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期末复习专题4——分式方程 （提升练习）2024—2025学年苏科版数学八年级下册
一、选择题
1．若关于x的方程 = +2有增根，则m的值是（　　）
A．7 B．3 C．4 D．0
2．已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
3．为实数，，那么的值为（　　）
A．1 B．或1 C． D．4或
4．如果关于的分式方程有正数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（　　）
A． B． C． D．
5．某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是（　　）
A． B．
C． D．
6．某生产小组计划生产3000个口罩，由于采用新技术，实际每小时生产口罩的数量是原计划的2倍，因此提前5小时完成任务，设原计划每小时生产口罩x个，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．2024年5月18日，“万人农耕”大地艺术创作活动在成都世园会新津分会场——天府农博园开启，市民游客在这里呈现了一场与4500年农耕文明的互动，共绘农商文旅体融合的生动画卷．某班学生与家长分别组成学生组和家长组参加了插秧活动，先由学生组独立进行，3小时完成了总任务的一半；而后家长组加入，再共同进行1小时完成了剩下任务．如果设家长组独立进行x小时可以完成总任务，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
8．茅洲河的治理，实现了水清、岸绿、景美．某工程队承担茅洲河某段3000米河道的清淤任务，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天完成x米的清淤任务，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．分式方程的解是　 　．
10．若关于的分式方程的解是正数，且的最小整数值为　 　．
11．用换元法解方程 时，如果设 ，那么原方程化成关于 的整式方程是　 　
12．若从﹣1，0，1，2，3这五个数中任抽取一个数作为a的值，使关于x的方程 ＝1的解大于1，则抽到符合条件的a值的概率是　 　.
13．某工程队修建一条长1200m的道路；采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务，设这个工程队原计划每天修建道路xm，则列出的方程为　 　．
14．甲、乙两个服装厂加工一批校服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套校服，甲厂比乙厂少用4天，则乙厂每天加工　 　套校服．
15．枣庄市质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂产品的合格率比乙厂高5%，则甲厂产品的合格率为　 　．
16．为了美化环境，某地政府计划对辖区内60km2的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积．甲同学所列的方程为，则甲同学所列方程中的x表示　 　．
三、解答题
17．解下列方程．
（1）；
（2）．
18． 已知关于x的分式方程．
（1）当时，求方程的解．
（2）若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围．
19．某学校为了丰富学生的体育活动，购买了篮球和跳绳，已知每个篮球的价格是每个跳绳价格的3倍，购买跳绳共花费600元，购买篮球共花费900元，购买跳绳和数量比购买篮球的数量多20个，求每个跳绳的价格．
20．小明去图书馆借书，到达后发现借书卡没带，于是他跑步回家，拿到借书卡后骑车返回图书馆.已知图书馆离小明家1650m，小明骑车时间比跑步时间少5.5 min，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍，求小明跑步的平均速度.
21．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万元，今年销售额只有80万元
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用少于105万元且多于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有哪几种进货方案？
22．某中学为了创设“书香校园”，准备购买两种书架，用于放置图书．在购买时发现，种书架的单价比种书架的单价多20元，用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同．
（1）求两种书架的单价各是多少元？
（2）学校准备购买两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个种书架？
23．某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵5元，用360元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）若商店计划购买这两种商品共40件，且投入的经费不超过1150元，那么，最多可购买多少件甲种商品？
24．为增强学生体质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目，体育用品商店得知后，第一次用600元购进乒乓球若干盒，第二次又用600元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价比第一次的进价高25%，购进数量比第一次少了30盒.
（1）求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于420元，求每盒乒乓球的售价至少是多少元？
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】分式方程去分母得：x+4=m+2x 6，
由分式方程有增根，得到x 3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：m=7，
故答案为：A．
【分析】将分式化为整式，要得到增根，即分母x-3=0，将x=3代入整式方程可得到m的值。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：将代入，
可得：，
∴3a=2a-1，
∴a=-1，
故答案为：C.
