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期末模拟测试卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．以下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．如图，完整的数轴上有两点，分别表示和，且点在点左侧，则的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．2
5．在中，与的度数之比为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，以为底边在外作等腰三角形，过点作的平分线，分别交于点．若，，，是直线上的一个动点，则周长的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，过点D分别作，垂足分别为点E，F，且，连接与相交于点O．则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．因式分解： ．
10．已知等腰三角形，若边上的高线与边的夹角为，则边的长为 ．
11．在平面直角坐标系中，若点和点关于原点中心对称，则的值为 ．
12．如图，将绕点O逆时针旋转后得到，若，则的度数是 ．

13．如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，为坐标原点，点关于轴的对称点为，连接．．，，，若点在轴的负半轴上，则的度数为 ；
14．若关于x的不等式组有且只有三个整数解，且关于y的方程的解均为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
15．如图，在等腰中，于点，已知，，，若E，F分别是线段上的动点，则的最小值为 ．
16．如图，将沿所在的直线翻折后，使点B落在点D处，再将线段沿着射线向左平移若干单位长度得到，如果四边形的周长是10，那么 ．
三、解答题
17．先化简，再求值，其中．
18．解方程：
(1)
(2)
19．今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）．
(1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？
(2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？
20．数学课上，王老师布置如下任务：
如图，在中，，在边上取一点，．
小路的作法如下：
①作边的垂直平分线，交于点，交于点；
②连结．
(1)请根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵是的垂直平分线
∴______，（依据：__________________）；
∴______，（依据：__________________）；
∵是的外角，
∴__________________；
∴．
21．如图，在直角坐标系中，的顶点A，B，C按逆时针方向排列，其中 ，，且，．
(1)如图1，若，求C点坐标；
(2)如图2，若，，求C点坐标；
(3)如图3，，，以为边在的右侧作等边，连接，当时
①请探究线段之间的数量关系，并证明；
②用含a，b的式子表示线段的长度．
22．如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，且．
(1)求点B的坐标；
(2)如图2，点C在x轴的负半轴上，，过点B作AB的垂线交轴于点，求证：；
(3)在（2）的条件下，在射线上有一点，求点E的横坐标．
23．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
24．如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为等垂四边形．
(1)如图2和如图3，已知四边形为等垂四边形，，．
①在图2中，若，，则的度数为______°；
②在图3中，若，，分别平分，，请判断四边形是否为等垂四边形，并说明理由．
(2)如图4，在锐角中，，，且，D是平面上一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形为等垂四边形，请直接写出的大小（用含α的式子表示）．
《期末模拟测试卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C A D B A C
1．C
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度,旋转后的图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A，不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
B，是轴对称图形,不是中心对称图形，不合题意；
C，即是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D，不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据概念进行判断即可．
【详解】解：A．是整式除法，不是因式分解，故不合题意；
B．是整式乘法，不是因式分解，故不合题意；
C．没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故不合题意；
D．是因式分解，故符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了三角形三边之间的关系、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是首先根据三角形三边之间的关系判断能否组成三角形，如果能组成三角形，再用勾股定理的逆定理判断是否能组成直角三角形．
【详解】解：A选项：，
、、三条线段不能组成三角形，故A选项不符合题意；
B选项：，
、、三条线段能组成三角形，
又，，
，
、、三条线段不能组直角三角形，故B选项不符合题意；
C选项：：，
、、三条线段能组成三角形，
又，，
，
、、三条线段能组直角三角形，故C选项符合题意；
D选项：、、，其中，
、、三条线段不能组成三角形，故D选项不符合题意．
故选： C．
4．A
【分析】本题考查解一元一次不等式，根据数轴得出，解不等式求出的取值范围，即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键．
【详解】解：由数轴可知，，
解得：，
∴的值可以是，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得，再根据与的度数之比为，即可求出的度数，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
与的度数之比为，
，
，
，
故选：D．
6．B
【分析】本题主要考查了最短距离问题、三线合一、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
根据点A与点C关于对称可得，当点P与点E重合时，，此时的周长最小，据此即可求得周长的最小值．
【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形，平分，
∴垂直平分，
∴点A与点C关于对称，
∴，
如图所示，当点P与点E重合时，，
此时的周长最小，
∵，，，
∴周长的最小值为：，
故选：B．
7．A
【分析】本题主要考查分式方程，从实际问题中抽象出分式方程是解题的关键．根据题意找到等量关系列出方程即可．
【详解】解：由题意可得：，
故选A．
8．C
【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据角平分线的判定得到平分，可判断D、也可证明，则，再由三线合一即可证明A．
【详解】解：∵，且，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
故A、B、D均正确，不符合题意，
现有条件证明不出C选项，故符合题意，
故选：C．
9．
【分析】本题考查了提公因式法分解因式：系数，取各项系数的最大公因数，字母，取各项都含有的相同字母，并且相同字母的指数取次数最低的．准确的找出公因式是解题的关键．确定公因式即可即可求解．
【详解】
故答案为：
10．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定；分为腰和底两种情况分别讨论，即可求解．
【详解】解：当为腰时，如图所示，
依题意，
∴
∴等腰是等边三角形，
∴
当为底时，如图所示，
依题意，，，
∴
∴等腰是等边三角形，
∴，
综上所述，边的长为，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了成中心对称的点的特征，求代数式的值，根据成中心对称的点的横纵坐标互为相反数可得，，代入代数式求解即可．
【详解】解：∵点和点关于原点中心对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
12．/40度
【分析】本题主要考查了旋转的性质．根据将绕点O按逆时针方向旋转后得到，可得，进一步计算即可得出答案．
【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转后得到，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
