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期末复习专题7——矩形 、菱形、正方形 提升练习 2024-2025学年苏科版数学八年级下册
一、选择题
1．正方形的一条对角线长为，则正方形的周长是（　　）
A．4 B． C．8 D．
2．如图，菱形的边长为，对角线相交于点O，且，则菱形的面积为（　　）
A．5 B． C．2 D．4
3．如图，在菱形中，对角线交于点O，若，若，则的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．
4．如图， 矩形中，，连接对角线，将沿所在的直线折叠，得到，交于点F． 则的长是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2.4
5．如图，在中，．若，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　）
A．80 B．100 C．200 D．无法确定
6．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，点在边上，且，点、分别是线段、上的动点，连结、．若，则的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
7．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形 ，记 的面积为 ，四边形 的面积为 ． 若， ，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在正方形中，点E是边的中点，若，则的长为　 　．
10．如图，正方形ABCD中，在BC延长线上，AE，BD交于点，连接FC，若，那么的度数是　 　.
11．如图，在矩形中，，为上一点，把沿翻折，点恰好落在边上的点处，则的长是　 　．
12．如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边的中点，点F在BC边上移动，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当四边形BEB'F为正方形时，B'D的长为　 　．
13．如图是一块菱形花坛，沿着它的对角线修建的两条小路的长分别为和，则这个菱形花坛的面积为　 　．
14．如图，菱形的周长为，，点是的中点，点是对角线上的一个动点，则周长的最小值是　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为　 　．
16．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快　 　s后，四边形ABPQ成为矩形．
三、解答题
17．如图，菱形的对角线、相交于点，点和点在上，且．求证：四边形是菱形．
18．如图，在四边形中，，交于点O，已知，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，判断四边形的形状，并说明理由．
19．如图，四边形ABCD是菱形，AB=45，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF，连结AE，AF，CE，CF.
（1）求证：四边形AECF是菱形.
（2）若∠ABD=∠BAE，EF=6，求四边形AECF的面积.
20．如图，已知四边形的对角线、交于点O，，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）E为上一点，连接BE，若，，，求的长．
21．如图，已知，延长到E，使，连接，，，若．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
22．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，于点，交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求和的长．
23．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作，且，连接CE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）连接AE．若，，求菱形ABCD的面积．
24．如图，将正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA顺次延长至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH．
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若AH＝1，AB＝2，求正方形EFGH的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，
正方形ABCD的一条对角线长为，
根据勾股定理可得：，
解得：a=2或a=-2（舍去），
∴正方形ABCD的周长是4a=4×2=8，
故答案为：C．
【分析】
本题考查正方形的性质和勾股定理，根据勾股定理解得正方形的边长是解题关键.
根据正方形的性质：四边相等可设正方形的边长为a，根据勾股定理可列出关于a的方程为：，解得a的值即可知正方形的边长，再根据正方形的周长=边长×4，代入数据即可得出答案．
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵菱形的边长为，对角线相交于点O，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】先由菱形的性质得到，再由勾股定理得到，最后根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵在菱形中，对角线交于点O，若，
∴，，，，
∴等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】先利用菱形的性质可得，，，再证出等边三角形，再根据，求出即可．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
，
由折叠性质，得，
，
设，则，
在中，
则，
解得，
的长为，
，
．
故答案为：C．
【分析】先根据矩形性质得出，根据平行线的性质得出，根据折叠得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴正方形和正方形的面积和为，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理的定义及计算方法可得正方形和正方形的面积和为.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：过点P分别作，延长交于H，
∵四边形是矩形
∴
∴
∴
∴四边形是矩形
∵平分，，
∴
∴四边形是正方形
∵
∴，即
∵，
∴四边形是矩形
∴，即
∵
∴与重合，与重合
∵四边形是正方形
∴
∴
故选：C．
【分析】过点P分别作，延长交于H，根据矩形性质可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，根据角平分线性质可得，根据正方形判定定理可得四边形是正方形，再根据边之间的关系可得根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，即，根据边之间的关系可得与重合，与重合，根据正方形性质可得，则，即可求出答案.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：连结 ，
由题意得∶ ，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
同理可证∶△GCF≌△FBH≌△HAE≌△EDG，
∴，
四边形是菱形，
，
又，
在同一直线上
又
，
则
四边形 是正方形，
在同一直线上； 在同一直线上； 在同一直线上；
设DG=CF=BH=AE=x，
则 ，
，
解得∶ (负值已舍去)
．
故选：B.
【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质．先证明△GCF≌△FBH≌△HAE≌△EDG，可得，从而得到四边形是菱形，再求，可证四边形 是正方形，进而得到 在同一直线上； 在同一直线上； 在同一直线上，设DG=CF=BH=AE=x，用x表示出S1和S2，再由，即可求解．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图：
连接和，则和都过点O，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中
，
，
，
故答案为：C．
【分析】连接和，则和都过点O，根据正方形性质可得，，则，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，则，即可求出答案.
9．【答案】
【解析】【解答】解：∵是正方形，
∴，，
∵E是中点，
∴．
在中，
根据勾股定理得
，
故答案为：．
【分析】利用正方形的性质可证得，利用线段中点的定义可求出CE的长；然后利用勾股定理求解即可．
10．【答案】
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】利用正方形的性质可得，进而通过SAS判定，再由三角形外角和定理求得，然后通过三角形内角和定理求得的度数 .
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵在矩形中，，，
∴，，，
由折叠的性质可得：，，
∴，
∴，
设，则．
在中，由勾股定理可得：
即
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理及线段的和差求出BF的长，设，则，再利用勾股定理可得，即，再求出x的值，最后利用线段的和差求出CE的长即可.
