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第5章《特殊平行四边形》章节测试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。)
1．下列四边形：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，对角线一定相等的是( )
A．①② B．①③ C．②④ D．①②③④
2．如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是(　　)
A． B． C． D．
3．把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长为( )

A．3 B．4 C．4.8 D．5
4．如图，在菱形中，，则的度数为( )
A． B． C． D．
5．如图所示，矩形的两条对角线的一个夹角，则这个矩形的一条较短边为(　　)
A．12cm B．8cm C．6cm D．5cm
6．将三个全等的小正方形按如图所示摆放在长方形内部，其中分别在长方形的边上，若，，则图中小正方形的边长为( )
A． B． C． D．
7．嘉嘉自编一题：“如图，在四边形中，对角线交于点O，，．求证：四边形是菱形．”并将自己的证明过程与同学淇淇交流．
证明：∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∴四边形是菱形．

淇淇看完后认为这个题目需要补充一个条件才能证明．下列正确的是( )
A．题目严谨，不用添加条件 B．题目不严谨，可补充：
C．题目不严谨，可补充： D．题目不严谨，可补充：
8．如图，在中，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是( )

A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减少
9．如图，在菱形中，，，点P是此菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则A，P两点(不重合)的最短距离为( )
A．5 B．10 C． D．
10．如图，正方形和正方形的顶点，，，，在长方形的边上．已知，，则长方形的周长为(　　)
A．52 B．50 C．48 D．46
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．已知菱形的面积是52，一条对角线长为13，则另一条对角线长为 ．
12．小明复习时将几种四边形的关系整理如图，请在横线上添加一个适当的条件 ．
13.如图，A、D、E三点共线，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，则点B到点E的距离为 ．
14．如图，长方形中，，，长方形内有一个点，连接，，，已知，，延长交于点，则 ．
15．四边形纸片中，点E，F分别在边，上，将纸片沿直线折叠，点C恰好落在点A处，再将、分别沿折叠，点，D落在上的同一个点G处，请完成下列探究：的大小为 °；当四边形是菱形，点G为中点且时，四边形纸片的面积为 ．

16．如图，四边形为矩形，．将矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点．已知，，若直线与射线交于点，且是直角三角形时，则的长为 ．
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
17．如图是矩形，，求这个矩形的周长和对角线的长．
18．如图，在长方形中，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的长．
19．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点在格点上，分别按要求画出图形：
(1)在图1中画出两个以为斜边的直角三角形，且点C在格点上；
(2)在图2中画出一个以为对角线的菱形，且D，E在格点上．
20．如图，在中，，点是中点，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求四边形的面积．
21．如图，在长方形中，E是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点F，连接，若， ．

(1)求证：；
(2)求的长．
22．在下列特殊四边形中，图、图、图分别为菱形、正方形和直角梯形，请按下列要求解决问题．
(1)请在图中作出两条直线，使它们将菱形面积四等分；
(2)请在图中作出两条直线，其中一条要经过点使它们将正方形的面积四等分；
(3)在图直角梯形中，，，，，，点是的中点，试探究在边上是否存在一点，使所在直线将梯形的面积分成相等的两部分？如若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
23．如图，在正方形中，E是边上的一动点(不与点B、C重合)，连接，点C关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点P，F是的中点．连接
(1)求的度数；
(2)连接，求证：；
(3)连接，若正方形的边长为10，求的面积最大值．
24．如图，在矩形中，平分交于，连结，．
(1)如图，若，，求的长．
(2)如图，若点是边上的一点，若，连结交于点，
猜想的度数，并说明理由．
若，求的值．
若，求的值．
参考答案
一、选择题
1．C
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对各小题分析判断后即可得解．
【详解】解：①平行四边形的对角线不一定相等，
②矩形的对角线一定相等，
③菱形的对角线不一定相等，
④正方形的对角线一定相等，
所以，对角线一定相等的是②④．
故选：C．
2．B
【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形；故选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故选项B符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；故选项C不符合题意；
当时，不能判定四边形为菱形；故选项D不符合题意．
故选：B．
3．D
【分析】根据长方形的性质得出，，由折叠的性质可得：，设，则，根据勾股定理得出：，解方程即可得出答案．
【详解】解：∵长方形中，，
∴，，
由折叠的性质可得：，
设，则，
根据勾股定理得出：，
解得：，即，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形性质是解题的关键．根据菱形的性质，平行线的性质计算判断即可．
【详解】解：菱形，
，，
，
，
，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，根据矩形的性质结合，得到为等边三角形，进而得到即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴；
∴，
∵，
故选C．
6．B
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为，根据，列出二元一次方程组，求出和，再求出边长即可．
【详解】解：将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，
设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为，
，，
，
解得，
小正方形的边长为：．
故选：B．
7．C
【分析】根据菱形的判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得：嘉嘉的说法无法证得四边形是菱形，故A选项不符合题意；
若添加无法说明四边形是平行四边形，
则不能得到四边形是菱形，故B选项不符合题意；
若添加，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故C选项符合题意；
若添加无法说明四边形是平行四边形，
则不能得到四边形是菱形，故D选项不符合题意；
故选：C．
8．C
【分析】连接，先判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，线段的值大小变化情况．
【详解】如图，连接．