【分析】将代入，再求出a的值即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：设则有
方程两边同时乘t，得
∴
所以t=-4或t=1
当时x无解
∴
故选：A．
【分析】将原方程中的换元即转化为分式方程，化简得一元二次方程，解方程即可，注意验根．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：，
∵关于的分式方程有正数解，
解得：且
解得：且
该不等式组的解集为，
，
，
的范围是：且，
是整数，
，0，1，3
符合条件的所有整数的和为：3
故答案为：B．
【分析】解分式方程得x=，根据分式方程有正数解并结合分式有意义可得关于a的不等式组，解之可得a的范围；再解不等式组，结合不等式组的解集可得a的不等式，解之求出a的范围；然后求出所有整数的和．
5．【答案】A
【解析】【解答】 设原计划每天植树x万棵，
根据题意可得：，
故答案为：A.
【分析】 设原计划每天植树x万棵，根据“ 实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务 ”列出方程即可.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：设原计划每小时生产口罩x个，则实际每小时生产口罩2x个，
依题意得：
故答案为：D.
【分析】抓住题中关键的已知条件：实际每小时生产口罩的数量是原计划的2倍，因此提前5小时完成任务，据此列方程即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：A．
【分析】设工作总量为单位“1”，根据题意可知，学生组的工作效率为，家长组的工作效率为，然后根据工作效率×工作时间等于工作总量及“学生组工作1小时的工作量+家长组工作1小时的工作量=总工作量的一半”列出方程即可.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，得
．
故答案为：D．
【分析】根据提前30天完成这一任务列方程即可．
9．【答案】
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以得：，
解得，
经检验是原方程的解，
故答案为：
【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
10．【答案】7
【解析】【解答】解：根据题意：解得，
依题意，且，
得且，
故m的最小整数值为7，
故答案为：7．
【分析】由题意，将分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程将x用含m的代数式表示出来，根据分式方程的解为正数确定出的范围即可．
11．【答案】y -3y+2=0
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
设 ，
则原方程可化成y -3y+2=0.
故答案为y -3y+2=0.
【分析】先求出 ，再令 ，最后求解即可。
12．【答案】
【解析】【解答】解：解方程 ＝1得： ，
∵其解大于1，
∴ ， ，
∴ ，且 ，
∴﹣1，0，1，2，3这五个数中，符合条件的 值为：2，3，
∴取到满足条件的 值的概率为 ，
故答案为： .
【分析】首先解分式方程可得x=a+1，根据解大于1可得a+1>0且a+1-2≠0，求解可得a的范围，然后根据概率公式求解即可.
13．【答案】
【解析】【解答】设原计划每天修建道路x米，则实际每天修1.5x米，
可得：
故答案为：
【分析】设原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路1.5x米，根据题意，列方程解答即可．
14．【答案】50
【解析】【解答】解：设乙工厂每天加工x套校服，则甲工厂每天加工1.5x套校服，
由题意得，
解得，
经检验是原方程的解，
∴乙工厂每天加工50套校服，
故答案为：50．
【分析】本题考查分式方程的应用.设乙工厂每天加工x套校服，则甲工厂每天加工1.5x套校服，然后根据两厂各加工600套校服，甲厂比乙厂少用4天，可列出方程，解方程可求出x的值，再进行检验可求出答案.
15．【答案】80%
【解析】【解答】解：设甲、乙两厂的质检总数都为x件，
根据题意，得：，
解得：x=60，
经检验，x=60是所列分式方程的解，
∴甲厂产品的合格率为=0.8=80%，
故答案为：80%．
【分析】设甲、乙两厂的质检总数都为x件，根据题意列出方程求解即可。
16．【答案】实际完成这项工程需要的月数
【解析】【解答】解：由题意可得，甲同学所列方程中的x表示实际完成这项工程需要的月数，
故答案为：实际完成这项工程需要的月数．
【分析】根据题意可得，甲同学所列方程中的x表示实际完成这项工程需要的月数。
17．【答案】（1）解：去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为；
（2）解：去分母得，
解得
检验：将代入
∴为原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
【解析】【分析】（1）由题意，先将方程两边同时乘以最简公分母（2x-1）化原分式方程为整式方程，再解一元一次方程，把求得的x的值代入公分母计算，使公分母不为0就是原方程的解，反之使原方程的增根；
（2）同（1）即可求解．
（1）去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为；
（2）去分母得，
解得
检验：将代入
∴为原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
18．【答案】（1）解：当时，
，
，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，
故方程的解为：；
（2）解：，
，
去分母得：，
解得：，
由分式方程有解且解为非负数，且，
即：且，
即：且
【解析】【分析】（1）将m=1代入方程，根据去分母、却括号、系数化为1并检验，即可求解；
（2）根据去分母、却括号、系数化为1得到，结合 解为非负数得到关于m的不等式，解不等式即可求解.
