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1　幂的乘除
第1课时　同底数幂的乘法
第一章 整式的乘除
【新知探究】
同底数幂相乘,底数不变,指数　 　,即am·an=　 　(m,n都是正整数)。
推广:am·an·ap=am+n+p。
相加
同底数幂的乘法法则
am+n
【例1】 计算:
(1)104×10;
(2)2n·2n+3;
(3)-a2·a6;
(4)(x-y)(x-y)n-3。
解:(1)104×10=104+1=105。
(2)2n·2n+3=2n+n+3=22n+3。
(3)-a2·a6=-a2+6=-a8。
(4)(x-y)(x-y)n-3=(x-y)1+n-3=(x-y)n-2。
B
D
D
4.计算:
(1)(a+b)3m·(b+a)m+n;
(2)-x3·(-x)3·(-x)4;
解:(1)(a+b)3m·(b+a)m+n
=(a+b)3m+m+n
=(a+b)4m+n。
(2)-x3·(-x)3·(-x)4
=x3·x3·x4
=x3+3+4
=x10。
(3)(x-y)6·(y-x)6。
解:(3)(x-y)6·(y-x)6
=(x-y)6·(x-y)6
=(x-y)6+6
=(x-y)12。
【新知探究】
am+n=　 　(m,n为正整数)。
【例2】 已知am=4,an=16,求am+n的值。
am·an
同底数幂的乘法法则的逆用
解:因为am+n=am·an,am=4,an=16,
所以am+n=4×16=64。
【新知巩固】
1.已知3m=x,3n=y,其中m,n为正整数,则3m+n的结果为( )
A.xy B.x+y
C.3xy D.3x+3y
2.已知ax=9,a3=27,则ax+3的值是( )
A.36 B.18
C.243 D.253
3.若am=3,am+n=9,则an的值为　 　。
A
C
3
4.已知2x+2=6,求2x+5的值。
解:当2x+2=6时,
2x+5=2x+2+3=2x+2×23=6×8=48。
第2课时　幂的乘方
【新知探究】
幂的乘方,底数不变,指数　 　,即(am)n=　 　(m,n都是正整数)。
【例1】 计算:
(1)-(x5)3;
(2)[(a-b)2]5;
相乘
幂的乘方法则
amn
解:(1)-(x5)3=-x15。
(2)[(a-b)2]5=(a-b)10。
(3)a3·(a2)4;
(4)(-a2)3·a2;
(5)(a4)5-(-a2)10。
解:(3)a3·(a2)4=a3·a8=a11。
(4)(-a2)3·a2=-a6·a2=-a8。
(5)(a4)5-(-a2)10=a20-a20=0。
【新知巩固】
1.计算(-x7)2的结果是( )
A.x14 B.x9 C.x49 D.-x14
2.若33×9m=311,则m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.(2024潍坊期末)若2x+y-3=0,则9x·3y=　 　。
A
C
27
4.计算:
(1)-(22)3; (2)(-a)2(a2)2;
(3)[(z-y)2]3; (4)2(x3)5-(x5)3。
解:(1)-(22)3=-26。
(2)(-a)2(a2)2=a2·a4=a6。
(3)[(z-y)2]3=(z-y)6。
(4)2(x3)5-(x5)3=2x15-x15=x15。
【新知探究】
amn=　 　=(an)m(m,n都是正整数)。
【例2】 已知am=3,an=2,求:
(1)am+n;
(2)(a3)n;
(3)a2m+3n。
(am)n
幂的乘方法则的逆用
解:(1)am+n=am×an=3×2=6。
(2)(a3)n=(an)3=23=8。
(3)a2m+3n=a2m×a3n=(am)2×(an)3=32×23=9×8=72。
幂的乘方法则的逆用,主要是把指数的积转化为幂的乘方,指数的积中的因数可以利用交换律灵活变化。
B
8
4
<
5.已知10a=5,10b=6,求:
(1)102a+103b的值;
(2)102a+3b的值。
解:(1)102a+103b
=(10a)2+(10b)3
=52+63
=241。
(2)102a+3b
=(10a)2·(10b)3
=52×63
=5 400。
第3课时　积的乘方
【新知探究】
积的乘方等于把积的每一个因式分别　 　,再把所得的幂　 　。(ab)n=　 　(n为正整数)。
【例1-1】 计算:
(1)(2x)2;　
(2)(-2a)3;　
乘方
积的乘方法则
相乘
anbn
解:(1)(2x)2=22x2=4x2。
(2)(-2a)3=(-2)3a3=-8a3。
(3)(-xy2)4;
(4)(2a2)n(n为正整数);
(5)(-2xy2)6+(-3x2y4)3。
解:(3)(-xy2)4=(-x)4(y2)4=x4y8。
(4)(2a2)n=2n(a2)n=2na2n。
(5)(-2xy2)6+(-3x2y4)3
=(-2)6x6(y2)6+(-3)3(x2)3(y4)3
=64x6y12+(-27)x6y12
=37x6y12。
积的乘方运算时的“四点”注意
(1)当底数为多个因式时,不能漏掉某些因式乘方;
(2)进行积的乘方时,不能忽略“-”号;
(3)进行积的乘方时,系数不能与幂指数相乘;
(4)注意运算顺序是先乘方,再乘除,最后算加减。
【新知巩固】
1.下列计算正确的是( )
A.(xy2)2=xy4 B.(3xy)3=9x3y
C.(-2a2)2=-4a4 D.(3ab2)2=9a2b4
2.填空:
(1)(a2b)5=　 　;
(2)(-2pq)3=　 　;
(3)(-anbn+1)4=　 　。
3.若am=4,bm=9(m是正整数),则(ab)m的值为　 　。
D
a10b5
-8p3q3
a4nb4(n+1)
36
(2)-(-3a2b3)4
=-(-3)4(a2)4(b3)4
=-81a8b12。