∵
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，最短，则线段的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是先减小后增大．
故选：C．
9．C
【分析】
本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分三种情形讨论①若以边为底．②若以边为底．③若以边为底．分别求出的最小值，即可判断．
【详解】连接、，、交于点，

在菱形中，
∵，
∴，
∴都是等边三角形，
∴，，
∴，
①若以边为底，则垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点与点重合时，最小，最小值；
②若以边为底，为顶角时，以点为圆心，长为半径作圆，与相交于一点，则弧(除点外)上的所有点都满足是等腰三角形，当点在上时，最小，最小值为；

③若以边为底，为顶角，以点为圆心，为半径作圆，则弧上的点与点均满足为等腰三角形，当点与点重合时，最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
综上所述，的最小值为；
故选∶C
10．A
【分析】本题考查了正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定与性质．过点作于点，先证和全等，得出，，同理可证，得出，，设，，表示、、、的长，得到，，解方程组即可，从而求出长方形的周长．
【详解】解：过点作于点，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形是长方形，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
同理可证，
，，
设，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即①，
，，，
，
，
，
，
，
即②，
联立①②得，
，
解得，
，，
长方形的周长为，
故选：A．
二、填空题
11．8
【分析】
此题考查了菱形的性质，解题关键是掌握菱形的面积公式．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得答案．
【详解】
解：菱形面积是52，一条对角线长为13，
另一条对角线长是：．
故答案为：8．
12．(答案不唯一)
【分析】根据菱形的判定方法，即可求解．
【详解】解：根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得当时，平行四边形是菱形
横线上的条件可以是
故答案为：
13．
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，勾股定理是解题的关键．
如图，连接交于，由菱形的性质可得，，，由勾股定理得，，进而可求的长．
【详解】解：如图，连接交于，
∵是菱形，，
∴，，，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】此题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，延长交于F，根据已知条件得到，根据矩形的性质得到，，根据余角的性质得到，进一步推出，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：延长交于点F，如图，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得．
故答案为：．
15． 9
【分析】本题主要考查了翻折的性质、四边形内角和、菱形的性质，由翻折的性质得：，再结合四边形内角和为，即可求出；首先利用折叠的性质分别求得，然后由代入数据解答即可．
【详解】如图，由翻折的性质得：

∵，
∴，
∵四边形内角和为，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵四边形是菱形，
∴，
∵点G为中点，
∴，
设，则
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：；9．
16．1或9
【分析】本题主要考查矩形的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键；根据题意只有成立，此时又可分当点E在上和点E在的延长线上，进而分类求解即可．
【详解】解：由题意可知，当时，根据折叠的性质可知：，而，所以此时也不成立；
当时，且点E在上，如图所示：
∵四边形为矩形，，，
∴，，，
∴，
由折叠的性质可知，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点E在的延长线上，如图所示：
同理可得，
∴，
∴；
综上所述：当是直角三角形时，则的长为1或9；
故答案为1或9．
三、解答题
17．解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，，
∴，这个矩形的周长为，
∴．
18．(1)是直角三角形，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，
∴，
∴是直角三角形；
(2)∵将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，
∴，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴．
19．(1)解：点即为所求；
(2)解：菱形即为所求．
20．(1)证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，点D是的中点，
∴，
∴平行四边形是菱形；
(2)解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，点D是的中点，
∴．
21．(1)证明：∵四边形为矩形，
∴，，，
∵E是的中点，
∴，
∵沿折叠后得到，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即；
(2)解：∵，
∴，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得：，
∴．
22．(1)解：如图，作出对角线和所在的直线，直线和将菱形面积四等分；
理由如下：
菱形的两条对角线把菱形分成个全等的三角形，
直线和将菱形面积四等分；
(2)如图，连接对角线，交于点，过点，作直线，分别交，于点，；
过点作，分别交，于点，，
则直线，将正方形的面积四等分；
理由如下：
由正方形性质和作图可知：
≌≌≌，
≌≌≌，
，
(3)存在．
如图，在上取一点，使，则点即为所求的点．
理由如下：
连接，，
，，
，
在和中，
≌，
，，
点是的中点，
，
是的垂直平分线，
≌，
，
，
即，
即所在直线将梯形的面积分成相等的两部分，
此时．
23．(1)解：由对称得：，
在正方形中，，
∴，
∵F是的中点，
∴，，
∴；
(2)证明：如图，作交的延长线于，
∴，
在正方形中，，
∴，
由(1)可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
(3)解：如图，过作于G，则，
在中，，
∴，
当最大时，的面积最大，
连接，交于O，最大，
∵，，
∴，
∴，
即的面积最大值为．
24．(1)解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
(2)解：，理由如下：
连接，如图所示：
由()得：，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
设，则，
∴，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
过作于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由知，，
∵
∴，
∴，
∴，
过作于，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由知，，
∴，，
∴．

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