12．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接 ，连接 ，
四边形 是正方形，
， 平分 ，
为 边的中点，
，
四边形 是正方形，
， 平分 ，
点 ，点 ，点 三点共线，
，
故答案为 ．
【分析】连接 ，连接 ，由正方形的性质可得 ， 平分 ， ， 平分 ，可证得 点 ，点 ，点 三点共线，即可求解。
13．【答案】42
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴菱形的面积．
故答案为：42．
【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列出算式求解即可.
14．【答案】
【解析】【解答】解：菱形的周长为，
，点A与点C关于对称，
连接，与交于点，连接，如图，
则，
此时，值最小．
四边形是菱形，，
，
，
为等边三角形，
，
是中点，
∴，，
，
．
周长的最小值是．
【分析】连接，与交于点，连接，先证出为等边三角形，利用等边三角形的性质可得AC=AB=2，再利用勾股定理求出CE的长，再利用线段的和差求出，最后利用三角形的周长公式及等量代换求出周长的最小值是．
15．【答案】
【解析】【解答】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G，
则四边形是矩形，
∴，，，
∵折叠，
∴，，
∵点A的坐标为，点F的坐标为，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点E的坐标为，
故答案为：．
【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，即可得到是矩形，求出，，，利用折叠得到，，然后在中根据勾股定理求出a的值，再在中运用勾股定理得到长解题．
16．【答案】4
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=90°，AD=BC=20cm，
设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，则AQ=20-2x，BP=3x
∵四边形ABPQ是矩形
∴AQ=BP
∴3x=20-2x
∴x=4
故答案为：4
【分析】本题考查矩形的判定与性质.根据四边形ABCD是矩形，利用矩形的性质可得：∠A=∠B=90°，AD=BC=20cm，设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，据此可得AQ=20-2x，BP=3x，根据矩形的性质可得：AQ=BP，据此可列出方程3x=20-2x，解方程可求出x的值，进而可求出答案.
17．【答案】证明：∵四边形是菱形
∴，，
∵
∴
∵，，
∴四边形是菱形
【解析】【分析】先根据菱形的性质得到，，，进而结合进行线段的运算得到OE=OF，再结合菱形的判定即可求解。
18．【答案】（1）证明：∵，∴，．
又∵，∴≌．
∴．
∴四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是菱形．
理由：∵平分，，
又∵，∴，
∴．
又∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．
【解析】【分析】（1）根据AAS得到≌，即可得到，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解题；
（2）根据角平分线的定义可得， 即可得到，然后根据等角对等边得到，即可得到四边形是菱形.
19．【答案】（1）证明：在菱形ABCD中，，，
∵，
∴即，
∵
∴四边形AECF是平行四边形；
又∵
∴平行四边形AECF是菱形
（2）解：设BE＝x
∵∠ABD＝∠BAE，
∴BE＝EA＝x
∵EF＝6，四边形AECF是菱形，
∴
∴
化简得
，(舍去)
∴
四边形AECF的面积＝
【解析】【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直平分得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，结合已知由等量减去等量差相等得OE=OF，从而由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得四边形AECF是平行四边形，进而根据“对角线互相垂直得平行四边形是菱形”可得结论；
（2）设BE＝x，由等角对等边得BE＝EA＝x，由菱形对角线互相平分得OE=3，在Rt△AEO与Rt△ABO中，分别根据勾股定理表示出AO2，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等建立方程，求解得出OA的长，最后根据菱形面积等于两对角线乘积得一半列式计算可得答案.
20．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形.
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得，
，
在中，根据勾股定理得，
解得，，
∴，
即．
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合AB=CB，即可证出四边形是菱形；
（2）设，则，利用勾股定理可得，再求出x的值，可得OE的长，最后利用线段的和差求出AO的长即可.
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形.
（2）解：如图所示，
∵，
∴．
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴．

【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合BC=DE，即可证出四边形是矩形；
（2）先利用勾股定理可得，再结合，利用勾股定理求出即可．
22．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
，
是的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
是的中点，
，
由（1）可知，四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在直角三角形中，
∴，
．
【解析】【分析】（1）根据菱形性质可得，再根据三角形中位线定理可得，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，，再根据线段中点可得，根据矩形性质可得，再根据勾股定理可得AF，再根据边之间的关系可得BG，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是菱形，
，
是的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
是的中点，
，
由（1）可知，四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在直角三角形中，
∴，
．
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵，
∴四边形OCED为矩形；
（2）解：∵四边形OCED为矩形，四边形ABCD是菱形
∴，，
∴，
∴菱形ABCD的面积．
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到：，，进而得到DE=OC，即可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形OCED为平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明四边形OCED为矩形；
（2）根据矩形的性质得到：，，进而利用勾股定理求出AC的长度，最后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求出菱形的面积.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠EBF＝∠HAE＝∠GDH＝∠ FCG
又∵BE＝CF＝DG＝AH∴CG＝DH＝AE＝BF
∴△AEH≌△CGF≌△DHG≌△BFE分
∴EF＝FG＝GH＝HE，∠EFB＝∠HEA
∴四边形EFGH为菱形．
∵∠EFB＋∠FEB＝90°，∠EFB＝∠HEA
∴∠FEB＋∠HEA＝90°
即∠HEF＝90°
∴四边形EFGH是正方形．
（2）解：∵AH＝1，AB＝2
∴AE＝3
∴HE＝
∴＝HE2＝10
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质和全等三角形的判定证得，进而得四边形为菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形证出即可.
（2）先根据勾股定理得到HE，再根据正方形的面积公式计算即可

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