19．【答案】解：设每个跳绳的价格为x元．
根据题意，得
解得
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：每个跳绳的价格为15元．
【解析】【分析】 设每个跳绳的价格为x元，根据题意列出分式方程，解之即可。
20．【答案】解：设小明跑步的平均速度为xm/min.
由题意得，
解得：
答：小明跑步的平均速度为100m/min.
【解析】【分析】设小明跑步的平均速度为xm/min，则骑车的平均速度为1.5m/min，跑步所用的时间为，骑车所用的时间为，然后根据骑车时间比跑步时间少5.5min列出方程，求解即可.
21．【答案】（1）解：设今年5月份A款汽车每辆售价为x万元，则去年同期A款汽车每辆售价为万元，
依意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意.
答：今年5月份A款汽车每辆售价为8万元.
（2）解：设购进m辆A款汽车，则购进辆B款汽车，
依题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为7，8，9
∴共有3种进货方案，
第一种方案：进A款汽车7辆，B款汽车8辆；
第二种方案：进A款汽车8辆，B款汽车7辆；
第三种方案：进A款汽车9辆，B款汽车6辆.
【解析】【分析】（1）根据题意得等量关系：今年的销售单价+1=去年的销售单价，去年90万销售额卖的车=今年80万销售额卖的车；设今年5月份A款汽车每辆售价为x万元，根据等量关系列方程求解即可；
（2）根据题意可得：A款汽车的数量+B款汽车的数量=15，99<两款汽车的总进价<105，设购进A款汽车m辆，列不等式组求解即可得到所有的进货方案.
22．【答案】解：（1）设种书架的单价为元，根据题意，得
解得
经检验：是原分式方程的解
答：购买种书架需要100元，种书架需要80元．
（2）设准备购买个种书架，根据题意，得
解得
答：最多可购买10个种书架．
【解析】【分析】（1）根据题意以书架个数为等量关系列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）根据题意用代数式表示总费用，小于等于1400，列出不等式，解不等式即可求出答案.
23．【答案】（1）解：设甲种商品每件的价格是x元，则乙种商品每件的价格是（x﹣5）元，
根据题意得：
，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是方程的解且符合意义，
30﹣5＝25，
答：甲种商品每件的价格是30元，乙种商品每件的价格是25元，
（2）解：设购买m件甲种商品，则购买（40﹣m）件乙种商品，
根据题意得：
30m+25（40﹣m）≤1150，
解得：m≤30，
答：最多可购买30件甲种商品．
【解析】【分析】（1）设甲种商品每件的价格是x元，则乙种商品每件的价格是（x﹣5）元，根据“用360元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同”列出方程，再求解即可；
（2）设购买m件甲种商品，则购买（40﹣m）件乙种商品，根据“投入的经费不超过1150元”列出不等式30m+25（40﹣m）≤1150， 再求解即可.
24．【答案】（1）解：设第一次每盒乒乓球的进价是x元，由题意得：
解得x= 4，经检验x = 4是原分式方程的解，且符合题意
答：第一次每盒乒乓球的进价是4元；
（2）解：设每盒乒乓球的售价为y元，第一次每盒乒乓球的进价为4元，则第二次每盒乒乓球的进价为4 ×（1 + 25%）=5（元）。
由题意得：
解得y ≥6.
答：每盒乒乓球的售价至少是6元
【解析】【分析】（1）设第一次每盒乒乓球的进价是x元，根据“第二次购进数量比第一次少了30盒”列方程，解方程并检验，即可得解．
（2）设每盒乒乓球的售价为y元，第一次每盒乒乓球的进价为4元，则第二次每盒乒乓球的进价为5元，根据“这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于420元”列不等式，求出y的取值范围，即可得解

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