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1.3《二次根式的运算》小节复习题
题型01 二次根式的乘法
1．下列运算正确的是( )
A． B． C． D．
2．计算的结果为 ．
3．计算：．
题型02 二次根式的除法
1．下列二次根式运算正确的是( )
A． B．
C． D．
2．计算： ．
3．计算下列各题：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
题型03 二次根式的乘除混合运算
1．下列运算正确的是( )
A． B． C． D．
2．计算：
(1) ． (2) ．
3．计算：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
题型04 最简二次根式的判断
1．下列二次根式中：，，，，，属于最简二次根式的个数有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在、、、中最简二次根式是 ．
3．已知二次根式．
(1)如果该二次根式，求的值；
(2)已知为最简二次根式，且与能够合并，求的值，并求出这两个二次根式的积．
题型05 化为最简二次根式
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
2．已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ．
3．化简：
(1)； (2)．
题型06 已知最简二次根式求参数
1．若最简二次根式与能够合并，则a的值是(　　)
A． B．0 C．1 D．2
2已知最简二次根式和是同类二次根式，则的值是 ．
3．已知是最简二次根式，且与可以合并，求的值．
题型07 同类二次根式
1．下列二次根式中，如果与是同类二次根式，那么这个根式是( )
A． B． C． D．
2．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值为 .
3．若最简二次根式与可以合并，求的值．
题型08 二次根式的加减运算
1．已知，，则a，b的关系正确的是( )
A． B． C． D．
2． ．
3．计算：
(1)； (2)．
题型09 二次根式的混合运算
1．估计的值应在( )
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
2．计算：(1) ；(2) ；(3) ．
3．计算
(1) (2)
题型10 分母有理化
1．甲、乙两位同学对式子分别作了如下变形：
甲：．
乙：．
下列关于甲、乙两位同学作的变形过程，说法正确的是(　　)
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确
2．已知，，则 ．
3．问题1：计算：(1)； (2)
问题2：观察上面运算的结果，可以看出，若一个式子乘以另一个式子其积是有理式，则其中的一个式子叫做另一个式子的有理化因式．将式子的分母进行有理化处理．
题型11 已知字母的值化简求值
1．已知，，则和的值分别是( )．
A．10、 B．10、2 C．12、2 D．12、
2．若，则 ．
3．请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．
小敏的做法是：根据得，
∴，得：.
把作为整体代入：得
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
(1)己知，求代数式的值；
(2)已知 ，求代数式的值．
题型12 已知条件式化简求值
1．已知，且，则的值是( )
A． B． C． D．
2．如果，那么的值是 ．
3．已知，，求下列代数式的值.
(1)； (2).
题型13 比较二次根式的大小
1．2、、15三个数的大小关系是( )
A．2＜15＜ B．＜15＜2
C．2＜＜15 D．＜2＜15
2．比较大小： ； ．(填“”“”或“”)
3．已知，．
(1)比较a，b的大小，并写出比较过程；
(2)求代数式的值．
题型14 二次根式的应用
1．如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为( )
A．4 B． C．9 D．
2．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为，现已知的三边长分别为1，，，则的面积为 ．
3．秦九韶(1208年-1268年)，字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，记为三角形的面积，那么．
(1)在中，，请用上面的公式计算的面积；
(2)如图，在中，，垂足为，求的长；
(3)一个三角形的三边长分别为，求的值．
参考答案
题型01 二次根式的乘法
1．D
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加减法法则、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
根据二次根式的加减法法则、乘法法则、二次根式的除法法则进行判断．
【详解】A 、不能合并，故选项不符合题意；
B、根据二次根式加法法则，故选项不符合题意；
C、根据二次根式除法法则，故选项不符合题意；
D、根据二次根式乘法法则，故选项符合题意．
故选：D．
2．2
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．根据平方差公式计算．
【详解】解：，
故答案为：2．
3．
．
题型02 二次根式的除法
1．C
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加法、二次根式的乘法、二次根式的除法，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．
【详解】解：A. ，故A计算错误，不符合题意；
B. ，故B计算错误，不符合题意；
C. ，故C计算正确，符合题意；
D. ，故D计算错误，不符合题意．
故选：C．
2．
【分析】本题主要考查了二次根式除法运算，直接根据二次根式除法运算法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
3．(1)解：原式
(2)解：原式
(3)解：原式
(4)解：原式
题型03 二次根式的乘除混合运算
1．D
【分析】本题考查二次根式的运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．利用二次根式的乘除法和加减法法则进行计算，逐个判断即可．
【详解】解：A、，不是同类二次根式不能合并，故本选项不符合题意；
B、，原式错误，故本选项不符合题意；
C、，原式错误，故本选项不符合题意；
D、，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
2．
3．(1)原式；
(2)原式
；
(3)原式
；
(4)原式
；
(5)原式
；
(6)原式
．
题型04 最简二次根式的判断
1．B
【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：、是最简二次根式，
不是最简二次根式，
不是最简二次根式，
不是最简二次根式，
故选：B．
2．
【分析】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的特征：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．据此即可解答．
【详解】解：是最简二次根式，符合题意；
，不是最简二次根式，不符合题意；
，不是最简二次根式，不符合题意；
，不是最简二次根式，不符合题意；
综上：最简二次根式有，
故答案为：．
3．解：(1)∵
∴a+2=32
解得a=7
(2)化简，得
∵为最简二次根式，且与能够合并
∴
解得a=8
∴两个二次根式的积为.
