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2025年春季湖南省初中学业水平考试成龙大联考（四）数学
考生注意：
1.本试卷共三大题，满分120分，考试时量120分钟.
2.请将答案全部填入答题卡相应位置，直接在本试卷上作答无效.
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如果，那么（ ）
A. B. C. D.
2. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 面积相等的三角形全等
C. 如果，那么 D. 三角形一个外角大于任何一个不相邻的内角
3. 下列运算正确是（ ）
A. B.
C. D.
4. 篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，则该材料对应几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 在半径为的中，的圆心角所对的弧长是（ ）
A. B. C. D.
6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A B. 36 C. D. 9
7. 甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
A. 甲 B. C. 丙 D. 丁
8. 如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
9. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A. 当时， B. Q随I的增大而增大
C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
10. 定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（ ）
①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或．
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分.
11. 代数式有意义，则x的取值范围是_____．
12. 如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为______．
13. 不等式组的解集为_____.
14. 如图，是直线外一点，按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径作弧，交直线于点，；
②分别以点、点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；
③作直线交于点．
若，，则四边形的面积为_____．
15. 如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数的图像经过点B，则k的值是_____．
16. 小华有两件上衣，分别为蓝色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，他随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，则上衣和裤子不同色的概率是______．
17. 如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则______．
18. 如图，正方形的边长为为对角线上一动点，以为斜边向右作等腰，连接，则周长的最小值为___________．
三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 如图，四边形为矩形，过点作交的延长线于点．求证：．
21. 为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，学校拟开展“双减”背景下初中数学活动型作业成果展示会，现有五个项目：A．美丽镶嵌，B．七彩勾股树，C．数独，D．调查活动，E．数学史．为了解学生最喜爱的项目（每人只能选一个项目），现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）这次学校共抽取了_____名学生进行调查；图2中D选项所对应的圆心角度数为_____；请补齐条形统计图；
（2）为了解学生对数学史的认识，对被抽取的一部分学生进行测试，所得成绩分别为80，74，75，76，76，79，则这组数据的中位数是_____；众数是_____；
（3）若参加成果展示会的学生共有640人，请你估计其中最喜爱“数独”项目的学生人数．
22. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
（1）求D到的距离．
（2）求古塔的高度（结果保留根）．
23. 一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数；
（2）求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
24. 某商场准备采购智能手表和蓝牙耳机进行促销，智能手表的单价是蓝牙耳机的4倍，用2400元单独购买智能手表比单独购买蓝牙耳机少12个．
（1）求智能手表和蓝牙耳机的单价；
（2）若计划采购两种产品共60个，且智能手表数量不少于蓝牙耳机的，如何采购可使总成本最低？最低成本是多少元？
25. 如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；
（3）如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
26. 如图，AB是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接AD并延长至点C，使，过点D 作AB的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧AE上一点，连接EF并延长交BA的延长线于点P，连接DF与AB交于点G．
（1）求证：BC是圆O的切线；
（2）记的面积分别为，若，求的值；
（3）若圆O的半径为1，设，试求y关于x的函数解析式．

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