∴，
解得：，
∵恒成立，所以，
解得：，
∴，
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）由题意先设二次函数的表达式为顶点式，然后把代入可得关于k的方程，解方程即可求解；
（2）由题意得，由于开口向上，那么当时，有最小值1；由于横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1，则当时，取得最大值，即可求解；
（3）①若点在轴的左侧，点在轴的右侧，则，由于恒成立，所以，再分别解不等式和不等式组；②若点在轴的右侧，点在轴的左侧，则，由于恒成立，则，再分别解不等式和不等式组即可求解．
（1）解：因为对称轴为直线，
所以设，
因为图象经过点，
所以，
解得，
所以二次函数的表达式为；
（2）解：因为点到轴的距离不大于2，所以，
因为该函数二次项系数为1大于0，
所以当时，有最小值1；
因为横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1，
所以当时，取得最大值为，
因为，
所以的最大值与最小值之差为9；
（3）解：二次函数图象的对称轴为直线，
①若点在轴的左侧，点在轴的右侧，
所以，解得：，
因为恒成立，所以，解得，
所以．
②若点在轴的右侧，点在轴的左侧，
所以，解得：，
因为恒成立，所以，解得，
所以，
综上所述，的取值范围是或．
24．【答案】（1）解：∵是直径，
∴.
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；

（2）解：设，
∵
∴在等腰中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴为等腰直角三角形，
作，交于点，
由（1）得，
∵，
∴，
在△BGA和△CAD中
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
在△BKH和△DCE中
∴，
∴．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据角平分线的定义得，然后根据等腰三角形的性质得，最后根据同弧所对的圆周角相等得；
（2）先设，再求出，由题意，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，根据相似三角形的性质可得比例式，由比例式 可将AE用含k的代数式表示出来，由线段的和差可将CE用含k的代数式表示出来，然后将CE、AE代入所求代数式计算即可求解；
（3）由题意，易得为等腰直角三角形，作，交FG于点，由题意，根据“边角边”可得，由全等三角形的对应边相等可得，然后再用角角边可得，再根据全等三角形的对应边相等可求解．
（1）解：因为是直径，
所以.
因为平分，
所以，
因为，
所以，
所以；
（2）解：设，
因为
所以在等腰中，，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以；
（3）解：因为，
所以为等腰直角三角形，
作，交于点，
由（1）得，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为
所以，
所以，
所以，
因为
所以，
所以，
所以，
所以．
1 / 1浙江省丽水市莲都区2025年中考二模数学试题
1．（2025·莲都模拟）物资仓库某天运进物资5吨，运出物资3吨，若记运进物资为“”，运出物资为“”，则该仓库当天物资变化的结果可表示为（　　）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
所以该仓库当天物资变化的结果可表示为吨，
故答案为：C．
【分析】由题意，根据有理数加法法则“异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”计算，根据计算结果并结合题意“运进物资为“”，运出物资为“””即可判断求解．
2．（2025·莲都模拟）2025年2月，中国初创公司在人工智能领域掀起了一场风暴．据AI分析平台发布的报告显示，2月的网站访问量达到了525000000次，数据525000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
3．（2025·莲都模拟）下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图、俯视图都是正方形，故A不符合题意；
B、主视图、俯视图都是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形、俯视图是圆形，故C符合题意；
D、主视图、俯视图都是圆，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，并结合各选项可判断求解．
4．（2025·莲都模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项的概念；幂的乘方运算
【解析】【解答】A．与不是同类项，不能合并，
∴此选项不符合题意；
B．，
∴此选项不符合题意；
C．，
∴此选项不符合题意；
D．，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知a2和a不是同类项，所以不能合并；
B、根据同底数幂的除法法则"同底数幂相除，底数不变，指数相减"可求解；
c 、根据幂的乘方法则"幂的乘方，底数不变，指数相乘"可求解；
D、根据同底数幂的乘法法则"同底数幂相乘，底数不变，指数相加"可求解．
5．（2025·莲都模拟）如图是丽水市区某周周一到周五的气温变化情况统计图，下列说法正确的是（　　）
A．这周周一到周五，温差最大的是周四
B．这五天中，主要以多云为主
C．从周一到周五，气温在不断下降
D．这五天中，最高气温大于25度的有四天
【答案】C
【知识点】统计表
【解析】【解答】解：A、周一温差为，周二温差为，周三温差为，周四温差为，周五温差为，
∴这周周一到周五，温差最大的是周一，
∴此选项不符合题意；
B、这五天中，小雨有三天，多云有两天，则主要以小雨为主，
∴此选项不符合题意；
C、从周一到周五，气温在不断下降，
∴此选项符合题意；
D、这五天中，最高气温大于25度的有周一、二、三，共3天，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】从统计图中获取信息，依次分析即可判断求解．
6．（2025·莲都模拟）已知是方程的一个根，则代数式的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由题意，把x=a代入原方程可得，将所求代数式变形得：，然后整体代换即可求解．
7．（2025·莲都模拟）如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据题意可得五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，由正五边形内角和可求得，再由三角形内角和定理求得，然后根据三角形内角和等于180度可求解.
