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数学月考答案
一、单选题
1．若复数，则（ ）
A．2 B． C．10 D．
2．已知平面向量， 若， 则实数的值为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
3．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形，已知点是斜边的中点，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（ ）
A．A，C，，四点共面 B．，M，O三点共线
C．平面 D．与BD异面
5．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．若圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，记圆柱与球的体积之比为，表面积之比为，则（ ）
A． B．
C． D．的大小不确定
7．下图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点A处测得其顶点P的仰角为45°、点B处测得其顶点P的仰角为30°，若米，且，则解放碑的高度为（ ）
A．米 B．55米 C．米 D．米
8．在中，的平分线交于点，，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，则（ ）
A．
B．
C．为纯虚数
D．在复平面内对应的点位于第四象限
10．设向量，，则下列叙述错误的是（ ）
A．若与的夹角为钝角，则且
B．的最小值为2
C．与共线的单位向量只有一个为
D．若，则或
11．设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，则下列选项正确的是（ ）
A．外接圆的半径为 B．面积的最大值为
C．的最大值为2 D．的最小值为32
三、填空题
12．在平行四边形中，已知点E在线段上，且，设向量，用表示，则 ．
13．已知角终边上一点，则 ；
14．在中，角，，的对边分别为，，，若为钝角，，
，点是的重心，且，则 ．
四、解答题
15．在中，，，且△ABC的面积为．
(1)求a的值；
(2)若D为BC上一点，且________，求的值．
从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
16．已知两个非零向量与不共线.
(1)若与平行，求实数的值；
(2)若，，且，求.
17．已知函数．
(1)求的最小正周期和单调区间；
(2)若，，求的值．
18．已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆.
(1)求其母线长；
(2)在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体的体积；
(3)求此圆锥外接球的表面积.
19．在中，，，对应的边分别为，，， .
(1)求A；
(2)若为边中点，，求的最大值；
(3)奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.求的最小值.
参考答案
1.【答案】B
【详解】由题知，所以．
故选：B．
2.【答案】A
【详解】若，则若，
平面向量 ，所以，
所以，解得：.
故选:A.
3.【答案】D
【详解】因为为等腰直角三角形且，所以，，
由斜二测画法可知，，且三角形为直角三角形，，
所以三角形ABC的面积为．
故选：D.
4.【答案】C
【详解】对于A选项，且，所以共面，故A正确；
对于B选项，直线平面，所以平面，
因为直线，又平面，所以平面，
因为为中点，平面，所以 平面，
底面为正方形，所以为中点，平面，所以 底面，
又平面，平面，
所以平面与平面相交，且在交线上，即三点共线，故B正确；
对于选项C，平面平面 ，平面，但直线，
所以平面，故C错误；
对于选项D，直线平面，直线平面，，
所以直线与为异面直线，故D正确.
故选：C
【5.答案】D
【详解】运用函数图像平移规律“左加右减”, 为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度即可.
故选：D．
6.【答案】A
【详解】设球的半径为，因为球的直径恰好与圆柱的高相等，所以圆柱的高，
又因为球是圆柱的内切球，所以圆柱底面半径.
根据圆柱体积公式，可得圆柱体积.
根据球的体积公式.
已知圆柱与球的体积之比为，则.
根据圆柱表面积公式，可得圆柱表面积.
根据球的表面积公式.
已知圆柱与球的表面积之比为，则.
所以.
故选：A.
7.【答案】A
【详解】设，由已知，，，，
则，又，
在中：，则
解得或（舍去），所以解放碑的高度为米.
故选：A.
8.【答案】C
【详解】解：根据题意，设，
因为，，，
所以，即，
所以，
因为根据基本不等式有，
所以，，当且仅当时等号成立，
由余弦定理得
，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立.
所以周长的最小值为.
故选：C
9.【答案】ABD
【详解】，
，A正确；
，B正确；
不是纯虚数，C错误；
在复平面内对应的点位于第四象限，D正确.
故选：ABD.
10.【答案】CD
【详解】A：若与的夹角为钝角，则有，且与不共线，
即且，故A正确；
B：，当且仅当时，有最小值为2，故B正确；
C：与共线的单位向量有和两个，故C错误；
D：若，则，解得，故D错误；
故选：CD.
11.【答案】ABC
【详解】对于A，因，，设外接圆的半径为，
由正弦定理，，解得，故A正确；
对于B，由余弦定理，，即，
由可得，当且仅当时取等号.
则的面积为，
即面积的最大值为，故B正确；
对于C，由正弦定理，，
可得
故
，
因，则，
故当时，即时，取得最大值2，故C正确；
对于D，由B项分析，可得，当且仅当时取等号，
故的最大值为32，故D错误.
故选：ABC.
12.【答案】
【详解】由题意.
故答案为：.
13.【答案】/0.5
【详解】根据三角函数定义，可得，则.
故答案为：.
14.【答案】
【详解】在中，由，得，
整理得，而，解得，
又为钝角，则，由点P是的重心，得，
，而，，
整理得，而，解得，
由余弦定理得.
故答案为：
15.【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由于，，
，解得；
由余弦定理得，解得；
（2）若选①，则当时，在中，由正弦定理，
即，所以，∵，∴；
若选②，则当时，在中，由余弦定理知，
，解得或（舍），
，
∵，∴．
16.【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）因为与平行，且与不共线
所以
所以，解得
（2）因为
所以，解得或.
经检验，均满足与不共线，故或
17.【答案】(1)答案见详解
(2)
【详解】（1）因为，
可得的最小正周期；
令，解得；
令，解得；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）因为，即，
且，则，
可得，
所以.
18. 【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设圆锥底面圆的半径为r，母线长为，高为，
由题意知，侧面展开图的弧长，则，
则圆锥高，
由其轴截面的面积为，解得，则，
则其母线长为.
（2）设正四棱柱的高为，棱长为，
则，则正四棱柱的底面对角线的长为，底面对角线的一半长为，
由图可得，所以，
故正四棱柱的体积为，
因圆锥体积为.
所以该几何体的体积为.
（3）设底面圆周上一点为，底面圆心为，球心为，球的半径为，
则在中有，，
即，得，
则圆锥外接球的表面积为
19.【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
由余弦定理，
所以，即，
若，等式不成立，则，可得，
因为，所以.
（2）
由余弦定理，即，所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
因为为边中点，所以，
所以
，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
（3）.
又，
.
由三维分式型柯西不等式有.
当且仅当即时等号成立.
由余弦定理得，
所以，即，
则，
令，则.
因为，得，当且仅当时等号成立，
所以，则，
令，则在上递减，
当即时，有最大值，
此时有最小值（此时与可以同时取到）

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