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2025年山西省初中学业水平测试信息卷
数学
注意事项：
1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回．
5．本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印！如若发现，必追究法律责任！
第I卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国西汉时期的《九章算术》中就引入了负数． 若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗） 记为斗，那么损实5斗（减少5斗） 记为（ ）
A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗
2. 2025年春节假期，历史文化类景区和博物馆类景区的旅游热度同比增长超过，这表明越来越多的游客选择在寒假期间走进博物馆，感受历史文化的魅力．下列是我国一些博物馆的标志，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 截至2025年2月14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2000万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2000万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，是的直径，弦交于点，连接，，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点关于x轴的对称点坐标是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，一把直尺的边缘经过一块三角板的直角顶点，交斜边于点，直尺的边缘分别交，于点，，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关后，移动滑动变阻器的滑片，电流与电阻成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点的坐标为，则电源电压为（提示：）（ ）
A B. C. D.
9. 如图，点从矩形顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时，的面积随时间变化的关系图象是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置 ，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____．
12. 直线沿x轴向右平移2个单位，则平移后的直线与x轴、y轴所围成的三角形面积为 __________________．
13. 如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点．，点是上的动点，则的最小值为______．
14. 3月14日是国际数学节．我校在今年国际数学节策划了“数字华容道”、“汉诺塔”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是______．
15. 如图，在边长为4的菱形中，，是上的一点，将沿翻折得到，交于点．若，则的值为________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16 （1）计算：；
（2）化简：．
17. 先化简，再求值：，其中．
18. 为增强学生国家安全意识，激发爱国情怀，某市举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．小明将自己所在班级学生的成绩（用表示）分为四组：A组，组，组，组，绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全学生成绩的频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，组所对应圆心角度数为_______°，本班成绩的中位数落在_______组；
（3）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如组：的中间值为65）来代替，求小明班级的平均成绩；
（4）根据小明班的成绩，估计全市参加竞赛的8000名学生中成绩不低于80分的人数．
19. 学校决定购买A，B两种型号电脑，若购买A型电脑3台，B型电脑8台共需40000元；若购买A型电脑14台，B型电脑4台共需80000元．
（1）求A，B两种型号电脑每台多少元？
（2）若用不超过160000元去购买A，B两种型号电脑共45台，则最多可购买A型电脑多少台？
20. 如图①是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图②是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为，她沿水平方向向左行走122m到达点D，再沿着坡度的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走40m到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内），求摩天轮的高度．（结果保留整数）（参考数据：，，）
21. 数学兴趣小组对以下尺规作图问题进行了研究．
已知：如图，及外一点P．求作：直线，使与相切于点B．
李华同学经过探索，想出了两种作法，具体如下（已知点B是直线上方一点）：
作法一（如图1）： 作法二（如图2）：
①连接，作线段的垂直平分线，交于点A； ②以点A为圆心，以的长为半径作， 交于点B；③作直线，则直线是的切线． ①连接，交于点M，过点M作的垂线；②以点O为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点Q；③连接，交于点B；④作直线，则直线是的切线．
证明：如图1，为直径， ．（&&） ． 是的半径， ∴直线是的切线． 证明：
请仔细阅读，并完成相应的任务．
（1）“作法一”中的“依据”是指___________．
（2）请写出“作法二”的证明过程．
22. 综合与实践
【问题背景】
菱形作为装饰图案，相环相连取，有高贵、稳重、延绵不断的意思．菱形最早只是青铜器和陶器的装饰纹样，到后来，菱形不仅具有整齐划一的特点，而且绵延丰富．更重要的是，后世的菱形具有吉祥的寓意，在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了关于菱形的探究活动．
【基础训练】
（1）如图1．在菱形中，于点，于点．求证：；
【类比迁移】
（2）如图2，在菱形中，为上一点，为上一点，．延长交延长线于点．求证：；
【拓展应用】
（3）如图3，在菱形中．，为上一点．延长交的延长线于点，连接，延长交于点，已知，求的度数，并直接写出的值．（用含的式子表示）
23. 如图1，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为P，求四边形的面积；
（3）如图2，点M从点C出发，沿的方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时点N从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
①当是直角三角形时，求t的值；
②在M、N运动的过程中，抛物线上存在点Q，使四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．

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