8．（2025·莲都模拟）平面直角坐标系中，线段经过平移得到线段，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点的对应点的坐标为，
∴点B的对应点的坐标是．
故答案为：A．
【分析】根据点A平移后的坐标可知：横坐标加上2，纵坐标减去3，结合点A的平移特点即可求解．
9．（2025·莲都模拟）已知点与点都在反比例函数的图像上，则下列说法中一定正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴反比例函数图象在第一、三象限，，
∴点A、B在第一象限，
∴，
∴解不等式组得，
∴此选项不符合题意；
B、∵，
∴反比例函数图象在第一、三象限，，，
∴点A、B在第三象限，
∴，
∴解不等式组得，
∴此选项不符合题意；
C、∵，
∴反比例函数图象在第二、四象限，，，
∴点均在第四象限，
∴，
解得：，
∴此选项不符合题意；
D、∵，
∴反比例函数图象在第二、四象限，，，
∴点在第二象限，点在第四象限，
∴，
解得，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征并结合反比例函数的性质可列不等式组，解不等式组即可判断求解．
10．（2025·莲都模拟）如图，在中，点是BC延长线上一点，．设，，当为定值时，无论的值如何变化，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；平行四边形的性质；数形结合
【解析】【解答】解：过作于，
设，，则为定值，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
整理得，
∴为定值，
故答案为：B．
【分析】过作于，设，，则为定值，由平行四边形的对边相等可得，由等腰三角形的三线合一可得，由线段的和差可得，再由勾股定理可得，代入计算即可求解．
11．（2025·莲都模拟）因式分解： 　 　.
【答案】（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】观察此多项式的特点：含有；两项，都能写成平方形式，两项的符号相反，由此利用平方差公式分解因式。
12．（2025·莲都模拟）动车组列车的普通坐席位置通常用五个字母表示，其中代表靠窗坐席，小莲随机购买了一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位置的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中坐席是靠窗位置的结果有2种，
∴随机购买一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位置的概率为．
故答案为：．
【分析】由题意知，共有5种等可能的结果，其中坐席是靠窗位置的结果有2种，然后用概率公式计算可求解．
13．（2025·莲都模拟）如图，中，，以为直径作，与边相切于点，与相交于点，则图中的长是　 　．
【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，如图，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴的长，
故答案为：．
【分析】连接，由园的切线垂直于经过切点的半径可得，根据得，由圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”可得，然后根据弧长公式“”计算即可求解．
14．（2025·莲都模拟）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文是：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为天，则根据题意可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，，
故答案为：．
【分析】根据题意可得：慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度-慢马的速度×2即可列出关于x的方程．
15．（2025·莲都模拟）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长交于点G，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的平分线交于点F，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则．
故选：．
【分析】延长交于点G，可证，得，得出，由题意，根据"平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似"可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知求出EG的值，然后根据线段的和差=DG-DE=EG即可求解．
16．（2025·莲都模拟）如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线 交于点，交于点，把四边形沿着翻折得到四边形．若，且，则与的面积比为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G，设交于T，
∵，
∴可设，
∵矩形的对角线相交于点，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，，
∴；
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
设，则，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在△OAE和△OCF中