题型05 化为最简二次根式
1．D
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式“被开方数是整式且不含有能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式”进行判断即可．
【详解】解：A. ，不是最简二次根式，不合题意；
B. ，不是最简二次根式，不合题意；
C. ，不是最简二次根式，不合题意；
D. ，是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
2．4(答案不唯一)
【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
答案不唯一，整数m满足是最简二次根式即可．
【详解】∵是最简二次根式，
∴．
故答案为：4(答案不唯一)．
3．(1)解：原式
(2)解：原式
题型06 已知最简二次根式求参数
1．C
【分析】根据最简同类二次根式可以合并，即被开方数相同即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式与能够合并，
∴，
解得：．
故选C．
2．1
【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义求解即可．
【详解】解：∵，
又∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴，
解得：．
故答案为：1．
3．解：∵，
∴，
∴．
题型07 同类二次根式
1．D
【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，故A错误；
B、与不是同类二次根式，故B错误；
C、与不是同类二次根式，故C错误；
D、与是同类二次根式，故D正确；
2．2
【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式，被开方数中不含字母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于，这样的二次根式称为最简二次根式，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，根据最简二次根式和根式的定义进行解答即可．
【详解】解：，最简二次根式与是同类二次根式，
，
，
故答案为：．
3．解：最简二次根式与可以合并，
与是同类二次根式，
，
．
题型08 二次根式的加减运算
1．D
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则求解、，进而逐项判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，，，
故选项A、B、C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意，
故选：D．
2．
【分析】此题主要考查了二次根式的加减运算，首先化简二次根式进而合并同类二次根式得出答案．
【详解】解：原式．
故答案为：．
3．(1)解：
；
(2)解：
．
题型09 二次根式的混合运算
1．B
【分析】本题考查数的估值，二次根式的化简．根据题意可知，再给估值，继而得到本题答案．
【详解】解:∵
∵，
∴，
∴，
∴是介于和之间的数，
∴是介于和之间的数，
故选：B．
2． 1 4
3．(1)解：
；
(2)
．
题型10 分母有理化
1．A
【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化以及分式化简变形，分式的值不变，分子分母同时乘上或除以一个不为0的数，分式的值不变，据此即可作答．
【详解】解：甲同学，是先将分式分子分母同时乘上，然后再通过平方差公式化简，从而达到分母有理化，
即
乙同学：先把分式的分子通过平方差公式变形为，再与分母约分，分式的值不变，
即
∴甲、乙都正确
故选：A
2．2-2
【分析】本题考查了多项式乘多项式，分母有理化，代数式求值，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．
先把，化简，再代入求值即可．
【详解】解：，，
，，
．
故答案为：2-2．
3．问题1：(1)解：
；
(2)
；
问题2：
．
题型11 已知字母的值化简求值
1．D
【分析】先根据已知求得，然后把所求的代数式变形代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴；
；
故选：D．
2．
【分析】本题考查了二次根式的化简求值和分解因式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．先根据二次根式的加法法则和乘法法则求出和的值，再分解因式，最后代入求出答案即可．
【详解】解：，．
，
，
．
故答案为：．
3．(1)解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
(2)解：∵，
∴，即，
∴，
∴
．
题型12 已知条件式化简求值
1．A
【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开得到，同理可得，再结合m的范围，判断的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选A．
2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，求出的值，进而求出的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．
3．(1)解：∵，，
∴，，
则．
(2)解：∵，，
∴，，
则．
题型13 比较二次根式的大小
1．A
【分析】将分别化成，再进行比较即可．
【详解】且
即
故选：A．
2．
【分析】①将、平方之后可得，。进而利用有理数大小比较的方法即可解答；②将、分母有理化，再利用作差发法即可解答．
【详解】解：①∵，，
∴，
∴，
故答案为；
②∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
3．(1)解：∵，，
∴，，
∵
∴，
∴；
(2)解：∵，，
∴
．
题型14 二次根式的应用
1．C
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【详解】解：∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为，
∴一个空白长方形面积为，
∵大正方形面积为15，重叠部分面积为1，
∴大正方形边长为，重叠部分边长1，
∴空白部分的长为，
设空白部分宽为x，可得：，解得：，
∴小正方形的边长=空白部分的宽+重叠部分边长，
∴小正方形面积，
故选：C．
2．3
【分析】本题考查了二次根式的应用．把a、b、c的值代入所给公式即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：
，
故答案为：3．
3．(1)解：∵，
∴，
∴的面积为，
(2)解：
∴，
∴的面积为，
又∵，
∴；
(3)解：∵，
∴，即，
又∵
∴，
即，
∴．

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