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2024—2025学年创新人才选拔测评（二）
七年级数学
注意事项：
1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 平方等于它本身的数是（　　）
A. 0 B. 1 C. －1 D. 0或1
2. 如图，直线和相交于点O，，射线平分，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列事实中，利用了数学知识“垂线段最短”的是（ ）
A. 把弯曲的公路改直可以缩短路程
B. 工人师傅通常给刚装的门框上斜着钉一个木条来固定门框
C. 直角三角形中斜边大于直角边
D. 把一根木条固定在墙上至少需要两根钉子
4. 如图，把一个含有角的直角三角板放在一张对边平行的纸条上，其中直角顶点落在纸条的一边上，若测得为，则的度数为（ ）
A B. C. D.
5. 如图是某舞蹈队形的方阵图，每个格点表示一位演员的位置，随着音乐的节奏，各个位置的演员分别做出不同的动作，形成优美的图案．若A演员的位置用来表示，C演员的位置用来表示，则B演员的位置可表示为（ ）
A. B. C. D.
6. 下列命题属于假命题的是（ ）
A. 实数包括正实数，0，负实数
B. 实数与数轴上点是一一对应的
C. 实数a的相反数是
D. ，，，都属于无理数
7. 已知点到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
8. 对x，y定义一种新运算：，当，时，；当，时，，则x，y的值分别为（ ）
A. 2， B. 2，1 C. ，1 D. ，
9. 某哨兵在灯塔A处观察到船只B在灯塔的北偏西方向上，船只C在灯塔的北偏东方向上，船只B上的人观察到船只C在他的南偏东方向上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，有点，点第一次先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度到点，第二次向左平移3个单位长度到点，第三次先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度到点，第四次向左平移5个单位长度到点……依此规律平移下去，点第2025次平移后的点可表示为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式是________．
12. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简________．
13. 如图所示，物理课上，老师拿一个装满水的圆柱形容器，以圆柱体底部O为支点倾斜向外倒水，当圆柱的底面与水平桌面的夹角的度数为时，水面与圆柱侧壁的夹角的度数为________．
14. 若方程组的解为则________．
15. 若与的两边分别平行，比的倍少，则的度数是______．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 计算：
（1）；
（2）解方程组：
17. 在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请在图中画出；
（2）把先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，请画出，并写出点A平移后的对应点D的坐标；
（3）求线段扫过的面积．
18. 小亮同学通过学习知道：用一块面积大的纸片不一定能裁出一块面积小的纸片．他有一块面积为，且长与宽之比为的长方形，想裁出一个面积为的圆形，他的想法可行吗？
思考：小亮想，可以这样做：方法①通过将长方形的宽和圆的直径大小对比……；
也可以这样做：方法②直接用长方形的宽作直径裁圆，和所要的圆面积相比……（取3.14）
（1）上面两种方法中正确的方法为_______（填序号）；
（2）选择你认为正确的一种或从你认为正确的两种方法中选择一种进行计算，说明小亮的想法是否可行．
19. 如图所示，四边形中，连接，E，F是直线上的点，G是射线上的点，若，．
（1）求证：，；
（2）若，求的度数．
20. 课本精彩再现：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚很快就说出了答案．
（1）还原思考过程：①由，，而，由此可确定是一个_______位数．
②由个位上的数是9，可以确定的个位数是_______．
③由，，可以确定十位数字是_______．
从而可得_______．
（2）类比解决问题：已知是某整数的平方，是某整数的立方，请你从中任选一个，确定的平方根或的立方根，并写出你的确定过程．
21. 电子支付越来越普及，但有时也需要把微信账户里钱转到银行卡里，这叫作提现．个人用户微信提现手续费的收取规则如下：每位用户享有累计1000元的免费提现额度，超过1000元免费额度时，超过部分将按0.1%的费率收取手续费．例如，首次提现500元（未超过免费额度）不收取手续费，再提现800元（累计超过免费额度300元），将收取0.3元手续费．
小亮妈妈： 我第一次提现元，支付手续费2.4元． 第二次提现元，支付手续费2.8元．
（1）小明妈妈以前从未提现过，现需要把微信中的5000元提现，需支付手续费_______元．
（2）小亮妈妈从使用至今共提现过2次，求a，b的值．
22. 已知方程组
（1）列表取值：二元一次方程有无数组解，请补充下面表格，使上下每一对x，y的值都是二元一次方程的解，则_______，_______．
x
（2）实践操作：把x的值作为点的横坐标，所对应的y的值作为点的纵坐标，描出表格中的值所对应的点，并把这些点按照横坐标从小到大的顺序依次连接起来．你有什么发现？
（3）类比探究：你能用同样的方法在同一坐标系中画出以二元一次方程的解为横、纵坐标的点并连成线吗？参考表格：
y
由图象可知，（2）和（3）中的图象的交点坐标为_______；
（4）发现特征：解二元一次方程组结合图象写下你的发现．
23. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且a，b满足，将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为．
（1）点A的坐标为_______，点B的坐标为_______，点B平移后的对应点C的坐标为_______；
（2）已知线段与x轴交于点．若点P是线段右侧x轴上的一动点，连接平分交于点F，请仅就图1思考，，之间有什么样的数量关系，并写出你的证明过程．
（3）若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点M，使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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