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G，设交于T，设，由勾股定理可将AC用含a的代数式表示出来，解直角三角形可得，在R据△HOV中，根据sin∠OCH=可将OH用含a的代数式表示出来；由折叠的性质可得，再根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的对边相等可得；设，则，则，解得到，则，整理可将b用含a的代数式表示出来，；结合已知，用角角边可得，于是，再根据三角形的面积公式计算即可求解．
17．（2025·莲都模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得，由算术平方根的意义可得，由特殊角的三角函数值可得，然后再根据有理数的加减法则计算即可求解．
18．（2025·莲都模拟）解不等式组
【答案】解：，
由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解是：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】由题意，先分别求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”即可求解．
19．（2025·莲都模拟）如图，已知中，，过点作，交于点．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
设CD为，则为，
∵，
∴，
解得，
∴．
（2）解：作，垂足为点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】
（1）由锐角三角函数sin∠B=可设CD为，则为，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解；
（2）作，垂足为点，由锐角三角函数sin∠B=求出的值，根据线段的和差=AD+DH求出AH的值，然后根据正切的定义tan∠A=即可求解．
（1）解：∵，
∴，
设CD为，则为，
∵，
∴，
解得，
∴．
（2）作，垂足为点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（2025·莲都模拟）清明节是中国的传统节日，民间有吃清明果的习俗．今年清明节前，某校七、八年级开展了一次“包清明果”的实践活动，每个班级选送成品参加评比，按10分制进行评分．七年级所有班级的评分数据分别为7.5，7.5，8，8，8，8，8.5，9，9，9，9.5，10；八年级所有班级的评分数据如条形统计图（图1）所示，两个年级的评分数据经计算后整理成统计表（图2）。
平均分（分） 众数（分） 中位数（分） 方差（分2）
七年级 8 8.25 7
八年级 8.5 8.5 4
（1）求出统计表中的值；
（2）根据表中数据，你认为哪个年级的活动效果更好？请说明理由．
【答案】（1）解：
12个数据中按大小顺序排列，最中间的两个是第6，7个，即8.5，8.5，
∴．
（2）解：从平均数看，七、八年级成绩相当；从众数与中位数看，八年级更好；
从方差看，八年级方差小，各班级差距更小，
综合可得：八年级的活动效果更好．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【分析】
（1）根据加权平均数的计算公式和中位数的意义并结合题意即可求解；
（2）根据平均数或中位数或众数的意义并结合表格中的信息分析即可判断求解．
（1）解：
12个数据中按大小顺序排列，最中间的两个是第6，7个，即8.5，8.5，
∴．
（2）解：从平均数看，七、八年级成绩相当；从众数与中位数看，八年级更好；从方差看，八年级方差小，各班级差距更小，综合来说八年级的活动效果更好．
21．（2025·莲都模拟）共享电动车作为绿色便捷的交通工具，为短程出行带来很大的便利．如图反映了两种品牌共享电动车的收费元)与骑行时间（分）之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）当时，求关于的函数关系式；
（2）小莲每天早上需骑共享电动车到单位上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300米／分，小莲家到单位的路程为4500米，问小莲选择这两种品牌共享电动车中的哪种骑行去单位会更省钱？省多少？
【答案】（1）解：当时，设，
由条件可知，解得，
所以；
（2）解：设，由条件可知，
解得，所以．
因为，
所以（元），
（元），
（元），
∴小莲选择A品牌共享电动车骑行更省钱，省1元．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）根据小莲家到单位的距离和共享单车的速度可以求出小莲家到单位需要的时间，再根据两种共享单车的收费标准分别计算出两种共享单车所需要的费用，再求出两种费用之差即可判断求解．
（1）解：当时，设，
由条件可知，解得，
所以；
（2）解：设，由条件可知，
解得，所以．
因为，
所以（元），
（元），
（元），
所以小莲选择A品牌共享电动车骑行更省钱，省1元．
22．（2025·莲都模拟）如图，中，分别以为圆心，大于线段一半的长为半径画弧，相交于两点，过作直线交于点，连接．点是的中点，连接并延长至点，使，连接，已知．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的周长．
【答案】（1）解：由作图可知，
∵点是的中点，
∴，且，
又∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：由（1）得四边形是菱形，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴tan∠DAE==，
∴，
∴，
∴菱形的周长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定；三角形的中位线定理；已知正弦值求边长
