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2025年湖南省常德市中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B．π C． D．0
2．先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）

A． B． C． D．
3．我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展，其中Deepseek（深度求索）在2025年以各项性能在全球排名前列，成为了各大国家争相学习的对象．据统计，某校七个班了解并使用过人工智能AI软件的同学人数分别为：27，25，29，30，26，28，30．那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．
6．1.如图，在 ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
8．如图，是的直径，过点的切线与的延长线相交于点，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知：二次函数的图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④两根分别为，1；⑤．其中正确的选项有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、多选题
10．下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．在函数中，自变量的取值范围是 ．
12．新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到4430万人，处于高等教育普及化阶段．4430万用科学记数法表示为 ．
13．计算： ．
14．不等式组的解集是 ．
15．如图，在中，D是的中点，，，则的长是 ．
16．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
17．如图，是的直径，点、在上，，则 度．
18．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为 ．
四、解答题
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中m满足：.
21．近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元．
(1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元
(2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个
22．黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，求黄鹤楼的高度（参考数据：）．
23．为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：
频数分布统计表
组别 时间（分钟） 频数
6
14
4
根据统计图表提供的信息解答下列问题：
(1)频数分布统计表中的　　，　　；
(2)补全频数分布直方图；
(3)已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有多少人？
(4)若组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
24．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图像只有一个交点？
25．【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】
（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：；
(3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由．
2025年湖南省常德市中考三模数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B D C C A B ABC
1．B
【详解】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．π是无限不循环小数是无理数，故本选项符合题意；
C．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．B
【详解】
解：该立体图形的主视图是 ，
故选：B．
3．C
【详解】解：重新排序得到：25，26，27，28，29，30，30．
根据题意可得中位数为，众数为，
故选：C.
4．B
【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
5．D
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故选：．
6．C
【详解】解：∵在 ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故选：C．
7．C
【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵，，
∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD
＝AB＋AD＋CD
＝AB＋AC
＝19．
故选：C
8．A
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
∵，，
∴，即，
∴．
故选：A．
9．B
【详解】解：①由抛物线开口向上知：；抛物线与轴的负半轴相交知；对称轴在轴的左侧知：，
∴，故①错误；
②∵对称轴为直线，
∴，
即，
∴，故②错误；
③由抛物线的性质可知，当时，有最小值，
即，
即，故③正确；
④因为抛物线的对称轴为，且与轴的一个交点的横坐标为1，所以另一个交点的横坐标为．因此方程的两根分别是1，．故④正确；
⑤由图像可得，当时，，
即：，故⑤正确．
故正确选项有③④⑤共3个，
故选：B．
10．ABC
【详解】解：，故A符合题意，
，故B符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选ABC
11．
【详解】在函数中，分母不为0，
则，即，
故答案为：.
12．
【详解】解：4430万，
故答案为：．
13．
【详解】解：
故答案为：．
14．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组的解集为，
故答案为：．
15．3
【详解】解：∵在中，D是的中点，
∴，
即，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：3
16．
【详解】由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为，
故答案为：．
17．120
【详解】解：∵ ，是弧AC所对的圆周角，是弧AC所对的圆心角，
∴，
∴，
故答案为：120．
18．
【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点，

∴，，
∴，，
∴，
根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转，
∴，
作轴于点，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
19．
【详解】解：
，
20．
，1．
【详解】解：原式为
=
=
=
=，
又∵m满足，即，将代入上式化简的结果，
∴原式=．
21．(1)每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元
(2)最多购买A种娃娃66个
【详解】（1）解：设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是元．
由题意可得，
解得，
则．
即每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元；
（2）解：设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃个．
，
解得，
因为m为整数，所以m最大为66，
即最多购买A种娃娃66个．
22．黄鹤楼的高度约为．
【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图，
依题意，有三个角都是直角的四边形是矩形，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴黄鹤楼的高度约为．
23．(1)18；8
(2)见解析
(3)240人
(4)
【详解】（1）抽取的总人数为：（人），
∴m=50×36%=18，
∴n=50-6-14-18-4=8，
故答案为：18，8；
（2）数分布直方图补全如下：
（3）（人，
答：估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有240人；
（4）列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 （男1，男 （男1，女 （男1，女
男2 （男2，男 （男2，女 （男2，女
女1 （女1，男 （女1，男 （女1，女
女2 （女2，男 （女2，男 （女1，女
由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，
抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
24．(1)，
(2)1或9
【详解】（1）解：∵反比例函数过点，，
∴，
解得：，，
反比例函数解析式为：，点，
∵一次函数解析式过点，，
∴，
解得：．
∴一次函数解析式为：；
（2）解： 设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的解析式为，
联立两个函数得：，
整理得：，
，
∴，或，
∴直线向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点．
25．（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析
【详解】解：（1）在和中，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：选择②为条件，①为结论
如图，在取点N，使，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
选择①为条件，②为结论
如图，在取点N，使，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，连接，取的中点F，连接，
∵的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
26．(1)
(2)见解析
(3)相等，理由见解析
【详解】（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为，
，
，
将代入解析式，则，
，
抛物线的解析式表达式为；
（2）证明：如图1，延长交x轴于点D，
由（1）知抛物线的解析式表达式为，则，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得：
直线的解析式为，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作轴，交x轴于点G，
令，即，
解得：，
根据题意得：，
，
轴，轴，
，
，
，
，即，
，
，
点的横坐标为，
由折叠的性质得到，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，，
．

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