点关于轴的对称点为，求出，，从而求得，，即可由求解．
【详解】解：设交y轴于E，如图，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
点关于轴的对称点为，
，，
∴，
，
故答案为：．
14．1
【分析】此题考查了含字母参数的一元一次不等式组和分式方程的求解能力，关键是能准确计算、讨论．先分别解该不等式组和分式方程求得所有满足条件的整数的值，再求和计算．
【详解】解：解不等式组，
得，
可得其三个整数解为：1，2，3，
，
解得；
解方程得，
，
且，
解得且，
且，
所有满足条件的整数的值为：，0，2，
，
即所有满足条件的整数的值之和为1，
故答案为：1．
15．
【分析】此题主要考了等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题等知识点．作F关于的对称点M，连接交于E，连接，过B作于N，根据三角形面积公式求出，根据对称性质求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案．
【详解】解：作F关于的对称点M，连接交于E，连接，过B作于N，
∵，，，，
∴，
∵F关于的对称点M，
∴，
∴，
根据垂线段最短得出：，
即，
即的最小值是，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了平移的性质，折叠的性质，先由平移的性质得到，再由四边形周长计算公式推出，进一步由折叠的性质得到，据此根据线段的和差关系可得答案．
【详解】解：由平移的性质可得，
∵四边形的周长是10，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
故答案为：．
17．，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解决此题的关键，先对原式进行化简，然后再代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
18．(1)
(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的化分为整的方法是解决此题的关键．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程先变形再去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴分式方程的解为；
（2）解：原方程变形为，
去分母，得
，
去括号，得
，
移项、合并同类项，得
，
系数化为1，得，
经检验，是原方程的增根，
故原方程无解．
19．(1)鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元
(2)该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设鲁迅文集（套）的单价为元，则四大名著（套）的单价是元，由题意：花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买鲁迅文集套，由题意：购买鲁迅文集和四大名著共30套（两类图书都要买），总费用不超过570元，四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，列出一元一次不等式组，求出正整数解，即可得出答案．
【详解】（1）解：设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，且符合题意，
∴，
答：鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元；
（2）解：设购买鲁迅文集套，则购买四大名著套，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴或13，
故该该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套．
20．(1)见解析
(2)，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；，等边对等角；
【分析】（1）按照线段垂直平分线的作图方法作出的垂直平分线；
（2）按照线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，最后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）如图，点即为所求：
（2）∵是的垂直平分线
∴，（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；
∴，（依据：等边对等角）；
∵是的外角，
∴；
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图，段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
21．(1)点C的坐标为
(2)点C坐标为
(3)①结论：，理由见解析；②
【分析】（1）先说明为等腰直角三角形，得，再证明可得，进而得到B，O，C三点共线，再结合点C在y轴上，且即可解答；
（2）如图，过点C作轴于点H，再证明可得可得，，再根据线段的和差得到即可解答；
（3）①如图，过点C作轴于点E，先说明、是等边三角形，然后再证明可得，然后根据线段的和差即可解答；②由①可知、、，进而得到，根据直角三角形的性质可得，最后代入求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴B，O，C三点共线，
∴点C在y轴上，且，
∴点C的坐标为．
（2）解：如图，过点C作轴于点H，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴点C坐标为；
（3）解：①结论：，
证明：如图，过点C作轴于点E，

由（2）同理可得：，，
在上取一点F，使得，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
②由①可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
22．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”即可得出答案；
（2）根据垂直平分线性质可得，再由等腰三角形性质求出，进而求出，根据三角形外角与内角关系可得，再由“直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半”即可证得结论；
（3）如图，作于，则，先证明是等腰三角形，得到，然后证明，得到，根据点在第三象限即可得出点的横坐标．
【详解】（1）解：，，，
，
．
（2）证明：，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
（3）解：如图，作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的横坐标为．
【点睛】本题考查了特殊直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角与内角关系，全等三角形的判定与性质，熟记“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”，“等边对等角”等相关性质和定理是解本题关键．
23．，数轴表示见解析
【分析】本题考查求不等式组解集，并在数轴上表示出不等式组的解集．正确的解出每一个不等式，确定不等式组的解集，是解题的关键．分别解两个一元一次不等式，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，在数轴上将解集表示出来即可．
【详解】解：
由①得，
由②得，
∴不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
24．(1)①70；②是，理由见解析
(2)或，当时，的大小还可以为
【分析】本题考查新定义等垂四边形，平行线性质，角平分线定义，以及四边形内角和，解题的关键在于正确理解等垂四边形定义及性质．
（1）①根据等垂四边形定义和四边形内角和求解，即可解题；
②利用平行线性质和角平分线定义得到，再结合等垂四边形性质得到，最后根据等垂四边形定义证明，即可解题；
（2）根据等垂四边形定义，分三种情况，当B，C为顶点的一组对角相等时， 当A，B为顶点的一组对角相等时， 当A，C为顶点的一组对角相等时，结合四边形内角和求解，即可解题．
【详解】（1）解：①，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
②四边形是等垂四边形，理由如下：
，
，
，分别平分，，
，，
，
四边形为等垂四边形，，
，
即，
，
四边形是等垂四边形．
（2）解：以A，B，C，D为顶点的四边形为等垂四边形，
且，，且，
，
当B，C为顶点的一组对角相等时，
有，
，
或（不合题意，舍去）；
当A，B为顶点的一组对角相等时，
有，即，
则，
或（不合题意，舍去）；
当A，C为顶点的一组对角相等时，
有，
或（不合题意，舍去）；
综上所述，的大小为或，以及当时，的大小还可以为．
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