【解析】【分析】
（1）由作图可知，则由三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，且，于是，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，然后再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形是菱形；
（2）由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求出，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，由等边三角形的各边都相等可得，则，可证明，则，根据tan∠DAE=可求得DE的值，由求出EF的值，再由菱形的周长等于各边之和可求解．
（1）解：由作图可知，
∵点是的中点，
∴，且，
又∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：由（1）得四边形是菱形，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的周长为．
23．（2025·莲都模拟）已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差；
（3）已知点在该二次函数的图象上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵对称轴为直线，
∴设，
∵图象经过点，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为：；
（2）解：∵点到轴的距离不大于2，
∴，
∵该函数二次项系数为1大于0，
∴当时，有最小值1；
∵横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1，
∴当时，取得最大值为，
∵，
∴的最大值与最小值之差为9；
（3）解：二次函数图象的对称轴为直线，
①若点在轴的左侧，点在轴的右侧，
∴，
解得：，
∵恒成立，
∴，
解得：，
∴．
②若点在轴的右侧，点在轴的左侧，
∴，
解得：，
∵恒成立，所以，
解得：，
∴，
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）由题意先设二次函数的表达式为顶点式，然后把代入可得关于k的方程，解方程即可求解；
（2）由题意得，由于开口向上，那么当时，有最小值1；由于横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1，则当时，取得最大值，即可求解；
（3）①若点在轴的左侧，点在轴的右侧，则，由于恒成立，所以，再分别解不等式和不等式组；②若点在轴的右侧，点在轴的左侧，则，由于恒成立，则，再分别解不等式和不等式组即可求解．
（1）解：因为对称轴为直线，
所以设，
因为图象经过点，
所以，
解得，
所以二次函数的表达式为；
（2）解：因为点到轴的距离不大于2，所以，
因为该函数二次项系数为1大于0，
所以当时，有最小值1；
因为横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1，
所以当时，取得最大值为，
因为，
所以的最大值与最小值之差为9；
（3）解：二次函数图象的对称轴为直线，
①若点在轴的左侧，点在轴的右侧，
所以，解得：，
因为恒成立，所以，解得，
所以．
②若点在轴的右侧，点在轴的左侧，
所以，解得：，
因为恒成立，所以，解得，
所以，
综上所述，的取值范围是或．
24．（2025·莲都模拟）如图，四边形内接于是直径，平分，与相交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的值；
（3）过点A作的垂线，交的延长线于点，过点分别作，交点为，延长交于点，求证：．
【答案】（1）解：∵是直径，
∴.
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；

（2）解：设，
∵
∴在等腰中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴为等腰直角三角形，
作，交于点，
由（1）得，
∵，
∴，
在△BGA和△CAD中
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
在△BKH和△DCE中
∴，
∴．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据角平分线的定义得，然后根据等腰三角形的性质得，最后根据同弧所对的圆周角相等得；
（2）先设，再求出，由题意，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，根据相似三角形的性质可得比例式，由比例式 可将AE用含k的代数式表示出来，由线段的和差可将CE用含k的代数式表示出来，然后将CE、AE代入所求代数式计算即可求解；
（3）由题意，易得为等腰直角三角形，作，交FG于点，由题意，根据“边角边”可得，由全等三角形的对应边相等可得，然后再用角角边可得，再根据全等三角形的对应边相等可求解．
（1）解：因为是直径，
所以.
因为平分，
所以，
因为，
所以，
所以；
（2）解：设，
因为
所以在等腰中，，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以；
（3）解：因为，
所以为等腰直角三角形，
作，交于点，
由（1）得，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为
所以，
所以，
所以，
因为
所以，
所以，
所以，
所以．
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