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2024-2025学年七年级数学下册第一次月考测试卷（第15-16章）
一、选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图是一杆古秤在称物过程中某一时刻的状态，所有秤绳都平行．已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在校园内；已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆．设搭配A种造型x个，你认为下列符合题意的不等式组是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
6．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．若关于的不等式可化为，则的取值范围是 ．
8．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ．
9．某次数学测验，共20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，某同学得分不低于95分，他至少答对 题．
10．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ．
11．如图，直线相交于点，则的度数是 ．
12．如图，已知，要使，还需添加一个条件，你想添加的条件是 ．
13．在实数范围内规定新运算“”，其规则是a b=2a-b．已知不等式x k≥1的解集在数轴上如图表示，则的值是 ．
14．如图，在四边形中，，有下列结论：①；
②； ③； ④．
其中正确的有 （填序号）．
15．如图，某长方体形状的容器长，宽，高．容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水，用V（单位：）表示新注入水的体积，则V的取值范围是 ．
16．中国在科学领域取得了很多举世瞩目的成就，世界上第一个小孔成像的实验就是由我国古代的墨子和他的学生完成的（得出了光沿直线传播的结论）．如图，若，则的度数为 ．
17．为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知，，则的度数是 ．
18．如图，是一盏可调节台灯的示意图． 固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变． 现调节台灯，使外侧光线，若，过点B作，则与的位置关系是 ， ．
三、解答题（7小题，共64分）
19．解不等式组：，并把它的解集在如图的数轴上表示出来．
20．某市出租车的收费标准如下：
里程 收费标准元
千米以下（含千米）
千米以上的部分，每增加千米
此外，每辆出租车均加收元燃油附加费．
今天下大雨，小华想从学校打车回家，他身上只带了元钱，经过计算，够打车到家．请问小华家到学校最多多远？
21．下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读，并完成相应任务，
解不等式：
解：…第一步
…第二步
…第三步
…第四步
…第五步
(1)任务1：第二步是依据______进行变形的，第______步开始出现错误的，错误的原因是____________；
(2)任务2：请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式时还需要注意的事项给其他同学一条建议．
22．如图，某平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池（保留画图痕迹，不写画法）．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄的距离之和最小；
(2)不考虑其他因素，请在图中画出将河水引入蓄水池H的最短路线．
23．阅读与思考
阅读以下例题： 解不等式：． 解：①当时，即，原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得．． ②当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式，解这个不等式，得，（依据） ． ③当时，即时，原不等式可化为，不成立，此时不等式无解． 所以不等式的解为或．
任务：
(1)填空：上述解答过程中的“依据”是指__________．
(2)仿照例题利用分类讨论思想解不等式：．
24．如图1，对于两条直线被第三条直线l3所截的同旁内角，满足，则称是的关联角．
(1)已知是的关联角．
①当时，___________；
②当时，直线的位置关系为 ___________；
(2)如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点．
①求证：是的关联角；
②过点的直线分别交直线于点，且．当是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的的度数为 ___________．
25．【问题提出】如图①，和的边与互相平行，边与交于点E．若，，求的度数．
【问题解决】请你完成下面的求解过程．
解：如图②，过点E作．
∴（ ）．
∵，
∴，
∵，
∴（ ）．
∴（ ）．
∵，
∴．
∴（ ）．
【迁移应用】如图③，D、E分别是边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．P是线段上一点，连接、．若，，求的度数．
参考答案
一、选择题
1．B
【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断．
根据一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：①是一元一次不等式组；
②是一元一次不等式组；
③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④是一元一次不等式组；
⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
故选：B．
2．A
【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案．
【详解】解：设他行驶的路程为千米，
∴，
故选A
3．D
【分析】利用平行线的性质，邻补角的定义解答即可．
本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，根据题意，得，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了列一元一次不等式组，找准不等式关系是解题关键．根据两种园艺造型使用的甲、乙两种花卉的盆数不超过两种花卉各自的总盆数建立不等式组即可得．
【详解】解：由题意可知，搭配种造型个，
则可列不等式组为，
故选：A．
5．D
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，理解并掌握平行线的性质是解题关键．根据同位角相等两直线平行，即可判断①；根据内错角相等两直线平行，即可判断②；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断③；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断④，综合即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵，
又∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
又∵，
∴，
∴，故④正确，
综上可得：能判断的条件是①②③④．
故选：D．
6．C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，又因为，所以，再根据，即可解得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
二、填空题
7．
【分析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据已知解集得到为负数，即可确定出的范围．
【详解】解：不等式可化为，
，
解得：，
故答案为：．
8．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再根据原不等式组无解可得，求解即可．
【详解】解：，
解不等式①可得：，
解不等式②得：，
∵关于x的不等式组无解，
∴，
解得：，
故答案为：．
9．13
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设某同学至少答对x道题，根据某同学得分不低于95分列不等式求解即可．
【详解】解：设某同学至少答对x道题，由题意得
，
解得．
所以某同学至少答对13道题．
故答案为：13．
10．
【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一元一次不等式的解法；由方程组求得是解题关键．利用加减消元法求得，再建立不等式求m即可；
【详解】解：
由①②，得：，
∴，
当时，，
解得： ，
∴，
故答案为：
11．
【分析】本题考查了对顶角，邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．先根据邻补角的性质求出的度数，再结合求出的度数．
【详解】因为与是邻补角，邻补角的和为，已知，
所以
已知，
把代入可得：
．
故答案为：
12．（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．添加：，再加上条件可得，再根据同位角相等两直线平行可得．
【详解】解：添加：，
故答案为：（答案不唯一）．
13．
【分析】根据得变形为，得到解集为，根据不等式的解集为，得到，解答即可．
本题考查了解不等式，根据不等式的解集求参数，熟练掌握解不等式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴变形为，
解得，
不等式的解集为，
∴，
解得．
故答案为：．
14．②③
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据两直线平行，内错角相等即可得．
【详解】解：∵，
∴，，
则结论正确的有②③，
故答案为：②③．
15．
【分析】本题考查了不等式组的应用，正确求出立体图形的体积是解题关键．根据水的总体积不能超过容器的总体积，即可列出不等式组，求解即可．
【详解】解：根据题意，得
解得，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了对顶角，邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
根据题意，和是对顶角，，又因为和是邻补角．邻补角的定义是两个角相邻且它们的和为．因此，我们可以得出的度数．
【详解】解：因为与是对顶角，
所以，
因为，
所以，
因为和是邻补角，
所以，
因此．
故答案为：
17．
【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定，作，得到，再结合，得到，求出，最后根据代入计算即可．
【详解】解：如图所示：作，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
18． 平行
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据平行公理即可判断与的位置关系；过点A作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴；
如图，过点A作，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：平行；．
三、解答题
19．解：解不等式，得．
解不等式，得．
则不等式组的解集为．
将不等式组的解集表示在数轴上，
如图：．
20．解：设小华家到学校，
当时，
因为，
故满足题意；
当时，
根据题意可得：，
解得：，
答：小华家到学校最多．
21．（1）解：…第一步
…第二步
…第三步
…第四步
…第五步
第二步是依据乘法分配律进行变形的，第三步开始出现错误的，错误的原因是移项没有变号；
（2）任务2：去分母时，不含分母的项也要乘以最小公倍数；去括号时，括号前是负号要注意改变各项符号；移项时要变号；不等式两边同乘以或除以一个负数不等号要变向．（答案不唯一）
22．（1）解：两点之间，线段最短，如图所示，连接，交于H，则H为蓄水池的位置，它到四个村庄距离之和最小．
（2）解：过H作，垂足为G，沿开渠，水渠最短，依据是“垂线段最短”．
如图，线段即为所求．
23．（1）解：上述解答过程中的“依据”是指：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，
故答案为：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；
（2）解：①当时，即，
原不等式可化为一元一次不等式，
解这个不等式，得，
；
②当时，即，
原不等式可化为一元一次不等式，
解这个不等式，得，
，
③当，即时，
原不等式可化为，不成立，此时不等式无解．
所以不等式的解集为或．
24．（1）解：①∵是的关联角，，
∴．
故答案为：．
②由题意可得方程组，
解得，
∴，
∴．
故答案为：平行．
（2）解：①证明：∵是的关联角，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是的关联角．
②当直线位于如图所示位置时：
∵是的关联角，，
∴．
若是的关联角，则．
若是的关联角，则，
解得．
当直线位于如图所示位置时：
∵，
∴，，
若是的关联角，则．
∵，
∴（舍去）．
若是的关联角，则，
解得．
故答案为：、或．
25．解：[问题解决]
如图②，过点E作，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵，
∴．
∵，
∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ），
∴，
∵，
∴．
∴；
[迁移应用]如图③，过点P作作交于点Q，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

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