(3)(-x3y2)5; (4)(2×102)3。
解:(3)(-x3y2)5
=(-1)5(x3)5(y2)5
=-x15y10。
(4)(2×102)3=23×(102)3=8×106。
5.某养鸡场需定制一批棱长为3×102 mm的正方体鸡蛋包装箱(包装
箱的厚度忽略不计),求一个这样的包装箱的容积(结果用科学记数法表示)。
解:(3×102)3=33×(102)3=27×106=2.7×107(mm3)。
答:一个这样的包装箱的容积是2.7×107(mm3)。
【新知探究】
anbn=　 　(n为正整数)。
【例2】 小明使用比较简便的方法完成了一道作业题,如下:
(ab)n
积的乘方法则的逆用
小明的作业
计算:85×(-0.125)5。
解:85×(-0.125)5=(-8×0.125)5=(-1)5=-1。
请你参考小明的方法解答下列问题。
计算:
(1)42 025×(-0.25)2 025;
解:(1)42 025×(-0.25)2 025
=(-4×0.25)2 025
=(-1)2 025
=-1。
三种运算法则逆用的规律
运算特点 适用法则
幂的指数为和的形式 同底数幂的乘法
幂的指数为积的形式 幂的乘方
幂的指数相同(或相差不大), 底数的积容易计算 积的乘方
D
4x2y5
9
(3)-82 025×(-0.125)2 026+0.253×26。
解:(3)-82 025×(-0.125)2 026+0.253×26
=-82 025×(-0.125)2 025×(-0.125)+0.253×23×23
=-[8×(-0.125)]2 025×(-0.125)+(0.25×2×2)3
=1×(-0.125)+1
=0.875。
第4课时　同底数幂的除法
【新知探究】
同底数幂相除,底数不变,指数　 　,即am÷an=　 　(a≠0,m,n都是正整数,且 m>n)。
【例1】 计算:
(1)m6÷m4;
相减
同底数幂的除法法则
am-n
解:(1)m6÷m4=m6-4=m2。
(2)(-x)7÷(-x)3;
(3)(ab)5÷ab;
(4)am+1÷a2(m>1);
(5)(x-y)5÷(x-y)2。
解:(2)(-x)7÷(-x)3=(-x)7-3=(-x)4=x4。
(3)(ab)5÷ab=(ab)5-1=(ab)4=a4b4。
(4)am+1÷a2=am+1-2=am-1。
(5)(x-y)5÷(x-y)2=(x-y)5-2=(x-y)3。
(1)底数可以是单项式或多项式;
(2)底数不同,可先转化为同底数幂,再利用法则进行计算,注意符号问题;
(3)若指数是多项式时,指数相减时应加括号。
【新知巩固】
1.下列计算正确的是( )
A.a6÷a2=a3 B.a6÷a2=a4
C.a2÷a2=a D.a6÷a2=4
2.计算:(-x)12÷(-x)3等于( )
A.-x4 B.x4 C.-x9 D.x9
B
C
解:(1)-a5÷a2=-a5-2=-a3。
(2)(-m)10÷(-m)=(-m)10-1=-m9。
(3)(s5)2÷s5=s10÷s5=s10-5=s5。
(2)因为x=2m+1,y=3+4m,所以2m=x-1。
因为x=2,所以2m=1。
所以y=3+(22)m=3+(2m)2=3+12=4。
【新知探究】
am-n=　 　。
【例2】 已知am=3,an=9,求a3m-n的值。
am÷an
同底数幂的除法法则的逆用
解:当am=3,an=9时,
a3m-n=a3m÷an=(am)3÷an=33÷9=3。
【新知巩固】
1.若3a=27,3b=3,则3a-b的值为( )
A.-9 B.-3 C.9 D.3
2.已知m,n为正整数,且xn=4,xm=8。
(1)求xm-n的值;
(2)求x3m-2n的值。
C
解:当xn=4,xm=8时,
(1)xm-n=xm÷xn=8÷4=2。
(2)x3m-2n=x3m÷x2n=(xm)3÷(xn)2=83÷42=32。
【新知探究】
1.规定:a0=　 　(a≠0),即任何不等于零的数的0次幂都等于　 　。
2.a-p=　　 (a≠0,p为正整数),即任何不为零的数的-p(p为正整数)次幂等于这个数的p次幂的　 　。
1
零指数幂和负整数指数幂
1
倒数
(1)任何非零数的零次幂都等于1;
(2)负整数指数幂是正整数指数幂的倒数,不是正整数指数幂的相
反数;
(3)负整数指数幂的底数不能取0,否则无意义。
A
8
【例4】 用科学记数法表示下列各数:
(1)成人每天维生素D的摄入量约为0.000 004 6 g;
(2)某医学家发现了一种病毒,其长度约为0.000 000 29 mm;
(3)1粒某种药丸的质量约为0.156 g。
用科学记数法表示绝对值较小的数
解:(1)0.000 004 6=4.6×10-6。
(2)0.000 000 29=2.9×10-7。
(3)0.156=1.56×10-1。
用科学记数法a×10n表示绝对值较小的数,n的确定方法
(1)查0法,第一个非0的数字前,有几个0,n就等于负几;
(2)挪位法,小数点向后挪位到第一个非0数字后面,挪几位,n就等于负几。
【新知巩固】
1.人体中枢神经系统中含有1千亿个神经元。某个神经元的直径约
为52 μm,52 μm为 5.2×10-5 m。将5.2×10-5用小数表示为
　 　。
2.(2024广元改编)2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家,以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”。什么是阿秒 1阿秒是10-18 s。目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒,将43阿秒用科学记数法表示为　 　s。
0.000 052
4.3×10-17
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